Academic literature on the topic 'Faisceaux localement libres'

International audience In this paper we study the tangent spaces of the smooth nested Hilbert scheme $\mathrm{Hilb}^{n,n-1}(\mathbb{A}^2)$ of points in the plane, and give a general formula for computing the Euler characteristic of a $\mathbb{T}^2$-equivariant locally free sheaf on $\mathrm{Hilb}^{n,n-1}(\mathbb{A}^2)$. Applying our result to a particular sheaf, we conjecture that the result is a polynomial in the variables $q$ and $t$ with non-negative integer coefficients. We call this conjecturally positive polynomial as the "nested $q,t$-Catalan series,'' for it has many conjectural properties similar to that of the $q,t$-Catalan series. Dans cet article, nous étudions les espaces tangents du schéma de Hilbert emboité lisse $\mathrm{Hilb}^{n,n-1}(\mathbb{A}^2)$ de points du plan, et donnons une formule générale pour le calcul de la caractéristique d’Euler d’un faisceau $\mathbb{T}^2$-équivariant localement libre sur $\mathrm{Hilb}^{n,n-1}(\mathbb{A}^2)$. En appliquant notre resultat a un faisceau particulier, nous conjecturons que le résultat est un polynôme en$q$ et $t$ à coefficents positifs ou nuls. Nous appelons ce polynôme conjecturalement positif la “série de $q; t$-Catalan emboîtée”, car il a de nombreuses propriétés (conjecturées) similaires à celles de la série de $q; t$-Catalan.

Le but de ce travail est d'étudier la résolution minimale des idéaux d'arrangement de points en position générale dans les espaces projectifs. Carlos Simpson et André Hirschowitz réduisent le problème à un calcul de rang maximal (c'est à dire surjectivité ou injectivité) pour les morphismes de restriction $$ H^0(P^n,\wedge^k T_{P^n}(l))\to \wedge^k T_{P^n}(l)ı_{Z_1}\oplus\dots T_{P^n}(l)ı_{Z_s} $$ où $Z_1,\dots Z_z$ sont des points de $P^n$. Ils montrent ensuite que pour un grand nombre de points ou de façon équivalente pour un degré $l$ suffisamment grand, on a la propriété de rang maximal. Ils déduisent cette propriété , grâce µa la méthode d'Horace, d'un certain nombres de situations de rang maximal modulo les dimensions 2 et 3. Dans cette thèse on étudie et prouve systématiquement le rang maximal pour ces situations en dimension 2 et 3. On donne aussi une borne inférieure du degré pour laquelle ces énoncés sont valables. Le chapitre 6 montre comment, en raffinant les procédés de Simpson et Hirschowitz, obtenir une preuve de l'énonc¶e déjà connu pour $T_{P^3} (l)$. Le chapitre 7 reprend alors la méthode pour obtenir une preuve pour $T_{P^4} (l)$.