Academic literature on the topic 'Exposants (Algèbre)'

Nous donnons une généralisation de la décomposition de M. Hall des éléments du groupe libre en produits décroissant de commutateurs de Hall. Nous généralisons les identités de Thérien, qui expriment les exposants de la décomposition comme des sommes à coefficients entiers positifs de fonctions sous-mots. Nous étudions l’algèbre des fonctions sous-mots et nous montrons que cette algèbre est librement engendrée par les fonctions qui donnent ces exposants; nous montrons aussi la continuité de ces fonctions pour la topologie de Hall sur le groupe libre. De plus, nous donnons de nouvelles preuves de résultats connus, entre autres les théorèmes de Magnus et Witt qui caractérisent les éléments de la série centrale descendante du grouple libre. We give the generalization of M. Hall’s expansion of each element of the free group as a decreasing product of Hall commutators. We also prove the generalization of Therien’s identities expressing the Hall exponents as nonnegative linear combinations of subword functions. We study the algebra of subword functions and show that it is freely generated by the Hall exponents functions; we also prove the continuity of these functions for the Hall topology on the free group. Besides these results, we give new proofs of known results, especially of the theorem of Magnus and Witt on the lower central series of the free group.

Nous essayons d’établir des formules de bonne division avec poids par un idéal, généralisant ainsi certaines formules de J. Briançon, J. Lipman, B. Teissier, C. Huneke et S. Itoh. Dans une première partie, nous introduisons la notion de puissances fractionnaires d’un idéal suivant M. Lejeune et B. Teissier, et nous étudions la validité d’une formule de division par cet idéal. Nous donnons une formule générale pour un anneau noethérien, inspirée des travaux de S. Itoh et M. Moralès sur les clôtures intégrales. Nous établissons aussi, dans le cadre de l’anneau des germes de fonctions holomorphes à l’origine de C puissance n et d’un idéal engendre par une famille non dégénérée au sens de A. G. Kouchirenko, une formule de division avec un poids associé à la filtration de Newton de l’anneau. Nous terminons cette partie par des résultats spécifiques à la dimension deux, nous donnons un contre-exemple à une conjecture de J. Briançon sur une formule de division par les puissances fractionnaires d’un idéal de C{x,y} engendré par une suite de paramètres. La seconde partie de ce travail est dédiée à la division avec poids par dƒ relativement à la courbe plane ƒ = 0 : on se donne un germe à l’origine de courbe plane défini par l’équation ƒ = 0, on introduit un poids sur les deux-formes holomorphes sur C puissance 2, associé à une désingularisation de la courbe. Nous établissons deux formules de bonne division, la première pour le cas ƒ non dégénérée, la bonne division est alors obtenue par l’idéal jacobien ; et la seconde dans le cas où ƒ est irréductible, dans ce cas nous divisons par l’idéal engendré par l’idéal jacobien et ƒ.

Dans cette thèse, on étudie dans un premier temps la régularité d'un exposant caractéristique en fonction d'une perturbation. Plus précisément, on généralise un résultat de Ruelle en montrant que l'exposant caractéristique dépend de manière réelle-analytique d'une perturbation, sans faire aucune hypothèse topologique. On développe ensuite la théorie des cônes complexes. On introduit une généralisation complexe de la métrique de Hilbert. On prouve que cette généralisation vérifie un principe de contraction semblable au théorème de Birkhoff. On obtient alors des généralisations complexes du théorème de Perron-Frobenius. Enfin, on utilise les estimations de trous spectraux données par les cônes complexes pour donner une constante explicite dans le théorème de Berry-Essen pour les transformations dilatantes de l'intervalle
In this thesis, we first study the regularity of a characteristic exponent with respect to a perturbation. More precisely, we generalize a result by Ruelle and we prove that the characteristic exponent depends real-analytically on the perturbation, without any topological assumptions. We then develop the theory of complex cones. We introduce a complex generalization of Hilbert projective metric. We prove that this generalization satisfies a contraction principle similar to Birkhoff 's theorem. We then get complex generalizations of Perron-Frobenius theorem. Finally, we use the spectral gaps estimates given by complex cones to give an explicit constant in the Berry-Esséen theorem for expanding maps on the interval

Nous étudions dans cette thèse différents problèmes d'évitabilité des répétitions dans les mots infinis. Soulevée par Thue et motivée par ses travaux sur les mots sans carrés, la problématique s'est développée au cours du XXe siècle, et est aujourd'hui devenue un des grands domaines de recherche en combinatoire des mots. En 1972, Dejean proposa une importante conjecture, dont la validation étape par étape s'est terminée récemment (2009). La conjecture concerne le seuil des répétitions d'un alphabet, i.e., la borne inférieure des exposants évitables sur cet alphabet. La notion de seuil, comme frontière entre évitabilité et non-évitabilité d'un ensemble donné de mots, est le fil directeur de nos travaux. Nous nous intéressons d'abord à une généralisation du seuil des répétitions (nous donnons des encadrements de sa valeur). Cette notion permet d'ajouter, pour décrire l'ensemble des répétitions à éviter, au paramètre de l'exposant, celui de la longueur des répétitions. Puis, nous étudions des problèmes d'existence de mots dans lesquels, simultanément, certaines répétitions sont interdites et d'autres sont forcées. Nous répondons, pour l'alphabet ternaire, à la question : quels réels sont l'exposant critique d'un mot infini sur un alphabet fixé? Nous introduisons ensuite une notion de haute répétitivité, et établissons une description partielle des couples d'exposants paramètrant une double contrainte de haute répétitivité et d'évitabilité. Pour finir, nous utilisons des résultats et techniques issus de ces problématiques pour résoudre une question de coloration de graphes : nous introduisons un seuil des répétitions, calqué sur celui connu pour les mots, et donnons sa valeur pour deux classes de graphes, les arbres et les graphes de subdivisions
In this thesis we study various problems on repetition avoidance in infinite words. Raised by Thue and motivated by his work on squarefree words, the topic developed during the 20th century, and has nowadays become a principal area of research in combinatorics on words. In 1972, Dejean proposed an important conjecture whose verification in steps was completed recently (2009). The conjecture concerns the repetition threshold for an alphabet, i.e., the infimum of the avoidable exponents for that alphabet. The notion of threshold as a borderline between avoidability and unavoidability for a given set of words is the guiding line of our work. First, we focus on a generalization of the repetition threshold. This concept allows us to include, in addition to the exponent, the length of the repetitions as a parameter in the description of the set of repetitions to avoid. We obtain various bounds in that respect. We then study existence problems for words in which simultaneously some repetitions are forbidden, and others are forced. For the ternary alphabet, we answer the question: what real numbers are the critical exponent of some infinite word over a given alphabet? Also, we introduce a notion of highly repetitive words and give a partial description of the pairs of exponents which parameterize the existence of words both highly repetitive and repetition-free. Finally, we use results and techniques stemming from those problems to solve a question on graph colouring: we introduce a repetition threshold adapted from the thresholds we know for words, and give its value for two classes of graphs, namely, trees and subdivision graphs

Nous presentons un modele de systemes de ressources partagees sur lequel nous definissons un parametre de performances fondamental : #\gamma#. Nous cherchons ensuite a etudier ce parametre de performances pour une classe de systemes stochastiques. Apres avoir presente quelques proprietes analytiques de #\gamma#, nous nous interessons a son evaluation. Les calculs exacts etant rarement possibles, nous recherchons des bornes. Plusieurs approches sont presentees. Les resultats mettent en valeur une notion importante : celle de graphe d'exclusion d'un systeme de ressources partagees. En effet, les bornes obtenues sont fonctions de quantites simples definies sur ce graphe, telles que le degre moyen ou le nombre chromatique. Nous montrons ensuite les resultats qu'apportent les bornes que nous avons trouvees pour l'estimation d'exposants de Lyapunov de matrices stochastiques dans l'algebre (max,+)

Nous étudions les séries aléatoires définies sur R^D par F(t) = Σ n^(-α/D)G(n^(1/D)(t − Xn)) , où α > 0, G est une "bosse élémentaire" et (Xn)n>1 une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi. Nous commençons par discuter l'existence de séries plus générales, appelées fonctions de bosses, en soulignant le rôle de chacun des paramètres. C'est dans ce cadre que sont établies des conditions suffisantes d'intégrabilité, d'existence et de continuité. Nous poursuivons l'étude de la régularité presque sûre des trajectoires du modèle standard et déterminons en particulier un exposant de Hölder uniforme. Nous nous intéressons alors naturellement aux dimensions fractales de son graphe. Pour cela, nous développons des outils d'analyse généraux permettant de traiter les fonctions uniformément höldériennes. Nous énonçons des résultats concernant l'estimation des dimensions de boîte et de régularisation, et, plus généralement, d'une large classe d'indices dimensionnels, certains liés à l'analyse multifractale. Nous calculons ensuite
la dimension de Hausdorff du graphe de F . La seconde partie de notre thèse est consacrée à l'application des fonctions de bosses à la modélisation de profils rugueux. On met en évidence de nouvelles propriétés théoriques, notamment à l'aide des fonctions de structure. Celles-ci donnent
naissance à des diagrammes logarithmiques, les courbes de structure, qui permettent d'analyser un signal en tenant compte des contraintes expérimentales. Elles sont utilisées pour l'identification d'une fonction de bosses et l'estimation de ses paramètres. Nous proposons pour cela de nombreuses méthodes en construisant des estimateurs adaptés. Il est alors possible de modéliser un signal donné par une fonction de bosses. Les courbes de structure servent encore à l'élaboration de critères de conformité. Des exemples de données théoriques et expérimentales illustrent notre propos.

Cette thèse porte sur les phénomènes critiques survenant dans les modèles bidimensionnels sur réseau. Les résultats sont l'objet de deux articles : le premier porte sur la mesure d'exposants critiques décrivant des objets géométriques du réseau et, le second, sur la construction d'idempotents projetant sur des modules indécomposables de l'algèbre de Temperley-Lieb pour la chaîne de spins XXZ. Le premier article présente des expériences numériques Monte Carlo effectuées pour une famille de modèles de boucles en phase diluée. Baptisés "dilute loop models (DLM)", ceux-ci sont inspirés du modèle O(n) introduit par Nienhuis (1990). La famille est étiquetée par les entiers relativement premiers p et p' ainsi que par un paramètre d'anisotropie. Dans la limite thermodynamique, il est pressenti que le modèle DLM(p,p') soit décrit par une théorie logarithmique des champs conformes de charge centrale c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), où \kappa=p/p' est lié à la fugacité du gaz de boucles \beta=-2\cos\pi/\kappa, pour toute valeur du paramètre d'anisotropie. Les mesures portent sur les exposants critiques représentant la loi d'échelle des objets géométriques suivants : l'interface, le périmètre externe et les liens rouges. L'algorithme Metropolis-Hastings employé, pour lequel nous avons introduit de nombreuses améliorations spécifiques aux modèles dilués, est détaillé. Un traitement statistique rigoureux des données permet des extrapolations coïncidant avec les prédictions théoriques à trois ou quatre chiffres significatifs, malgré des courbes d'extrapolation aux pentes abruptes. Le deuxième article porte sur la décomposition de l'espace de Hilbert \otimes^nC^2 sur lequel la chaîne XXZ de n spins 1/2 agit. La version étudiée ici (Pasquier et Saleur (1990)) est décrite par un hamiltonien H_{XXZ}(q) dépendant d'un paramètre q\in C^\times et s'exprimant comme une somme d'éléments de l'algèbre de Temperley-Lieb TL_n(q). Comme pour les modèles dilués, le spectre de la limite continue de H_{XXZ}(q) semble relié aux théories des champs conformes, le paramètre q déterminant la charge centrale. Les idempotents primitifs de End_{TL_n}\otimes^nC^2 sont obtenus, pour tout q, en termes d'éléments de l'algèbre quantique U_qsl_2 (ou d'une extension) par la dualité de Schur-Weyl quantique. Ces idempotents permettent de construire explicitement les TL_n-modules indécomposables de \otimes^nC^2. Ceux-ci sont tous irréductibles, sauf si q est une racine de l'unité. Cette exception est traitée séparément du cas où q est générique. Les problèmes résolus par ces articles nécessitent une grande variété de résultats et d'outils. Pour cette raison, la thèse comporte plusieurs chapitres préparatoires. Sa structure est la suivante. Le premier chapitre introduit certains concepts communs aux deux articles, notamment une description des phénomènes critiques et de la théorie des champs conformes. Le deuxième chapitre aborde brièvement la question des champs logarithmiques, l'évolution de Schramm-Loewner ainsi que l'algorithme de Metropolis-Hastings. Ces sujets sont nécessaires à la lecture de l'article "Geometric Exponents of Dilute Loop Models" au chapitre 3. Le quatrième chapitre présente les outils algébriques utilisés dans le deuxième article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2", constituant le chapitre 5. La thèse conclut par un résumé des résultats importants et la proposition d'avenues de recherche qui en découlent.
This thesis is concerned with the study of critical phenomena for two-dimensional models on the lattice. Its results are contained in two articles: A first one, devoted to measuring geometric exponents, and a second one to the construction of idempotents for the XXZ spin chain projecting on indecomposable modules of the Temperley-Lieb algebra. Monte Carlo experiments, for a family of loop models in their dilute phase, are presented in the first article. Coined "dilute loop models (DLM)", this family is based upon an O(n) model introduced by Nienhuis (1990). It is defined by two coprime integers p,p' and an anisotropy parameter. In the continuum limit, DLM(p,p') is expected to yield a logarithmic conformal field theory of central charge c(\kappa)=13-6(\kappa+1/\kappa), where the ratio \kappa=p/p' is related to the loop gas fugacity \beta=-2\cos\pi/\kappa. Critical exponents pertaining to valuable geometrical objects, namely the hull, external perimeter and red bonds, were measured. The Metropolis-Hastings algorithm, as well as several methods improving its efficiency, are presented. Despite the extrapolation of curves presenting large slopes, values as close as three to four digits from the theoretical predictions were attained through rigorous statistical analysis. The second article describes the decomposition of the XXZ spin chain Hilbert space \otimes^nC^2 using idempotents. The model of interest (Pasquier & Saleur (1990)) is described by a parameter-dependent Hamiltonian H_{XXZ}(q), q\in C^\times, expressible as a sum of elements of the Temperley-Lieb algebra TL_n(q). The spectrum of H_{XXZ}(q) in the continuum limit is also believed to be related to conformal field theories whose central charge is set by q. Using the quantum Schur-Weyl duality, an expression for the primitive idempotents of End_{TL_n}\otimes^nC^2, involving U_qsl_2 elements, is obtained. These idempotents allow for the explicit construction of the indecomposable TL_n-modules of \otimes^nC^2, all of which are irreducible except when q is a root of unity. This case, and the case where q is generic, are treated separately. Since a wide variety of results and tools are required to tackle the problems stated above, this thesis contains many introductory chapters. Its layout is as follows. The first chapter introduces theoretical concepts common to both articles, in particular an overview of critical phenomena and conformal field theory. Before proceeding to the article entitled \emph{Geometric Exponents of Dilute Loop Models} constituting Chapter 3, the second chapter deals briefly with logarithmic conformal fields, Schramm-Loewner evolution and the Metropolis-Hastings algorithm. The fourth chapter defines some algebraic concepts used in the second article, "The idempotents of the TL_n-module \otimes^nC^2 in terms of elements of U_qsl_2" of Chapter 5. A summary of the main results, as well as paths to unexplored questions, are suggested in a final chapter.

Plusieurs recherches ont analysé les difficultés des élèves en algèbre, ainsi que les discontinuités entre les domaines de l'arithmétique et de l'algèbre. Souvent, les élèves n'ont pas une bonne compréhension des relations entre ces domaines. Cette recherche s'intéresse à ce phénomène à travers la notion de réduction d'expressions numériques et algébriques contenant des puissances. Ce mémoire tente de répondre à la question de recherche suivante: est-ce que les élèves réussissent mieux à réduire des expressions algébriques contenant des puissances que des expressions numériques contenant des puissances? Un questionnaire composé d'expressions semblables à réduire a été soumis à des élèves de 3e à 5e secondaire. Ces expressions présentaient des produits de puissances, des quotients de puissances, ainsi que des expressions mixtes. Chaque expression numérique contenant des puissances a été associée à une expression algébrique semblable contenant des puissances. Aussi, certains triplets de questions ont été déterminés. On a comparé les pourcentages de réussite aux questions associées pour l'ensemble des répondants. L'interprétation des résultats a montré que la réussite des élèves à réduire des expressions algébriques ou numériques contenant des puissances dépend de plusieurs facteurs. Mais, en spécifiant qu'il y a certaines exceptions, les résultats indiquent une tendance: les élèves réussissent mieux à réduire des expressions présentant des bases algébriques, plutôt que des bases numériques mais souvent, ils réussissent mieux à réduire des expressions présentant des exposants numériques plutôt que des exposants algébriques. ______________________________________________________________________________ MOTS-CLÉS DE L’AUTEUR : Arithmétique et algèbre, Puissances, Expressions algébriques, Expressions numériques, Expressions avec exposants.