Dissertations / Theses on the topic 'Espaces de Wiener'

Cette these se compose de quatre parties : dans la pemiere, on etudie une famille de semigroupes sur l'espace de winner, construite par ce que l'on appelle seconde quantification d'un semigroupe symetrique de contraction sur l**(2)(0,1) dont un exemple est le semigroupe d'ornstein-ulenbeck. Dans la seconde partie, on construit l'operateur de malliavin sur l'espace de poisson comme le generateur du semigroupe de winner-poisson introduit par surgaillis. On poursuit l'etude dans la 3eme partie en etablissant l'inegalite de meyer-sobolex pour le semigroupe de winner-poisson general et on approfondit cette inegalite. Enfin, on etablit l'estimation de grande deviation de ventcel-freidlin pour des diffusions a valeurs dans les espaces de hilbert

Nous étudions des problèmes d'interpolation dans des espaces de fonctions analytiques et notamment les espaces de Paley-Wiener.Nous démontrons que l'opérateur de restriction associé à une suite de nombres complexes supposée a priori N-Carleson dans tout demi-plan, définit un isomorphisme entre l'espace de Paley-Wiener et un certain espace de suites (construit à l'aide de différences divisées) si et seulement si la suite en question vérifie certaines conditions, notamment la condition de Muckenhoupt. Ce résultat généralise un résultat de Lyubarskii et Seip de 1997.Nous montrons également que toute suite minimale dans l'espace de Paley-Wiener et telle que l'intersection avec tout demi-plan vérifie la condition de Carleson, est une suite d'interpolation dans tout espace de Paley-Wiener "plus grand", au sens du type exponentiel. Ce dernier résultat s'étend à l'interpolation pondérée et s'applique à la Théorie du contrôle
We study interpolation problems in spaces of analytic functions and in particular in Paley-Wiener spaces.We show that the restriction operator associated to some N-Carleson sequence is an isomorphism between the Paley-Wiener space and a certain space of sequences (contructed with the help of divided differences) if and only if the sequence satisfies some conditions, in particular the Muckenhoupt condition. This result is a generalization of a theorem of Lyubarskii and Seip obtained in 1997.We also show that every minimal sequence in PW such that the intersection with every half-plane satisfies the Carleson condition is actually an interpolating sequence in every “bigger” space in the sense of the exponential type. This result can be extended to weighted interpolation and has an application in Control Theory

Dans ce travail on caractérise l'image de Fourier de plusieurs espaces de distributions sur certains groupes de Lie et on donne des applications. Les théorèmes de Paley-Wiener sont décrits par rapport à une famille fondamentale de compacts et d'opérateurs de multiplication. Ces objets sont construits via une fonction sous-multiplicative propre continue. L'espace de Paley-Wiener des distributions à support compact devient donc l'espace des opérateurs sur un espace de type Sobolev, vérifiant quelques propriétés. Les théorèmes de Paley-Wiener sur l'espace des fonctions indéfiniment différentiables à support compact (resp sur l'algèbre des fonctions de carrés intégrables a support compact) sont étudiés. Pour des cas particuliers de groupes de Lie, des simplifications interviennent et les opérateurs étudiés sont alors de Hilbert-Schmidt. On donne ensuite une formule de Plancherel sur le produit semi-direct de groupes et par conséquent nous étudions la résolubilité locale d'une classe d'opérateurs différentiels. La notion de p-convexité et "surjectivité" d'une famille d'opérateurs différentiels est aussi étudiée. Enfin à partir d'une formule de Kirillov sur les nilpotents, nous étudions certains caractères sur ces groupes.

L'objet de cette thèse est d'étudier la théorie du transport optimal sur un espace de Wiener abstrait. Les résultats qui se trouvent dans quatre principales parties, portent :Sur la convexité de l'entropie relative. On prolongera des résultats connus en dimension finie, sur l'espace de Wiener muni d'une norme uniforme, à savoir que l'entropie relative est (au moins faiblement) 1-convexe le long des géodésiques induites par un transport optimal sur l'espace de Wiener.Sur les mesures à densité logarithmiquement concaves. Le premier des résultats importants consiste à montrer qu'une inégalité de type Harnack est vraie pour le semi-groupe induit par une telle mesure sur l'espace de Wiener. Le second des résultats obtenus nous fournit une inégalité en dimension finie (mais indépendante de la dimension), contrôlant la différence de deux applications de transport optimal.Sur le problème de Monge. On s'intéressera au problème de Monge sur l'espace de Wiener, muni de plusieurs normes : des normes à valeurs finies, ou encore la pseudo-norme de Cameron-Martin.Sur l'équation de Monge-Ampère. Grâce aux inégalités obtenues précédemment, nous serons en mesure de construire des solutions fortes de l'équation de Monge-Ampère (induite par le coût quadratique) sur l'espace de Wiener, sous de faibles hypothèses sur les densités des mesures considérées

On étudie les multiplicateurs, c'est-à-dire les opérateurs bornés qui commutent avec les translations sur un espace de fonctions sur un groupe localement compact abélien G. On obtient pour tout multiplicateur un symbole essentiellement borné sur un ensemble de morphismes continus sur G, lié au spectre simultané des translations. Nous établissons aussi des résultats analogues pour les opérateurs de Wiener-Hopf (resp. Toeplitz) sur des espaces de fonctions sur R+ (resp. Z+).

Dans cette thèse, deux études originales et indépendantes ont été menées en parallèle. L'objectif de notre première étude a été de réfléchir et de répondre à la question de l'existence éventuelle de point focal dns les espace de Hadamard. Nous avons tout d'abord défini et étudié l'orthogonalité entre géodésiques dans un espace géodésique complet. Nous avons ensuite défini la notion de point focal dans le cas des espaces géodésiques (absence de différentiabilité) et avons répondu au problème en démontrant qu'il n'existe pas de point focal dans un espace de Hadamard. Finalement, nous avons posé une conjecture sur la non-existence des points focaux dans les CATk espaces géodésiques sous des conditions raisonnables. Le but de notre second sujet de réflexion a été de construire un mouvement brownien à valeurs dans les complexes simpliciaux, plus particulièrement, ceux qui admettent une structure différentielle (sur chaque face maximale) par morceaux. Après un essai d'une théorie de type martingale, nous avons construit une famille de processus de Markov continus à valeurs dans un complexe admissible; nous avons nommé chacun de ces processus de Markov, processus isotropique de transport. Nous avons démontré que cette famille de processus isotropiques admet une sous-suite qui converge faiblement vers une mesure que nous avons appelée mesure de Wiener. Nous avons alors construit, grâce aux distributions finies dimensionnelles de cette mesure de Wiener, un nouveau processus de Markov continu à valeurs dans le complexe admissible : le mouvement brownien. Nous avons finalisé cette étude par une analyse géométrique de ce mouvement brownien, afin de déterminer, selon les hypothèses mises sur le complexe, son caractère récurrent ou transitoire.

Orientadores: Paulo Regis Caron Ruffino, Dorival Leão Pinto Júnior
Dissertação (mestrado) - Universidade Estadual de Campinas, Instituto de Matematica, Estatistica e Computação Cientifica
Made available in DSpace on 2018-07-31T18:00:12Z (GMT). No. of bitstreams: 1 Souza_MariaLuisaCardoso_M.pdf: 1693258 bytes, checksum: b584d9a0fa10832ad7bcf792cec1809e (MD5) Previous issue date: 2001
Resumo: O objetivo deste trabalho é construir um isomorfismo de espaços de Wiener abstratos (A WS) entre o espaço de Wiener canônico dado pelas trajetórias do movimento browniano (i, BeM, Co[O,I]) e um espaço de Wiener abstrato (i, h. V), definido sobre um espaço vetorial normado dado por um subconjunto do espaço de todas as seqüências de números reais. Além disso, apresentamos uma generalização da construção feita por Paul Lévy da medida de Wiener no espaço de funções contínuas Co[O,I]. Mais precisamente, Paul Lévy construiu a medida de Wiener a partir da integral do sistema ortonormal completo de Haar. No nosso trabalho, tomamos a integral de uma base ortonormal qualquer de L2 ([0,1], B([O,I], m), onde B([O,I] é a a-álgebra de Borel do intervalo [0,1] e m é a medida de Lebesgue
Abstract: In this monograph we construct an isomorphism of abstract Wiener space (A WS) between the canonical Wiener space given by the trajectories of the Brownian motion (i, BeM, Co[O,I]) and the A WS (i, lz, V) defined over a normed vector space given by a subset ofthe space ofsequences ofreal numbers. Moreover, we present a generalization of Paul Levy's Wiener measure in the space of continuous functions Co[O,I]. Precisely, he constructed the Wiener measure from a series of gaussian random variables multiplied by the Haar orthonormal basis of L 2 ([0,1], B([O,I], m), where B([O,I] is the Borel a-algebra in the interval [0,1] and m is the Lebesgue measure, we extend this method to a general orthonormal basis ofthis Hilbert space
Mestrado
Mestre em Matemática

Cette these se situe a la rencontre de la theorie des champs et du calcul stochastique. Nous decrivons en termes de distributions sur l'espace de wiener certains objets de la theorie des champs tels que les operateurs vertex et le champ bosonique. Nous etudions egalement une action inedite du groupe des diffeomorphismes sur l'espace de wiener. Ainsi, a l'aide des formules d'integration par partie de cameron-martin, on obtient de facon rigoureuse une representation de l'algebre de virasoro. Cette representation s'interprete en terme de changement de temps et d'operateur de toeplitz. Par ailleurs, une correspondance entre un espace de fonction tests sur l'espace de wiener et la quantification d'un espace de series formelles nous permet d'obtenir sous forme probabiliste les solutions soliton et les transformations de backlund de la theorie korteweg-de vries

Dans cette thèse, nous donnerons tout d'abord des conditions sur les paramètres d’une EDSR à générateur lipschitzien ou à croissance quadratique telles que les processus solutions de l’EDSR admettent des densités par rapport à la mesure de Lebesgue. Puis, nous donnerons des conditions sur les paramètres d’une EDSR non-markovienne à générateur lipschitzien ou quadratique telles que les processus solutions de l’EDSR admettent une dérivée de Malliavin, à l’aide d’une nouvelle caractérisation de cette dérivée. Ce résultat nous fournira une nouvelle structure interne des espaces de Malliavin que nous étudierons. Nous donnerons ensuite des conditions nous assurant que des solutions d’EDSR non-markoviennes à générateurs lipschitziens stochastiques sont différentiables au sens de Malliavin en utilisant cette caractérisation. Nous ferons ensuite une analyse de densités pour les lois des solutions de telles EDSR et nous appliquerons nos résultats à la biologie. Enfin, nous étudierons deux exemples d’utilisations des EDSR en finance. On s’intéressera tout d’abord à un problème de maximisation d’utilité avec un horizon aléatoire que nous réduirons à l’analyse d’un nouveau type d’EDSR à coefficients singuliers et nous illustrerons nos résultats par des simulations numériques. Puis, nous résoudrons un problème de type Principal/Agent sous volatilité incertaine
In the first part of this PhD thesis, we give conditions on the parameters of Lipschitz and quadratic growth BSDEs such that the laws of the components Y and Z of the solutions to such BSDEs admit densities with respect to the Lebesgue measure. We then provide conditions on the parameters of non-Markovian Lipschitz or quadratic growth BSDEs such that the components Y and Z of their solutions are Malliavin differentiable. We obtain these conditions by applying a new characterization of the Malliavin differentiability, as an Lp convergence criterion of difference quotients. This result provide also a new characterization of the Malliavin-Sobolev spaces that we study in detail. To finish this first theoretical part, we provide conditions ensuring that solutions of non-Markovian stochastic-Lipschitz BSDEs are Malliavin differentiable by applying the characterization of the Malliavin differentiability obtained. We then analyse the existence of densities for the laws of the components of solutions to such BSDEs and we apply our result to a model of gene expression. In the second part of this thesis, we investigate financial problems dealing with BSDEs. We first solve a utility maximization problem with a random horizon, characterized by an exogenous default time. We reduce it to the analysis of a specific BSDE, which we call BSDE with singular coefficients, when the default time is assumed to be bounded. We give conditions ensuring the existence and the uniqueness of solutions to such BSDE and we illustrate our results by numerical simulations. Then, we solve a Principal/Agent problem with ambiguity, in which the "Nature" impacts both the utilities of the Agent and the Principal, charaterized by sets of probability measures which modify the volatility

Cette thèse a pour but d'étudier quelques applications des fonctions à variation bornée et des ensembles de périmètre fini. Nous nous intéressons en particulier à des applications en traitement d'images et en géométrie de dimension finie et infinie. Nous étudions tout d'abord une méthode dite Primale-Duale proposée par Appleton et Talbot pour la résolution de nombreux problèmes en traitement d'images. Nous réinterprétons cette méthode sous un oeil nouveau, ce qui aide à mieux la comprendre mathématiquement. Ceci permet par exemple de démontrer sa convergence et d'établir de nouvelles estimations a posteriori qui sont d'une grande importance pratique. Nous considérons ensuite le problème de courbure moyenne prescrite en milieu périodique. A l'aide de la théorie des ensembles de périmètre fini, nous démontrons l'existence de solutions approchées compactes de ce problème. Nous étudions également le comportement asymptotique de ces solutions lorsque leur volume tend vers l'infini. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'étude de problèmes géométriques dans les espaces de Wiener. Nous étudions d'une part les liens entre symétrisations, semi-continuité et inégalités isopérimétriques ce qui permet d'obtenir un résultat d'approximation et de relaxation pour le périmètre dans ces espaces de dimension infinie. Nous démontrons d'autre part la convexité des solutions de certains problèmes variationnels dans ces espaces, en développant au passage l'étude de la semi-continuité et de la relaxation dans ce contexte.

Cette thèse a pour but d'étudier quelques applications des fonctions à variation bornée et des ensembles de périmètre fini. Nous nous intéressons en particulier à des applications en traitement d'images et en géométrie de dimension finie et infinie. Nous étudions tout d'abord une méthode dite Primale-Duale proposée par Appleton et Talbot pour la résolution de nombreux problèmes en traitement d'images. Nous réinterprétons cette méthode sous un oeil nouveau, ce qui aide à mieux la comprendre mathématiquement. Ceci permet par exemple de démontrer sa convergence et d'établir de nouvelles estimations a posteriori qui sont d'une grande importance pratique. Nous considérons ensuite le problème de courbure moyenne prescrite en milieu périodique. A l'aide de la théorie des ensembles de périmètre fini, nous démontrons l'existence de solutions approchées compactes de ce problème. Nous étudions également le comportement asymptotique de ces solutions lorsque leur volume tend vers l'infini. Les deux dernières parties de la thèse sont consacrées à l'étude de problèmes géométriques dans les espaces de Wiener. Nous étudions d'une part les liens entre symétrisations, semi-continuité et inégalités isopérimétriques ce qui permet d'obtenir un résultat d'approximation et de relaxation pour le périmètre dans ces espaces de dimension infinie. Nous démontrons d'autre part la convexité des solutions de certains problèmes variationnels dans ces espaces, en développant au passage l'étude de la semi-continuité et de la relaxation dans ce contexte
The aim of this thesis is to investigate some applications of the functions of bounded variation and sets of finite perimeter. We mainly focus on applications in image processing, geometry and infinite dimensional analysis. We study first a Primal-Dual method proposed by Appleton and Talbot for solving some imaging problems. We give a new interpretation of this method which leads to a better mathematical understanding. This enables us for example to prove the convergence of the method and give new a posteriori estimates which are very important for numerical use. We then consider the problem of prescribed mean curvature surfaces in periodic environment. Using the theory of sets of finite perimeter, we prove existence of compact approximated solutions to this problem. We also study the asymptotic behavior of these solutions when their volume goes to infinity. The last two parts of the thesis are devoted to the study of some geometric problems in Wiener spaces. Studying on the one hand, the relationship between symmetrization, semi-continuity and isoperimetric inequalities, we compute the relaxation of the perimeter in this infinite dimensional setting and give an elliptic approximation of this lower semicontinuous envelope. On the other hand, we show convexity of the minimizers for some variational problems in Wiener spaces. One of the main ingredients in this study is the generalization of representations formulas for integral functionals in this setting

Ce travail vise à étendre la représentation variationnelle classique du logarithme de l’espérance de e−f par rapport à la mesure de Wiener à des mesures plus générales. Nous donnons d’abord une condition suffisante de différentiabilité forte sur l’espace de Cameron-Martin. Dans un second temps nous étendons la formulation variationnelle à la mesure image d’une diffusion, puis nous utilisons cet exemple pour généraliser la représentation à un large ensemble de mesure. Nous diminuons aussi les hypothèses d’intégrabilité sur f et prouvons de nouveaux résultats sur l’inversibilité stochastique et l’existence de solutions fortes pour certaines équations différentielles stochastiques. Finalement, nous étendons encore une fois la représentation
This work aims at extending the classical variational formulation of the logarithm of the expectation of e −f with respect to the Wiener measure to more general measures. First we give a sufficient criteria for functions to be strongly differentiable over the Cameron-Martin space. Then we extend the variational formulation to the case of the image measure of a diffusion, and we use this example to generalize the variational formulation to a wide set of measures, while reducing the integrability hypothesis over f and obtaining new results concerning stochastic invertibility and existence of strong solutions of stochastic differential equations. Finally, we extend once more this formulation by considering conditional expectations with respect to the same set of measures

Mestrado em Matemática
Na presente dissertação é feito um estudo dos operadores de Wiener-Hopf abstractos, em espaços de Banach, e de algumas técnicas de factorização associadas. Estas factorizações permitem deduzir diversas propriedades relativas às eventuais soluções de um largo conjunto de equações integrais e, em especial, das equações integrais de Wiener-Hopf, que foi o ponto de partida de Norbert Wiener e Eberhard Hopf na descoberta dos processos de factorização. Estes processos vêm, ainda, permitir a ligação do estudo das equações integrais de Wiener-Hopf com o estudo das realizações racionais e, assim estabelecer uma ligação entre as factorizações de Wiener-Hopf e a teoria da realização. De facto, se uma equação integral de Wiener-Hopf admitir símbolo racional, este pode tomar a forma de uma realização racional e, assim, pode-se proceder a factorizações conhecidas no seio da teoria da realização, de modo a se alcançar a solução. Neste âmbito, tanto perspectivas gerais como exemplos concretos são apresentados na presente dissertação que não contém resultados matemáticos originais.
In the present dissertation, a study of Wiener-Hopf abstract operators, in Banach spaces, and of some associated factorization techniques is performed. These factorizations allow the inference of several properties concerning eventual solutions of an extensive set of integral equations and, especially, of the Wiener-Hopf integral equations, which was the starting point for Norbert Wiener and Eberhard Hopf in the discovery of the factorization processes. Additionally, these processes allow the connection between the study of Wiener-Hopf integral equations and the study of rational realizations establishing, in this manner, a connection between Wiener-Hopf factorizations and the realization theory. In fact, if a certain Wiener-Hopf integral equation admits a rational symbol, the latter can be presented by a rational realization and, hence, one can proceed with the factorizations known in the context of the realization theory and, therefore, attain the solution. In this context, general perspectives, as well as, concrete examples are presented in the current dissertation, which does not contain original mathematical results.

Mestrado em Matemática
Na presente dissertação é realizado um estudo dos operadores do tipo de convolução actuando entre espaços de Lebesgue no que diz respeito às suas ligações a operadores de Wiener-Hopf. Considerando a relação de equivalência após extensão entre estes dois tipos de operadores, são analisadas propriedades de invertibilidade, nomeadamente, no que toca à existência e representação de inversos (generalizados). Com base na construção de relações daquele tipo, estabelecem-se várias ligações entre os inversos (generalizados) de ambos os operadores. Particular relevância é dada ao caso em que o operador do tipo de convolução é definido entre espaços de Lebesgue num intervalo limitado. Considere-se, adicionalmente, a generalização do caso anterior para a união finita de vários intervalos limitados e não limitados. Finalizamos o estudo apresentando, para uma classe de operadores do tipo de convolução, condições necessárias e suficientes, para a sua invertibilidade. Adicionalmente, sob essas condições, é obtido o inverso dos operadores.
In the present dissertation, is performed a study of convolution type operators acting between Lebesgue spaces in view of its connections with Wiener-Hopf operators. Considering the equivalence after extension relation between these two kinds of operators, their invertibility properties are analysed. Namely, in what concerns the existence and representation of (generalized) inverses. Based on the constrution of relations of the above type, several links between the (generalized) inverse of both operators are also obtained. Particular relevance is devoted to the case where the convolution type operator is defined between Lebesgue spaces on a finite interval. In addition, it is also cosidered the generalization of the previous case to the situation of a finite union of several finite and non-finite intervals. We finish the study by presenting, for a class of convolution type operators, necessary and sufficient conditions for their invertibility. Additionally, under these conditions, the inverse of the operators is obtained.

El treball de recerca que recull aquesta memòria s'emmarca dins del càlcul estocàstic de variacions i el càlcul estocàstic anticipatiu. La memòria es divideix en quatre capítols. Al primer (de preliminars) s'introdueixen els conceptes d'espai gaussià i la propietat esencial de descomposición ortogonal dels funcionals de quadrat integrable sobre l'espai gaussià. Per poder generalitzar aquest resultat, s'introdueix l'estructura d'espai de Fock, que és l'estructura algebraïca subjacent a tot espai descomposable en suma de sub-espais ortogonals. Per altra banda, en aquest marc s'introdueixen els operadors de creació i d'anihilació, que generalitzen els operadors gradient i integral de Skorohod sobre l'espai de Wiener.

Al segon capítol s'estableix un càlcul estocàstic en l'espai de Poisson. Als darrers anys s'han realitzar diverses aproximacions al problema. L'aproximació que aquí presentem es basa en l'estructura d'espai de Fock; en concret, es fa una interpretació dels operadors de creació i d'anihilació intrínseca en l'espai de Possion, així com una fòrmula d'integració per parts.

Al capítol tercer, s'aplica el càlcul estocàstic de variacions segons el punt de vista de Milliavin a l'estudi de la continuïtat absoluta de la "llei del màxim" d'un procés continu. S'obtenen resultats que milloren els resultats clàssics.

Per últim, al capítol quart, i seguint el punt de vista de Watanabe del càlcul estocàstic de variacions, s'estudia la regularitat del temps local browmnià com a funcional sobre l'espai de Wiener. En particular, s'analitza a quins espais de Sobolev D-alfa-P pertany, per la qual cosa s'estudia previament la regularitat de funcionals generalitzats com a Delta X(W(H)). Els resultats obtinguts milloren els coneguts fins al moment.
El trabajo de investigación que recoge la presente memoria se enmarca en el cálculo de variaciones estocástico y en el cálculo estocástico anticipativo. La memoria se divide en cuatro capítulos. En el primero, de preliminares, se introducen el concepto de espacio gaussiano y la propiedad esencial de descomposición ortogonal de los funcionales de cuadrado integrable sobre el espacio gaussiano. Para generalizar este resultado se introduce la estructura de espacio de Fock, que es la estructura algebraica subyacente a todo espacio descomponible en suma de subespacios ortogonales. Por otro lado, se introducen en este marco los operadores de creación y anihilación, que generalizan los operadores gradiente y integral de Skorohod sobre el espacio de Wiener.

En el segundo capitulo se establece un cálculo estocástico en el espacio de Poisson. En los últimos años se han realizado distintas aproximaciones al problema. Esta aproximación se basa en la estructura de espacio de Fock. En particular se da una interpretación de los operadores de creación y anihilación intrínseca en el espacio de Poisson, así como una fórmula de integración por partes.

En el tercer capitulo se aplica el calculo de variaciones estocástico según el punto de vista de Malliavin al estudio de la continuidad absoluta de la ley del máximo de un proceso continuo. Se obtienen resultados que mejoran los resultados clásicos.

Finalmente en el cuarto capitulo, siguiendo el punto de vista de Watanabe del cálculo de variaciones estocástico, se estudia la regularidad del tiempo local browniano como funcional sobre el espacio de Wiener. En concreto, se analiza a qué espacios de Sobolev D-Alfa-P Pertenece.

Para ello se estudia previamente la regularidad de funcionales generalizados como Delta X(W(H)). Los resultados obtenidos mejoran los conocidos hasta el momento.

Nous étudions des problèmes d'interpolation dans des espaces de fonctions analytiques et notamment les espaces de Paley-Wiener.Nous démontrons que l'opérateur de restriction associé à une suite de nombres complexes supposée a priori N-Carleson dans tout demi-plan, définit un isomorphisme entre l'espace de Paley-Wiener et un certain espace de suites (construit à l'aide de différences divisées) si et seulement si la suite en question vérifie certaines conditions, notamment la condition de Muckenhoupt. Ce résultat généralise un résultat de Lyubarskii et Seip de 1997.Nous montrons également que toute suite minimale dans l'espace de Paley-Wiener et telle que l'intersection avec tout demi-plan vérifie la condition de Carleson, est une suite d'interpolation dans tout espace de Paley-Wiener "plus grand", au sens du type exponentiel. Ce dernier résultat s'étend à l'interpolation pondérée et s'applique à la Théorie du contrôle.

A biodiversidade tem uma importância global, sendo a sua conservação crucial para a prestação dos serviços ecológicos dos ecossistemas e decisivos no que respeita à sua contribuição para a estabilidade no meio urbano nas várias vertentes da sustentabilidade. A manutenção ou implementação de novas infraestruturas verdes nas cidades potencia o aumento da biodiversidade, gerando inúmeros benefícios ambientais, sociais e económicos. No âmbito do tema geral da biodiversidade, pretende-se com este projeto a execução de um estudo da biodiversidade no meio urbano em áreas pertencentes ao concelho de Cascais. O estudo baseou-se numa recolha de dados da presença de espécies das várias classes de seres vivos, incluindo a flora e a fauna, no sentido de adquirir conhecimentos para melhor compreender a dinâmica dos ecossistemas de caráter urbano, e, entre as hortas comunitárias e os espaços verdes urbanos, estimar qual dos tipos de espaço terá maior potencial enquanto promotor da biodiversidade. No respeitante às aves, o Relvado de S. João e os Jardins da Parede são as áreas de estudo que apresentam os maiores valores do índice de Shannon-Wiener e do inverso do índice de Simpson, enquanto as Hortas de S. João e dos Lombos são apresentam menores valores. Em relação às formigas, os espaços que detêm os maiores valores do índice de Shannon-Wiener e de Simpson são o Relvado e a Horta do bairro de S. João. No que aos insetos voadores diz respeito, a Horta dos Lombos apresenta os maiores índices de Shannon-Wiener e de Simpson, enquanto que o Relvado de S. João apresenta os valores mais baixos dos dois índices. Finalmente, verificou-se uma maior diversidade de plantas nas duas hortas comunitárias. A diversidade de plantas presentes nas hortas comunitárias é muito superior à diversidade presente nos espaços verdes urbanos.