Dissertations / Theses: 'Estimation d’erreur a posteriori'

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Allier, Pierre-Eric. "Contrôle d’erreur pour et par les modèles réduits PGD." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2017. http://www.theses.fr/2017SACLN063/document.

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Abstract:

De nombreux problèmes de mécanique des structures nécessitent la résolution de plusieurs problèmes numériques semblables. Une approche itérative de type réduction de modèle, la Proper Generalized Decomposition (PGD), permet de déterminer l’ensemble des solutions en une fois, par l’introduction de paramètres supplémentaires. Cependant, un frein majeur à son utilisation dans le monde industriel est l’absence d’estimateur d’erreur robuste permettant de mesurer la qualité des solutions obtenues. L’approche retenue s’appuie sur le concept d’erreur en relation de comportement. Cette méthode consiste à construire des champs admissibles, assurant ainsi l’aspect conservatif et garanti de l’estimation de l’erreur en réutilisant le maximum d’outils employés dans le cadre éléments finis. La possibilité de quantifier l’importance des différentes sources d’erreur (réduction et discrétisation) permet de plus de piloter les principales stratégies de résolution PGD. Deux stratégies ont été proposées dans ces travaux. La première s’est principalement limitée à post-traiter une solution PGD pour construire une estimation de l’erreur commise, de façon non intrusive pour les codes PGD existants. La seconde consiste en une nouvelle stratégie PGD fournissant une approximation améliorée couplée à une estimation de l’erreur commise. Les diverses études comparatives sont menées dans le cadre des problèmes linéaires thermiques et en élasticité. Ces travaux ont également permis d’optimiser les méthodes de construction de champs admissibles en substituant la résolution de nombreux problèmes semblables par une solution PGD, exploitée comme un abaque Many structural mechanics problems require the resolution of several similar numerical problems. An iterative model reduction approach, the Proper Generalized Decomposition (PGD), enables the control of the main solutions at once, by the introduction of additional parameters. However, a major drawback to its use in the industrial world is the absence of a robust error estimator to measure the quality of the solutions obtained.The approach used is based on the concept of constitutive relation error. This method consists in constructing admissible fields, thus ensuring the conservative and guaranteed aspect of the estimation of the error by reusing the maximum number of tools used in the finite elements framework. The ability to quantify the importance of the different sources of error (reduction and discretization) allows to control the main strategies of PGD resolution.Two strategies have been proposed in this work. The first was limited to post-processing a PGD solution to construct an estimate of the error committed, in a non-intrusively way for existing PGD codes. The second consists of a new PGD strategy providing an improved approximation associated with an estimate of the error committed. The various comparative studies are carried out in the context of linear thermal and elasticity problems.This work also allowed us to optimize the admissible fields construction methods by substituting the resolution of many similar problems by a PGD solution, exploited as a virtual chart

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Dabaghi, Jad. "Estimations d’erreur a posteriori pour des inégalités variationnelles : application à un écoulement diphasique en milieu poreux." Thesis, Sorbonne université, 2019. http://www.theses.fr/2019SORUS076.

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Abstract:

Dans cette thèse, nous considérons des inégalités variationnelles qui s'interprètent comme des équations aux dérivées partielles avec contraintes de complémentarité. Nous construisons des estimateurs d'erreur a posteriori pour des discrétisations utilisant la méthode des éléments finis et volumes finis, et des linéarisations inexactes faisant appel aux méthodes de Newton semi-lisse et à des solveurs algébriques quelconques. Nous considérons tout d'abord un problème modèle de contact entre deux membranes, puis une inégalité variationnelle parabolique et enfin un écoulement diphasique compositionnel avec changement de phases comme application industrielle. Dans le premier chapitre, nous considérons un problème stationnaire de contact entre deux membranes. Ce problème s'inscrit dans la large gamme des inégalités variationnelles de première espèce. Nous discrétisons notre modèle par la méthode des éléments finis conformes d'ordre p ≥ 1 et nous proposons deux formulations discrètes équivalentes~: la première sous la forme d'une inégalité variationnelle et la seconde sous la forme d'un problème de type point-selle. Nous introduisons la différentiabilité au sens de Clarke pour traiter les non linéarités non différentiables. Cela permet d'utiliser des algorithmes de linéarisation de type Newton semi-lisse. Ensuite, un solveur itératif algébrique quelconque est utilisé pour le système linéaire obtenu. En utilisant la méthodologie de la reconstruction des flux équilibrés dans l'espace H(div,Ω), nous obtenons une borne supérieure de l'erreur totale dans la semi-norme d'énergie sur l'espace H01(Ω). Cette borne est entièrement calculable à chaque pas du solveur de linéarisation semi-lisse et à chaque pas du solveur d'algèbre linéaire. Notre estimation d'erreur distingue en particulier les trois composantes de l'erreur, à savoir l'erreur de discrétisation (éléments finis), l'erreur de linéarisation (algorithme de Newton semi-lisse) et l'erreur d'algèbre linéaire (algorithme GMRES). Nous formulons ensuite des critères d'arrêts adaptatifs pour chaque solveur utilisé dans le but de réduire le nombre d'itérations. Nous prouvons également l'efficacité locale de nos estimateurs dans le contexte semi-lisse inexact modulo un terme de contact qui s'avère négligeable. Nos essais numériques illustrent la précision de nos estimations et le gain en terme de nombre d'itérations et témoignent de la performance de notre méthode adaptative semi-lisse inexacte. Dans le second chapitre, nous nous intéressons à construire des estimations d'erreur a posteriori pour une inégalité variationnelle parabolique comme extension du premier chapitre au cas instationnaire. Nous discrétisons notre modèle en utilisant la méthode des éléments finis conformes d'ordre p ≥ 1 en espace et le schéma d'Euler rétrograde en temps. Pour traiter les non linéarités, nous utilisons à nouveau des algorithmes de linéarisation de type Newton semi-lisse et nous employons également un solveur itératif algébrique quelconque pour le système linéaire obtenu. En utilisant la méthodologie de la reconstruction des flux équilibrés dans l'espace H(div,Ω), nous obtenons, quand p=1, et à convergence du solveur de linéarisation semi-lisse et d'algèbre linéaire, une borne supérieure de l'erreur totale dans la norme d'énergie sur l'espace L²(0,T;H01(Ω)). De plus, nous estimons dans ce cas du mieux possible l'erreur en dérivée temporelle dans la norme d'énergie L²(0,T;H^{-1}(Ω)). Dans le cas p ≥ 1, et à un pas quelconque des solveurs linéaires et non linéaires, nous présentons une estimation d'erreur a posteriori dans la norme d'énergie L²(0,T;H01(Ω))). Nous distinguons dans ce cas les composantes de l'erreur totale, à savoir l'erreur de discrétisation, l'erreur de linéarisation et l'erreur d'algèbre linéaire. Cela permet en particulier de formuler des critères d'arrêts adaptatifs dans le but de réduire le nombre d'itérations. Dans le troisième chapitre, [...] In this thesis, we consider variational inequalities in the form of partial differential equations with complementarity constraints. We construct a posteriori error estimates for discretizations using the finite element method and the finite volume method, for inexact linearizations employing any semismooth Newton solver and any iterative linear algebraic solver. First, we consider the model problem of contact between two membranes, next we consider its extension into a parabolic variational inequality, and to finish we treat a two-phase compositional flow with phase transition as an industrial application. In the first chapter, we consider the stationnary problem of contact between two membranes. This problem belongs to the wide range of variational inequalities of the first kind. Our discretization is based on the finite element method with polynomials of order p ≥ 1, and we propose two discrete equivalent formulations: the first one as a variational inequality, and the second one as a saddle-point-type problem. We employ the Clarke differential so as to treat the nondifferentiable nonlinearities. It enables us to use semismooth Newton algorithms. Next, any iterative linear algebraic solver is used for the linear system stemming from the discretization. Employing the methodology of equilibrated flux reconstructions in the space H(div,Ω), we get an upper bound on the total error in the energy norm H01(Ω). This bound is fully computable at each semismooth Newton step and at each linear algebraic step. Our estimation distinguishes in particular the three components of the error, namely the discretization error (finite elements), the linearization error (semismooth Newton method), and the algebraic error (GMRES algorithm). We then formulate adaptive stopping criteria for our solvers to ultimately reduce the number of iterations. We also prove, in the inexact semismooth context, the local efficiency property of our estimators, up to a contact term that appears negligeable in numerics. Our numerical experiments illustrate the accuracy of our estimates and the reduction of the number of necessary iterations. They also show the performance of our adaptive inexacte semismooth Newton method. In the second chapter, we are interested in deriving a posteriori error estimates for a parabolic variational inequality and we consider the extension of the model of the first chapter to the unsteady case. We discretize our model using the finite element method of order p ≥ 1 in space and the backward Euler scheme in time. To treat the nonlinearities, we use again semismooth Newton algorithms, and we also employ an iterative algebraic solver for the linear system stemming from the discretization. Using the methodology of equilibrated flux reconstructions in the space H(div,Ω), we obtain, when p=1 and at convergence of the semismooth solver and the algebraic solver, an upper bound for the total error in the energy norm L²(0,T; H01(Ω)). Furthermore, we estimate in this case the time derivative error in a norm close to the energy norm L^2(0,T;H^{-1}(Ω)). In the case p ≥ 1, we present an a posteriori error estimate valid at each semismooth Newton step and at each linear algebraic step in the norm L²(0,T;H01(Ω)). We distinguish in this case the components of the total error, namely the discretization error, the linearization error, and the algebraic error. In particular, it enables us to devise adaptive stopping criteria for our solvers which reduces the number of iterations. In the third chapter, [...]

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Yousef, Soleiman. "Etude d’estimations d’erreur a posteriori et d’adaptivité basée sur des critères d’arrêt et raffinement de maillages pour des problèmes d’écoulements multiphasiques et thermiques : Application aux procédés de récupération assistée d’huile." Paris 6, 2013. http://www.theses.fr/2013PA066616.

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Abstract:

L'objectif de cette thèse est l'analyse d'erreur a posteriori et la proposition de stratégies d'adaptivité basées sur des critères d'arrêt et de raffinement local de maillage. Nous traitons une classe d'équations paraboliques dégénérées multidimensionnelles modélisant des problèmes importants pour l'industrie. Les modèles considérés sont discrétisé en espace par une méthode de volume finis et la méthode d'Euler implicite en temps. Nous démontrons une borne supérieure d’une norme duale du résidu augmentée d'un terme qui tient compte de la non-conformité de la méthode de discrétisation, par des estimateurs d'erreur entièrement calculables. Ces estimateurs comprennent: un estimateur associé à l'erreur d'une méthode de linéarisation (par exemple, la méthode de Newton), un estimateur associé à l'erreur d’une résolution algébrique du système linéarisé (par exemple la méthode GMRes), un estimateur associé à l'erreur en temps et un estimateur associé à l'erreur du schéma en espace. Par conséquent, ces estimateurs permettent de formuler un algorithme adaptatif de résolution où les erreurs associées peuvent être équilibrées. Nous proposons également une stratégie de raffinement local de maillages. Enfin, nous prouvons l'efficacité de nos estimations d'erreur a posteriori. Des tests numériques illustre l'efficacité de nos estimateurs et la performance de l'algorithme adaptatif. En particulier, des gains significatifs sont réalisés en terme du nombre de mailles nécessaires pour la simulation, du nombre total des itérations de linéarisation et du nombre total des itérations du solveur algébrique sur des exemples réalistes d'ingénierie de réservoir The goal of this thesis is the a posteriori error analysis and the conception of adaptive strategies based on stopping criteria and local mesh refinement. We treat a class of multi-dimensional degenerate parabolic equations which represent typical examples of industrial interest. The considered models are discretized by a finite volume scheme in space with the backward Euler temporal stepping. We prove un upper bound for a dual norm of the residual, augmented by a nonconformity evaluation term, by fully computable error estimators. These estimators include: an estimator associated to the linearization error, an estimator associated to the algebraic error, an estimator associated to the temporal error, and an estimator associated to the spatial error. Consequently, these estimators allow to formulate an adaptive resolution algorithm where the corresponding errors can be equilibrated. We also propose a strategy of local mesh reffinement. Finally, we prove the efficiency of our a posteriori estimates. A numerical test illustrates the efficiency of our estimates and the performance of the adaptive algorithm. In particular, a significant gain in terms of the number of mesh cells, the total number of the iterations of the linearization method, and the total number of algebraic solver iterations is achieved on several real-life reservoir engineering examples

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Tirvaudey, Marie. "Couplage AIG/MEG pour l'analyse de détails structuraux par une approche non intrusive et certifiée." Thesis, Toulouse, INSA, 2019. http://www.theses.fr/2019ISAT0016/document.

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Abstract:

Dans le contexte industriel actuel, où la simulation numérique joue un rôle majeur, de nombreux outils sont développés afin de rendre les calculs les plus performants et exacts possibles en utilisant les ressources numériques de façon optimale. Parmi ces outils, ceux non-intrusifs, c’est-à-dire ne modifiant pas les codes commerciaux disponibles mais permettant d’utiliser des méthodes de résolution avancées telles que l’analyse isogéométrique ou les couplages multi-échelles, apparaissent parmi les plus attirants pour les industriels. L’objectif de cette thèse est ainsi de coupler l’Analyse IsoGéométrique (AIG) et la Méthode des Éléments Finis (MEF) standard pour l’analyse de détails structuraux par une approche non-intrusive et certifiée. Dans un premier temps, on développe un lien global approché entre les fonctions de Lagrange, classiquement utilisées en éléments finis et les fonctions NURBS bases de l’AIG, ce qui permet d’implémenter des analyses isogéométriques dans un code industriel EF vu comme une boîte noire. Au travers d’exemples linéaires et non-linéaires implémentés dans le code industriel Code_Aster de EDF, nous démontrons l’efficacité de ce pont AIG\MEF et les possibilités d’applications industrielles. Il est aussi démontré que ce lien permet de simplifier l’implémentation du couplage non-intrusif entre un problème global isogéométrique et un problème local éléments finis. Ensuite, le concept de couplage non-intrusif entre les méthodes étant ainsi possible, une stratégie d’adaptation est mise en place afin de certifier ce couplage vis-à-vis d’une quantité d’intérêt. Cette stratégie d’adaptation est basée sur des méthodes d’estimation d’erreur a posteriori. Un estimateur global et des indicateurs d’erreur d’itération, de modèle et de discrétisation permettent de piloter la définition du problème couplé. La méthode des résidus est utilisée pour évaluer ces erreurs dans des cas linéaires, et une extension aux problèmes non-linéaires via le concept d’Erreur en Relation de Comportement (ERC) est proposée In the current industrial context where the numerical simulation plays a major role, a large amount of tools are developed in order to perform accurate and effective simulations using as less numerical resources as possible. Among all these tools, the non-intrusive ones which do not modify the existing structure of commercial softwares but allowing the use of advanced solving methods, such as isogeometric analysis or multi-scale coupling, are the more attractive to the industry. The goal of these thesis works is thus the coupling of the Isogeometric Analysis (IGA) with the Finite Element Method (FEM) to analyse structural details with a non-intrusive and certified approach. First, we develop an approximate global link between the Lagrange functions, commonly used in the FEM, and the NURBS functions on which the IGA is based. It’s allowed the implementation of isogeometric analysis in an existing finite element industrial software considering as a black-box. Through linear and nonlinear examples implemented in the industrial software Code_Aster of EDF, we show the efficiency of the IGA\FEM bridge and all the industrial applications that can be made. This link is also a key to simplify the non-intrusive coupling between a global isogeometric problem and a local finite element problem. Then, as the non-intrusive coupling between both methods is possible, an adaptive process is introduced in order to certify this coupling regarding a quantity of interest. This adaptive strategy is based on a posteriori error estimation. A global estimator and indicators of iteration, model and discretization error sources are computed to control the definition of the coupled problem. Residual base methods are performed to estimated errors for linear cases, an extension to the concept of constitutive relation errors is also initiated for non-linear problems

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Parret-Fréaud, Augustin. "Estimation d'erreur de discrétisation dans les calculs par décomposition de domaine." Thesis, Cachan, Ecole normale supérieure, 2011. http://www.theses.fr/2011DENS0022/document.

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Abstract:

Le contrôle de la qualité des calculs de structure suscite un intérêt croissant dans les processus de conception et de certification. Il repose sur l'utilisation d'estimateurs d'erreur, dont la mise en pratique entraîne un sur-coût numérique souvent prohibitif sur des calculs de grande taille. Le présent travail propose une nouvelle procédure permettant l'obtention d'une estimation garantie de l'erreur de discrétisation dans le cadre de problèmes linéaires élastiques résolus au moyen d'approches par décomposition de domaine. La méthode repose sur l'extension du concept d'erreur en relation de comportement au cadre des décompositions de domaine sans recouvrement, en s'appuyant sur la construction de champs admissibles aux interfaces. Son développement dans le cadre des approches FETI et BDD permet d'accéder à une mesure pertinente de l'erreur de discrétisation bien avant convergence du solveur lié à la décomposition de domaine. Une extension de la procédure d'estimation aux problèmes hétérogènes est également proposée. Le comportement de la méthode est illustré et discuté sur plusieurs exemples numériques en dimension 2 The control of the quality of mechanical computations arouses a growing interest in both design and certification processes. It relies on error estimators the use of which leads to often prohibitive additional numerical costs on large computations. The present work puts forward a new procedure enabling to obtain a guaranteed estimation of discretization error in the setting of linear elastic problems solved by domain decomposition approaches. The method relies on the extension of the constitutive relation error concept to the framework of non-overlapping domain decomposition through the recovery of admissible interface fields. Its development within the framework of the FETI and BDD approaches allows to obtain a relevant estimation of discretization error well before the convergence of the solver linked to the domain decomposition. An extension of the estimation procedure to heterogeneous problems is also proposed. The behaviour of the method is illustrated and assessed on several numerical examples in 2 dimension

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Giacomini, Matteo. "Quantitative a posteriori error estimators in Finite Element-based shape optimization." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2016. http://www.theses.fr/2016SACLX070/document.

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Abstract:

Les méthodes d’optimisation de forme basées sur le gradient reposent sur le calcul de la dérivée de forme. Dans beaucoup d’applications, la fonctionnelle coût dépend de la solution d’une EDP. Il s’en suit qu’elle ne peut être résolue exactement et que seule une approximation de celle-ci peut être calculée, par exemple par la méthode des éléments finis. Il en est de même pour la dérivée de forme. Ainsi, les méthodes de gradient en optimisation de forme - basées sur des approximations du gradient - ne garantissent pas a priori que la direction calculée à chaque itération soit effectivement une direction de descente pour la fonctionnelle coût. Cette thèse est consacrée à la construction d’une procédure de certification de la direction de descente dans des algorithmes de gradient en optimisation de forme grâce à des estimations a posteriori de l’erreur introduite par l’approximation de la dérivée de forme par la méthode des éléments finis. On présente une procédure pour estimer l’erreur dans une Quantité d’Intérêt et on obtient une borne supérieure certifiée et explicitement calculable. L’Algorithme de Descente Certifiée (CDA) pour l’optimisation de forme identifie une véritable direction de descente à chaque itération et permet d’établir un critère d’arrêt fiable basé sur la norme de la dérivée de forme. Deux applications principales sont abordées dans la thèse. Premièrement, on considère le problème scalaire d’identification de forme en tomographie d’impédance électrique et on étudie différentes estimations d’erreur. Une première approche est basée sur le principe de l’énergie complémentaire et nécessite la résolution de problèmes globaux additionnels. Afin de réduire le coût de calcul de la procédure de certification, une estimation qui dépend seulement de quantités locales est dérivée par la reconstruction des flux équilibrés. Après avoir validé les estimations de l’erreur pour un cas bidimensionnel, des résultats numériques sont présentés pour tester les méthodes discutées. Une deuxième application est centrée sur le problème vectoriel de la conception optimale des structures élastiques. Dans ce cadre figure, on calcule l’expression volumique de la dérivée de forme de la compliance à partir de la formulation primale en déplacements et de la formulation duale mixte pour l’équation de l’élasticité linéaire. Quelques résultats numériques préliminaires pour la minimisation de la compliance sous une contrainte de volume en 2D sont obtenus à l’aide de l’Algorithme de Variation de Frontière et une estimation a posteriori de l’erreur de la dérivée de forme basée sur le principe de l’énergie complémentaire est calculée Gradient-based shape optimization strategies rely on the computation of the so-called shape gradient. In many applications, the objective functional depends both on the shape of the domain and on the solution of a PDE which can only be solved approximately (e.g. via the Finite Element Method). Hence, the direction computed using the discretized shape gradient may not be a genuine descent direction for the objective functional. This Ph.D. thesis is devoted to the construction of a certification procedure to validate the descent direction in gradient-based shape optimization methods using a posteriori estimators of the error due to the Finite Element approximation of the shape gradient.By means of a goal-oriented procedure, we derive a fully computable certified upper bound of the aforementioned error. The resulting Certified Descent Algorithm (CDA) for shape optimization is able to identify a genuine descent direction at each iteration and features a reliable stopping criterion basedon the norm of the shape gradient.Two main applications are tackled in the thesis. First, we consider the scalar inverse identification problem of Electrical Impedance Tomography and we investigate several a posteriori estimators. A first procedure is inspired by the complementary energy principle and involves the solution of additionalglobal problems. In order to reduce the computational cost of the certification step, an estimator which depends solely on local quantities is derived via an equilibrated fluxes approach. The estimators are validated for a two-dimensional case and some numerical simulations are presented to test the discussed methods. A second application focuses on the vectorial problem of optimal design of elastic structures. Within this framework, we derive the volumetric expression of the shape gradient of the compliance using both H 1 -based and dual mixed variational formulations of the linear elasticity equation. Some preliminary numerical tests are performed to minimize the compliance under a volume constraint in 2D using the Boundary Variation Algorithm and an a posteriori estimator of the error in the shape gradient is obtained via the complementary energy principle

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Pled, Florent. "Vers une stratégie robuste et efficace pour le contrôle des calculs par éléments finis en ingénierie mécanique." Phd thesis, École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00776633.

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Abstract:

Ce travail de recherche vise à contribuer au développement de nouveaux outils d'estimation d'erreur globale et locale en ingénierie mécanique. Les estimateurs d'erreur globale étudiés reposent sur le concept d'erreur en relation de comportement à travers des techniques spécifiques de construction de champs admissibles, assurant l'aspect conservatif ou garanti de l'estimation. Une nouvelle méthode de construction de champs admissibles est mise en place et comparée à deux autres méthodes concurrentes, en matière de précision, coût de calcul et facilité d'implémentation dans les codes éléments finis. Une amélioration de cette nouvelle méthode hybride fondée sur une minimisation locale de l'énergie complémentaire est également proposée. Celle-ci conduit à l'introduction et à l'élaboration de critères géométriques et énergétiques judicieux, permettant un choix approprié des régions à sélectionner pour améliorer localement la qualité des champs admissibles. Dans le cadre des estimateurs d'erreur locale basés sur l'utilisation conjointe des outils d'extraction et des estimateurs d'erreur globale, deux nouvelles techniques d'encadrement de l'erreur en quantité d'intérêt sont proposées. Celles-ci sont basées sur le principe de Saint-Venant à travers l'emploi de propriétés spécifiques d'homothétie, afin d'améliorer la précision des bornes d'erreur locale obtenues à partir de la technique d'encadrement classique fondée sur l'inégalité de Cauchy-Schwarz. Les diverses études comparatives sont menées dans le cadre des problèmes d'élasticité linéaire en quasi-statique. Le comportement des différents estimateurs d'erreur est illustré et discuté sur des exemples numériques tirés d'applications industrielles. Les travaux réalisés constituent des éléments de réponse à la problématique de la vérification dans un contexte industriel.

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Thai, Hoang phuong. "Sur l'utilisation de l'analyse isogéométrique en mécanique linéaire ou non-linéaire des structures : certification des calculs et couplage avec la réduction de modèle PGD." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2019. http://www.theses.fr/2019SACLN017/document.

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Abstract:

Le sujet de la thèse porte sur la mise en place d’approches numériques avancées pour la simulation et l’optimisation de structures mécaniques présentant une géométrie complexe. Il se focalise sur l’analyse isogéométrique (IGA) qui a reçu beaucoup d’intérêt cette dernière décennie dû à sa grande flexibilité, précision, et robustesse dans de nombreux contextes industriels comparé à la méthode des éléments finis (FEA) classique. En particulier, la technologie IGA fournit un lien direct avec les logiciels de CAO (les mêmes fonctions sont utilisées pour la représentation de la géométrie et l’analyse numérique) et facilite les procédures de maillage.Dans ce contexte, et comme première partie du travail, une méthode de vérification basée sur la dualité et le concept d’erreur en relation de comportement (ERC) est proposé. Il permet d’obtenir des estimateurs d’erreur a posteriori à la fois garantis et entièrement calculables pour les solutions numériques issues de simulation par IGA. Ces estimateurs, valables pour une large gamme de modèles linéaires ou non-linéaires en mécanique des structures, constituent donc des outils performants et utiles pour le contrôle quantitatif de la qualité numérique et pour la conduite de procédures adaptatives. Un intérêt particulier est porté sur la construction de champs équilibrés, qui est un point clé du concept ERC, et qui jusqu’à présent était essentiellement développée dans le cadre de la méthode des éléments finis. L’extension au contexte IGA nécessite d’aborder plusieurs problèmes techniques, liés à l’utilisation de fonctions de base B-Spline/NURBS. Le concept ERC est aussi mis en oeuvre avec les techniques d’adjoint pour faire de l’estimation d’erreur sur des quantités d’intérêt.Dans une seconde partie du travail, la technologie IGA est couplée avec une procédure de réduction de modèle pour obtenir des solutions certifiées, et en temps réel, de problèmes avec une géométrie paramétrée. Après avoir défini le paramétrage sur la transformation permettant de passer de l’espace paramétrique IGA à l’espace physique, un modèle réduit basé sur la technique PGD (Proper Generalized Decomposition) est introduit pour résoudre le problème multi-dimensionnel. Avec une stratégie hors-ligne/en-ligne, la procédure permet alors de décrire l’ensemble des solutions paramétrées avec un coût de calcul réduit, et de faire de l’optimisation de forme en temps réel. Ici encore, l’estimation a posteriori des diverses sources d’erreur venant de la discrétisation et de la réduction de modèle PGD est menée à partir du concept ERC. Cela permet de contrôler la qualité de la solution PGD approchée (globalement ou sur des quantités d’intérêt), pour toute configuration géométrique, et de nourrir un algorithme adaptatif qui optimise l’effort de calcul pour une tolérance d’erreur donnée.Le travail de recherche dans son ensemble fournit donc des outils pertinents et pratiques pour les activités de simulation en ingénierie mécanique. Le potentiel et les performances de ces outils sont montrés à travers plusieurs exemples numériques impliquant des problèmes académiques et industriels, et des modèles linéaires et non-linéaires (endommagement) The topic of the PhD thesis deals with the construction of advanced numerical approaches for the simulation and optimization of mechanical structures with complex geometry. It focuses on the Isogeometric Analysis (IGA) technology which has received much attention of the last decade due to its increased flexibility, accuracy, and robustness in many engineering simulations compared to classical Finite Element Analysis (FEA). In particular, IGA enables a direct link with CAD software (the same functions are used for both analysis and geometry) and facilitates meshing procedures.In this framework, and as a first part of the work, a verification method based on duality and the concept of Constitutive Relation Error (CRE) is proposed. It enables to derive guaranteed and fully computable a posteriori error estimates on the numerical solution provided by IGA. Such estimates, which are valid for a wide class of linear or nonlinear structural mechanics models, thus constitute performing and useful tools to quantitatively control the numerical accuracy and drive adaptive procedures. The focus here is on the construction of equilibrated flux fields, which is key ingredient of the CRE concept, and which was until now almost exclusively developed in the FEA framework alone. The extension to IGA requires to address some technical issues, due to the use of B-Spline/NURBS basis functions. The CRE concept is also implemented together with adjoint techniques in order to perform goal-oriented error estimation.In a second part, IGA is coupled with model reduction in order to get certified real-time solutions to problems with parameterized geometry. After defining the parametrization on the mapping from the IGA parametric space to the physical space, a reduced model based on the Proper Generalized Decomposition (PGD) is introduced to solve the multi-dimensional problem. From an offline/online strategy, the procedure then enables to describe the manifold of parametric solutions with reduced CPU cost, and to further perform shape optimization in real-time. Here again, a posteriori estimation of the various error sources inheriting from discretization and PGD model reduction is performed from the CRE concept. It enables to control the quality of the approximate PGD solution (globally or on outputs of interest), for any geometry configuration, and to feed a robust greedy algorithm that optimizes the computational effort for a prescribed error tolerance.The overall research work thus provides for reliable and practical tools in mechanical engineering simulation activities. Capabilities and performance of these tools are shown on several numerical experiments with academic and engineering problems, and with linear and nonlinear (damage) models

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Essongue-Boussougou, Simon. "Méthode des éléments finis augmentés pour la rupture quasi-fragile : application aux composites tissés à matrice céramique." Thesis, Bordeaux, 2017. http://www.theses.fr/2017BORD0018/document.

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Abstract:

Le calcul de la durée de vie des Composites tissés à Matrice Céramique (CMC) nécessite de déterminer l’évolution de la densité de fissures dans le matériau(pouvant atteindre 10 mm-1). Afin de les représenter finement on se propose de travailler à l’échelle mésoscopique. Les méthodes de type Embedded Finite Element (EFEM) nous ont paru être les plus adaptées au problème. Elles permettent une représentation discrète des fissures sans introduire de degrés de liberté additionnels.Notre choix s’est porté sur une EFEM s’affranchissant d’itérations élémentaires et appelée Augmented Finite Element Method (AFEM). Une variante d’AFEM, palliant des lacunes de la méthode originale, a été développée. Nous avons démontré que,sous certaines conditions, AFEM et la méthode des éléments finis classique (FEM) étaient équivalentes. Nous avons ensuite comparé la précision d’AFEM et de FEM pour représenter des discontinuités fortes et faibles. Les travaux de thèse se concluent par des exemples d’application de la méthode aux CMC Computing the lifetime of woven Ceramic Matrix Composites (CMC) requires evaluating the crack density in the material (which can reach 10 mm-1). Numerical simulations at the mesoscopic scale are needed to precisely estimate it. Embedded Finite Element Methods (EFEM) seem to be the most appropriate to do so. They allow for a discrete representation of cracks with no additional degrees of freedom.We chose to work with an EFEM free from local iterations named the Augmented Finite Element Method (AFEM). Improvements over the original AFEM have been proposed. We also demonstrated that, under one hypothesis, the AFEM and the classical Finite Element Method (FEM) are fully equivalent. We then compare the accuracy of the AFEM and the classical FEM to represent weak and strong discontinuities. Finally, some examples of application of AFEM to CMC are given

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Liu, Hao. "Stratégie de raffinement automatique de maillage et méthodes multi-grilles locales pour le contact : application à l'interaction mécanique pastille-gaine." Thesis, Aix-Marseille, 2016. http://www.theses.fr/2016AIXM4720/document.

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Abstract:

Ce travail de thèse s’inscrit dans le cadre de l’étude de l’Interaction mécanique Pastille-Gaine (IPG) se produisant dans les crayons combustibles des réacteurs à eau pressurisée. Ce mémoire porte sur le développement de méthodes de raffinement de maillage permettant de simuler plus précisément le phénomène d’IPG tout en conservant des temps de calcul et un espace mémoire acceptables pour des études industrielles. Une stratégie de raffinement automatique basée sur la combinaison de la méthode multi-grilles Local Defect Correction (LDC) et l’estimateur d’erreur a posteriori de type Zienkiewicz et Zhu est proposée. Cette stratégie s’appuie sur l’erreur fournie par l’estimateur pour détecter les zones à raffiner constituant alors les sous-grilles locales de la méthode LDC. Plusieurs critères d’arrêt sont étudiés afin de permettre de stopper le raffinement quand la solution est suffisamment précise ou lorsque le raffinement n’apporte plus d’amélioration à la solution globale.Les résultats numériques obtenus sur des cas tests 2D élastiques avec discontinuité de chargement permettent d’apprécier l’efficacité de la stratégie proposée.Le raffinement automatique de maillage dans le cas de problèmes de contact unilatéral est ensuite abordé. La stratégie proposée dans ce travail s’étend aisément au raffinement multi-corps à condition d’appliquer l’estimateur d’erreur sur chacun des corps séparément. Un post-traitement est cependant souvent nécessaire pour garantir la conformité des zones de raffinement vis-à-vis des frontières de contact. Une variété de tests numériques de contact entre solides élastiques confirme l’efficacité et la généricité de la stratégie proposée This Ph.D. work takes place within the framework of studies on Pellet-Cladding mechanical Interaction (PCI) which occurs in the fuel rods of pressurized water reactor. This manuscript focuses on automatic mesh refinement to simulate more accurately this phenomena while maintaining acceptable computational time and memory space for industrial calculations. An automatic mesh refinement strategy based on the combination of the Local Defect Correction multigrid method (LDC) with the Zienkiewicz and Zhu a posteriori error estimator is proposed. The estimated error is used to detect the zones to be refined, where the local subgrids of the LDC method are generated. Several stopping criteria are studied to end the refinement process when the solution is accurate enough or when the refinement does not improve the global solution accuracy anymore.Numerical results for elastic 2D test cases with pressure discontinuity shows the efficiency of the proposed strategy.The automatic mesh refinement in case of unilateral contact problems is then considered. The strategy previously introduced can be easily adapted to the multibody refinement by estimating solution error on each body separately. Post-processing is often necessary to ensure the conformity of the refined areas regarding the contact boundaries. A variety of numerical experiments with elastic contact (with or without friction, with or without an initial gap) confirms the efficiency and adaptability of the proposed strategy

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Tittarelli, Roberta. "Estimateurs d'erreur a posteriori pour les équations de Maxwell en formulation temporelle et potentielle." Thesis, Lille 1, 2016. http://www.theses.fr/2016LIL10092/document.

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Abstract:

Cette thèse porte sur le développement d’estimateurs d'erreur a posteriori pour la résolution numérique par éléments finis de problèmes en électromagnétisme basse fréquence. On s’intéresse aux formulations en potentiels (A-φ et T-Ω) des équations de Maxwell en régime quasi-stationnaire, pour le cas harmonique ou temporel. L'enjeu consiste à développer des outils numériques mathématiquement robustes, exploitables dans un code de calcul industriel, notamment le Code_Carmel3D (EDF R&D), permettant d'estimer l'erreur de discrétisation spatio-temporelle et de pouvoir ainsi améliorer la précision des calculs. On prouve la fiabilité, assurant le contrôle de l’erreur. On prouve également dans certains cas l’efficacité locale, permettant de repérer les zones du maillage dans lesquelles l’erreur est la plus importante, et de mettre ainsi en œuvre des stratégies de raffinement adaptatif. L'équivalence globale entre l'erreur en norme énergétique et l'estimateur est en général assurée. Les estimateurs obtenus sont finalement utilisés pour des simulations physiques/industrielles par le Code_Carmel3D This thesis focus on the developement of a posteriori error estimators for the finite element numerical resolution of low frequency electromagnetic problems. We are interested in two potential formulations of the Maxwell's equations in the quasi-static approximation, known as A-φ et T-Ω formulations, for both harmonic and temporal regimes. The challenge consists in developing numerical tools mathematically robust, usable in an industrial code allowing the estimation of the spatio-temporal error discretisation and the improvement of the quality and the cost of the computation. We prove the reliability of the proposed error estimators, which ensures an upper bound for the error in the energy norm. In some cases we also prove the local efficicency of the estimators, which allows to detect the zones where the error is the highest, so that an adaptive remeshing process can be set up. Anyway, the global equivalence between the energy error norm and the estimator is derived. The developed error estimators are finally used for physical and industrial numerical simulations in Code_Carmel3D (EDF R&D)

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Tang, Zuqi. "Estimateurs d’erreur a posteriori résiduels en éléments finis pour la résolution de problèmes d’électromagnétisme en formulations potentielles." Thesis, Lille 1, 2012. http://www.theses.fr/2012LIL10136/document.

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Abstract:

Ce travail s’intéresse à la résolution numérique par éléments finis des équations de Maxwell en régime quasi-stationnaire et en formulations potentielles. L’objectif poursuivi consiste à développer des estimateurs d’erreur a posteriori résiduels, afin de contrôler l’erreur de discrétisation spatiale, dans le cadre d’applications en régime statique ou en régime dynamique harmonique.La première partie de cette thèse est composée de deux chapitres. Le premier est consacré à la modélisation des phénomènes physiques étudiés et à l’obtention des équations mathématiques en résultant. Dans le second, on présente les estimateurs a posteriori et leur intérêt dans le cadre de la mise en oeuvre de la méthode des éléments finis. On détaille notamment les notions de fiablité et d’efficacité d’un estimateur. La deuxième partie se décompose en trois chapitres. Le premier développe l’estimateur a posteriori dans le cas de la magnétostatique en formulation potentielle vecteur A. Les outils mathématiques nécessaires à l’étude sont en particulier détaillés. L’estimateur obtenu est alors validé sur quelques cas tests académiques. Le deuxième traite de l’estimateur a posteriori pour la formulation magnétodynamique en potentiel A/φ en régime harmonique. Un soin particulier est apporté pour générer une décomposition de Helmholtz ad hoc permettant d’obtenir la fiabilité de l’estimateur. Plusieurs configurations sont traitées en fonction de la position du domaine conducteur dans le domaine de calcul et des conditions aux limites associées. Un test numérique est ensuite effectué. Le troisième chapitre est consacré à l’estimateur d’erreur a posteriori pour la formulation T/Ω en régime harmonique pour le problème de la magnétodynamique, en supposant le domaine conducteur simplement connexe. Similairement à la formulation A/φ, une décomposition de Helmholtz est développée pour établir la fiabilité. Une validation numérique est proposée. Enfin, la troisième partie présente une batterie de tests numériques applicatifs et industriels permettant de tester les estimateurs développés dans des conditions réelles. Celle-ci se termine notamment par une application de EDF R&D ayant pour objet le contrôle non destructif par courant de Foucault de tubes générateurs de vapeur We are interested in resolving the Maxwell equations in the case of quasi-stationary and potential formulations when the finite element method is used. The aim of this work is to develop residual-based a posteriori estimators to control the spatial discretization error in magnetostatic and magnetodynamic problems. The first part is decomposed in two chapters. In the first one, the modeling of the physical phenomena involved are proposed and the mathematical equations are derived. Then, in the second one, the definition of the a posteriori estimators and their interest are presented in the context of the finite element method. The particular notions of reliability and efficiency of an estimator are presented. The second part can be decomposed into three chapters. In the first one, a residualbased a posteriori estimator for the vector potential formulation A in the case of magnetostatic problems is developed. Some necessary mathematical tools for the study are particularly detailed. The estimator is then validated by some academic tests. In the second chapter, a residual-based a posteriori estimator for the A/φ magnetodynamic harmonic formulation is developed. An ad-hoc Helmholtz decomposition is derived to obtain the reliability of the estimator. Several configurations are considered according to the position of the conductor domain in the computational domain as well as boundary conditions used. A numerical test is then performed. In the third chapter, a residual-based a posteriori estimator is derived for the T/Ω magnetodynamic harmonic formulation, when the conductor domain is simply connected. Similarly to the A/φ formulation, an ad-hoc Helmholtz decomposition is developed to establish the reliability. A numerical validation is proposed.Finally, in the third part, a set of numerical experiments and industrial applications are presented to evaluate our estimators. It ends with a particular application of EDF R&D focusing on the eddy current non-destructive evaluation of steam generator tubes

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Ainsworth, Mark. "A posteriori error estimation in the finite element method." Thesis, Durham University, 1989. http://etheses.dur.ac.uk/6326/.

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Abstract:

The work broadly consists of two parts. In the first part we construct a framework for analyzing and developing a posteriori error estimators for use in the finite element solution of elliptic partial differential equations which have smooth solutions. The analysis makes use of complementary variational principles and the superconvergence phenomenon associated with the finite element method. The second part generalizes these results to the important case when the solution of the boundary value problem contains singularities. It is shown how the classical techniques may be easily modified to perform satisfactorily for the singular case.

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Kamel, Slimani. "Estimation a posteriori et méthode de décomposition de domaine." Thesis, Lyon, INSA, 2014. http://www.theses.fr/2014ISAL0025.

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Abstract:

Cette thèse est consacrée à l’analyse numérique en particulier aux estimations a posteriori de l’erreur dans la méthode de décomposition asymptotique partielle de domaine. Il s’agit de problèmes au dérivées partielles elliptiques linéaires et semi- linéaires avec une source qui ne dépend que d’une seule variable dans une partie du domaine. La MAPDD - Méthod of Asymptotic Partial Domain Decomposition - est une méthode inventée par Grigori . Panasenko et développée dans les références [G.P98, G.P99]. L’aidée principale est de remplacer un problème 3D ou 2D par un problème hybride combinée 3D−1D, 3D−2D ou 2D−1D, ou la dimension du problème diminue dans une partie du domaine. Des méthodes de calcul efficaces de solution pour le problème hybride en résultant sont récemment devenues disponibles pour plusieurs systèmes (linéaires/non linéaires, fluide/solide, etc.) ainsi chaque sous-problème est calcul ́ avec un code indépendant de type boîte noire [PBB10, JLB09, JLB11]. La position de la jonction entre les problèmes hétérogènes est asymptotiquement estimée dans les travaux de G. Panasenko [G.P98]. La méthode MAPDD a été conçu pour traiter des problèmes ou un petit paramètre apparaître, et fournit un développement en série de la solution avec des solutions de problèmes simplifiées à l’égard de ce petit paramètre. Dans le problème considéré dans les chapitres 3 et 4, aucun petit paramètre n’existe, mais en raison de considérations géométriques concernant le domaine on suppose que la solution ne diffère pas significativement d’une fonction qui dépend seulement d’une variable dans une partie du domaine Ω. La théorie de MAPDD n’est pas adaptée pour une telle situation, et si cette théorie est appliquée formellement elle ne fournit pas d’estimation d’erreur This thesis is devoted to numerical analysis in particular a postoriori estimates of the error in the method of asymptotic partial domain decomposition. There are problems in linear elliptic partial and semi-linear with a source which depends only of one variable in a portion of domain. Method of Asymptotic Partial Decomposition of a Domain (MAPDD) originates from the works of Grigori.Panasonko [12, 13]. The idea is to replace an original 3D or 2D problem by a hybrid one 3D − 1D; or 2D − 1D, where the dimension of the problem decreases in part of domain. Effective solution methods for the resulting hybrid problem have recently become available for several systems (linear/nonlinear, fluid/solid, etc.) which allow for each subproblem to be computed with an independent black-box code [21, 17, 18]. The location of the junction between the heterogeneous problems is asymptotically estimated in the works of Panasenko [12]. MAPDD has been designed for handling problems where a small parameter appears, and provides a series expansion of the solution with solutions of simplified problems with respect to this small parameter. In the problem considered in chapter 3 and 4, no small parameter exists, but due to geometrical considerations concerning the domain Ω it is assumed that the solution does not differ very much from a function which depends only on one variable in a part of the domain. The MAPDD theory is not suited for such a context, but if this theory is applied formally it does not provide any error estimate. The a posteriori error estimate proved in this chapter 3 and 4, is able to measure the discrepancy between the exact solution and the hybrid solution which corresponds to the zero-order term in the series expansion with respect to a small parameter when it exists. Numerically, independently of the existence of an asymptotical estimate of the location of the junction, it is essential to detect with accuracy the location of the junction. Let us also mention the interest of locating with accuracy the position of the junction in blood flows simulations [23]. Here in this chapter 3,4 the method proposed is to determine the location of the junction (i.e. the location of the boundary Γ in the example treated) by using optimization techniques. First it is shown that MAPDD can be expressed with a mixed domain decomposition formulation (as in [22]) in two different ways. Then it is proposed to use an a posteriori error estimate for locating the best position of the junction. A posteriori error estimates have been extensively used in optimization problems, the reader is referred to, e.g. [1, 11]

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Hu, Ying. "Maximum a posteriori estimation algorithms for image segmentation and restoration." Thesis, University of Essex, 1992. http://ethos.bl.uk/OrderDetails.do?uin=uk.bl.ethos.317698.

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Kunert, Gerd. "A posteriori error estimation for convection dominated problems on anisotropic meshes." Universitätsbibliothek Chemnitz, 2002. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-200200255.

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Abstract:

A singularly perturbed convection-diffusion problem in two and three space dimensions is discretized using the streamline upwind Petrov Galerkin (SUPG) variant of the finite element method. The dominant convection frequently gives rise to solutions with layers; hence anisotropic finite elements can be applied advantageously. The main focus is on a posteriori energy norm error estimation that is robust in the perturbation parameter and with respect to the mesh anisotropy. A residual error estimator and a local problem error estimator are proposed and investigated. The analysis reveals that the upper error bound depends on the alignment of the anisotropies of the mesh and of the solution. Hence reliable error estimation is possible for suitable anisotropic meshes. The lower error bound depends on the problem data via a local mesh Peclet number. Thus efficient error estimation is achieved for small mesh Peclet numbers. Altogether, error estimation approaches for isotropic meshes are successfully extended to anisotropic elements. Several numerical experiments support the analysis.

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Castellazzi, Giovanni <1975&gt. "Verification in computational structural mechanics: recovery-based a posteriori error estimation." Doctoral thesis, Alma Mater Studiorum - Università di Bologna, 2007. http://amsdottorato.unibo.it/441/.

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Russant, Stuart. "A-posteriori error estimation using higher moments in computational fluid dynamics." Thesis, University of Manchester, 2015. https://www.research.manchester.ac.uk/portal/en/theses/aposteriori-error-estimation-using-higher-moments-in-computational-fluid-dynamics(77bdb9c6-e99a-490d-9624-fdc61525d039).html.

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Abstract:

In industrial situations time is expensive and simulation accuracy is not always investigated because it requires grid refinement studies or other time consuming methods. With this in mind the goal of this research is to develop a method to assess the errors and uncertainties on computational fluid dynamics (CFD) simulations that can be adopted by industry to meet their requirements and time constraints. In a CFD calculation there are a number of sources of errors and uncertainties. An uncertainty is a potential deficiency that is due to a lack of knowledge of an activity of the modelling process, for example turbulence modelling. An error is defined as a recognisable deficiency that is not due to a lack of knowledge, for example numerical discretisation error. The process of determining the level of errors and uncertainties is termed verification and validation. The work aims to define an error estimation method for verification of numerical errors that can be produced during one simulation on a single grid. The second moment solution error estimate for scalar and vector quantities was proposed to meet these requirements. Where the governing equations of CFD, termed the first moments, represent the transport of primary variables such as the velocity, the second moments represents the transport of the primary variables squared such as the total kinetic energy. The second moments are formed by a rearrangement of the first moments. Based on a mathematical justification, an error estimate for vector or scalar quantities was defined from combinations of the solutions to the first and second moments. The error estimate was highly successful when applied to six test cases using laminar flow and scalar transport. These test cases used either central differencing with Gaussian elimination, or the finite volume method with the CFD solver Code_Saturne to conduct the simulations, demonstrating the applicability of the error estimate across solution methods. Comparisons were made to the numerical simulation errors, which were found using either the analytical or refined solutions. The comparisons were aided by the normalised cross correlation coefficient, which compared the similarity of the shape prediction, and the averaged summation coefficients, which compared the scale prediction. When using the first order upwind scheme the method consistently produced good predictions of the locations of error. When using the second order centred or second order linear upwind schemes there was similar success, but limited by influences from solution unboundedness, non-resolution of the boundary layer, the near-wall gradient approximation, and numerical pressure error. At high Reynolds numbers these caused the prediction of the location of error to degrade. This effect was made worse when using the second order schemes in conjunction with the constant value boundary condition. This was the case for the scalar or velocity simulations, and is caused by the unavoidable drop to first order accuracy during the near-wall gradient approximation that is required for the second moment source term approximation. The prediction of the scale demonstrated a dependence on the cell Peclet number. Below cell Peclet number 4 the increase of the estimate scale was linearly related to the increase of the error scale. The estimate scale consistently over-predicts by up to a factor of 3. This allows confidence that the true error level is below that which is predicted by the error estimate. At cell Peclet numbers greater than 4 the relationship between the scales remained linear, however, the estimate begins to under-predict the estimate. The exact relation becomes case dependent, and the highest under-prediction was by a factor of 10. In such circumstances a computationally inexpensive calibration can be done.

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Creusé, Emmanuel, Gerd Kunert, and Serge Nicaise. "A posteriori error estimation for the Stokes problem: Anisotropic and isotropic discretizations." Universitätsbibliothek Chemnitz, 2003. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-200300057.

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Abstract:

The paper presents a posteriori error estimators for the stationary Stokes problem. We consider anisotropic finite element discretizations (i.e. elements with very large aspect ratio) where conventional, isotropic error estimators fail. Our analysis covers two- and three-dimensional domains, conforming and nonconforming discretizations as well as different elements. This large variety of settings requires different approaches and results in different estimators. Furthermore many examples of finite element pairs that are covered by the analysis are presented. Lower and upper error bounds form the main result with minimal assumptions on the elements. The lower error bound is uniform with respect to the mesh anisotropy with the exception of nonconforming 3D discretizations made of pentahedra or hexahedra. The upper error bound depends on a proper alignment of the anisotropy of the mesh which is a common feature of anisotropic error estimation. In the special case of isotropic meshes, the results simplify, and upper and lower error bounds hold unconditionally. Some of the corresponding results seem to be novel (in particular for 3D domains), and cover element pairs of practical importance. The numerical experiments confirm the theoretical predictions and show the usefulness of the anisotropic error estimators.

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Kunert, Gerd. "A posteriori error estimation for anisotropic tetrahedral and triangular finite element meshes." Doctoral thesis, [S.l. : s.n.], 1999. http://www.bsz-bw.de/cgi-bin/xvms.cgi?SWB10324701.

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Grepl, Martin A. (Martin Alexander) 1974. "Reduced-basis approximation a posteriori error estimation for parabolic partial differential equations." Thesis, Massachusetts Institute of Technology, 2005. http://hdl.handle.net/1721.1/32387.

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Abstract:

Thesis (Ph. D.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Mechanical Engineering, 2005. Includes bibliographical references (p. 243-251). Modern engineering problems often require accurate, reliable, and efficient evaluation of quantities of interest, evaluation of which demands the solution of a partial differential equation. We present in this thesis a technique for the prediction of outputs of interest of parabolic partial differential equations. The essential ingredients are: (i) rapidly convergent reduced-basis approximations - Galerkin projection onto a space WN spanned by solutions of the governing partial differential equation at N selected points in parameter-time space; (ii) a posteriori error estimation - relaxations of the error-residual equation that provide rigorous and sharp bounds for the error in specific outputs of interest: the error estimates serve a priori to construct our samples and a posteriori to confirm fidelity; and (iii) offline-online computional procedures - in the offline stage the reduced- basis approximation is generated; in the online stage, given a new parameter value, we calculate the reduced-basis output and associated error bound. The operation count for the online stage depends only on N (typically small) and the parametric complexity of the problem; the method is thus ideally suited for repeated, rapid, reliable evaluation of input-output relationships in the many-query or real-time contexts. We first consider parabolic problems with affine parameter dependence and subsequently extend these results to nonaffine and certain classes of nonlinear parabolic problems. (cont.) To this end, we introduce a collateral reduced-basis expansion for the nonaffine and nonlinear terms and employ an inexpensive interpolation procedure to calculate the coefficients for the function approximation - the approach permits an efficient offline-online computational decomposition even in the presence of nonaffine and highly nonlinear terms. Under certain restrictions on the function approximation, we also introduce rigorous a posteriori error estimators for nonaffine and nonlinear problems. Finally, we apply our methods to the solution of inverse and optimal control problems. While the efficient evaluation of the input-output relationship is essential for the real-time solution of these problems, the a posteriori error bounds let us pursue a robust parameter estimation procedure which takes into account the uncertainty due to measurement and reduced-basis modeling errors explicitly (and rigorously). We consider several examples: the nondestructive evaluation of delamination in fiber-reinforced concrete, the dispersion of pollutants in a rectangular domain, the self-ignition of a coal stockpile, and the control of welding quality. Numerical results illustrate the applicability of our methods in the many-query contexts of optimization, characterization, and control. by Martin A. Grepl. Ph.D.

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Kunert, Gerd, Zoubida Mghazli, and Serge Nicaise. "A posteriori error estimation for a finite volume discretization on anisotropic meshes." Universitätsbibliothek Chemnitz, 2006. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:swb:ch1-200601352.

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Abstract:

A singularly perturbed reaction diffusion problem is considered. The small diffusion coefficient generically leads to solutions with boundary layers. The problem is discretized by a vertex-centered finite volume method. The anisotropy of the solution is reflected by using \emph{anisotropic meshes} which can improve the accuracy of the discretization considerably. The main focus is on \emph{a posteriori} error estimation. A residual type error estimator is proposed and rigorously analysed. It is shown to be robust with respect to the small perturbation parameter. The estimator is also robust with respect to the mesh anisotropy as long as the anisotropic mesh sufficiently reflects the anisotropy of the solution (which is almost always the case for sensible discretizations). Altogether, reliable and efficient \emph{a posteriori} error estimation is achieved for the finite volume method on anisotropic meshes.

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Loukkas, Nassim. "Synthèse d'observateurs ensemblistes pour l’estimation d’état basées sur la caractérisation explicite des bornes d’erreur d’estimation." Thesis, Université Grenoble Alpes (ComUE), 2018. http://www.theses.fr/2018GREAT040/document.

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Abstract:

Dans ce travail, nous proposons deux nouvelles approches ensemblistes pourl’estimation d’état basées sur la caractérisation explicite des bornes d’erreur d’estimation. Ces approches peuvent être vues comme la combinaison entre un observateur ponctuel et une caractérisation ensembliste de l’erreur d’estimation. L’objectif est de réduire la complexité de leur implémentation, de réduire le temps de calcul en temps réel et d’améliorer la précision et des encadrements des vecteurs d’état.La première approche propose un observateur ensembliste basé sur des ensembles invariants ellipsoïdaux pour des systèmes linéaires à temps-discret et aussi des systèmes à paramètres variables. L’approche proposée fournit un intervalle d’état déterministe qui est construit comme une somme entre le vecteur état estimé du système et les bornes de l’erreur d’estimation. L’avantage de cette approche est qu’elle ne nécessite pas la propagation des ensemble d’état dans le temps.La deuxième approche est une version intervalle de l’observateur d’état de Luenberger, pour les systèmes linéaires incertains à temps-discret, basés sur le calcul d’intervalle et les ensembles invariants. Ici, le problème d’estimation ensembliste est considéré comme un problème d’estimation d’état ponctuel couplé à une caractérisation intervalle de l’erreur d’estimation In This work, we propose two main new approaches for the set-membershipstate estimation problem based on explicit characterization of the estimation error bounds. These approaches can be seen as a combination between a punctual observer and a setmembership characterization of the observation error. The objective is to reduce the complexity of the on-line implimentation, reduce the on-line computation time and improve the accuracy of the estimated state enclosure.The first approach is a set-membership observer based on ellipsoidal invariant sets for linear discrete-time systems and also for Linear Parameter Varying systems. The proposed approach provides a deterministic state interval that is build as the sum of the estimated system states and its corresponding estimation error bounds. The important feature of the proposed approach is that does not require propagation of sets.The second approach is an interval version of the Luenberger state observer for uncertain discrete-time linear systems based on interval and invariant set computation. The setmembership state estimation problem is considered as a punctual state estimation issue coupled with an interval characterization of the estimation error

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Ludwig, Marcus John. "Finite element error estimation and adaptivity for problems of elasticity." Thesis, Brunel University, 1998. http://ethos.bl.uk/OrderDetails.do?uin=uk.bl.ethos.246151.

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Zhu, Liang. "Robust a posteriori error estimation for discontinuous Galerkin methods for convection diffusion problems." Thesis, University of British Columbia, 2010. http://hdl.handle.net/2429/23337.

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Abstract:

The present thesis is concerned with the development and practical implementation of robust a-posteriori error estimators for discontinuous Galerkin (DG) methods for convection-diffusion problems. It is well-known that solutions to convection-diffusion problems may have boundary and internal layers of small width where their gradients change rapidly. A powerful approach to numerically resolve these layers is based on using hp-adaptive finite element methods, which control and minimize the discretization errors by locally adapting the mesh sizes (h-refinement) and the approximation orders (p-refinement) to the features of the problems. In this work, we choose DG methods to realize adaptive algorithms. These methods yield stable and robust discretization schemes for convection-dominated problems, and are naturally suited to handle local variations in the mesh sizes and approximation degrees as required for hp-adaptivity. At the heart of adaptive finite element methods are a-posteriori error estimators. They provide information on the errors on each element and indicate where local refinement/derefinement should be applied. An efficient error estimator should always yield an upper and lower bound of the discretization error in a suitable norm. For convection-diffusion problems, it is desirable that the estimator is also robust, meaning that the upper and lower bounds differ by a factor that is independent of the mesh Peclet number of the problem. We develop a new approach to obtain robust a-posteriori error estimates for convection-diffusion problems for h-version and hp-version DG methods. The main technical tools in our analysis are new hp-version approximation results of an averaging operator, which are derived for irregular hexahedral meshes in three dimensions, as well as for irregular anisotropic rectangular meshes in two dimensions. We present a series of numerical examples based on C++ implementations of our methods. The numerical results indicate that the error estimator is effective in locating and resolving interior and boundary layers. For the hp-adaptive algorithms, once the local mesh size is of the same order as the width of boundary or interior layers, both the energy error and the error estimator are observed to converge exponentially fast in the number of degrees of freedom.

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ElSheikh, Ahmed H. Chidiac S. E. Smith Spencer B. "Multiscale a posteriori error estimation and mesh adaptivity for reliable finite element analysis." *McMaster only, 2007.

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Yu, Peng. "Isogeometric analysis with local adaptivity based on a posteriori error estimation for elastodynamics." Thesis, Cardiff University, 2019. http://orca.cf.ac.uk/119867/.

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Abstract:

IsoGeometric Analysis (IGA) was invented to integrate the Computer-Aided Design (CAD) and Computer-Aided Engineering (CAE) into a unified process. According to the recent research, IGA performs a super convergence in case of vibration, and especially, it perfectly addresses the Gibbs phenomenon (fluctuation) occurring in discrete spectra when using standard Finite Element Method (FEM). However, due to the tensor-product structure of Non-Uniform Rational B-Splines (NURBS), it fails to achieve the local refinement, which restricts its application to engineering fields performing local characteristics that require local refinement, such as sharp geometrical feature and/or varying material properties. In this context, the first goal of thesis is to extend the recently proposed paradigm, called Geometry Independent Field approximaTion (GIFT), to be applied in the scheme of dynamics. The GIFT methodology allows geometry of structure to be described within the NURBS provided directly by the existing CAD software, and solution field to be approximated by the Polynomial splines over Hierarchical Tmeshes (PHT) with the feature of local refinement meanwhile. Subsequently, in the framework of GIFT, an adaptivity technique based on hierarchical a posteriori error estimation on the modal vector is established for the free vibration of thick plate. The proposed adaptive mesh achieves a faster convergence than uniform refinement. Especially, the employment of Modal Assurance Criterion (MAC)-style strategy is able to better determine the modal correspondence between coarse and fine discretizations than Frequency Error Criterion (FEC) method. Furthermore, based on hierarchical a posteriori error estimation strategy, three types of adaptivity algorithms are constructed to deal with the space-time refinement. Specially, unidirectional multi-level space-time adaptive GIFT/Newmark (UM-STAGN) well catches stress wave propagation but fails in error information transfer. Energybased space-time adaptive GIFT/Newmark (E-STAGN) can reassess the error but cannot uncover the source of error. Dual weighted residual adaptive GIFT/Newmark (DWR-STAGN) methods are error-sensitive so that it leads to the best convergence among these three approaches.

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Zidouk, Amaria. "Recovering the optical properties of a tissue using maximum a posteriori based estimation." Thesis, University of Birmingham, 2015. http://etheses.bham.ac.uk//id/eprint/5722/.

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Abstract:

The spectral reflectance of a biological tissue is known to be affected by its physical and optical properties such as thickness, chromophore concentrations and scattering coefficient. There exist numerous methods that aim to extract the optical parameters of a tissue by relating reflectance measurements to a theoretical model of light transport. During the parameter recovery process, assumptions are often made about the characteristics of the tissue. However, incorrect assumptions lead to inaccurate or even erroneous results. We present a method based on the maximum a posteriori estimation technique to recover some optical properties of the biological tissue from reflectance measurements. The method provides correct results even in the presence of significant uncertainty in the underlying specification of the tissue. A light transport model of the inspected medium is developed and used in the estimation process. The analysis of the results obtained from simulated skin data and phantoms suggests that the proposed MAP based method is a good parameter recovery technique that provides accurate estimates and is robust against a high level of uncertainty in the tissue's model.

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Dutra, Dimas Abreu. "Maximum a posteriori joint state path and parameter estimation in stochastic differential equations." Universidade Federal de Minas Gerais, 2014. http://hdl.handle.net/1843/BUOS-9S3H9D.

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Abstract:

A wide variety of phenomena of engineering and scientific interest are of a continuous-time nature and can be modeled by stochastic differential equations (SDEs), which represent the evolution of the uncertainty in the states of a system. For systems of this class, some parameters of the SDE might be unknown and the measured data often includes noise, so state and parameter estimators are needed to perform inference and further analysis using the system state path. One such application is the flight testing of aircraft, in which flight path reconstruction or some other data smoothing technique is used before proceeding to the aerodynamic analysis or system identification. The distributions of SDEs which are nonlinear or subject to non-Gaussian measurement noise do not admit tractable analytic expressions, so state and parameter estimators for these systems are often approximations based on heuristics, such as the extended and unscented Kalman smoothers, or the prediction error method using nonlinear Kalman filters. However, the Onsager Machlup functional can be used to obtain fictitious densities for the parameters and state-paths of SDEs with analytic expressions. In this thesis, we provide a unified theoretical framework for maximum a posteriori (MAP) estimation of general random variables, possibly infinitedimensional, and show how the OnsagerMachlup functional can be used to construct the joint MAP state-path and parameter estimator for SDEs. We also prove that the minimum energy estimator, which is often thought to be the MAP state-path estimator, actually gives the state paths associated to the MAP noise paths. Furthermore, we prove that the discretized MAP state-path and parameter estimators, which have emerged recently as powerful alternatives to nonlinear Kalman smoothers, converge hypographically as the discretization step vanishes. Their hypographical limit, however, is the MAP estimator for SDEs when the trapezoidal discretization is used and the minimum energy estimator when the Euler discretization is used, associating different interpretations to each discretized estimate. Example applications of the proposed estimators are also shown, with both simulated and experimental data. The MAP and minimum energy estimators are compared with each other and with other popular alternatives. Uma grande variedade de fenômenos de interesse para engenharia e ciência são a tempo contínuo por natureza e podem ser modelados por equações diferenciais estocásticas (EDEs), que representam a evolução da incerteza nos estados do sistema. Para sistemas dessa classe, alguns parâmetros da EDE podem ser desconhecidos e os dados coletados frequentemente incluem ruídos, de modo que estimatores de esstados e parâmetros são necessários para realizar inferência e análises adicionais usando a trajetória dos estados do sistema. Uma dessas aplicações é em ensaios em voo de aeronaves, para os quais reconstrução de trajetória de voo ou outras técnicas de suavização são utilizadas antes de se proceder para análise aerodinâmica ou identificação de sistemas. As distribuições de EDEs não lineares ou sujeitas a ruído de medição não Gaussiano não admitem expressões analíticas utilizáveis, o que leva a estimadores de estados e parâmetros para esses sistemas a basearem-se em heurísticas como os suavizadores de Kalman estendido e unscented, ou o método de predição de erro utilizando filtros de Kalman não lineares. No entanto, o funcional de OnsagerMachlup pode ser utilizado para obter densidades fictícias conjuntas para trajetórias de estado e parâmetros de EDEs com expressões analíticas. Nesta tese, um arcabouço teórico unificado é desenvolvido para estimação máxima a posteriori (MAP) de variáveis aleatórias genéricas, possivelmente infinito-dimensionais, e é mostrado como o funcional de OnsagerMachlup pode ser utilizado para a construção do estimador MAP conjunto de trajetórias de estado e parâmetros de EDEs. Também é provado que o estimador de mínima energia, comumente confundido com com o estimador de MAP, obtém as trajetórias de estado associadas às trajetórias de ruído MAP. Além disso, é provado que os estimadores conjuntos de trajetória de estados e parâmetros MAP discretizados, que emergiram recentemente como alternativas poderosas para os estimadores de Kalman não lineares, convergem hipograficamente à medida que o passo de discretização diminue. O seu limite hipográfico, no entanto, é o estimador MAP para EDEs quando a discretização trapezoidal é utilizada e o estimador de mínima energia quando a discretização de Euler é utilizada, associando interpretações diferentes a cada estimativa discretizada. Exemplos de aplicações dos estimadores propostos são apresentadas com dados simulados e experimentais, nas quais os estimadores MAP e de mínima energia são comparados entre si e com alternativas mais bem sedimentadas.

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Kunert, Gerd [Verfasser]. "A posteriori error estimation for anisotropic tetrahedral and triangular finite element meshes / Gerd Kunert." Chemnitz : Universitätsbibliothek Chemnitz, 1999. http://d-nb.info/1210931834/34.

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Moldenhauer, Marcel [Verfasser], and Gerhard [Akademischer Betreuer] Starke. "Stress reconstruction and a-posteriori error estimation for elasticity / Marcel Moldenhauer ; Betreuer: Gerhard Starke." Duisburg, 2020. http://d-nb.info/1221061712/34.

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Sadiki, Wafaa. "Estimation et validation a posteriori des statistiques d'erreur pour une assimilation à aire limitée." Toulouse 3, 2005. http://www.theses.fr/2005TOU30019.

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Abstract:

Les méthodes d'assimilation réalisent une combinaison entre une ébauche de l'état de l'atmosphère et des données d'observation. Il est nécessaire de fournir à l'algorithme assimilateur une estimation des erreurs affectant les différentes sources d'information. Nous nous intéressons surtout au schéma variationnel 3d dans le modèle à aire limitée ALADIN. L'objectif est d'étudier d'une part les propriétés des covariances d'erreur de prévision dans un modèle à aire limitée et, d'autre part, de tester dans un cadre de données d'observation réelles, des méthodes de réglage a posteriori des écarts-types d'erreur (prévision, observation). Nous avons d'abord constaté qu'aux grandes échelles les erreurs de prévision dans ALADIN sont contrôlées par le modèle coupleur ARPEGE. Par la validation a posteriori, nous avons mis en évidence une sous-estimation de la variance d'erreur de prévision, et une surestimation de la variance d'erreur d'observation. Nous avons également adapté ces diagnostics au cadre d'un système au nombre d'observations éventuellement faible, en faisant appel à des propriétés d'ergodicité dans les signaux Data assimilation methods perform a combination between a background state of the atmosphere and observations. The formulation of any assimilation system requires the knowledge of the weights attributed to each source of information. The system of interest is the limited area 3d-Var analysis of ALADIN. The aim is, on the one hand, to study the properties of background error covariances in a limited area model and, on the other hand, to apply the a posteriori diagnostics in a real data observation environment, in order to calibrate the background and observational error standard deviations. Firstly, we show that, for the large scales, the background errors are controlled by the ARP\`EGE global model. Secondly, through a posteriori validation, we have found an underestimation of the background error variance, and an overestimation of the observational error variance. Moreover, we have adapted these diagnostics to the frame of a limited amount of observations using ergodic properties of the signals

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Mahamane, Amadou. "Analyse et estimation d’erreur en volumes ﬁnis. Application aux écoulements en milieu poreux et à l’adaptation de maillage". Paris 13, 2009. http://www.theses.fr/2009PA132008.

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Abstract:

Dans cette thèse nous nous intéressons dans une première partie à la simulation numérique d'un écoulement diphasique en milieu poreux par une méthode de volumes finis adaptatifs. La modélisation proposée par G. CHAVENT, conduisant au couplage d'une famille d'équations elliptiques en pression, et d'une équation de convection-diffusion non linéaire en saturation a été retenue. Nous discrétisons la convection par décentrement et la diffusion par le schéma VFdiamant. Nous montrons la L puissance infinie - stabilité du schéma de discrétisation obtenu dans des cas simples. Nous implémentons ce schéma à l'aide des cas tests académiques sur des maillages non structurés adaptatifs; les résultats obtenus reproduisent ceux de la littérature. La seconde partie de ce travail est consacré à l'étude de certains schémas volumes finis dédiés à l'approximation des opérateurs de diffusion. En particulier, nous considérons les schémas : VFdiamant, DDFV développé par P. Omnes et K. Domelevo, VFmixte dû à J. Droniou et à R. Eymard et CVFE développé par B. Amaziane et M. Afif. Ainsi, l'analyse du schéma VFmixte dans le cadre de l'approximation d'une équation de convection-diffusion-réaction a montré la convergence forte de la solution numériques dans L puissance Q (oméga) pour tout q < 2d /(d-2) et la convergence faible du gradient discret dans L puissance carré (oméga)puissance d ; oméga étant un ouvert de IRexposant d, d=2,3. Une analyse d'erreur a posteriori a également été menée, aussi bien pour le schéma DDFV que pour le schéma VFmixte, dans le cas d'une équation de diffusion. L'implémentation des indicateurs d'erreur pour DDFV a montré leur pertinence en termes de localisation de l'erreur. Nous menons enfin une étude numérique comparative des schémas CVFE, DDFV et VFdiamant dans le cadre de l'approximation de l'équation de la chaleur The First part of this thesis is devoted to the numerical simulation of two-phase flow in porous media and this has been done by an adaptative finite volume method. Using the global pressure approach proposed by G. Chavent this phenomenon is modeled by a set of elliptic equations in pressure coupled to a convection-diffusion equation in saturation. We use an upwind scheme to discretize a convection part and we approximate the diffusion part using the diamond scheme (VFdiamant). We prove the - stability of this discretization scheme in the pure convection case as well as in the pure diffusion case. The results obtained for some academic test cases on unstructured adaptive two-dimensional grids, are very similar to those contained in the literature. In the second part of the thesis, we study some finite volume schemes devoted to discretization of diffusion operators. Namely, we consider the following schemes: VFdiamant, DDFV developed by P. Omnes and K. Domelevo, VFmixte by J. Droniou and R. Eymard and CVFE developed by B. Amaziane and M. Afif. Thus, the convergence analysis of VFmixte applied to convection-diffusion-reaction equation has been conducted. It has shown the strong convergence of the numerical solution [. . . ] for all and the weak convergence of the discrete gradient [. . . ]. An a posteriori error analysis has also been conducted, for both DDFV and VFmixte, in the case of a diffusion equation. The implementation of error indicators for DDFV shows their efficiency in terms of localization of error. This study has been concluded by a numerical comparison of CVFE, DDFV and VFdiamant applied to theapproximate heat equation

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Trenz, Stefan [Verfasser]. "POD-Based A-posteriori Error Estimation for Control Problems Governed by Nonlinear PDEs / Stefan Trenz." Konstanz : Bibliothek der Universität Konstanz, 2017. http://d-nb.info/1142113868/34.

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Allais, Raphaël. "Développement de deux estimateurs d'erreur à posteriori pour la méthode X-FEM." Ecole centrale de Nantes, 2012. http://www.theses.fr/2012ECDN0053.

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Abstract:

La méthode des éléments finis étendus (X-FEM) est maintenant couramment utilisée dans l'industrie afin de s'affranchir des contraintes liées au maillage. Cette contribution s'intéresse à l'application de X-FEM aux stratégies de maillage adaptatifs. Ces approches permettent de définir les tailles de mailles optimales sur la structure d'intérêt afin de se conformer à un niveau d'erreur cible. Ces stratégies sont fondées sur deux points : (i) l'estimation de l'erreur d'approximation commise lors du calcul et (ii) l'adaptation du maillage dans les zones contribuant le plus à cette erreur. Ce travail concerne l'adaptation et la validation de ces deux points dans l'environnement X-FEM, pour des problèmes de thermique stationnaire. Pour cela, deux estimateurs d'erreur en résidus implicites sont proposés. Le premier est une adaptation des approches à bases hiérarchiques, qui est cependant coûteux en temps de calcul. Le deuxième est une adaptation d'un estimateur par patchs dit flux-free. Les performances de ces deux estimateurs sont comparées sur de nombreux cas tests (surfaces libres, interfaces matériaux, problèmes singuliers). Enfin, l'utilisation d'une stratégie de type octree est évaluée pour l'adaptation du maillage : ce type d'approche est naturellement adapté à la méthode X-FEM qui permet l'utilisation de maillages non-conformes. Cependant, la méthode fait apparaître des noeuds dits orphelins aux niveau des éléments de raffinement différent. Une stratégie d'enrichissement de tels noeuds est proposée afin d'assurer la continuité du champ éléments-finis dans le domaine The extended finite element method (X-FEM) is now commonly used in industrial finite element codes in order to get rid of meshing constraints. This contribution concerns the use of the X-FEM in the context of adaptive meshing. This class of approach allows to define automatically optimal mesh densities in order to complie with a target error level. These stratégies involve two main aspects : (i) the estimation of the approximation error introduced by the numerical method and (ii) mesh adaptation in the high error areas. This contribution focus on the adaptation and validation of these two aspects in the context of the X-FEM for stationary hear equation problems. Two residual-based estimators are considered. The first one is based on the hierarchical bases approach. Unfortunately, it is computationaly costly. The second one is based on a flux-free patch estimator. The performances of these estimators are assessed on various representative numerical examples (free surfaces, material interfaces and singular problems). Finally, the use of octree-based stratégies are considered for mesh adaptation : these approaches are well adapted to the X-FEM, as non conforming meshes are allowed. However, the method introduce so called hanging nodes between adjacent elements. An enrichment strategy is proposed for these nodes, so that the condinuity of the field is ensured

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Cochez-Dhondt, Sarah. "Méthodes d'éléments finis et estimations d'erreur a posteriori." Valenciennes, 2007. http://ged.univ-valenciennes.fr/nuxeo/site/esupversions/57cb71bc-ed2c-4e1e-a23d-1f92f8d180fd.

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Abstract:

Dans cette thèse, on développe des estimateurs d'erreur a posteriori, pour l'approximation par éléments finis des équations de Maxwell en régime harmonique et des équations de réaction-diffusion. Introduisant d'abord, pour le système de Maxwell, des estimateurs de type résiduel, on étudie la dépendance des constantes intervenant dans les bornes inférieures et supérieures en fonction de la variation des coefficients de l'équation, en les considérant d'abord constants puis constants par morceaux. On construit ensuite un autre type d'estimateur, basé sur des flux équilibrés et la résolution de problèmes locaux, que l'on étudie dans le cadre des équations de réaction-diffusion et du système de Maxwell. Ayant introduit plusieurs estimateurs pour l'équation de Maxwell, on en propose une étude comparative, au travers de tests numériques présentant le comportement de ces estimateurs pour des solutions particulières sur des maillages uniformes ainsi que les maillages obtenus par des procédures de raffinement de maillages adaptatifs. Enfin, dans le cadre des équations de diffusion, on étend la construction des estimateurs équilibrés aux méthodes éléments finis de type Galerkin discontinues In this thesis, we develop a posteriori error estimators, for the finite element approximation of the time-harmonic Maxwell and reaction-diffusion equations. Introducing first, for Maxwell's system, residual type estimators, we study the dependence of the constants appearing in the lower and upper bounds with respect to the variation of the coefficients of the equation we consider. Then, we construct another type of estimator, based on equilibrated fluxes and the resolution of local problems, that we study for the reaction-diffusion equations and Maxwell's system. With all the estimators built for the Maxwell equation, we propose a comparison through numerical tests involving particular solutions on uniform meshes and refinement procedures with adaptive meshes. Finally, we propose an extension, for diffusion equations, of the equilibrated estimators to the discontinuous Galerkin finite element methods

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Kunert, Gerd. "Robust a posteriori error estimation for a singularly perturbed reaction-diffusion equation on anisotropic tetrahedral meshes." Universitätsbibliothek Chemnitz, 2000. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-200000867.

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Abstract:

We consider a singularly perturbed reaction-diffusion problem and derive and rigorously analyse an a posteriori residual error estimator that can be applied to anisotropic finite element meshes. The quotient of the upper and lower error bounds is the so-called matching function which depends on the anisotropy (of the mesh and the solution) but not on the small perturbation parameter. This matching function measures how well the anisotropic finite element mesh corresponds to the anisotropic problem. Provided this correspondence is sufficiently good, the matching function is O(1). Hence one obtains tight error bounds, i.e. the error estimator is reliable and efficient as well as robust with respect to the small perturbation parameter. A numerical example supports the anisotropic error analysis.

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Apel, Thomas, and Cornelia Pester. "Clément-type interpolation on spherical domains - interpolation error estimates and application to a posteriori error estimation." Universitätsbibliothek Chemnitz, 2006. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:swb:ch1-200601335.

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Abstract:

In this paper, a mixed boundary value problem for the Laplace-Beltrami operator is considered for spherical domains in $R^3$, i.e. for domains on the unit sphere. These domains are parametrized by spherical coordinates (\varphi, \theta), such that functions on the unit sphere are considered as functions in these coordinates. Careful investigation leads to the introduction of a proper finite element space corresponding to an isotropic triangulation of the underlying domain on the unit sphere. Error estimates are proven for a Clément-type interpolation operator, where appropriate, weighted norms are used. The estimates are applied to the deduction of a reliable and efficient residual error estimator for the Laplace-Beltrami operator.

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Sen, Sugata 1977. "Reduced basis approximation and a posteriori error estimation for non-coercive elliptic problems : applications to acoustics." Thesis, Massachusetts Institute of Technology, 2007. http://hdl.handle.net/1721.1/39355.

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Abstract:

Thesis (Ph. D.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Civil and Environmental Engineering, 2007. Includes bibliographical references (p. 251-261). Modern engineering problems often require accurate, reliable, and efficient evaluation of quantities of interest, evaluation of which demands the solution of a partial differential equation. We present in this thesis a general methodology for the predicition of outputs of interest of non-coercive elliptic partial differential equations. The essential ingredients are: (i) rapidly convergent reduced basis approximations - Galerkin projection onto a space WN spanned by solutions of the governing partial differential equation at N selected points in parameter-time space; (ii) a posteriori error estimation - relaxations of the error-residual equation that provide rigorous and sharp bounds for the error in specific outputs of interest; and (iii) offline-online computational procedures - in the offline stage the reduced basis approximation is generated; in the online stage, given a new parameter value, we calculate the reduced basis output and associated error bound. The operation count for the online stage depends only on N (typically small) and the parametric complexity of the problem; the method is thus ideally suited for repeated, rapid, reliable evaluation of input-output relationships in the many-query or real-time contexts. We consider the crucial ingredients for the treatment of acoustics problems (cont.) - simultaneous treatment of non-coercive (and near-resonant), non-Hermitian elliptic operators, complex-valued fields, often unbounded domains, and quadratic outputs of interest. We introduce the successive constraint approach to approximate lower bounds to the inf-sup stability constant, a key ingredient of our rigorous a posteriori output error estimator. We develop a novel expanded formulation that enables treatment of quadratic outputs as linear compliant outputs. We also build on existing ideas in domain truncation to develop a radiation boundary condition to truncate unbounded domains. We integrate the different theoretical contributions and apply our methods as proof of concept to some representative applications in acoustic filter design and characterization. In the online stage, we achieve O(10) computational economies of cost while demonstrating both the rapid convergence of the reduced basis approximation, and the sharpness of our error estimators ([approx.] O(20)). The obtained computational economies are expected to be significantly greater for problems of larger size. We thus emphasize the feasibility of our methods in the many-query contexts of optimization, characterization, and control. by Sugata Sen. Ph.D.

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Le, Anh Ha. "A posteriori error estimation for simulation of diffusion and fluid mechanics problems by finite volume techniques." Paris 13, 2011. http://www.theses.fr/2011PA132055.

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Abstract:

Ce travail concerne les estimations a posteriori pour la simulation numérique, par des méthodes de volumes finis, de plusieurs modèles liés à la mécanique des fluides : le problème de Stokes stationnaire, l'équation de Darcy non-linéaire et l'équation de transport linéaire. De plus, un résultat concerant des inégalités de Poincaré discrètes sur des maillages bidimensionels quelconques est également présenté.

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Kunert, Gerd. "A posteriori H^1 error estimation for a singularly perturbed reaction diffusion problem on anisotropic meshes." Universitätsbibliothek Chemnitz, 2001. http://nbn-resolving.de/urn:nbn:de:bsz:ch1-200100730.

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Abstract:

The paper deals with a singularly perturbed reaction diffusion model problem. The focus is on reliable a posteriori error estimators for the H^1 seminorm that can be applied to anisotropic finite element meshes. A residual error estimator and a local problem error estimator are proposed and rigorously analysed. They are locally equivalent, and both bound the error reliably. Furthermore three modifications of these estimators are introduced and discussed. Numerical experiments for all estimators complement and confirm the theoretical results.

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Moës, Nicolas. "Une méthode de mesure d'erreur a posteriori pour les modèles de matériaux décrtis par variables internes." Paris 6, 1996. http://www.theses.fr/1996PA06A002.

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Abstract:

L'objectif de cette thèse est d'exploiter une nouvelle méthode de mesure d'erreur a posteriori, baptisée erreur en dissipation, dans le cadre des calculs éléments finis incrémentaux classiques de structures plastiques et viscoplastiques The aim of this thesis is to exploit a new a posteriori error estimate, called dissipation error, in the framework of the classicla time-dependent nonlinear finite element analysis

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Sudarshan, Raghunathan 1978. "Operator-adapted finite element wavelets : theory and applications to a posteriori error estimation and adaptive computational modeling." Thesis, Massachusetts Institute of Technology, 2005. http://hdl.handle.net/1721.1/31132.

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Abstract:

Thesis (Ph. D.)--Massachusetts Institute of Technology, Dept. of Civil and Environmental Engineering, 2005. Includes bibliographical references (leaves 166-171). We propose a simple and unified approach for a posteriori error estimation and adaptive mesh refinement in finite element analysis using multiresolution signal processing principles. Given a sequence of nested discretizations of a domain we begin by constructing approximation spaces at each level of discretization spanned by conforming finite element interpolation functions. The solution to the virtual work equation can then be expressed as a telescopic sum consisting of the solution on the coarsest mesh along with a sequence of error terms denoted as two-level errors. These error terms are the projections of the solution onto complementary spaces that are scale-orthogonal with respect to the inner product induced by the weak-form of the governing differential operator. The problem of generating a compact, yet accurate representation of the solution then reduces to that of generating a compact, yet accurate representation of each of these error components. This problem is solved in three steps: (a) we first efficiently construct a set of scale-orthogonal wavelets that form a Riesz stable basis (in the energy-norm) for the complementary spaces; (b) we then efficiently estimate the contribution of each wavelet to the two-level error and finally (c) we select a subset of the wavelets at each level to preserve and solve exactly for the corresponding coefficients. Our approach has several advantages over a posteriori error estimation and adaptive refinement techniques in vogue in finite element analysis. First, in contrast to the true error, the two-level errors can be estimated very accurately even on coarse meshes. Second, mesh refinement is carried out by the addition of wavelets rather than element subdivision. (cont.) This implies that the technique does not have to directly deal with the handling of irregular vertices. Third, the error estimation and adaptive refinement steps use the same basis. Therefore, the estimates accurately predict how much the error will reduce upon mesh refinement. Finally, the proposed approach naturally and easily accommodates error estimation and adaptive refinement based on both the energy norm as well any bounded linear functional of interest (i.e., goal-oriented error estimation and adaptivity). We demonstrate the application of our approach to the adaptive solution of second and fourth- order problems such as heat transfer, linear elasticity and deformation of thin plates. by Raghunathan Sudarshan. Ph.D.

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SOUHAIL, Hicham. "Schema volumes finis : Estimation d'erreur a posteriori hierarchique par elements finis mixtes. Resolution de problemes d'elasticite non-linearie." Phd thesis, Ecole Centrale de Lyon, 2004. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00005418.

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Abstract:

La partie 1 releve de l'Analyse Numerique. Partant de l'interpretation Element Finis Mixtes des schemas volumes finis classiques, l'estimation a posteriori de l'erreur est analysee dans la hierarchie des elements de Raviart-Thomas. Un estimateur calculable est explicite pour ces schemas volumes finis. La partie 2 introduit, d'abord un maillage rectangulaire, puis un maillage structure, une famille de schemas volumes finis de type differences finies. Des essais numeriques sur des problemes modeles montrent que l'ordre prevu par l'analyse peut etre atteint. La partie 3 presente l'application de ces schemas volumes finis a la simulation numerique du comportement d'un bloc de gomme en presence d'une fissure finie. Il s'agit d'un materiau hyperelastique compressible en grandes deformations et differents tenseurs de contraintes, avec tests en quasi-incompressible et des simulations d'endommagement.

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Souhail, Hicham Maitre Jean-François. "Schémas volume finis Estimation d'erreur à posteriori hiérarchique pas éléments finis mixte. Résolution de problèmes d'élasticité non-linéaire /." [S. l.] : [s. n.], 2004. http://bibli.ec-lyon.fr/exl-doc/hsouhail.pdf.

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Souhail, Hicham Maitre Jean-François. "Schémas volume finis Estimation d'erreur à posteriori hiérarchique pas éléments finis mixtes. Résolution de problèmes d'élasticité non-linéaire /." Ecully : Ecole centrale de Lyon, 2004. http://bibli.ec-lyon.fr/exl-doc/hsouhail.pdf.

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Riaz, Azba. "Une nouvelle formulation Galerkin discontinue pour équations de Maxwell en temps, a priori et a posteriori erreur estimation." Thesis, Cergy-Pontoise, 2016. http://www.theses.fr/2016CERG0790/document.

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Abstract:

Dans la première partie de cette thèse, nous avons considéré les équations de Maxwell en temps et construit une formulation discontinue de Galerkin (DG). On a montré que cette formulation est bien posée et ensuite on a établi des estimateurs a priori pour cette formulation. On a obtenu des résultats numériques pour valider les estimateurs a priori obtenus théoriquement. Dans la deuxième partie de cette thèse, des estimateurs d'erreur a posteriori de cette formulation sont établis, pour le cas semi-discret et pour le système complètement discrétisé. Dans la troisième partie de cette thèse, on considére les équations de Maxwell en régime harmonique. On a développé une formulation discontinue de Galerkin mixte. On a établi des estimations d'erreur a posteriori pour cette formulation In the first part of this thesis, we have considered the time-dependent Maxwell's equations in second-order form and constructed discontinuous Galerkin (DG) formulation. We have established a priori error estimates for this formulation and carried out the numerical analysis to confirm our theoretical results. In the second part of this thesis, we have established a posteriori error estimates of this formulation for both semi discrete and fully discrete case. In the third part of the thesis we have considered the time-harmonic Maxwell's equations and we have developed mixed discontinuous Galerkin formulation. We showed the well posedness of this formulation and have established a posteriori error estimates

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Souhail, Hicham. "Schémas volume finis : Estimation d'erreur à posteriori hiérarchique pas éléments finis mixte. Résolution de problèmes d'élasticité non-linéaire." Ecully, Ecole centrale de Lyon, 2004. http://bibli.ec-lyon.fr/exl-doc/hsouhail.pdf.

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Abstract:

La partie 1 relève de l'analyse numérique. Partant de l'interprétation éléments finis mixtes des schémas volumes finis classiques, l'estimation à posteriori de l'erreur est analysée dans la hiérarchie des éléments de Raviart-Thomas. Un estimateur calculable est explicité pour ces schémas volumes finis. La partie 2 introduit une famille de schémas volumes finis de type différences finies. Des essais numériques sur des problèmes modèles montrent que l'ordre prévu par l'analyse peut être atteint. La partie 3 présente l'application de ces schémas volumes finis à la simulation numérique du comportement d'un bloc de gomme en présence d'une fissure finie. Il s'agit d'un matériau hyperélastique compressible en grandes déformations. Les calculs ont été réalisés pour une loi de comportement de type Saint-Venant-Kirchhoff. Les résultats concernent les déformations et différents tenseurs de contraintes, avec tests en quasi-incompressible et des simulations d'endommagement This thesis contains three parts. Part one is concerned with numerical analysis. Starting from a mixed finite element interpretation of basic finite volume (F. V. ) schemes, a posteriori error estimation is analysed in the hierarchy of Raviart-Thomas elements. An explicit compatible estimator is given for these F. V. Schemes. Part two introduces a family of F. V. Schemes of finites differences type, for general structured one. Numerical experiments, for model problems, show that the precision order of the theoretical analysis may be reached. Part three presents the application of the F. V. Schemes to the numerical simulation of the deformations of a ruber bloc containing a finite crack. This corresponds to large deformations of a compressible hyperelastic material. The numerical experiments correspond to a constitutive law of Saint-Venant-Kirchhoff type. The results give the deformations and different stress tensors and first tests for quasi-incompressibility and damage silumations

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Baccouch, Mahboub. "Superconvergence and A posteriori Error Estimation for the Discontinuous Galerkin Method Applied to Hyperbolic Problems on Triangular Meshes." Diss., Virginia Tech, 2008. http://hdl.handle.net/10919/26331.

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Abstract:

In this thesis, we present new superconvergence properties of discontinuous Galerkin (DG) methods for two-dimensional hyperbolic problems. We investigate the superconvergence properties of the DG method applied to scalar first-order hyperbolic partial differential equations on triangular meshes. We study the effect of finite element spaces on the superconvergence properties of DG solutions on three types of triangular elements. Superconvergence is described for structured and unstructured meshes. We show that the DG solution is O(hp+1) superconvergent at Legendre points on the outflow edge on triangles having one outflow edge using three p- degree polynomial spaces. For triangles having two outflow edges the finite element error is O(hp+1) superconvergent at the end points of the inflow edge for an augmented space of degree p. Furthermore, we discovered additional mesh-orientation dependent superconvergence points in the interior of triangles. The dependence of these points on orientation is explicitly given. We also established a global superconvergence result on meshes consisting of triangles having one inflow and one outflow edges. Applying a local error analysis, we construct simple, efficient and asymptotically correct a posteriori error estimates for discontinuous finite element solutions of hyperbolic problems on triangular meshes. A posteriori error estimates are needed to guide adaptive enrichment and to provide a measure of solution accuracy for any numerical method. We develop an inexpensive superconvergence-based a posteriori error estimation technique for the DG solutions of conservation laws. We explicitly write the basis functions for the error spaces corresponding to several finite element solution spaces. The leading term of the discretization error on each triangle is estimated by solving a local problem where no boundary conditions are needed. The computed error estimates are shown to converge to the true error under mesh refinement in smooth solution regions. We further present a numerical study of superconvergence properties for the DG method applied to time-dependent convection problems. We also construct asymptotically correct a posteriori error estimates by solving local hyperbolic problems with no boundary conditions on general unstructured meshes. The global superconvergence results are numerically confirmed. Finally, the a posteriori error estimates are tested on several linear and nonlinear problems to show their efficiency and accuracy under mesh refinement. Ph. D.

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Massey, Thomas Christopher. "A Flexible Galerkin Finite Element Method with an A Posteriori Discontinuous Finite Element Error Estimation for Hyperbolic Problems." Diss., Virginia Tech, 2002. http://hdl.handle.net/10919/28245.

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Abstract:

A Flexible Galerkin Finite Element Method (FGM) is a hybrid class of finite element methods that combine the usual continuous Galerkin method with the now popular discontinuous Galerkin method (DGM). A detailed description of the formulation of the FGM on a hyperbolic partial differential equation, as well as the data structures used in the FGM algorithm is presented. Some hp-convergence results and computational cost are included. Additionally, an a posteriori error estimate for the DGM applied to a two-dimensional hyperbolic partial differential equation is constructed. Several examples, both linear and nonlinear, indicating the effectiveness of the error estimate are included. Ph. D.

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Dissertations / Theses on the topic 'Estimation d’erreur a posteriori'

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