Dissertations / Theses on the topic 'Finansiell matematik'

This thesis is a comparative study where the question is whether a neural network approach can outperform the principal component analysis (PCA) approach for predicting changes of interest rate curves. Today PCA is the industry standard model for predicting interest rate curves. Specifically the goal is to better understand the correlation structure between Swedish and European swap rates. The disadvantage with the PCA approach is that only the information contained in the covariance matrix can be used and not for example whether or not the curve might behave different depending on the current state. In other words, some information that might be quite important to the curve dynamic is lost in the PCA approach. This raises the question whether the lost information is important for prediction accuracy or not. As previously been shown by Alexei Kondratyev in the paper "Learning Curve Dynamics with Artificial Neural Networks", the neural network approach is able to use more information in the data and therefore has potential to outperform the PCA approach. Our thesis shows that the neural network approach is able to achieve the same or higher accuracy than PCA when performing long term predictions. The results show that the neural network model has potential to replace the PCA model, however, it is a more time consuming model. Higher accuracy can probably be achieved if the network is more optimized.
Det här är en jämförande studie där syftet är att undersöka hurvida noggrannare prediktioner kan uppnås genom att använda sig av artificiella neurala nätverk (ANN) istället för principalkomponentanalys (PCA) för att förutspå swapräntekurvor. PCA är idag industristandard för att förutspå räntekurvor. Specifikt är målet att bättre kunna förstå korrelationsstrukturen mellan de Svenska swapräntorna och de Europiska swapräntorna. En nackdel med PCA är att den enda tillgängliga informationen sparas i kovariansmatrisen. Det kan till exempel vara fallet att kurvan beter sig väldigt annorlunda beroende på om de nuvarande räntenivåerna är höga eller låga. Eftersom att sådan information går förlorad i PCA-modellen ligger intresset i att undersöka hur mycket noggrannare prediktionerna kan bli om man tar tillvara på ännu mer av informationen i datan. Som Alexei Kondratyev visar i rapporten "Learning Curve Dynamics with Artificial Neural Networks", så har ANN-modellen potential att ersätta PCA-modellen för att förutspå räntekurvor. I denna studie framgår det att ANN-modellen uppnår samma eller bättre resultat jämfört med PCA-modellen vid längre prediktioner.

This thesis evaluates how the evolutionary algorithm CMA-ES (Covariance Matrix Adaption Evolution Strategy) can be used for optimizing the total initial margin for a network of banks trading bilateral OTC derivatives. The algorithm is a stochastic method for optimization of non-linear and, but not limited to, non-convex functions. The algorithm searches for an optimum by generating normally distributed samples and iteratively updating the mean and covariance matrix of the search distribution using the best candidate solutions in the sampled population. In this thesis, feasible solutions are represented by the null space obtained from the constraint of keeping all banks' market exposure unchanged throughout the optimization, and the generated samples for each iteration correspond to linear combinations of the base vectors spanning this null space. In particular, this thesis investigates how different representations of this null space affect the convergence speed of the algorithm. By applying the algorithm to problems of varying sizes, using several different null space representations coming from different matrix decomposition methods, it is found that as long as an orthonormal representation is used it does not matter which matrix decomposition method it comes from. This is found to be because, given any orthonormal null space representation, the algorithm will at start generate a rotationally invariant sample space in its search for the optimal solution, independent of the specific null space representation. If the representation is not orthogonal, the initial sample will in contrast be in the shape of an ellipsoid and thus biased in certain directions, which in general affects the performance negatively. A non-orthonormal representation can converge faster in specific optimization problems, if the direction of the solution is known in advance and the sample space is pointed towards that direction. However, the benefit of this aspect is limited in a realistic scenario and an orthonormal representation is recommended. Furthermore, as it is shown that different orthonormal representations perform equally, it is implied that other characteristics can be considered when deciding which matrix decomposition method to use; such as the importance of fast computation or desire for a sparse representation.
Denna avhandling utvärderar hur CMA-ES (Covariance Matrix Adaption Evolution Strategy) kan användas för att optimera en total "initial margin" för ett nätverk av banker som handlar bilaterala OTC derivat. Algoritmen är en stokastisk metod för optimering av icke-linjära och, men inte enbart, icke-konvexa funktioner. Algoritmen söker efter ett optimum genom att generera normalfördelade utfall och iterativt uppdatera medelvärdet och kovariansmatrisen för sök-fördelningen med hjälp av de bästa lösningarna i varje iteration. I detta arbete representeras tillåtna lösningar till problemet av nollrummet från bivillkoret att alla bankers marknadsexponering ska vara oförändrade genom optimeringen och de genererade utfallen består av slumpade linjärkombinationer av nollrummets basvektorer. I synnerhet undersöks hur olika representationer av nollrummet påverkar konvergenshastigheten för algoritmen. Algoritmen har applicerats med flera olika nollrumsrepresentationer, framtagna genom olika matrisfaktoriseringsmetoder, och det kan konstateras att så länge nollrummsrepresentationen är ortonormal är valet av faktoreringsmetod obetydlig. Detta då användande av orthornormala nollrumsrpresentationer i algoritmen leder till en initialt symmetrisk, rotationsmässigt invariant, sökning efter den optimala lösningen. Om representationen inte är ortogonal kommer det resulterande sökområdet i varje iteration att ha formen av en ellipsoid och sålunda viktas i vissa riktningar, vilket i allmänhet påverkar prestandan negativt. Emellertid kan en icke-ortonormal representation konvergera snabbare i specifika scenarier, givet att lösningens riktning är känd i förväg och sökområdet kan pekas mot den riktningen. Vidare, eftersom det har visats att olika ortonormala representationer konvergerar lika fort, innebär resultatet att andra egenskaper kan beaktas vid val av matrisfaktoriseringsmetod, såsom vikten av snabb beräkning eller önskan om en gles representation.

Portfolio rebalancing has become a popular tool for institutional investors the last decade. Adaptive asset allocation, an approach suggest by William Sharpe is a new approach to portfolio rebalancing taking market capitalization of asset classes into consideration when setting the normal portfolio and adapting it to a risk profile. The purpose of this thesis is to evaluate the traditional approach of portfolio rebalancing with the adaptive one. The comparison will consist of backtesting and two simulation methods which will be compared computationally measuring time and memory usage (Monte Carlo and Latin Hypercube Sampling). The comparison was done in Excel and in R respectively. It was found that both of the asset allocation approaches gave similar result in terms of the relevant risk measurements mentioned but that the traditional was a cheaper and easier alternative to implement and therefore might be more preferable over the adaptive approach from a practical perspective. The sampling methods were found to have no difference in memory usage but Monte Carlo sampling had around 50% less average running time while at the same time being easier to implement.
Portfölj rebalansering har blivit ett populärt verktyg för institutionella investerare det senaste årtiondet . Adaptiv tillgångsallokering, en taktik föreslagen av William Sharpe är en typ av rebalansering där hänsyn tas till marknadsvärdet av tillgångsklasserna samtidigt som man anpassar det efter en riskprofil. Syftet med detta arbete är att evaluera den traditionella strategin kontra den adaptiva strategin där jämförelsen kommer bestå av backtesting (tillämpa strategin på historisk data) samt två simulationsmetoder(Monte Carlo och LHS). Simulationernas implementering kommer jämföras med avseende på tid och minnesanvändning. Jämförelserna gjordes i Excel och i R respektivt. Resultatet av studien visar att att båda strategierna gav liknande resultat med avseende på de riskmått som finns med men att den traditionella strategin var billigare och enklare att implementera och kan därför vara den strategi att föredra från ett praktiskt perspektiv. Simulationsmetoderna visade ingen skillnad i minnesanvänding men däremot att Monte Carlo var både lättare att implementera samt hade ca 50% mindre körtid i genomsnitt.

Då större skogsföretag lägger ut många arbeten på entreprenad så blir den ekonomiska hälsan hos entreprenadföretagen en viktig fråga för att kunna bibehålla ett långvarigt samarbete. Detta arbete är en fortsättning på Bergs (2009) där syftet var att hitta en modell som förklarar skogsentreprenörernas ekonomiska situation, korrelera resultatet med resultaten i en enkätundersökning bland de aktuella företagen och jämföra skogsentreprenörernas ekonomiska situation med den för liknande branscher. Syftet med denna studie är att undersöka olika multivariata modeller för att bedöma ett entreprenadsföretags ekonomiska situation utifrån de ekonomiska nyckeltal som företagen lämnar i sin årsredovisning. En annan del av arbetet är att undersöka om en modell med variabler beroende på förändringar över tiden kan tillämpas. Metoder som används är faktoranalys, principalkomponentanalys, bekräftande faktoranalys, klusteranalys samt en ad hoc metod här kallad medelskillnad. Sen tillämpas även Altmans (1993) Z"-scores-modell.Det visar sig att variationen är liten för vilka företag som klassas bland de bäst och sämst rankade hos de olika metoderna. Då inget data från konkursdrabbade företag finns tillgängligt i denna studie är det omöjligt att säga om de variationer som förekommer gör någon modell bättre än någon annan. Det är därför osäkert om någon vinst görs då fler dimensionella metoder, så som faktoranalys med ett flertal faktorer, används istället för de ofta mer lättolkade endimensionella metoderna, som t.ex. Z"-scores. Vad gäller modeller med tidsberoende kan en viss skillnad ses mellan dessa och modeller utan tidsberoende, men återigen, då inga validerings möjligheter finns så kan det inte sägas om skillnaden är till de bättre.

During the last three years the Swedish stock market has showed a strong upwards movement from the lows of 2016. At the same time the IPO activity has been large and a lot of the offerings have had a positive return during the first day of trading in the market. The goal of this study is to analyze if there is any particular IPO specific data that has a correlation with the first day return and if it can be used to predict the first day return for future IPO’s. If any regressors were shown to have correlation with the first day return, the goal is also to find a subset of regressors with even higher predictability. Then to classify which regressors show the highest correlation with a large positive return. The method which has been used is a multiple linear regression with IPO-data from the period 2017-2018. The results from the study imply that none of the chosen regressors show any significant correlation with the first day return. It is a complicated process which might be difficult to simplify and quantify into a regression model, but further studies are needed to draw a conclusion if there are any other qualitative factors which correlate with the first day return.
Under de senaste tre åren har den svenska aktiemarknaden visat en kraftigt uppåtgående rörelse från de låga nivåerna 2016. Samtidigt har det varit hög IPO-aktivitet, där många noteringar har haft en positiv avkastning under den första handelsdagen. Målet med denna studie är att analysera om det finns särskilda IPO-specifika faktorer som påvisar samband med avkastningen från första handelsdagen och om det kan användas för att förutsäga utvecklingen under första handelsdagen för framtida noteringar. Om regressorerna visade korrelation är målet sedan att ta fram de bästa av dessa för att se om det ökar modellens säkerhet. Vidare var det av intresse att visa vilka regressorer som korrelerar med en positiv avkastning. Metoden som användes var en multipel linjär regression med historisk data från perioden 2017-2018. Studiens resultat visar att ingen av de valda regressorerna har någon signifikant korrelation med avkastningen under första handelsdagen. Börsintroduktioner är komplicerade processer som kan vara svåra att förenkla och kvantifiera i en regressionsmodell, men ytterligare studier behövs för att dra en slutsats om det finns andra kvalitativa faktorer som kan förklara utvecklingen under första handelsdagen.

The equity trading of today is fragmented across regulated markets (RMs) and multilateral trading facilities (MTFs). Despite being legally very similar Busch (2017), market participants have reported that they attract different types of traders. Market dynamics arise from the interactions between all market participants (agents) Kyle (1985). Price impact is an important part of these dynamics which, for the most part, can be explained by the competition between liquidity takers and liquidity providers Bouchaud et al. (2009). Hence, this thesis studies whether price impact is venue dependent by using the transient impact model, developed by Bouchaud et al. (2004), on Nordic stocks listed at Nasdaq but also traded on London based MTFs. Furthermore, MiFID II and entailing legislation introduced a considerable amount of changes to the financial markets, the effects of which on price impact will also be subject to investigation here. The findings indicate that price impact is indeed venue dependent, where RMs show less price impact than the MTFs. The effects of MiFID II are vague but seems to have lowered the temporal aspect of price impact for the MTFs, while the effects on the RMs are less evident.
Dagens aktiehandel är fragmenterad över reglerade marknader och multilaterala handelsplattformar (MTF-plattformar), trots att de är juridiskt väldigt lika Busch (2017), så har marknadsaktörerna rapporterat att de attraherar olika typer av aktörer. Marknadens dynamik uppstår ur interaktionen mellan dess aktörer Kyle (1985). Prispåverkan är en viktig del av denna dynamik som, för det mesta, kan förklaras av konkurrensen mellan likviditetstagare och likviditetsgivare (Bouchaud et al. 2009). Således undersöker denna uppsats om prispåverkan skiljer sig mellan handelsplatser genom att använda en transient prispåverkansmodell, utvecklad av Bouchaud et al. (2004), på handelsdatat från nordiska aktier listade på Nasdaq, men som även handlas på MTF-platformar i London. Introduktionen av MiFID II och tillhörande lagstiftning har inneburit betydande förändringar för den finansiella marknaden, vilkas effekter på prispåverkan vid aktiehandel också kommer att undersökas här. Fynden i denna studie indikerar att prispåverkan är handelsplatsberoende, där priset påverkas mindre på reglerade marknader än på MTF-plattformar. Effekterna av MiFID II är vaga men verkar ha sänkt den temporala aspekten av prispåverkan och då främst för MTF-plattformarna, medan effekterna på de reglerade marknaderna är mindre framträdande.

The investment and financing instrument AT1, or Contingent Convertible bond, has become popular in the post-crisis capital markets, prompting interest and research in the academic world. The instrument's debt definition but equity boosting properties makes it rather extraordinary, and its stochastic features makes multiple mathematical valuation methodologies relevant, especially with regard to the risk of extending the call date of the instrument. With investors still relying on screening tools for valuation, there is an absence of applications using existing mathematical approaches. This report therefore aims to narrow the gap between academia and industry by evaluating the use of such mathematical approaches in a practical investment setting, in particular the Improved Credit Derivative approach and the Extension Premium Relative Value approach shall be examined. Both models strive to account for the extension risk, a commonly disregarded yet critical risk, adding computational challenges to the implementation. Besides from discovering necessary practical adjustments, and their effects, the two pricing approaches are compared in an attempt to confirm their joint purpose of accounting for extension risk. Ending up with varying results consisting of evident offsets for the improved credit derivative model but significant correlations in the case of the extension premium model, their individual performance was diverse while the hypothesis of joint behaviour could be dismissed.
Investerings- och finansieringsinstrumentet AT1, eller Contingent Convertible bond, har blivit populärt i kapitalmarknaderna efter finanskrisen, vilket lett till intresse och forskning i den akademiska världen. Instrumentets grund som skuld men egenskaper för att tillskjuta eget kapital gör det extraordinärt, och dess stokastiska funktioner öppar upp för flertalet värderingsmetoder, speciellt gällande förlängningsrisken hos datumet för kallning. Eftersom att investerare fortfarande använder sig utav screening-verktyg för värdering finns det endast begränsad forskning rörande användande av matematiska metoder. Denna rapport har därför som mål att minska avståndet mellan den akademiska världen och industrin genom att utvärdera användandet av sådana matematiska metoder för praktiska investeringar, särskillt skall Improved Credit Derivative och Extension Premium Relative Value metoderna användas. Båda modellerna strävar efter att ta hänsyn till förlängningsrisken, en risk vanligtvis bortsedd ifrån men trots det kritisk, vilket tillägger ytterligare beräkningsutmaningar vid implementationen. Bortsätt ifrån att upptäcka praktiska justeringar och dess effekter jämförs de två värderingsmetoderna i ett försök att bekräfta deras gemensamma syfte, att ta hänsyn till förlängningsrisken. Att i slutändan nå blandade resultat besående av uppenbara avvikelser för improved credit derivative modellen men starka korrelationer i fallet av extension premium modellen gjorde att man kunde dra slutsatsen att deras individuella prestanda skilde sig medan hypotesen om gemensamt beteende kunde avfärdas.

Contingent convertible bonds (often referred to as CoCo bonds, or simply CoCos) are a relatively new financial instrument designed to absorb unexpected losses. This instrument became increasingly more common after the financial crisis of 2008, as a way to decrease the risk of insolvency among banks and other financial institutions. In this thesis, we will investigate two mathematical models for valuation of CoCo bonds, known as the credit derivative approach and the equity derivative approach, previously developed by De Spiegeleer and Schoutens [1]. We will investigate how these models can be modified in order to be applied to a large set of bonds available on the market. The effect of parameter alterations will also be studied, in order to determine which parameters that influence the pricing accuracy the most. We reach the conclusion that by estimating market triggers, conversion prices and by computing a continuous interest rate from a discrete rates table, the models are indeed executable on a large set of bonds available on the market. However, these parameter estimations come at the cost of reduced accuracy. In general, both investigated models produces prices which follows the overall movements of the market prices quite well, but at the same time with a relatively large absolute distance from the market prices. In other words, the correlation with the market is often high, but the absolute error (measure by root mean square error) is often large. The sensitivity analysis of the parameters shows that the market trigger is the most influential parameter in both investigated models. The fact that we had to estimate the market trigger in order to be able to price a large number of bonds is believed to be the main cause of reduced accuracy. By utilizing a more bond-specific parameter estimation, the accuracy of the investigated models could most likely be improved. We can conclude that there is a trade-off between being able to price a large set of bonds with a mediocre accuracy, or being able to price a few bonds with high accuracy.
Det finansiella instrumentet contingent convertible bond (ofta benämnt CoCo bond, eller endast CoCo) är en relativt ny obligationstyp som används av banker och andra finansiella institutioner för att absorbera oväntade förluster. Instrumentet blev mer vanligt förekommande efter finanskrisen 2008, som ett sätt att minska risken för insolvens. I detta examensarbete undersöker vi två matematiska modeller för värdering av CoCo bonds, nämligen den så kallade credit derivative approach och equity derivative approach, som tidigare har utvecklats av De Spiegeleer och Schoutens [1]. Vi kommer att undersöka hur dessa modeller kan modifieras för att bli applicerbara på ett stort antal obligationer tillgängliga på marknaden. En omfattande parameterstudie kommer att genomföras, för att dra slutsatser kring de mest betydelsefulla parametrarna för prissättningen. Genom att skatta så kallade market triggers, conversion prices och en kontinuerlig ränta är det möjligt att exekvera de undersökta modellerna på ett stort antal obligationer. Dessa skattningar medför dock en viss försämrad noggrannhet. Generellt sett följer priserna från modellerna marknadens rörelser ganska väl, men är samtidigt ganska långt ifrån marknadspriset. Med andra ord är korrelationen hög, men absolutfelet är relativt stort. Parameterstudien visar att parametern som kallas market trigger är mest betydelsefull för prissättningen. Faktumet att vi måste skatta market triggers för att kunna prissätta ett stort antal obligationer tros vara den största anledningen till försämrad noggrannhet. Genom att använda en mer ”obligationsspecifik” skattning av parametrar bör noggrannheten kunna förbättras. I dessa modeller är det en tydlig avvägning mellan att kunna prissätta många obligationer med relativt låg noggrannhet, och att kunna prissätta få obligationer med hög noggrannhet.

Ekonomisk brottslighet är mer lukrativt jämfört med annan brottslighet som narkotika, häleri och människohandel. Tidiga åtgärder som försvårar att kriminella kan använda företag för brottsliga syften gör att stora kostnader för samhället kan undvikas. En genomgång av litteraturen visade också att det finns stora brister i samarbetet mellan svenska myndigheter för att upptäcka grov ekonomisk brottslighet. Idag uppdagas brotten först ofta efter att en konkurs inletts. I studier har maskininlärningsmodeller prövats för att kunna upptäcka ekonomisk brottslighet och några svenska myndigheter använder maskininlärningsmodeller för att upptäcka brott men mer avancerade metoder används idag av danska myndigheter. Bolagsverket har idag ett omfattande register för bolag i Sverige och denna studie syftar till att undersöka om maskininlärning kan användas för att identifiera misstänkta bolag, genom att använda digitalt inlämnade årsredovisningar och information ur bolagsverkets register för att kunna träna klassificeringsmodeller att identifiera misstänkta bolag. För att träna modellen så har stämningsansökningar inhämtats från Ekobrottsmyndigheten som kunnat kopplas till specifika bolag av de inlämnade årsredovisningar. Principalkomponentanalys används för att visuellt visa på skillnader mellan grupperna misstänkta och icke misstänkta bolag och analyserna visade på ett överlapp mellan grupperna och ingen tydlig klustring av grupperna. Data var obalanserat med 38 misstänkta bolag av totalt 1009 bolag och därför användes översamplingstekniken SMOTE för att skapa mer syntetiskt data och för att öka antalet i gruppen misstänkta. Två maskininlärningsmodeller Random Forest och Stödvektormaskin (SVM) jämfördes i en 10 fold korsvalidering. Där båda uppvisade en recall på runt 0.91 men där Random Forest hade en mycket högre precision och med högre accuracy. Random Forest valdes och tränades på nytt och uppvisades en recall på 0.75 när den testades på osett data bestående av 8 misstänkta av 202 bolag. Ett sänkt tröskelvärde resulterade i en högre recall men med en större antal felklassificerade bolag. Studien visar tydligt problemet med obalans i data och de utmaningar man ställs inför med mindre data. Ett större data hade möjligjort ett strängare urval på brottstyper som hade kunnat ge en mer robust modell som skulle kunna användas av bolagsverket för att lättare kunna identifiera misstänkta bolag i deras register.
Economic crimes are more lucrative compared to other crimes as drugs, selling of stolen gods, trafficing. Early preventions that make it more difficult for criminals to use companies for criminal purposes can reduce large costs for sociaty. A litterature study showed that there are large weaknesses in the collaboration between Swedish authorities to detect serious economic crimes.Today most crimes among companies that commit fraud are found after a company has declared bancruptcy. In studies, machine learning models have been tested to detect economic crimes and some swedish authorites are now using machine learning methods to detect different crimes and more advanced methods are used by the danish authorites. Bolagsverket has a large register of companies in Sweden and the aim of this study is to investigate if machinelearning can be used to detect on annual reports that have been digitaly submited and information in Bolagsverket’s register to be able to train classificationsmodels and identify companies that are suspicious. To be able to train the model lawsuits have been collected from the Swedish Economic Crime Authority that can be connected to specific companies through their digitally submited annual report. Principal component analysis is used to visually show differences between the groups suspect companies and not suspected companies and the analysis show that there is an overlap between the groups and no clear clustering between the groups. Because the dataset was unbalanced with 38 suspicious companies out of 1009 companies the oversampling tecnique SMOTE was used to create more synthethic data and more suspects in the dataset. The two machinelearnings models Random Forest and support vector machine (SVM) was compared in a 10 fold crossvalidation. Both models showed a recall on around 0.91 but Random Forest had a much higher precision with a higher accuracy. Random Forest was chosen and was trained again and showed a recall on 0.75 when it was tested on unseen data with 8 suspects out of 202 companies. Lowering the treshold resulted in a higher recall but with a larger portion of wrongly classfied companies. The study shows clearly the problem with an unbalanced dataset and the challanges with a small dataset. A larger dataset could have made it possible to make a more selective selection of certain crimes that could have resulted in a more robust model that could be used by Bolagsverket to easier identify suspicous companies in their register.

Since the 2008 financial crisis, the interest for the subject area of modelling non-maturity deposits has been growing quickly. The area has been widely analysed from the perspective of a traditional bank where customers foremost have transactional and salary deposits. However, in recent year the Swedish banking sector has become more digitized. This has opened up opportunities for more niche banking actors to establish themselves on the market. Therefore, this study aims to examine how the theories developed and previously used in modelling liquidity volumes at traditional banks can be used at a niche bank focused on savings and investments. In this study the topics covered are short-rate modelling using Vasicek's model, liquidity volume modelling using SARIMA and SARIMAX modelling as well as liquidity risk modelling using an approach developed by Kalkbrener and Willing. When modelling the liquidity volumes the data set was divided depending on account and customer type into six groups, for four out of these the models had lower in and out of set prediction errors using SARIMA models for only two of the six models were there improvements made to the in and out of set prediction error using SARIMAX models. Finally, the resulting minimization of liquidity volume forecasting 5 years in the future gave reasonable and satisfactory results.
Sedan finanskrisen 2008 har intresset kring ämnesområdet gällande modellering av inlåningsvolymer utan en kontrakterad förfallodag ökat snabbt. Området har analyserats i stor utsträckning från perspektivet av en traditionell bank där kunder har framförallt transaktions- och lönekonton. De senaste åren har den Svenska banksektorn blivit mer digitaliserad. Detta har öppnat upp möjligheter för nischbanker att etablera sig på marknaden. Därför ämnar denna studie att undersöka hur teorier som har utvecklats och tidigare använts på traditionella banker för att modellera likviditetsvolymer kan användas på en nischbank som är fokuserad på sparande och investeringar. I denna studie modelleras korträntor med Vasicek's modell, likviditetsvolymer med SARIMA och SARIMAX modeller och likviditetsrisk med en modell utvecklad av Kalkbrener och Willing. För modelleringen av likviditetsvolymer delades likviditetsdatan upp i sex grupper baserat på konto- och kund typ. För fyra av dessa data set gav SARIMA-modeller lägre prediktionsfel och endast för två av de sex grupperna gav SARIMAX-modeller bättre resultat. Slutligen så gav den resulterande minimeringen av nödvändiga likviditetsvolymer på en 5 årig horisont rimliga och tillfredsställande resultat.

Options are an important part in today's financial market. It's therefore of high importance to be able to understand when options are overvalued and undervalued to get a lead on the market. To determine this, the relation between the volatility of the underlying asset, called realized volatility, and the market's expected volatility, called implied volatility, can be analyzed. In this thesis five models were investigated for modeling the relation between implied and realized volatility. The five models consisted of one Ornstein–Uhlenbeck model, two autoregressive models and two artificial neural networks. To analyze the performance of the models, different accuracy measures were calculated for out-of-sample forecasts. Signals from the models were also calculated and used in a simulated options trading environment to get a better understanding of how well they perform in trading applications. The results suggest that artificial neural networks are able to model the relation more accurately compared to more traditional time series models. It was also shown that a trading strategy based on forecasting the relation was able to generate significant profits. Furthermore, it was shown that profits could be increased by combining a forecasting model with a signal classification model.
Optioner är en viktig del i dagens finansiella marknad. Det är därför viktigt att kunna förstå när optioner är över- och undervärderade för att vara i framkant av marknaden. För att bestämma detta kan relationen mellan den underliggande tillgångens volatilitet, kallad realiserad volatilitet, och marknadens förväntade volatilitet, kallad implicit volatilitet, analyseras. I den här avhandlingen undersöktes fem modeller för att modellera relationen mellan implicit och realiserad volatilitet. De fem modellerna var en Ornstein–Uhlenbeck modell, två autoregressiva modeller samt två artificiella neurala nätverk. För att analysera modellernas prestanda undersöktes olika nogrannhetsmått för prognoser från modellerna. Signaler från modellerna beräknades även och användes i en simulerad optionshandelsmiljö för att få en bättre förståelse för hur väl de presterar i en handelstillämpning. Resultaten tyder på att artificiella neurala nätverk kan modellera relationen bättre än mer traditionella tidsseriemodellerna. Det visades även att en handelsstrategi baserad på prognoser av relationen kunde generera en signifikant vinst. Det visades dessutom att vinster kunde ökas genom att kombinera en prognosmodell med en modell som klassificerar signaler.

This thesis discusses the concept of bankruptcy, or default, for Swedish companies. The actual distribution over time is considered both on aggregate level and within different industries. Several models are constructed to best possible describe the default frequency. Mainly logistic regression models are designed for this purpose, but various other models are considered. Some of these are constructed for comparison and for the ambition to produce the most accurate model possible. A large data set of nearly 30 million quarterly observations is used in the analysis. Taking into account micro and macro economic data. The derived models cover different time periods, considering different variables and display varying levels of accuracy. The most exact model is a logistic regression model considering both micro and macro data. It is tested both in sample and out of sample and perform very well in both areas. This model is estimated on first a subset of the data set to be able to compare with a real scenario. Then an equivalent model is constructed from the whole data set to best possibly describe future scenarios. Here Vector Auto-Regressive (VAR) models, and empirical models constructed by OLS regression estimating the firm values, are used in combination with the logistic regression model to predict the future. All three models are used to describe the most likely scenarios, as well as the worst case scenarios. From the worst case scenarios risk measures, such as the empirical value at risk, can be derived. From all this analysis the most significant results are compiled. Namely, that the Logistic regression model performs remarkably well both in-sample and out-of-sample, if macro variables are taken into account. Further, the future results are harder to interpret. Yet, the analysis has arguments for prediction accuracy and interesting results of a continued low default frequency within the next year.
Den här uppsatsen avhandlar konceptet konkurs, för svenska företag. Den faktiska konkursfördelningen över tid analyseras, både på en sammanlagd nivå och inom olika industrier. Flera modeller konstrueras i syfte att bäst beskriva konkursfördelningen. Huvudsakligen är logistiska regressions modeller utformade för detta syfte, men andra typer av modeller är inkluderade i analysen. Några av dessa modeller är skapade för jämförelse, men också för att kunna producera en så exakt modell som möjligt. Ett stort data set med nästan 30 miljoner kvartalsvisa observationer används i analysen. Mikro- och makroekonomiska faktorer är inkluderade i detta data set. De framtagna modellerna omfattar olika tidsperioder mellan 1990–2018, tar in olika faktorer i analysen och visar på olika nivåer av noggrannhet. Modellen som har högst förklaringsgrad är en logistisk regressionsmodell som tar hänsyn till både mikro- och makroekonomiska faktorer. Denna modell analyseras både i och utanför sitt samplingsintervall, och visar på goda resultat i båda områdena. Modellen är först skattad på en delmängd av tidsperioden, för att kunna jämföra den förutspådda fördelningen med en faktisk fördelning. Sedan är en ekvivalent modell skattad på hela intervallet, för att bäst möjligt förutspå framtida scenarion. För detta syfte är Logistiska regressionsmodellen kombinerad med Vektor Autoregressiva (VAR)-modeller som förutspår makroekonomiska faktorer, och empiriska regressionsmodeller som förutspår mikroekonomiska faktorer. Alla tre modelltyper används för att kunna beskriva det mest sannolika scenariot, samt de värsta tänkbara scenariona. Från de värsta tänkbara scenariona kan riskmått, så som empiriska Value at Risk, tas fram. All analys producerar resultat och de viktigaste sammanställs. Dessa är att den logistiska regression modell som tar hänsyn till makroekonomiska faktorer ger bra resultat både i och utanför samplingsintervallet. Vidare är de framtida simulerade resultaten svårare att tolka, men den genomförda analysen har argument för exakthet i förutsägelserna. Därmed presenteras ett troligt framtida scenario med fortsatt låg konkurs frekvens inom det närmaste året.

In this thesis, the traditional methods of only using ESG scores to screen stocks for sustainable portfolios is broadened. The selection of securities for portfolios will instead depend on aggregation, weighting and normalization of a wider set of sustainability variables, in turn creating more all-encompassing sustainability scores. Using these scores, the aim is to implement them in index tracking portfolios. These portfolios combines a hybrid approach between active and passive investment, with the aim of creating sustainable enhanced index funds that can beat the index without adding significant risk. Additionally, this allows for comparison of how different combinations and levels of sustainability affects returns, risk and index tracking. The results that are obtained shows that in the scenario presented in the thesis, it is possible to create a sustainability score which both increases the average sustainability of portfolios, and yields risk adjusted returns. We also studied how a net increase in sustainability scores over a control portfolio results in higher active returns, and eventually a small drop off in information ratio as we apply too strong of a sustainability constraint to our portfolios. The combination of sustainability scores which showed the highest risk adjusted returns was created using equal parts z-scored ESG ratings, ESG risk ratings and ESG momentum.
Detta examensarbete breddar de traditionella metoderna för att skapa hållbara portföljer. Genom att basera urvalet av aktier på aggregering, viktande och normalisering av ett större set av hållbarhetsvariabler, jämfört med traditionell screening baserad på endast ESG betyg, skapas mer omfattande hållbarhetsbetyg. Syftet med studien är att implementera dessa hållbarhetsbetyg vid skapandet av index-portföljer och analysera resultaten. Dessa portföljer kombinerar då både aktiva och passiva investeringsprinciper, med målet att skapa hållbara indexnära fonder som kan prestera bättre än indexet, utan signifikant höjd risk. Dessa hållbarhetsbetyg tillåter även jämförelse av hur olika kombinationer och nivåer av hållbarhet påverkar avkastning, risk och närhet till index. Resultaten visar tydligt att det, inom uppsatsens avgränsningar, är möjligt att skapa hållbarhetsbetyg som ökar både hållbarheten av portföljer i snitt, och skapar riskjusterad avkastning. Det visar även hur en relativ höjning av hållbarhetsbetygen resulterar i högra aktiv avkastning jämfört med en kontroll-portfölj. Vid en viss nivå av höjning sker dock en avtappning av den riskjusterade avkastningen. Den kombinationen av hållbarhetsvariabler som visar högst riskjusterad avkastning när de aggregeras till ett hållbarhetsbetyg är en kombination, i lika delar, av ESG betyg, ESG risk och ESG momentum.

The purpose of this study is to analyze if there is any tweet specific data posted by Donald Trump that has a correlation with the volatility of the stock market. If any details about the president Trump's tweets show correlation with the volatility, the goal is to find a subset of regressors with as high as possible predictability. The content of tweets is used as the base for regressors. The method which has been used is a multiple linear regression with tweet and volatility data ranging from 2010 until 2020. As a measure of volatility, the Cboe VIX has been used, and the regressors in the model have focused on the content of tweets posted by Trump using TF-IDF to evaluate the content of tweets. The results from the study imply that the chosen regressors display a small significant correlation of with an adjusted R2 = 0.4501 between Trump´s tweets and the market volatility. The findings Include 78 words with correlation to stock market volatility when part of President Trump's tweets. The stock market is a large and complex system of many unknowns, which aggravate the process of simplifying and quantifying data of only one source into a regression model with high predictability.
Syftet med denna studie är att analysera om det finns några specifika egenskaper i de tweets publicerade av Donald Trump som har en korrelation med volatiliteten på aktiemarknaden. Om egenskaper kring president Trumps tweets visar ett samband med volatiliteten är målet att hitta en delmängd av regressorer med för att beskriva sambandet med så hög signifikans som möjligt. Innehållet i tweets har varit i fokus använts som regressorer. Metoden som har använts är en multipel linjär regression med tweet och volatilitetsdata som sträcker sig från 2010 till 2020. Som ett mått på volatilitet har Cboe VIX använts, och regressorerna i modellen har fokuserat på innehållet i tweets där TF-IDF har använts för att transformera ord till numeriska värden. Resultaten från studien visar att de valda regressorerna uppvisar en liten men signifikant korrelation med en justerad R2 = 0,4501 mellan Trumps tweets och marknadens volatilitet. Resultaten inkluderar 78 ord som de när en är en del av president Trumps tweets visar en signifikant korrelation till volatiliteten på börsen. Börsen är ett stort och komplext system av många okända, som försvårar processen att förenkla och kvantifiera data från endast en källa till en regressionsmodell med hög förutsägbarhet.

In this study, we explore models for optimal bidding in auctions on the bond market using data gathered from the Bloomberg Fixed Income Trading platform and MIFID II reporting. We define models that aim to fulfill two purposes. The first is to hit the best competitor price, such that a dealer can win the trade with the lowest possible margin. This model should also take into account the phenomenon of the Winner's Curse, which states that the winner of a common value auction tends to be the bidder who overestimated the value. We want to avoid this since setting a too aggressive bid could be unprofitable even when the dealer wins. The second aim is to define a model that estimates a quote that allows the dealer to win a certain target ratio of trades. We define three novel models for these purposes that are based on the best competitor prices for each trade, modeled by a Skew Exponential Power distribution. Further, we define a proxy for the Winner's Curse, represented by the distance of the estimated price from a reference price for the trade calculated by Bloomberg which is available when the request for quote (RFQ) arrives. Relevant covariates for the trades are also included in the models to increase the specificity for each trade. The novel models are compared to a linear regression and a random forest regression method using the same covariates. When trying to hit the best competitor price, the regression models have approximately equal performance to the expected price method defined in the study. However, when incorporating the Winner's Curse proxy, our Winner's Curse adjusted models are able to reduce the effect of the Winner's Curse as we define it, which the regression methods cannot. The results of the models for hitting a target ratio show that the actual hit ratio falls within an interval of 5% of the desired target ratio when running the model on the test data. The inclusion of covariates in the models does not impact the results as much as expected, but still provide improvements with respect to some measures. In summary, the novel methods show promise as a first step towards building algorithmic trading for bonds, but more research is needed and should incorporate more of the growing data set of RFQs and MIFID II recorded transaction prices.
I denna studie utforskar vi modeller för optimal budgivning för auktioner på obligationsmarknaden med hjälp av data som samlats in från plattformen Bloomberg Fixed Income Trading och MIFID II-rapportering. Vi definierar modeller som ämnar att uppfylla två syften. Det första är att träffa det bästa konkurrentpriset så att en handlare kan vinna auktionen med minsta möjliga marginal. Denna modell bör också ta hänsyn till fenomenet Winner's Curse, som innebär att vinnaren av en så kallad common value auction tenderar att vara den budgivare som överskattat värdet. Vi vill undvika detta eftersom det kan vara olönsamt att skicka ett alltför aggressivt bud även om handlaren vinner. Det andra syftet är att definiera en modell som uppskattar ett pris som gör det möjligt för handlaren att vinna en viss andel av sina obligationsaffärer. Vi definierar tre nya modeller för dessa ändamål som bygger på de bästa konkurrentpriserna för varje transaktion vi har data på. Dessa modelleras av en Skew Exponential Power-fördelning. Vidare definierar vi en variabel som indirekt mäter fenomenet Winner's Curse, representerad av budprisets avstånd från ett referenspris för transaktionen beräknad av Bloomberg som är tillgänglig när en request for quote (RFQ) anländer. Relevanta kovariat för transaktionen implementeras också i modellerna för att öka specificiteten för varje transaktion. De nya modellerna jämförs med en linjärregression och en random forest-regression som använder samma kovariat. När målet är att träffa det bästa konkurrentpriset ger regressionsmodellerna ungefär samma resultat som expected price-modellen som definieras i denna studie. När man däremot integrerar effekten av Winner's Curse med den definierade indirekta variablen kan vår Winner's Curse-justerade modell minska effekten av Winner's Curse, vilket regressionsmetoderna inte kan. Resultaten av modellerna som ämnar vinna en förbestämd andel av transaktionerna visar att den faktiska andelen transaktioner som man vinner faller inom ett intervall på 5% kring den önskade andelen när modellen körs på testdata. Att inkludera kovariat i modellerna påverkar inte resultaten till den grad som uppskattades, men ger mindre förbättringar med avseende på vissa mättal. Sammanfattningsvis visar de nya metoderna potential som ett första steg mot att bygga algoritmisk handel för obligationer, men mer forskning behövs och bör utnyttja mer av den växande datamängden av RFQs och MIFID II-rapporterade transaktionspriser.

It can be difficult for a sovereign debt manager to see the implications on expected costs and risk of a specific debt management strategy, a simulation model can therefore be a valuable tool. This study investigates how future economic data such as yield curves, foreign exchange rates and CPI can be simulated and how a portfolio optimization model can be used for a sovereign debt office that mainly uses financial derivatives to alter its strategy. The programming language R is used to develop a bespoke software for the Swedish National Debt Office, however, the method that is used can be useful for any debt manager. The model performs well when calculating risk implications of different strategies but debt managers that use this software to find optimal strategies must understand the model's limitations in calculating expected costs. The part of the code that simulates economic data is developed as a separate module and can thus be used for other studies, key parts of the code are available in the appendix of this paper. Foreign currency exposure is the factor that had the largest effect on both expected cost and risk, moreover, the model does not find any cost advantage of issuing inflation-protected debt. The opinions expressed in this thesis are the sole responsibility of the author and should not be interpreted as reflecting the views of the Swedish National Debt Office.
Det kan vara svårt för en statsskuldsförvaltare att se påverkan på förväntade kostnader och risk när en skuldförvaltningsstrategi väljs, en simuleringsmodell kan därför vara ett värdefullt verktyg. Den här studien undersöker hur framtida ekonomiska data som räntekurvor, växelkurser ock KPI kan simuleras och hur en portföljoptimeringsmodell kan användas av ett skuldkontor som främst använder finansiella derivat för att ändra sin strategi. Programmeringsspråket R används för att utveckla en specifik mjukvara åt Riksgälden, men metoden som används kan vara användbar för andra skuldförvaltare. Modellen fungerar väl när den beräknar risk i olika portföljer men skuldförvaltare som använder modellen för att hitta optimala strategier måste förstå modellens begränsningar i att beräkna förväntade kostnader. Delen av koden som simulerar ekonomiska data utvecklas som en separat modul och kan därför användas för andra studier, de viktigaste delarna av koden finns som en bilaga till den här rapporten. Valutaexponering är den faktor som hade störst påverkan på både förväntade kostnader och risk och modellen hittar ingen kostnadsfördel med att ge ut inflationsskyddade lån. Åsikterna som uttrycks i den här uppsatsen är författarens egna ansvar och ska inte tolkas som att de reflekterar Riksgäldens syn.

The interest in modeling non-maturing deposits has skyrocketed ever since thefinancial crisis 2008. Not only from a regulatory and legislative perspective,but also from an investment and funding perspective.Modeling of non-maturing deposits is a very broad subject. In this thesis someof the topics within the subject are investigated, where the greatest focus inon the modeling of the deposit volumes. The main objective is to providethe bank with an analysis of the majority of the topics that needs to be cov-ered when modeling non-maturing deposits. This includes short-rate model-ing using Vasicek’s model, deposit rate modeling using a regression approachand a method proposed by Jarrow and Van Deventer, volume modeling usingSARIMA, SARIMAX and a general additive model, a static replicating port-folio based on Maes and Timmerman’s to model the behaviour of the depositaccounts and finally a liquidity risk model that was suggested by Kalkbrenerand Willing. All of these models have been applied on three different accounttypes: private transaction accounts, savings accounts and corporate savingsaccounts.The results are that, due to the current market, the static replicating portfoliodoes not achieve the desired results. Furthermore, the best volume model forthe data provided is a SARIMA model, meaning the effect of the exogenousvariables are seemingly already embedded in the lagged volume. Finally, theliquidity risk results are plausible and thus deemed satisfactory.
Intresset för att modellera inlåningsvolymer utan en kontrakterad förfallodaghar ökat markant sedan finanskrisen 2008. Inte bara sett utifrån ett perspek-tiv att uppfylla krav som ställs av tillsynsmyndigheter, men också sett utifrånbankens investerings-och finansieringsperspektiv.Målet med det här arbetet är att förse banken med en analys av majoritetenav de olika områdena som man behöver ta hänsyn till när man ska model-lera inlåningar utan förfallodatum, men med ett fokus på volymmodellering.I den här rapporten modelleras räntor (kortränta och kontoränta), kontovoly-merna, kontobeteendet samt likviditetsrisken. Detta görs med hjälp av Vasicekför korträntan, en regressionsmetod samt en metod som föreslagits av Jarrowoch Van Deventer för kontoräntan, SARIMA, SARIMAX och en generell ad-ditiv regressionsmetod för volymerna, en statisk replikeringsportfölj baseradpå Maes och Timmermans modell för att imitera kontona och slutligen så mo-delleras likviditetsrisken med ett ramverk som föreslagits av Kalkbrener ochWilling. Alla dessa nämnda modeller appliceras, där det är möjligt, på de treolika kontotyperna: privatkonton, sparkonton samt företagssparkonto.Resultatet är att räntemodelleringen samt replikeringsportföljen inte ger ade-kvata resultat på grund av den rådande marknaden. Vidare så ger en SARIMA-modell den bästa prediktionen, vilket gör att slutsatsen är att andra exogenavariabler redan är inneslutna i den fördröjda volymvariabeln. Avslutningsvisså ger likviditetsmodellen tillfredsställande resultat och antas vara rimlig.

This thesis aims to cluster financial account time series by extracting global features from the time series and by using two different dimensionality reduction methods, Kohonen Self Organizing Maps and principal component analysis, to cluster the set of the time series by using K-means. The results are then used to further cluster a set of financial services provided by a financial institution, to determine if it is possible to find a set of services which coincide with the time series clusters. The results find several sets of services that are prevalent in the different time series clusters. The resulting method can be used to understand the dynamics between deposits variability and the customers usage of different services and to analyse whether a service is more used in different clusters.
Målet med denna uppsats är att klustra tidsserier över finansiella konton genom att extrahera tidsseriernas karakteristik. För detta används två metoder för att reducera tidsseriernas dimensionalitet, Kohonen Self Organizing Maps och principal komponent analys. Resultatet används sedan för att klustra finansiella tjänster som en kund använder, med syfte att analysera om det existerar ett urval av tjänster som är mer eller mindre förekommande bland olika tidsseriekluster. Resultatet kan användas för att analysera dynamiken mellan kontobehållning och kundens finansiella tjänster, samt om en tjänst är mer förekommande i ett tidsseriekluster.

Market risk is one of the most prevailing risks to which financial institutions are exposed. The most popular approach in quantifying market risk is through Value at Risk. Organisations and regulators often require a long historical horizon of the affecting financial variables to estimate the risk exposures. A long horizon stresses the completeness of the available data; something risk applications need to handle.  The goal of this thesis is to evaluate and propose methods to impute financial time series. The performance of the methods will be measured with respect to both price-, and risk metric replication. Two different use cases are evaluated; missing values randomly place in the time series and consecutively missing values at the end-point of a time series. In total, there are five models applied to each use case, respectively.  For the first use case, the results show that all models perform better than the naive approach. The Lasso model lowered the price replication error by 35% compared to the naive model. The result from use case two is ambiguous. Still, we can conclude that all models performed better than the naive model concerning risk metric replication. In general, all models systemically underestimated the downstream risk metrics, implying that they failed to replicate the fat-tailed property of the price movement.

Optioner säljs och köps idag flitigt av många olika anledningar. En av dessa kan vara spekulation kring framtida händelser för aktiepriser där optioner har fördelar jämfört med aktier i form av en hävstångseffekt. En annan anledning för optionshandel är för att hedga (säkra) risker vilket ställer krav på att innehavet av optionen ska kompensera den negativa effekt som riskerna bidrar till. Med andra ord, om det finns en risk för ett negativt framtida scenario som man inte vill riskera att utsätta sig för så kan optioner vara rätt verktyg att använda sig av.   Risker finns idag överallt, i olika former, vilket har bidragit till att efterfrågan av optioner har ökat enormt de senaste årtiondena. Dock kan risker vara både komplexa och varierande vilket har lett till att mer komplexa optioner har utvecklats för att mätta den efterfrågan som utvecklats på marknaden. Dessa, mer komplexa optioner, kallas exotiska optioner och de skiljer sig från de vanliga europeiska och amerikanska köp- och säljoptionerna. Däribland hittar vi bland annat lookback-optioner i form av bland annat köpoptioner på maximum och kvantiloptioner vilka är två av de huvudsakliga optionerna som diskuteras i uppsatsen.   Det har länge varit känt hur man prissätter europeiska köp- och säljoptioner via Black-Scholes-Mertons modell men desto fler komplexa optioner som tillkommer på marknaden desto mer komplicerade prissättningsmodeller utvecklas. Till skillnad från europeiska köp- och säljoptioner vars utdelning beror på aktiepriset på lösendagen så är lookback-optioner beroende av aktieprisets rörelse under hela kontraktstiden. Detta medför att prissättningen av dessa beror av fler parametrar än i Black-Scholes-Mertons modell, bland annat ockupationstiden för den stokastiska process som beskriver aktiepriset, vilket bidrar till andra prissättningsmodeller.   Uppsatsen har som syfte att redogöra för modellen som används vid prissättningen av kvantiloptioner samt presentera hur deras egenskaper förhåller sig till andra typer av lookback-optioners egenskaper. Det presenteras i rapporten att kvantiloptioner liknar vissa typer av lookback-optioner, mer bestämt köpoptioner på maximum, och att kvantiloptioners egenskaper faktiskt konvergerar mot köpoptioner på maximums egenskaper då kvantilen närmar sig 1. Utifrån detta resonemang så kan det finnas fördelar i att använda kvantiloptioner snarare än köpoptioner på maximum vilket investerare bör ta i hänsyn när, och om, kvantiloptioner introduceras på marknaden.
Options are today used by investors for multiple reasons. One of these are speculation about future market movements, here ownership of options is advantageous over usual ownership of shares in the underlying stock in terms of a leverage effect. Furthermore, investors use options to hedge different kinds of risks that they are exposed to, this demands that the option compensates the possible negative effect that the risk brings to the table. In other words, if there is a risk of a future negative scenario which the investor is risk averse to, then owning specific options which neutralize this risk could be the perfect tool to use.   Risks are today seen all over the market in different shapes which have created a great demand for options over the last decades. However, since risks can be both complex and range over multiple business areas, investors have demanded more complex options which can neutralize the risk exposures. These, more complex options, are called exotic options, and they differ from the regular American and European options in the way they behave with respect to the underlying stock. Amongst these exotic options, we can find different kind of lookback options as well as quantile options which are two of the main options that are discussed in this thesis.   It has been known for a while how to price European call and put options by the Black-Scholes-Merton model. However, with more complex options also comes more complex pricing models and unlike the European options’ payoff which depend on the underlying stock price at time of maturity, the lookback option’s and quantile option’s payoff depend on the stock price movement over the total life span of the option contract. Hence, the pricing of these options depends on more variables than the classic Black-Scholes-Merton model include. One of these variables is the occupation time of the stochastic process which describes the stock price movement, this leads to a more complex and extensive pricing model than the general Black-Scholes-Merton’s model.   The objective of this thesis is to derive the pricing model that is used for quantile options and prove that the properties of quantile options are advantageous when compared to some specific lookback options, viz. call options on maximum.  It is concluded in the thesis that quantile options in fact converges to the call option on maximum for quantiles approaching 1. However, quantile options come with some different properties which potentially makes them a good substitute for the call option on maximum. This is a relevant factor for investors to consider when, and if, quantile options are introduced to the market.