Academic literature on the topic 'Fluides, Mécanique des'

Dans cette thèse, nous étudions (du point de vue mathématique) quelques problèmes asymptotiques provenant de la mécanique des fluides. Ceci est motivé par des raisons d'ordre physique ainsi que numérique : les équations complètes de la physique sont souvent très compliquées et ne peuvent pas être résolues dans leur totalité, ce qui amène à considérer des modèles simplifiés qui prennent en compte les différentes échelles sur lesquelles on peut étudier le système. Ces modèles peuvent être justifiés du point de vue mathématique grâce à des théorèmes de convergence lorsqu'un petit paramètre tend vers zéro. Ceci pose des difficultés mathématiques, souvent dues au changement du type des équations, qui correspondent souvent à une réalité physique : persistance des oscillations, présence de couches limites nous étudions trois exemples qui sont respectivement le passage des équation de Navier-Stokes vers ceux d'Euler dans un domaine avec bord, la limite compressible-incompressible d'un fluide visqueux et finalement l'étude des fluides tournants à grande vitesse.

Notre contribution concerne les trois domaines complémentaires suivants: la différentiation automatique de programmes, l'optimisation de formes pour de grands systèmes, l'adaptation de maillages. Dans le chapitre 1 de la partie 1, nous exposons une méthode de calcul de gradients par Différentiation Automatique pour un problème classique d'optimisation de formes. Nous expliquons comment déduire un gradient exact basé sur un état adjoint sans stocker explicitement le jacobien. Le mode adjoint de la DA que nous proposons utilise beaucoup moins d'espace mémoire. Dans le chapitre 2 de la partie 2, nous proposons une méthode de type SQP pour résoudre une classe de problèmes d'optimisation avec contraintes égalités. Le nouvel algorithme permet une résolution simultanée du système d'optimalité. Cette méthode one shot combine efficacité et robustesse. Dans le chapitre 3 de la partie 2, nous étudions une nouvelle stratégie de préconditionnement pour l'optimisation de formes. Nous construisons un préconditionnement multiniveau additif à partir du principe classique de Bramble-Pasciak-Xu et du principe d'agglomération. Nous spécifions aisément le gain en régularité de notre préconditionneur avec un seul paramètre réel. Dans le chapitre 1 de la partie 3, nous étudions le problème du meilleur maillage adapté pour de l'interpolation pure. La résolution du système d'optimalité donne une expression complètement explicite de la métrique optimale en fonction de la fonction à adapter. Dans le chapitre 2 de la partie 3, nous étendons la méthode du chapitre précédent au problème de l'adaptation de maillage pour EDP. Notre méthode repose sur une analyse a priori rigoureuse puis sur une modélisation.

L'objet de cette thèse est l'analyse mathématique de modèles issus de la mécanique des fluides. L'étude est centrée principalement sur les équations de Navier-Stokes incompressibles inhomogènes et les équations de Navier-Stokes compressibles isentropiques. La première partie est consacrée aux équations différentielles ordinaires associées à des champs de vecteurs a coefficients irréguliers, typiquement à dérivées intégrables. R. J. Di Perna et P. -L. Lions ont été pionniers dans l'étude de champs de vecteurs à régularité W#1#,#1 et à divergence bornée, en montrant l'existence et l'unicité d'un flot X vérifiant la plupart des propriétés des flots de champs de vecteurs réguliers, valables cependant pour presque tout point initial. L'objet de la première partie est d'étendre cette théorie à des champs à divergence non bornée. La preuve repose sur la méthode des solutions normalisées pour les équations de transport, introduites par R. J. Di Perna et P. -L. Lions. Dans la continuité des résultats précédents, on montre d'autre part un théorème d'existence de solutions plus fortes correspondant à des données initiales dans W#1#,#m (m > 1) pour #t +b. * = 0, le champ de vecteurs b associe étant supposé de régularité Sobolev W#s#+#1#,#p avec sp = n. Ces résultats sont ensuite appliqués a une preuve d'unicité des solutions des équations de Navier-Stokes incompressibles inhomogènes en dimension 2. Dans la deuxième partie de ce travail, on s'intéresse à des modèles de fluides incompressibles. On considère une famille de fluides incompressibles non miscibles indexes par 1,. . . , m dans un ouvert de r#n (n 2). Ces fluides sont caractérisés par leur densité i#1im et leur viscosité #i#1##im. Le premier chapitre traite des questions d'existence globale de solutions faibles pour les équations de Navier-Stokes incompressibles lorsque le domaine est non borné. On étudie ensuite la régularité des écoulements plans multiphasiques, en énonçant les résultats en fonction de la dispersion relative des viscosités, tout en tenant compte de l'éventuelle présence de poches de vide dans le milieu fluide. Le troisième chapitre est consacré a quelques remarques sur la régularité des solutions faibles d'une équation issue d'un modèle simplifié de magnétohydrodynamique, couplant les équations de Navier-Stokes incompressibles et les équations de maxwell. Enfin, on étudie les équations de Navier-Stokes modélisant l'évolution d'un fluide compressible isentropique. Les travaux de P. -L. Lions assurent l'existence globale en temps de solutions faibles sous certaines hypothèses sur la loi de pression. En dimension n = 2 ou 3, on peut montrer des résultats de régularité en temps petit pour des densités initiales s'annulant. Lorsque n = 2, on obtient des résultats globaux en temps, sous réserve que la densité reste bornée. On utilise pour cela une estimation logarithmique, démontrée dans le contexte des modèles incompressibles précédemment cités. Dans le second chapitre, on analyse la régularité des solutions faibles en dimension n 2, en montrant une estimation à priori qui donne des renseignements sur la régularité en temps du champ des vitesses.

Notre contribution concerne les trois domaines complémentaires suivants: la différentiation automatique de programmes, l'optimisation de formes pour de grands systèmes, l'adaptation de maillages. Dans le chapitre 1 de la partie 1, nous exposons une méthode de calcul de gradients par Différentiation Automatique pour un problème classique d'optimisation de formes. Nous expliquons comment déduire un gradient exact basé sur un état adjoint sans stocker explicitement le jacobien. Le mode adjoint de la DA que nous proposons utilise beaucoup moins d'espace mémoire. Dans le chapitre 2 de la partie 2, nous proposons une méthode de type SQP pour résoudre une classe de problèmes d'optimisation avec contraintes égalités. Nous utilisons une itération peu coûteuse pour résoudre l'état et l'adjoint. Le nouvel algorithme permet une résolution simultanée du système d'optimalité. Cette méthode one shot combine efficacité et robustesse. Dans le chapitre 3 de la partie 2, nous étudions une nouvelle stratégie de préconditionnement pour l'optimisation de formes. Nous construisons un préconditionnement multiniveau additif à partir du principe classique de Bramble-Pasciak-Xu et du principe d'agglomération. Nous spécifions aisément le gain en régularité de notre préconditionneur avec un seul paramètre réel. Dans le chapitre 1 de la partie 3, nous étudions le problème du meilleur maillage adapté pour de l'interpolation pure. Nous spécifions le maillage par une métrique et nous modélisons l'erreur d'interpolation. La résolution du système d'opti- malité donne une expression complètement explicite de la métrique optimale en fonction de la fonction à adapter. Dans le chapitre 2 de la partie 3, nous étendons la méthode du chapitre précédent au problème de l'adaptation de maillage pour EDP. Notre méthode repose sur une analyse a priori rigoureuse puis sur une modélisation. Il en résulte une formulation de type contrôle optimal avec état adjoint<br>Our contribution concerns the following three complementary domains : Automatic Differentiation, op- timal shape design for large systems, mesh adaption. In the chapter 1 of the part 1, we expose a method to compute gradients using Automatic Differentiation for a classical optimal shape design problem. We exply how to deduce an exact gradient based on an adjoint state without storing explicitly the Jacobian matrix. The reverse mode of the DA that we propose use much legs memory storage. In the chapter 2 of the part 2, we propose a SQP-like method to solve a class of optimization problems with equality constraints. We use a low cost iteration to solve the state and the adjoint. The new algorithm enables to solve simultaneously the optimality system. This one shot method combines efficiency and robustness. In the chapter 3 of the part 2, we study a new preconditioning strategy for optimal shape design. We build an additive multilevel preconditioning starting from the classical Bramble-Pasciak-Xu principle and from the agglomeration principle. We specify easily the gain of regularity of our preconditioning using only one real parameter. In the chapter 1 of the part 3, we study the problem of the best adapted mesh for a pure interpolation problem. We specify the mesh with a metric and we model the interpolation error. The optimality system solution gives a completely explicite expression of the optimal metric as a function of the function to adapt. In the chapter 2 of the part 3, we extend the method of the previous chapter to the problem of mesh adaption for P. D. E. Our method is based on a rigourous a priori analysis followed by a modelization. We obtain an optimal control formulation with an adjoint state

Le travail de thèse exposé dans ce manuscrit porte sur le développement et l'analyse numérique de schémas volumes finis de type dualité discrète (DDFV) pour la discrétisation des équations de Darcy et des équations de Stokes. Un point commun à ces problèmes, qui motive l'emploi des schémas DDFV, est que leur résolution par volumes finis nécessite d'approcher toutes les composantes du gradient de la solution. On étudie tout d'abord la discrétisation du problème de diffusion scalaire anisotrope pour des conditions aux bords mixtes de type Dirichlet/Fourier. Le schéma que nous proposons permet de construire un algorithme de Schwarz discret associé à une décomposition de domaine sans recouvrement qui converge vers la solution obtenue sans décomposition. Des expériences numériques illustrent les résultats théoriques d'estimation d'erreur et de convergence des algorithmes de Schwarz DDFV. On se propose ensuite de discrétiser des problèmes de Stokes avec une viscosité variable. Les schémas DDFV correspondant sont en général mal posés. Pour y remédier, on stabilise le bilan de masse par différents termes en pression. Dans un second temps, on considère le cas où la viscosité est discontinue. Ces discontinuités doivent être prise en compte par le schéma pour surmonter la perte de consistance des contraintes à l'interface. Ensuite une première étude de l'extension des schémas DDFV aux équations de Navier-Stokes est présentée aussi qu'une généralisation des résultats pour le problème de Stokes avec une viscosité régulière dans le cas tridimensionnel.

Dans cette thèse on étudie la contrôlabilité globale de quelques équations non linéaires issues de la mécanique des fluides, précisément des équations de type Burgers, une équation de Korteweg-de Vries, et un système de Navier-Stokes 2-D. La stratégie employée consiste, d'une part, à appliquer la méthode du retour de J.-M. Coron, et d'autre part, à jouer sur la non linéarité de l'équation considérée. <br />De cette manière, on montre dans la première partie la contrôlabilité globale exacte pour tout temps d'équations de type Burgers non visqueuses puis on utilise ensuite ce résultat pour obtenir un résultat de contrôlabilité globale approchée pour l'équation de Burgers visqueuse. Cette propriété, combinée avec un résultat de contrôlabilité locale, entraîne ainsi la contrôlabilité globale aux trajectoires de l'équation de Burgers visqueuse, pour tout temps. <br />Dans la deuxième partie, on procède d'une manière similaire pour obtenir la contrôlabilité globale exacte d'une équation de Korteweg-de Vries non linéaire, pour tout temps. <br />Enfin, dans la dernière partie on s'intéresse à un système de Navier-Stokes 2-D avec conditions aux bords de type Navier. On obtient, en utilisant cette fois des résultats sur l'équation d'Euler des fluides incompressibles, la contrôlabilité globale à zéro, pour tout temps.

Une approche récente permettant d'étudier les équations issues de la Mécanique des Fluides consiste à considérer les symétries de ces équations. Les succès des développements théoriques, notamment en turbulence, ont justifié la pertinence d'une telle approche. Sur le plan numérique, les méthodes d'intégration construites sur des arguments liés à la structure géométrique des équations s'appellent les intégrateurs géométriques. Dans la première partie de la thèse, on présente la classe d'intégrateurs géométriques probablement la plus connue; ce sont les intégrateurs symplectiques pour les systèmes hamiltoniens. Dans une seconde partie, on introduit les intégrateurs variationnels, construits pour reproduire les lois de conservation des systèmes lagrangiens. Cependant, la plupart des équations de la Mécanique des Fluides ne dérive pas d'un Lagrangien. On expose alors dans la dernière partie une méthode de construction de schémas numériques respectant les symétries d'une équation. Cette méthode est basée sur une formulation moderne des repères mobiles. On présente une contribution au développement de cette méthode; elle permet d'obtenir un schéma invariant possédant un ordre de précision déterminé. Des exemples issus des équations modèles de la Mécanique des Fluides sont traités.

Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique de quelques modèles hétérogènes intervenants en mécanique des fluides. En particulier, elle est consacré a l'étude théorique des systèmes d'équations aux derivées partielles décrivants les trois modèles principaux que nous voulons présenter dans la suite. Le premier modèle étudié dans cette thèse est consacré à l'étude de l'écoulement d'un fluide visqueux newtonien et incompressible dans un bassin avec bathymétrie qui dégenère proche du bord. Le modèle mathématique étudié provient alors des équations de Navier-Stokes incompressible. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé, au sens qu'on peut garantir l'existence globale et l'unicité de solutions faibles. Nous discuterons aussi la régularité de la solution faible. Finalement,nous établissons la convergence de la solution du modèle visqueux vers celle du modèle non visqueux quand le coefficient de viscosité tend vers zéro.La deuxième partie est dédiée à l'étude d'un modèle issu du système de Navier-Stokes dispersif ( il contient une correction dispersive) qui est lui meme obtenu à partir de la théorie cinétique des gaz. Notre modèle mathématique est dérivé a partir de ce dernier en supposant que le nombre de Mach est très faible. Le modèle obtenu est nommé effet fantôme (ou ghost effect an anglais), puisqu'il ne peut pas être obtenu à partir du modèle de Navier-Stokes compressible classique. L'objectif dans ce cadre sera d'étendre un résultat concernant l'existence locale d'une solution forte vers l'existence globale d'une solution faible. L'ingrédient principal dans notre analyse est une nouvelle inégalité fonctionnelle de type Log-Sobolev.La troisième partie de ce document est une contribution à une thématique de recherche se proposant d'analyser la compréhension des phénomènes rencontrés en géophysique qui font intervenir des milieux granulaires. Le modèle mathématique choisi est de type Bingham incompressible dont on fait dépendre le seuil de plasticité et le coe fficient de viscosité de la pression. On montre un résultat d'existence globale d'une solution faible du problème de Cauchy associé<br>This thesis is devoted to the mathematical analysis of heterogeneous models raised by fluid mechanics. In particular, it is devoted to the theoretical study of partial differential equations used to describe the three main models that we present below.Initially, we are interested to study the motion of a compressible newtonienfluids in a basin with degenerate topography. The mathematical model studied derives from incompressible Navier-Stokes equations. We are interested to prove that the Cauchy problem associated is well posed. Well-posedness means that there exists a solution, that it is unique. In the meantime, we prove that the solution of the viscous model converges to the one of the inviscid limit model when the viscosity coe cient tends to zero.The second part in my thesis is devoted to study a model that arises from dispersive Navier-Stokes equations (that includes dispersive corrections to the classical compressible Navier-Stokes equations). Our model is derived from the last model assuming that the Mach number is very low. The obtained system is a Ghost eect system, which is so named because it can be derived from Kinetic theory. The main goal of this part is to extend a result concerning the local existence of strong solution to a global-in time existence of weak solutions. The main ingredient in this work is a new functional inequality of Log-Sobolev type.The last part of my thesis is a part of a research theme intends to analyze the understanding of phenomena encountered in geophysics which involves granular media. The mathematical model is of Bingham incompressible type with viscosity and placticity depending on the pressure. We provide a global existence of weak solutions of the Cauchy problem associated

Le présent travail porte sur l'étude mathématique, théorique et numérique, de quelques problèmes issus de la mécanique des fluides. La thèse est divisée en trois chapitres. Le chapitre I, fluide à viscosité non linéaire dans un domaine de faible épaisseur, étudie l'écoulement d'un fluide incompressible dans un domaine tridimensionnel pour lequel la troisième dimension est beaucoup plus petite que les deux autres. L'écoulement est régi par des équations du type Navier-Stokes stationnaire, les inconnues étant la vitesse et la pression du fluide. Deux cas sont traités, suivant la présence ou l'absence des forces volumiques et les conditions au bord. Le chapitre II, ainsi que le chapitre III de la thèse portent essentiellement sur des problèmes d'homogénéisation et des techniques de petits paramètres. La méthode d'homogénéisation est une méthode mathématique utilisée pour l'étude des problèmes posés dans un milieu non-homogène qui présente une structure périodique. Au chapitre II, convergence triple-échelle pour le problème de Stokes, on étudie le problème de Stokes classique. Le problème est posé dans un domaine qui contient des inclusions solides réparties périodiquement, avec périodicités de l'ordre d'un petit paramètre [epsilon] et de l'ordre de [epsilon] 2. Pour le passage à la limite on utilise la méthode de convergence 3-échelle. Le problème homogénéisé obtenu est un problème à trois pressions. Le chapitre III, calcul de la charge dans un système hydraulique est une étude théorique et numérique d'un problème pratique: le calcul de la charge dans un système hydraulique. Les équations traitées ici sont également rencontrées dans d'autres domaines, comme les problèmes du type thermique par exemple. L'étude faite ici peut donc être appliquée à une classe plus large de problèmes physiques<br>This work represents a mathematical study, theoretical and numerical, of some problems related to fluid mechanics. The thesis has three chapters. Chapter I, "nonlinear flow throught a thin slab", is devoted to the study of an incompressible fluid flow. We work in a 3D domain with the height much more smaller than the other two dimensions. We are interested in the Navier-Stokes flow : two cases are treated, provided the presence or not of volume forces and boundary conditions. In chapter II we treat some problems related to the homogenization theory and small parameters technic. The homogenization method is a mathematical method used for the study of the non-homogeneous media with periodic structure. In chapter II, "three-scale convergence for the Stokes problem", we study the classical stationnary Stokes problem. We work in a 3D domain which contains solid obstacles two-periodically distributed, with [epsilon]-periodicity (respectively [epsilon] 2), where [epsilon] is a small parameter. For passing to the limit we use the 3-scale convergence method. The homogenized problem is a three-pressures system. Chapter III, "calculation of the charge in a hydraulic system" is a theoretical and numerical study of a pratical problem : calculation of the charge in a hydraulic system. The equations presented here are find in other domains, such as thermical problems. So this study can be applied to a large class of physical problems