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Dinh, Si, Krzysztof Kurdyka, and Patrice Orro. "Gradient horizontal de fonctions polynomiales." Annales de l’institut Fourier 59, no. 5 (2009): 1999–2042. http://dx.doi.org/10.5802/aif.2481.
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Llanos, Viviana Carolina, and Maria Rita Otero. "Caractérisation des fonctions didactiques Topogenèse, Mésogenèse et Chronogenèse dans un Parcours d’Étude et Recherche (PER) monodisciplinaire dans l’École Secondaire." Jornal Internacional de Estudos em Educação Matemática 10, no. 3 (2018): 220. http://dx.doi.org/10.17921/2176-5634.2017v10n3p220-227.
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Ce travail présente quelques résultats d’une recherche qui essaie d’introduire les PER dans l’école secondaire en Argentine. Le PER développéa permis de « couvrir » le programme de mathématiques des trois dernières années de l’école secondaire, mais ici on décrit seulement les résultats de la première partie, laquelle est liée à l’étude des fonctions polynomiales de deuxième degré. On analyse quelques caractéristiques de l’Organisation Praxéologique de Référence (OPR) et de l’activité mathématique développée dans le PER. Mots clés: Parcours d’Étude et de Recherche (PER). Fonctions Polynomiales du Second Degré. Fonctions Didactiques. École Secondaire.AbstractThis work presents some results of a research that try to introduce Study and Research Course (SRC) in the secondary school in Argentina. The RSC allows to “cover” the program of mathematics of the last three years of the secondary school, but this work describes the results of the first report, which allows reconstructing the Mathematical Organization (MO) of the polynomial functions of the second. The characteristics of the Mathematical Organization effectively Reconstructed (MOER) and the mathematical activity developed in the RSC are analyzed. Keywords: Study and Research Course (SRC). Polynomial Functions of the Second Degree. Didactic Functions. Secondary School.
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Beuchat, Jean-Luc, and Arnaud Tisserand. "Evaluation polynomiale en-ligne de fonctions élémentaires sur FPGA." Techniques et sciences informatiques 23, no. 10 (2004): 1247–67. http://dx.doi.org/10.3166/tsi.23.1247-1267.
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4
Bertolin, Cristiana. "G-Fonctions et cohomologie des hypersurfaces singuliéres II." Bulletin of the Australian Mathematical Society 58, no. 2 (1998): 189–98. http://dx.doi.org/10.1017/s0004972700032160.
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Following Dwork's indications, in this work we give a further elaboration and a list of corrections for the article “G-fonctions et cohomologie des hypersurfaces singulières”. Moreover we extend the contents of that work to quasi-homogeneous polynomials.
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Chouikha, Raouf. "Fonctions Elliptiques et Équations Différentielles Ordinaires." Canadian Mathematical Bulletin 40, no. 3 (1997): 276–84. http://dx.doi.org/10.4153/cmb-1997-034-7.
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RésuméIn this paper, we detail some results of a previous note concerning a trigonometric expansion of the Weierstrass elliptic function . In particular, this implies its classical Fourier expansion. We use a direct integration method of the ODEwhere P(u) is a polynomial of degree n = 2 or 3. In this case, the bifurcations of (E) depend on one parameter only. Moreover, this global method seems not to apply to the cases n > 3.
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Bertolin, Cristiana. "G-fonctions et cohomologie des hypersurfaces singulières." Bulletin of the Australian Mathematical Society 55, no. 3 (1997): 353–83. http://dx.doi.org/10.1017/s0004972700034043.
Full textAbstract:
Our object of study is the arithmetic of the differential modules (l) (l ∈ ℕ – {0}), associated by Dwork's theory to a homogeneous polynomial f (λ,X) with coefficients in a number field. Our main result is that (1) is a differential module of type G, c'est-à-dire, a module those solutions are G-functions. For the proof we distinguish two cases: the regular one and the non regular one.Our method gives us an effective upper bound for the global radius of (l), which doesn't depend on “l” but only on the polynomial f (λ,X). This upper bound is interesting because it gives an explicit estimate for the coefficients of the solutions of (l).In the regular case we know there is an isomorphism of differential modules between (1) and a certain De Rham cohomology group, endowed with the Gauss-Manin connection, c'est-à-dire, our module “comes from geometry”. Therefore our main result is a particular case of André's theorem which assert that at least in the regular case, all modules coming from geometry are of type G.
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RIVOAL, TANGUY. "APPLICATIONS ARITHMÉTIQUES DE L'INTERPOLATION LAGRANGIENNE." International Journal of Number Theory 05, no. 02 (2009): 185–208. http://dx.doi.org/10.1142/s1793042109001992.
Full textAbstract:
Newton's polynomial interpolation was applied in many situations in number theory, for example, to prove Polya's famous theorem on the growth of arithmetic entire function or the transcendency of eπ by Gel'fond. In this paper, we study certain arithmetic applications of the rational interpolation defined by René Lagrange in 1935, which was never done before. More precisely, we obtain new proofs of the irrationality of the numbers log(2) and ζ(3). Furthermore, we provide a simultaneous generalization of Newton and Lagrange's interpolations, which enables us to get the irrationality of ζ(2). L'interpolation polynomiale de Newton a eu de très nombreuses applications arithmétiques en théorie des nombres, comme le célèbre théorème de Polya sur la croissance des fonctions entières arithmétiques ou encore la transcendance de eπ par Gel'fond. Dans ce papier, on présente certaines applications arithmétiques de l'interpolation rationnelle définie par René Lagrange en 1935, ce qui n'avait jamais été fait auparavant. On retrouve ainsi l'irrationalité des nombres log(2) et ζ(3). On montre ensuite comment généraliser simultanément l'interpolation de Newton et celle de Lagrange, ce qui nous permet de retrouver l'irrationalité de ζ(2).
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Sénéchal, David. "Gravité quantique et modèles de matrices." Canadian Journal of Physics 69, no. 7 (1991): 837–54. http://dx.doi.org/10.1139/p91-138.
Full textAbstract:
A review of the main results recently obtained in the study of two-dimensional quantum gravity is offered. The analysis of two-dimensional quantum gravity by the methods of conformal field theory is briefly described. Then the treatment of quantum gravity in terms of matrix models is explained, including the notions of continuum limit, planar approximation, and orthogonal polynomials. Correlation fonctions are also treated, as well as phases of the matrix models.
9
Llamas, J., C. Diaz Delgado, and M. L. Lavertu. "Application de la fonction bêta et des polynômes de Jacobi à l'analyse des valeurs extrêmes." Canadian Journal of Civil Engineering 21, no. 6 (1994): 1074–80. http://dx.doi.org/10.1139/l94-111.
Full textAbstract:
In this paper, an improved probabilistic method for flood analysis using the probable maximum flood, the beta function, and orthogonal Jacobi’s polynomials is proposed. The shape of the beta function depends on the sample's characteristics and the bounds of the phenomenon. On the other hand, a serial of Jacobi’s polynomials has been used improving the beta function and increasing its convergence degree toward the real flood probability density function. This mathematical model has been tested using a sample of 1000 generated beta random data. Finally, some practical applications with real data series, from important Quebec's rivers, have been performed; the model solutions for these rivers showed the accuracy of this new method in flood frequency estimation. Key words: probable maximum flood, beta function, orthogonal polynomials, distribution function, flood frequency estimation, data generation, convergency.
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Zeriahi, Ahmed. "Meilleure approximation polynomiale et croissance des fonctions entières sur certaines variétés algébriques affines." Annales de l’institut Fourier 37, no. 2 (1987): 79–104. http://dx.doi.org/10.5802/aif.1087.
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11
Poizat, Bruno. "A la recherche de la definition de la complexite d'espace pour le calcul des polynomes a la maniere de Valiant." Journal of Symbolic Logic 73, no. 4 (2008): 1179–201. http://dx.doi.org/10.2178/jsl/1230396913.
Full textAbstract:
RésuméNous définissons une classe de suites de polynômes, calculés par des circuits de complexité polynomiale comprenant des additions, des soustractions. des multiplications et des sommations de Valiant. Nous montrons que cette classe est close pour la prise de la fonction-coefficient. définie au paragraphe 3 de cet article; nous en déduisons l'existence d'un circuit de complexité 72.n2, calculant le coefficient binomial de deux nombres de n chiffres, donnés en base 2. Il est par ailleurs facile de construire un circuit de complexité 17.n + 2 calculant la factorielle d'un nombre de n chiffres. La présence de 2.n sommations d'effet exponentiel dans chacun de ces circuits en affecte gravement l'intérêt pratique. II est peu probable, ou du moins peu souhaitable. qu'on puisse éliminer ces sommations sans explosion, car cela provoquerait la catastrophe cryptographique que redoutent tous les banquiers; néanmoins, nous ne savons pas séparer la classe définie ici de celle des suites de polynômes calculables en un nombre polynomial d'opérations arithmétiques. Cela n'a rien de surprenant, vu la très grande affinité qu'elle a avec la classe PSPACE: nous montrons en effet que cette classe est identique à la classe VPSPACE, définie antérieurement par Koiran et Perifel, qui apparaît ici sous une forme bien plus maniable que l'originale.
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Portier, Natacha. "Le problème des grandes puissances et celui des grandes racines." Journal of Symbolic Logic 65, no. 4 (2000): 1675–85. http://dx.doi.org/10.2307/2695068.
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RésuméSoit f une fonction de N dans N qui ne soit pas calculable en temps polynomial, et a un élément d'un corps differentiel K de caractéristique nulle. Nous appelons probleme des grandes puissances l'ensembledes uples = (x1…..xn) de K telsque x1 = af(n) et problème des grandes racines l'ensemble des uples de K tels que . Ce sont deux exemples de problèmes que l'utilisation de la dérivée ne permet pas de résoudre plus rapidement. Nous montrons que le problème des grandes racines n'est pas polynomial au sens des corps differentiels, même si nous autorisons un nombre polynomial de paramètres. et que le problème des grandes puissances n'est pas polynomial au sens des corps differentiels. même au niveau non uniforme. Les démonstrations utilisent la stabilité polynomial de la théorie des corps de caractéristique nulle. montrée par L. Blum, F. dicker. M. Shub et S. Smale, ainsi que le lemme de réduction qui permet de ramener un polynôme differentiel des variables a un polynôme des variables et de leurs dérivées.
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Helfer, B., and J. Nourrigat. "Decroissance a l'infini des fonctions propres de l'operateur de schrodinger avec champ electromagnetique polynomial." Journal d'Analyse Mathématique 58, no. 1 (1992): 263–75. http://dx.doi.org/10.1007/bf02790367.
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El Fassi, Kaouthar, Belkacem Abdous, and Mounir Mesbah. "Ajustement polynomial local de la fonction d'égalisation équipercentile : convergence uniforme presque sûre." Comptes Rendus Mathematique 347, no. 3-4 (2009): 195–200. http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2008.12.019.
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Ferrigno, Sandie, and Gilles R. Ducharme. "Un choix de fenêtre optimal en estimation polynomiale locale de la fonction de répartition conditionnelle." Comptes Rendus Mathematique 346, no. 1-2 (2008): 83–86. http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2007.11.026.
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Rioux, R. "Comparaison de deux méthodes de mesure de l’efficacité et de la vitesse d’action des défanants sur la pomme de terre." Phytoprotection 72, no. 2 (2005): 53–60. http://dx.doi.org/10.7202/706003ar.
Full textAbstract:
On a comparé les résultats des mesures visuelles et métriques pour l'évaluation de l'efficacité et de la vitesse d'action des défanants de la pomme de terre (Solarium tuberosum) dans trois études conduites en champs à La Pocatière (Québec). Les résultats des deux mesures ont concordé dans 82,5% des cas pour la question d'évaluer si un effet était statistiquement significatif ou pas au seuil de 5%. La relation entre les deux mesures a été du type linéaire. Pour estimer la vitesse d'action du défanage, un polynôme a été ajusté à la réponse du défanage en fonction du temps et une analyse multivariée a été effectuée sur les coefficients des composantes polynomiales obtenues. Les résultats des deux types de mesures ont concordé dans 100% des cas. Il n'est donc pas nécessaire d'utiliser des mesures métriques pour exprimer l'efficacité et la vitesse d'action d'un défanant; les mesures visuelles sont tout aussi efficaces.
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Diop, Amadou Tamsir, Alexandre Ickowicz, M. Diène, and J. C. Nzimulinda. "Production laitière dans la zone sylvopastorale du Sénégal : étude des facteurs de variation et modes de gestion par les populations locales." Revue d’élevage et de médecine vétérinaire des pays tropicaux 62, no. 1 (2009): 39. http://dx.doi.org/10.19182/remvt.10092.
Full textAbstract:
Dans la région sahélienne du Sénégal, la production laitière des systèmes pastoraux connaît des variations interannuelles et intra-annuelles du fait que l’alimentation du cheptel est basée presque exclusivement sur les ressources naturelles. Les études menées à partir d’un dispositif de suivi dans les campements d’éleveurs et en station, et des données de la société Nestlé ont montré que la production laitière était fortement liée à la date de démarrage de la collecte, mais faiblement à la pluviométrie totale. La relation entre la production laitière totale et les indices de végétation normalisés (NDVI) était de type polynomial. Le pic de la production a été atteint au moment où la teneur en eau des fourrages a été de 70 p. 100. Des enquêtes auprès de pasteurs (hommes et femmes) appartenant à différentes ethnies et résidant dans les différents soussystèmes de production (Walo, Djoloff et Ferlo) ont indiqué que la durée de lactation, le nombre de vaches et les espèces animales ont constitué les principaux facteurs de variation de la production laitière. En fonction de l’ethnie à laquelle ils appartenaient, différents acteurs ont été responsables de la gestion du lait. Le caillage et l’extraction du beurre ont constitué les deux modes de conservation, et cinq types de calebasses ont été utilisés lors du processus. Les produits laitiers occupaient encore une place importante dans les revenus agricoles et le lait caillé écrémé était le produit le plus commercialisé.
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El Fassi, Kaouthar, Belkacem Abdous, and Mounir Mesbah. "Corrigendum à la Note « Ajustement polynomial local de la fonction d'égalisation équipercentile : convergence uniforme presque sûre » [C. R. Acad. Sci. Paris, Ser. I 347 (3–4) (2009) 195–200]." Comptes Rendus Mathematique 347, no. 13-14 (2009): 827. http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2009.05.001.
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Ardila, Federico, and Florian Block. "Universal Polynomials for Severi Degrees of Toric Surfaces." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AR,..., Proceedings (2012). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3089.
Full textAbstract:
International audience The Severi variety parametrizes plane curves of degree $d$ with $\delta$ nodes. Its degree is called the Severi degree. For large enough $d$, the Severi degrees coincide with the Gromov-Witten invariants of $\mathbb{CP}^2$. Fomin and Mikhalkin (2009) proved the 1995 conjecture that for fixed $\delta$, Severi degrees are eventually polynomial in $d$. In this paper, we study the Severi varieties corresponding to a large family of toric surfaces. We prove the analogous result that the Severi degrees are eventually polynomial as a function of the multidegree. More surprisingly, we show that the Severi degrees are also eventually polynomial "as a function of the surface". Our strategy is to use tropical geometry to express Severi degrees in terms of Brugallé and Mikhalkin's floor diagrams, and study those combinatorial objects in detail. An important ingredient in the proof is the polynomiality of the discrete volume of a variable facet-unimodular polytope. La variété de Severi paramétrise les courbes planes de degré $d$ avec $\delta$ nœuds. Son degré s'appelle le degré de Severi. Pour $d$ assez grand, les degrés de Severi coïncident avec les invariants de Gromov-Witten de $\mathbb{CP}^2$. Fomin et Mikhalkin (2009) ont prouvé une conjecture de 1995 que pour $\delta$ fixé, les degrés de Severi sont à terme des polynômes en $d$. Nous étudions les variétés de Severi correspondant à une large famille de surfaces toriques. Nous prouvons le résultat analogue que les degrés de Severi sont à terme des fonctions polynomiales du multidegré. De manière plus surprenante, nous montrons que les degrés de Severi sont à terme des polynômes en tant que "fonction de la surface''. Notre stratégie est d'utiliser la géométrie tropicale pour exprimer les degrés de Severi en fonction des "floor diagrams" de Brugallé et Mikhalkin, et d'utiliser ces objets combinatoires en détail. Un autre ingrédient important de la preuve est la polynomialité du volume discret d'un polytope face-unimodulaire variable.
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Mèliot, Pierre-Loïc. "Fluctuations of central measures on partitions." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AR,..., Proceedings (2012). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3048.
Full textAbstract:
International audience We study the fluctuations of models of random partitions $(\mathbb{P}_n,ω )_n ∈\mathbb{N}$ stemming from the representation theory of the infinite symmetric group. Using the theory of polynomial functions on Young diagrams, we establish a central limit theorem for the values of the irreducible characters $χ ^λ$ of the symmetric groups, with $λ$ taken randomly according to the laws $\mathbb{P}_n,ω$ . This implies a central limit theorem for the rows and columns of the random partitions, and these ``geometric'' fluctuations of our models can be recovered by relating central measures on partitions, generalized riffle shuffles, and Brownian motions conditioned to stay in a Weyl chamber. Nous étudions les fluctuations de modèles de partitions aléatoires $(\mathbb{P}_n,ω )_n ∈\mathbb{N}$ issus de la théorie des représentations du groupe symétrique infini. En utilisant la théorie des fonctions polynomiales sur les diagrammes de Young, nous établissons un théorème central limite pour les valeurs des caractères irréductibles $χ ^λ$ des groupes symétriques, avec $λ$ pris aléatoirement suivant les lois $\mathbb{P}_n,ω$ . Ceci implique un théorème central limite pour les lignes et les colonnes des partitions aléatoires, et ces fluctuations ``géométriques'' de nos modèles peuvent être retrouvées en reliant les mesures centrales sur les partitions, les battages généralisés de cartes, et les mouvements browniens conditionnés à rester dans une chambre de Weyl.
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Baldoni, Velleda, Nicole Berline, Brandon Dutra, Matthias Köppe, Michele Vergne, and Jesus De Loera. "Top Coefficients of the Denumerant." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AS,..., Proceedings (2013). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2373.
Full textAbstract:
International audience For a given sequence $\alpha = [\alpha_1,\alpha_2,\ldots , \alpha_N, \alpha_{N+1}]$ of $N+1$ positive integers, we consider the combinatorial function $E(\alpha)(t)$ that counts the nonnegative integer solutions of the equation $\alpha_1x_1+\alpha_2 x_2+ \ldots+ \alpha_Nx_N+ \alpha_{N+1}x_{N+1}=t$, where the right-hand side $t$ is a varying nonnegative integer. It is well-known that $E(\alpha)(t)$ is a quasipolynomial function of $t$ of degree $N$. In combinatorial number theory this function is known as the $\textit{denumerant}$. Our main result is a new algorithm that, for every fixed number $k$, computes in polynomial time the highest $k+1$ coefficients of the quasi-polynomial $E(\alpha)(t)$ as step polynomials of $t$. Our algorithm is a consequence of a nice poset structure on the poles of the associated rational generating function for $E(\alpha)(t)$ and the geometric reinterpretation of some rational generating functions in terms of lattice points in polyhedral cones. Experiments using a $\texttt{MAPLE}$ implementation will be posted separately. Considérons une liste $\alpha = [\alpha_1,\alpha_2,\ldots , \alpha_N, \alpha_{N+1}]$ de $N+1$ entiers positifs. Le dénumérant $E(\alpha)(t)$ est lafonction qui compte le nombre de solutions en entiers positifs ou nuls de l’équation $\sum^{N+1}_{i=1}x_i\alpha_i=t$, où $t$ varie dans les entiers positifs ou nuls. Il est bien connu que cette fonction est une fonction quasi-polynomiale de $t$, de degré $N$. Nous donnons un nouvel algorithme qui calcule, pour chaque entier fixé $k$ (mais $N$ n’est pas fixé, les $k+1$ plus hauts coefficients du quasi-polynôme $E(\alpha)(t)$ en termes de fonctions en dents de scie. Notre algorithme utilise la structure d’ensemble partiellement ordonné des pôles de la fonction génératrice de $E(\alpha)(t)$. Les $k+1$ plus hauts coefficients se calculent à l’aide de fonctions génératrices de points entiers dans des cônes polyèdraux de dimension inférieure ou égale à $k$.
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Dolęga, Maciej, and Piotr Sniady. "Polynomial functions on Young diagrams arising from bipartite graphs." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AO,..., Proceedings (2011). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2908.
Full textAbstract:
International audience We study the class of functions on the set of (generalized) Young diagrams arising as the number of embeddings of bipartite graphs. We give a criterion for checking when such a function is a polynomial function on Young diagrams (in the sense of Kerov and Olshanski) in terms of combinatorial properties of the corresponding bipartite graphs. Our method involves development of a differential calculus of functions on the set of generalized Young diagrams. Nous étudions la classe des fonctions sur l'ensemble des diagrammes de Young (généralisés) qui sont définies comme des nombres d'injections de graphes bipartites. Nous donnons un critère pour savoir si une telle fonction est une fonctions polynomiale sur les diagrammes de Young (au sens de Kerov et Olshanski) utilisant les propriétés combinatoires des graphes bipartites correspondants. Notre méthode repose sur le développement d'un calcul différentiel sur les fonctions sur les diagrammes de Young généralisés.
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Breuer, Felix, and Aaron Dall. "Viewing counting polynomials as Hilbert functions via Ehrhart theory." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AN,..., Proceedings (2010). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2871.
Full textAbstract:
International audience Steingrímsson (2001) showed that the chromatic polynomial of a graph is the Hilbert function of a relative Stanley-Reisner ideal. We approach this result from the point of view of Ehrhart theory and give a sufficient criterion for when the Ehrhart polynomial of a given relative polytopal complex is a Hilbert function in Steingrímsson's sense. We use this result to establish that the modular and integral flow and tension polynomials of a graph are Hilbert functions. Steingrímsson (2001) a montré que le polynôme chromatique d'un graphe est la fonction de Hilbert d'un idéal relatif de Stanley-Reisner. Nous abordons ce résultat du point de vue de la théorie d'Ehrhart et donnons un critère suffisant pour que le polynôme d'Ehrhart d'un complexe polytopal relatif donné soit une fonction de Hilbert au sens de Steingrímsson. Nous utilisons ce résultat pour établir que les polynômes de flux et de tension modulaires et intégraux d'un graphe sont des fonctions de Hilbert.
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Bessi, Radhia. "Approximation with activation functions and applications." Revue Africaine de la Recherche en Informatique et Mathématiques Appliquées Volume 32 - 2019 - 2020 (April 30, 2021). http://dx.doi.org/10.46298/arima.6464.
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International audience Function approximation arises in many branches of applied mathematics and computer science, in particular in numerical analysis, in finite element theory and more recently in data sciences domain. From most common approximation we cite, polynomial, Chebychev and Fourier series approximations. In this work we establish some approximations of a continuous function by a series of activation functions. First, we deal with one and two dimensional cases. Then, we generalize the approximation to the multi dimensional case. Examples of applications of these approximations are: interpolation, numerical integration, finite element and neural network. Finally, we will present some numerical results of the examples above. La théorie d’approximation des fonctions couvre de nombreuses branches en mathématiques appliquées, en informatique et en sciences de l’ingénieur, en particulier en analyse numérique, en théorie des éléments finis et plus récemment en sciences des données. Parmi les approximations fortement utilisées nous citons les approximations polynomiale de type Lagrange, Hermite ou au sens de Chebychev. Nous trouvons aussi l’approximation d’une fonction par une séries de Fourier, l’approximation rationnelle...Dans ce travail, nous établissons quelques résultats d’approximations d’une fonction continue par une série de fonctions de type activation. Nous traitons d’abord les cas d’une fonction à une seule puis à deux variables, puis nous généralisons l’approximation au cas multidimensionnel. Nous appliquons ces approximations pour l’interpolation et l’intégration numérique, en éléments finis et en réseau neuronal. Nous donnons pour chaque application quelques résultats numériques.
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Li, Nan. "Product of Stanley symmetric functions." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AR,..., Proceedings (2012). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3064.
Full textAbstract:
International audience We study the problem of expanding the product of two Stanley symmetric functions $F_w·F_u$ into Stanley symmetric functions in some natural way. Our approach is to consider a Stanley symmetric function as a stabilized Schubert polynomial $F_w=\lim _n→∞\mathfrak{S}_{1^n×w}$, and study the behavior of the expansion of $\mathfrak{S} _{1^n×w}·\mathfrak{S} _{1^n×u}$ into Schubert polynomials, as $n$ increases. We prove that this expansion stabilizes and thus we get a natural expansion for the product of two Stanley symmetric functions. In the case when one permutation is Grassmannian, we have a better understanding of this stability. Nous étudions le problème de développement du produit de deux fonctions symétriques de Stanley $F_w·F_u$ en fonctions symétriques de Stanley de façon naturelle. Notre méthode consiste à considérer une fonction symétrique de Stanley comme un polynôme du Schubert stabilisè $F_w=\lim _n→∞\mathfrak{S}_{1^n×w}$, et à étudier le comportement de développement de $\mathfrak{S} _{1^n×w}·\mathfrak{S} _{1^n×u}$ en polynômes de Schubert lorsque $n$ augmente. Nous prouvons que cette développement se stabilise et donc nous obtenons une développement naturelle pour le produit de deux fonctions symétriques de Stanley. Dans le cas où l'une des permutations est Grassmannienne, nous avons une meilleure compréhension de cette stabilité.
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Féray, Valentin, and Piotr Sniady. "Dual combinatorics of zonal polynomials." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AO,..., Proceedings (2011). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2913.
Full textAbstract:
International audience In this paper we establish a new combinatorial formula for zonal polynomials in terms of power-sums. The proof relies on the sign-reversing involution principle. We deduce from it formulas for zonal characters, which are defined as suitably normalized coefficients in the expansion of zonal polynomials in terms of power-sum symmetric functions. These formulas are analogs of recent developments on irreducible character values of symmetric groups. The existence of such formulas could have been predicted from the work of M. Lassalle who formulated two positivity conjectures for Jack characters, which we prove in the special case of zonal polynomials. Dans cet article, nous établissons une nouvelle formule combinatoire pour les polynômes zonaux en fonction des fonctions puissance. La preuve utilise le principe de l'involution changeant les signes. Nous en déduisons des formules pour les caractères zonaux, qui sont définis comme les coefficients des polynômes zonaux écrits sur la base des fonctions puissance, normalisés de manière appropriée. Ces formules sont des analogues de développements récents sur les caractères du groupe symétrique. L'existence de telles formules aurait pu être prédite à partir des travaux de M. Lassalle, qui a proposé deux conjectures de positivité sur les caractères de Jack, que nous prouvons dans le cas particulier des polynômes zonaux.
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Hicks, Angela. "Polynomials and Parking Functions." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AR,..., Proceedings (2012). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3024.
Full textAbstract:
International audience In a 2010 paper Haglund, Morse, and Zabrocki studied the family of polynomials $\nabla C_{p1}\dots C_{pk}1$ , where $p=(p_1,\ldots,p_k)$ is a composition, $\nabla$ is the Bergeron-Garsia Macdonald operator and the $C_\alpha$ are certain slightly modified Hall-Littlewood vertex operators. They conjecture that these polynomials enumerate a composition indexed family of parking functions by area, dinv and an appropriate quasi-symmetric function. This refinement of the nearly decade old ``Shuffle Conjecture,'' when combined with properties of the Hall-Littlewood operators can be shown to imply the existence of certain bijections between these families of parking functions. In previous work to appear in her PhD thesis, the author has shown that the existence of these bijections follows from some relatively simple properties of a certain family of polynomials in one variable x with coefficients in $\mathbb{N}[q]$. In this paper we introduce those polynomials, explain their connection to the conjecture of Haglund, Morse, and Zabrocki, and explore some of their surprising properties, both proven and conjectured. Dans un article de 2010, Haglund, Morse et Zabrocki étudient la famille de polynômes $\nabla C_{p1}\dots C_{pk}1$ où $p=(p_1,\ldots,p_k)$ est une composition, $\nabla$ est l’opérateur de Bergeron-Garsia et les $C_\alpha$ sont des opérateurs ``vertex'' de Hall-Littlewood légèrement altérés. Il posent la conjecture que ces polynômes donnent l’énumération d'une famille de fonctions ``parking'', indexées par des compositions, par aire, le ``dinv'' et une fonction quasi-symétrique associée. Cette conjecture raffine la conjecture ``Shuffle'', qui est âgée de presque dix ans. On peut montrer, a partir de cette conjecture, que les propriétés des opérateurs de Hall-Littlewood, impliquent l'existence de certaines bijections entre ces familles de fonctions ``parking''. Dans un précédent travail , qui fait partie de sa thèse de doctorat, l'auteur montre que l’existence de ces bijections découle de certaines propriétés relativement simples d'une famille de polynômes à une variable x, avec coefficients dans $\mathbb{N}[q]$. Dans cet article, on introduit ces polynômes, on explique leur connexion avec la conjecture de Haglund, Morse et Zabrocki, et on explore certaines de leurs propriétés surprenantes, qu'elles soient prouvées ou seulement conjecturées.
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Tevlin, Lenny. "Noncommutative Symmetric Hall-Littlewood Polynomials." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AO,..., Proceedings (2011). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2964.
Full textAbstract:
International audience Noncommutative symmetric functions have many properties analogous to those of classical (commutative) symmetric functions. For instance, ribbon Schur functions (analogs of the classical Schur basis) expand positively in noncommutative monomial basis. More of the classical properties extend to noncommutative setting as I will demonstrate introducing a new family of noncommutative symmetric functions, depending on one parameter. It seems to be an appropriate noncommutative analog of the Hall-Littlewood polynomials. Les fonctions symétriques non commutatives ont de nombreuses propriétés analogues à celles des fonctions symétriques classiques (commutatives). Par exemple, les fonctions de Schur en rubans (analogues de la base de Schur classique) admettent des développements à coefficients positifs dans la base des monômes non commutatifs. La plupart des propriétés classiques s'étendent au cas non commutatif, comme je le montrerai en introduisant une nouvelle famille de fonctions symétriques non commutatives, dépendant d'un paramètre. Cette famille semble être un analogue non commutatif approprié de la famille des polynômes de Hall-Littlewood.
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Schilling, Anne, and Peter Tingley. "Demazure crystals and the energy function." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AO,..., Proceedings (2011). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2959.
Full textAbstract:
International audience There is a close connection between Demazure crystals and tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals. For example, certain Demazure crystals are isomorphic as classical crystals to tensor products of Kirillov–Reshetikhin crystals via a canonically chosen isomorphism. Here we show that this isomorphism intertwines the natural affine grading on Demazure crystals with a combinatorially defined energy function. As a consequence, we obtain a formula of the Demazure character in terms of the energy function, which has applications to nonsymmetric Macdonald polynomials and $q$-deformed Whittaker functions. Les cristaux de Demazure et les produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin sont étroitement liés. Par exemple, certains cristaux de Demazure sont isomorphes, en tant que cristaux classiques, à des produits tensoriels de cristaux Kirillov–Reshetikhin via un isomorphisme que l'on peut choisir canoniquement. Ici, nous montrons que cet isomorphisme entremêle la graduation affine naturelle des cristaux de Demazure avec une fonction énergie définie combinatoirement. Comme conséquence, nous obtenons une formule pour le caractère de Demazure exprimée au moyen de la fonction énergie, avec des applications aux polynômes de Macdonald non symétriques et aux fonctions de Whittaker $q$-déformées.
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Dolega, Maciej, Valentin Féray, and Piotr Sniady. "Characters of symmetric groups in terms of free cumulants and Frobenius coordinates." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AK,..., Proceedings (2009). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2752.
Full textAbstract:
International audience Free cumulants are nice and useful functionals of the shape of a Young diagram, in particular they give the asymptotics of normalized characters of symmetric groups $\mathfrak{S}(n)$ in the limit $n \to \infty$. We give an explicit combinatorial formula for normalized characters of the symmetric groups in terms of free cumulants. We also express characters in terms of Frobenius coordinates. Our formulas involve counting certain factorizations of a given permutation. The main tool are Stanley polynomials which give values of characters on multirectangular Young diagrams. Les cumulants libres sont des fonctions agréables et utiles sur l'ensemble des diagrammes de Young, en particulier, ils donnent le comportement asymptotiques des caractères normalisés du groupe symétrique $\mathfrak{S}(n)$ dans la limite $n \to \infty$. Nous donnons une formule combinatoire explicite pour les caractères normalisés du groupe symétrique en fonction des cumulants libres. Nous exprimons également les caractères en fonction des coordonnées de Frobenius. Nos formules font intervenir le nombre de certaines factorisations d'une permutation donnée. L'outil principal est la famille de polynômes de Stanley donnant les valeurs des caractères sur les diagrammes de Young multirectangulaires.
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Labai, Nadia, and Johann Makowsky. "Tropical Graph Parameters." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AT,..., Proceedings (2014). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2406.
Full textAbstract:
International audience Connection matrices for graph parameters with values in a field have been introduced by M. Freedman, L. Lovász and A. Schrijver (2007). Graph parameters with connection matrices of finite rank can be computed in polynomial time on graph classes of bounded tree-width. We introduce join matrices, a generalization of connection matrices, and allow graph parameters to take values in the tropical rings (max-plus algebras) over the real numbers. We show that rank-finiteness of join matrices implies that these graph parameters can be computed in polynomial time on graph classes of bounded clique-width. In the case of graph parameters with values in arbitrary commutative semirings, this remains true for graph classes of bounded linear clique-width. B. Godlin, T. Kotek and J.A. Makowsky (2008) showed that definability of a graph parameter in Monadic Second Order Logic implies rank finiteness. We also show that there are uncountably many integer valued graph parameters with connection matrices or join matricesof fixed finite rank. This shows that rank finiteness is a much weaker assumption than any definability assumption. Les matrices de connexion pour des fonctions sur les graphes à valeurs dans un corps ont été introduites par M. Freedman, L. Lovász and A. Schrijver (2007). Une fonctions sur les graphes ayant des matrices de connexion de rang fini peut être calculée en temps polynomial sur toute famille de graphes de largeur arborescente (”tree-width”) bornée. Nous introduisons des matrices de jointure (”join matrices”) qui généralisent les matrices deconnexion, et nous permettons aux fonctions sur les graphes de prendre leurs valeurs dans des semianneaux tropicaux réels. Nous montrons qu’une fonction sur les graphes ayant des matrices de jointure de rang fini peut être calculée en temps polynomial sur des graphes de largeur de clique (”clique-width”) bornée. Dans le cas des semi-anneaux commutatifs, cela reste vrai pour les graphes de largeur de clique linéaire bornée. B. Godlin, T. Kotek and J.A. Makowsky (2008) ont montré que certaines hypothèses de definissabilité en Logique du Second Ordre Monadique concernant desopérations sur les graphes entraine la finitude des rangs. Nous exhibons un ensemble non dénombrable d’opérations ayant une matrice de connexion et des matrices de jointure de rang fini. Cela démontre que l’hypothèse de rang fini est beaucoup plus faible que l’hypothèse de definissabilité.
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Dilks, Kevin, T. Kyle Petersen, and John R. Stembridge. "Affine descents and the Steinberg torus." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AJ,..., Proceedings (2008). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3631.
Full textAbstract:
International audience Let $W \ltimes L$ be an irreducible affine Weyl group with Coxeter complex $\Sigma$, where $W$ denotes the associated finite Weyl group and $L$ the translation subgroup. The Steinberg torus is the Boolean cell complex obtained by taking the quotient of $\Sigma$ by the lattice $L$. We show that the ordinary and flag $h$-polynomials of the Steinberg torus (with the empty face deleted) are generating functions over $W$ for a descent-like statistic first studied by Cellini. We also show that the ordinary $h$-polynomial has a nonnegative $\gamma$-vector, and hence, symmetric and unimodal coefficients. In the classical cases, we also provide expansions, identities, and generating functions for the $h$-polynomials of Steinberg tori. Nous considérons un groupe de Weyl affine irréductible $W \ltimes L$ avec complexe de Coxeter $\Sigma$, où $W$ désigne le groupe de Weyl fini associé et $L$ le sous-groupe des translations. Le tore de Steinberg est le complexe cellulaire Booléen obtenu comme le quotient de $\Sigma$ par $L$. Nous montrons que les $h$-polynômes, ordinaires et de drapeaux, du tore de Steinberg (sans la face vide) sont des fonctions génératrices sur $W$ pour une statistique de type descente, étudiée en premier lieu par Cellini. Nous montrons également qu'un $h$-polynôme ordinaire possède un $\gamma$-vecteur positif, et par conséquent, a des coefficients symétriques et unimodaux. Dans les cas classiques, nous donnons également des développements, des identités et des fonctions génératrices pour les $h$-polynômes des tores de Steinberg.
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Ballantine, Cristina. "Powers of the Vandermonde determinant, Schur functions, and the dimension game." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AO,..., Proceedings (2011). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2893.
Full textAbstract:
International audience Since every even power of the Vandermonde determinant is a symmetric polynomial, we want to understand its decomposition in terms of the basis of Schur functions. We investigate several combinatorial properties of the coefficients in the decomposition. In particular, I will give a recursive approach for computing the coefficient of the Schur function $s_μ$ in the decomposition of an even power of the Vandermonde determinant in $n+1$ variables in terms of the coefficient of the Schur function $s_λ$ in the decomposition of the same even power of the Vandermonde determinant in $n$ variables if the Young diagram of $μ$ is obtained from the Young diagram of $λ$ by adding a tetris type shape to the top or to the left. Comme toute puissance paire du déterminant de Vandermonde est un polynôme symétrique, nous voulons comprendre sa décomposition dans la base des fonctions de Schur. Nous allons étudier plusieurs propriétés combinatoires des coefficients de la décomposition. En particulier, nous allons donner une approche récursive pour le calcul du coefficient de la fonction de Schur $s_μ$ dans la décomposition d'une puissance paire du déterminant de Vandermonde en $n+1$ variables, en fonction du coefficient de la fonction de Schur $s_λ$ dans la décomposition de la même puissance paire du déterminant de Vandermonde en $n$ variables, lorsque le diagramme de Young de $μ$ est obtenu à partir du diagramme de Young de $λ$ par l'addition d'une forme de type tetris vers le haut ou vers la gauche.
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Dehaye, Paul-Olivier. "A note on moments of derivatives of characteristic polynomials." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AN,..., Proceedings (2010). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2823.
Full textAbstract:
International audience We present a simple technique to compute moments of derivatives of unitary characteristic polynomials. The first part of the technique relies on an idea of Bump and Gamburd: it uses orthonormality of Schur functions over unitary groups to compute matrix averages of characteristic polynomials. In order to consider derivatives of those polynomials, we here need the added strength of the Generalized Binomial Theorem of Okounkov and Olshanski. This result is very natural as it provides coefficients for the Taylor expansions of Schur functions, in terms of shifted Schur functions. The answer is finally given as a sum over partitions of functions of the contents. One can also obtain alternative expressions involving hypergeometric functions of matrix arguments. Nous introduisons une nouvelle technique, en deux parties, pour calculer les moments de dérivées de polynômes caractéristiques. La première étape repose sur une idée de Bump et Gamburd et utilise l'orthonormalité des fonctions de Schur sur les groupes unitaires pour calculer des moyennes de polynômes caractéristiques de matrices aléatoires. La deuxième étape, qui est nécessaire pour passer aux dérivées, utilise une généralisation du théorème binomial due à Okounkov et Olshanski. Ce théorème livre les coefficients des séries de Taylor pour les fonctions de Schur sous la forme de "shifted Schur functions''. La réponse finale est donnée sous forme de somme sur les partitions de fonctions des contenus. Nous obtenons aussi d'autres expressions en terme de fonctions hypergéométriques d'argument matriciel.
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Derksen, Harm, and Alex Fink. "Valuative invariants for polymatroids." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AN,..., Proceedings (2010). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2849.
Full textAbstract:
International audience Many important invariants for matroids and polymatroids, such as the Tutte polynomial, the Billera-Jia-Reiner quasi-symmetric function, and the invariant $\mathcal{G}$ introduced by the first author, are valuative. In this paper we construct the $\mathbb{Z}$-modules of all $\mathbb{Z}$-valued valuative functions for labelled matroids and polymatroids on a fixed ground set, and their unlabelled counterparts, the $\mathbb{Z}$-modules of valuative invariants. We give explicit bases for these modules and for their dual modules generated by indicator functions of polytopes, and explicit formulas for their ranks. Our results confirm a conjecture of the first author that $\mathcal{G}$ is universal for valuative invariants. Beaucoup des invariants importants des matroïdes et polymatroïdes, tels que le polynôme de Tutte, la fonction quasi-symmetrique de Billera-Jia-Reiner, et l'invariant $\mathcal{G}$ introduit par le premier auteur, sont valuatifs. Dans cet article nous construisons les $\mathbb{Z}$-modules de fonctions valuatives aux valeurs entières des matroïdes et polymatroïdes étiquetés définis sur un ensemble fixe, et leurs équivalents pas étiquetés, les $\mathbb{Z}$-modules des invariants valuatifs. Nous fournissons des bases des ces modules et leurs modules duels, engendrés par fonctions caractéristiques des polytopes, et des formules explicites donnant leurs rangs. Nos résultats confirment une conjecture du premier auteur, que $\mathcal{G}$ soit universel pour les invariants valuatifs.
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Sazdanović, Radmila, and Martha Yip. "A categorification of the chromatic symmetric polynomial." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings, 27th..., Proceedings (2015). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2527.
Full textAbstract:
International audience The Stanley chromatic polynomial of a graph $G$ is a symmetric function generalization of the chromatic polynomial, and has interesting combinatorial properties. We apply the ideas of Khovanov homology to construct a homology $H$<sub>*</sub>($G$) of graded $S_n$-modules, whose graded Frobenius series $Frob_G(q,t)$ reduces to the chromatic symmetric function at $q=t=1$. We also obtain analogues of several familiar properties of the chromatic symmetric polynomials in terms of homology. Le polynôme chromatique symétrique d’un graphe $G$ est une généralisation par une fonction symétrique du polynôme chromatique, et possède des propriétés combinatoires intéressantes. Nous appliquons les techniques de l’homologie de Khovanov pour construire une homologie $H$<sub>*</sub>($G$) de modules gradués $S_n$, dont la série bigraduée de Frobeniusse $Frob_G(q,t)$ réduit au polynôme chromatique symétrique à $q=t=1$. Nous obtenons également des analogies pour plusieurs propriétés connues des polynômes chromatiques en termes d’homologie.
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Cavalieri, Renzo, Paul JOHNSON, and Hannah Markwig. "Chamber Structure For Double Hurwitz Numbers." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AN,..., Proceedings (2010). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2863.
Full textAbstract:
International audience Double Hurwitz numbers count covers of the sphere by genus $g$ curves with assigned ramification profiles over $0$ and $\infty$, and simple ramification over a fixed branch divisor. Goulden, Jackson and Vakil (2005) have shown double Hurwitz numbers are piecewise polynomial in the orders of ramification, and Shadrin, Shapiro and Vainshtein (2008) have determined the chamber structure and wall crossing formulas for $g=0$. We provide new proofs of these results, and extend them in several directions. Most importantly we prove wall crossing formulas for all genera. The main tool is the authors' previous work expressing double Hurwitz number as a sum over labelled graphs. We identify the labels of the graphs with lattice points in the chambers of certain hyperplane arrangements, which give rise to piecewise polynomial functions. Our understanding of the wall crossing for these functions builds on the work of Varchenko (1987). This approach to wall crossing appears novel, and may be of broader interest. This extended abstract is based on a new preprint by the authors. Les nombres de Hurwitz doubles dénombrent les revêtements de la sphère par une surface de genre $g$ avec ramifications prescrites en $0$ et $\infty$, et dont les autres valeurs critiques sont non dégénérées et fixées. Goulden, Jackson et Vakil (2005) ont prouvé que les nombres de Hurwitz doubles sont polynomiaux par morceaux en l'ordre des ramifications prescrites, et Shadrin, Shapiro et Vainshtein (2008) ont déterminé la structure des chambres et ont établis des formules pour traverser les murs en genre $0$. Nous proposons des nouvelles preuves de ces résultats, et les généralisons dans plusieurs directions. En particulier, nous prouvons des formules pour traverser les murs en tout genre. L'outil principal est le précédent travail des auteurs exprimant les nombres de Hurwitz doubles comme somme de graphes étiquetés. Nous identifions les étiquetages avec les points entiers à l'intérieur d'une chambre d'un arrangement d'hyperplans, qui sont connu pour donner une fonction polynomiale par morceaux. Notre étude des formules pour traverser les murs de ces fonctions se base sur un travail antérieur de Varchenko (1987). Cette approche paraît nouvelle, et peut être d'un large intérêt. Ce résumé élargi se base sur un papier nouveau des auteurs.
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Boussicault, Adrien, and Jean-Gabriel Luque. "Staircase Macdonald polynomials and the $q$-Discriminant." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AJ,..., Proceedings (2008). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3601.
Full textAbstract:
International audience We prove that a $q$-deformation $\mathfrak{D}_k(\mathbb{X};q)$ of the powers of the discriminant is equal, up to a normalization, to a specialization of a Macdonald polynomial indexed by a staircase partition. We investigate the expansion of $\mathfrak{D}_k(\mathbb{X};q)$ on different bases of symmetric functions. In particular, we show that its expansion on the monomial basis can be explicitly described in terms of standard tableaux and we generalize a result of King-Toumazet-Wybourne about the expansion of the $q$-discriminant on the Schur basis. Nous montrons qu’une $q$-déformation $\mathfrak{D}_k(\mathbb{X};q)$ des puissances du discriminant est égale, à un coefficient de normalisation près, à un polynôme de Macdonald indexé par une partition escalier pour une certaine spécialisation des paramètres. Nous examinons les développements de $\mathfrak{D}_k(\mathbb{X};q)$ dans différentes bases de fonctions symétriques. En particulier, nous montrons que son écriture dans la base des fonctions monomiales peut être explicitement décrite en terme de tableaux standard et nous généralisons un résultat de King-Toumazet-Wybourne sur le développement du $q$-discriminant dans la base de Schur.
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Dalal, Avinash J., and Jennifer Morse. "The ABC's of affine Grassmannians and Hall-Littlewood polynomials." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AR,..., Proceedings (2012). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3095.
Full textAbstract:
International audience We give a new description of the Pieri rule for $k$-Schur functions using the Bruhat order on the affine type-$A$ Weyl group. In doing so, we prove a new combinatorial formula for representatives of the Schubert classes for the cohomology of affine Grassmannians. We show how new combinatorics involved in our formulas gives the Kostka-Foulkes polynomials and discuss how this can be applied to study the transition matrices between Hall-Littlewood and $k$-Schur functions. Nous présentons une nouvelle description, issue de l'ordre de Bruhat du groupe de Weyl affine de type $A$, de la règle de Pieri pour les fonctions $k$-Schur. Ce faisant, nous obtenons une nouvelle formule combinatoire pour les représentants des classes de Schubert de la cohomologie des Grassmannienne affines. Nous décrivons aussi comment notre approche permet d'obtenir les polynômes de Kostka-Foulkes et comment elle peut être appliquée à l’étude des matrices de transition entre les polynômes de Hall-Littlewood et les fonctions $k$-Schur.
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Bergeron, N., F. Descouens, and M. Zabrocki. "A generalization of $(q,t)$-Catalan and nabla operators." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AJ,..., Proceedings (2008). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3597.
Full textAbstract:
International audience We introduce non-commutative analogs of $k$-Schur functions and prove that their images by the non-commutative nabla operator $\blacktriangledown$ is ribbon Schur positive, up to a global sign. Inspired by these results, we define new filtrations of the usual $(q,t)$-Catalan polynomials by computing the image of certain commutative $k$-Schur functions by the commutative nabla operator $\nabla$. In some particular cases, we give a combinatorial interpretation of these polynomials in terms of nested quantum Dick paths. Nous introduisons des analogues non commutatifs des $k$-fonctions de Schur et nous prouvons que leurs images par l'opérateur nabla non commutatif $\blacktriangledown$ est Schur-rubans positif, à un signe global près. Guidés par ses résultats, nous définissons de nouvelles filtrations des $(q,t)$-nombres de Catalan usuels en calculant l'image de certaines $k$-fonctions de Schur par l'opérateur nabla commutatif $\nabla$. Dans certains cas particuliers, nous donnons une interprétation combinatoire de ces polynômes en termes de chemins de Dyck imbriqués.
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Jones, Miles Eli, and Luc Lapointe. "Pieri rules for Schur functions in superspace." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings, 27th..., Proceedings (2015). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2497.
Full textAbstract:
International audience The Schur functions in superspace $s_\Lambda$ and $\overline{s}_\Lambda$ are the limits $q=t= 0$ and $q=t=\infty$ respectively of the Macdonald polynomials in superspace. We present the elementary properties of the bases $s_\Lambda$ and $\overline{s}_\Lambda$ (which happen to be essentially dual) such as Pieri rules, dualities, monomial expansions, tableaux generating functions, and Cauchy identities. Les fonctions de Schur dans le superespace $s_\Lambda$ et $\overline{s}_\Lambda$ sont les limites $q=t= 0$ et $q=t=\infty$ respectivement des polynômes de Macdonald dans le superespace. Nous présentons les propriétés élémentaires des bases $s_\Lambda$ et $\overline{s}_\Lambda$ (qui sont essentiellement duales l'une de l'autre) tels que les règles de Pieri, la dualité, le développement en fonctions monomiales, les fonctions génératrices de tableaux et les identités de Cauchy.
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Shelton, Brittany, and Mark Skandera. "Hecke algebra and quantum chromatic symmetric functions." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AR,..., Proceedings (2012). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3062.
Full textAbstract:
International audience We evaluate induced sign characters of $H_n(q)$ at certain elements of $H_n(q)$ and conjecture an interpretation for the resulting polynomials as generating functions for $P$-tableaux by a certain statistic. Our conjecture relates the quantum chromatic symmetric functions of Shareshian and Wachs to $H_n(q)$ characters. Nous évaluons les caractères de signe induits de $H_n(q)$ à certains éléments de $H_n(q)$ et nous conjecturons une interprétation des polynômes résultants comme fonctions génératrices pour les tableaux-$P$ par une certaine statistique. Cette conjecture établit un lien entre les fonctions chromatiques symétriques de Shareshian et Wachs et les caractères de $H_n(q)$.
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Chen, Sheng, Nan Li, and Steven V. Sam. "Generalized Ehrhart polynomials." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AN,..., Proceedings (2010). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2857.
Full textAbstract:
International audience Let $P$ be a polytope with rational vertices. A classical theorem of Ehrhart states that the number of lattice points in the dilations $P(n) = nP$ is a quasi-polynomial in $n$. We generalize this theorem by allowing the vertices of $P(n)$ to be arbitrary rational functions in $n$. In this case we prove that the number of lattice points in $P(n)$ is a quasi-polynomial for $n$ sufficiently large. Our work was motivated by a conjecture of Ehrhart on the number of solutions to parametrized linear Diophantine equations whose coefficients are polynomials in $n$, and we explain how these two problems are related. Soit $P$ un polytope avec sommets rationelles. Un théorème classique des Ehrhart déclare que le nombre de points du réseau dans les dilatations $P(n) = nP$ est un quasi-polynôme en $n$. Nous généralisons ce théorème en permettant à des sommets de $P(n)$ comme arbitraire fonctions rationnelles en $n$. Dans ce cas, nous prouvons que le nombre de points du réseau en $P(n)$ est une quasi-polynôme pour $n$ assez grand. Notre travail a été motivée par une conjecture d'Ehrhart sur le nombre de solutions à linéaire paramétrée Diophantine équations dont les coefficients sont des polyômes en $n$, et nous expliquer comment ces deux problèmes sont liés.
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Watanabe, Masaki. "Kraśkiewicz-Pragacz modules and some positivity properties of Schubert polynomials." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings, 27th..., Proceedings (2015). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2483.
Full textAbstract:
International audience We use the modules introduced by Kraśkiewicz and Pragacz (1987, 2004) to show some positivity propertiesof Schubert polynomials. We give a new proof to the classical fact that the product of two Schubert polynomialsis Schubert-positive, and also show a new result that the plethystic composition of a Schur function with a Schubertpolynomial is Schubert-positive. The present submission is an extended abstract on these results and the full versionof this work will be published elsewhere. Nous employons les modules introduits par Kraśkiewicz et Pragacz (1987, 2004) et démontrons certainespropriétés de positivité des polynômes de Schubert: nous donnons une nouvelle preuve pour le fait classique quele produit de deux polynômes de Schubert est Schubert-positif; nous démontrons aussi un nouveau résultat que lacomposition plethystique d’une fonction de Schur avec un polynôme de Schubert est Schubert-positif. Cet article estun sommaire de ces résultats, et une version pleine de ce travail sera publée ailleurs.
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Lenz, Matthias. "Splines, lattice points, and (arithmetic) matroids." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AT,..., Proceedings (2014). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2379.
Full textAbstract:
International audience Let $X$ be a $(d \times N)$-matrix. We consider the variable polytope $\Pi_X(u) = \left\{ w \geq 0 : Xw = u \right\}$. It is known that the function $T_X$ that assigns to a parameter $u \in \mathbb{R}^N$ the volume of the polytope $\Pi_X(u)$ is piecewise polynomial. Formulas of Khovanskii-Pukhlikov and Brion-Vergne imply that the number of lattice points in $\Pi_X(u)$ can be obtained by applying a certain differential operator to the function $T_X$. In this extended abstract we slightly improve the formulas of Khovanskii-Pukhlikov and Brion-Vergne and we study the space of differential operators that are relevant for $T_X$ (ıe operators that do not annihilate $T_X$) and the space of nice differential operators (ıe operators that leave $T_X$ continuous). These two spaces are finite-dimensional homogeneous vector spaces and their Hilbert series are evaluations of the Tutte polynomial of the (arithmetic) matroid defined by $X$. Soit $X$ une matrice $(d \times N)$. Nous considérons le polytope variable $\Pi_X(u) = \left\{ w \geq 0 : Xw = u \right\}$. Il est connu que la fonction $T_X$ qui attribue à un paramètre $u$ le volume du polytope $\Pi_X(u)$ est polynomiale par morceaux. Des formules de Khovanskii-Pukhlikov et de Brion-Vergne impliquent que le nombre de points de réseau dans $\Pi_X(u)$ peut être obtenu en appliquant un certain opérateur différentiel à la fonction $T_X$. Dans ce résumé élargi nous améliorons un peu les formules de Khovanskii-Pukhlikov et de Brion-Vergne et nous étudions l’espaced’opérateurs différentiels qui sont importants pour $T_X$ (c’est-à-dire les opérateurs qui n’annulent pas $T_X$) et l’espace d’opérateurs différentiels bons (c’est-à-dire les opérateurs qui laissent $T_X$ continue). Ces deux espaces sont espaces vectoriels homogène de dimension finie et leurs séries de Hilbert sont des évaluations du polynôme de Tutte du matroïde (arithmétique) défini par $X$.
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Mason, Sarah K., and Jeffrey Remmel. "Row-strict quasisymmetric Schur functions." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AO,..., Proceedings (2011). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2942.
Full textAbstract:
International audience Haglund, Luoto, Mason, and van Willigenburg introduced a basis for quasisymmetric functions called the $\textit{quasisymmetric Schur function basis}$ which are generated combinatorially through fillings of composition diagrams in much the same way as Schur functions are generated through reverse column-strict tableaux. We introduce a new basis for quasisymmetric functions called the $\textit{row-strict quasisymmetric Schur function basis}$ which are generated combinatorially through fillings of composition diagrams in much the same way as Schur functions are generated through row-strict tableaux. We describe the relationship between this new basis and other known bases for quasisymmetric functions, as well as its relationship to Schur polynomials. We obtain a refinement of the omega transform operator as a result of these relationships. Haglund, Luoto, Mason, et van Willigenburg ont introduit une base pour les fonctions quasi-symétriques appelée $\textit{base des fonctions de Schur quasi-symétriques}$, qui sont construites en remplissant des diagrammes de compositions, d'une manière très semblable à la construction des fonctions de Schur à partir des tableaux "column-strict'' (ordre strict sur les colonnes). Nous introduisons une nouvelle base pour les fonctions quasi-symétriques appelée $\textit{base des fonctions de Schur quasi-symétriques "row-strict''}$, qui sont construites en remplissant des diagrammes de compositions, d'une manière très semblable à la construction des fonctions de Schur à partir des tableaux "row-strict'' (ordre strict sur les lignes). Nous décrivons la relation entre cette nouvelle base et d'autres bases connues pour les fonctions quasi-symétriques, ainsi que ses relations avec les polynômes de Schur. Nous obtenons un raffinement de l'opérateur oméga comme conséquence de ces relations.
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Bandlow, Jason, and Jennifer Morse. "The expansion of Hall-Littlewood functions in the dual Grothendieck polynomial basis." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AN,..., Proceedings (2010). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2860.
Full textAbstract:
International audience A combinatorial expansion of the Hall-Littlewood functions into the Schur basis of symmetric functions was first given by Lascoux and Schützenberger, with their discovery of the charge statistic. A combinatorial expansion of stable Grassmannian Grothendieck polynomials into monomials was first given by Buch, using set-valued tableaux. The dual basis of the stable Grothendieck polynomials was given a combinatorial expansion into monomials by Lam and Pylyavskyy using reverse plane partitions. We generalize charge to set-valued tableaux and use all of these combinatorial ideas to give a nice expansion of Hall-Littlewood polynomials into the dual Grothendieck basis. \par En associant une charge à un tableau, une formule combinatoire donnant le développement des polynômes de Hall-Littlewood en termes des fonctions de Schur a été obtenue par Lascoux et Schützenberger. Une formule combinatoire donnant le développement des polynômes de Grothendieck Grassmanniens stables en termes des fonctions monomiales a quant à elle été obtenue par Buch à l'aide de tableaux à valeurs sur des ensembles. Finalement, une formule faisant intervenir des partitions planaires inverses a été obtenue par Lam et Pylyavskyy pour donner le développement de la base duale aux polynômes de Grothendieck stables en termes de monômes. Nous généralisons le concept de charge aux tableaux à valeurs sur des ensembles et, en nous servant de toutes ces notions combinatoires, nous obtenons une formule élégante donnant le développement des polynômes de Hall-Littlewood en termes de la base de Grothendieck duale.
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Chung, Fan, Anders Claesson, Mark Dukes, and Ronald Graham. "Descent polynomials for permutations with bounded drop size." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AN,..., Proceedings (2010). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2856.
Full textAbstract:
International audience Motivated by juggling sequences and bubble sort, we examine permutations on the set${1, 2, \ldots, n}$ with $d$ descents and maximum drop size $k$. We give explicit formulas for enumerating such permutations for given integers $k$ and $d$. We also derive the related generating functions and prove unimodality and symmetry of the coefficients. Motivés par les "suites de jonglerie'' et le tri à bulles, nous étudions les permutations de l'ensemble ${1, 2, \ldots, n}$ ayant $d$ descentes et une taille de déficience maximale $k$. Nous donnons des formules explicites pour l'énumération de telles permutations pour des entiers k et d fixés, ainsi que les fonctions génératrices connexes. Nous montrons aussi que les coefficients possèdent des propriétés d'unimodalité et de symétrie.
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Féray, Valentin. "Combinatorial interpretation and positivity of Kerov's character polynomials." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AJ,..., Proceedings (2008). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.3629.
Full textAbstract:
International audience Kerov's polynomials give irreducible character values of the symmetric group in term of the free cumulants of the associated Young diagram. Using a combinatorial approach with maps, we prove in this article a positivity result on their coefficients, which extends a conjecture of S. Kerov. Les polynômes de Kerov expriment les valeurs des caractères irréductibles du groupe symétrique en fonction des cumulants libres du diagramme de Young associé. Grâce à une approche combinatoire à base de cartes, nous prouvons dans cet article un résultat de positivité sur leurs coefficients, qui généralise une conjecture de S. Kerov.
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Brenti, Francesco, and Fabrizio Caselli. "Peak algebras, paths in the Bruhat graph and Kazhdan-Lusztig polynomials." Discrete Mathematics & Theoretical Computer Science DMTCS Proceedings vol. AT,..., Proceedings (2014). http://dx.doi.org/10.46298/dmtcs.2423.
Full textAbstract:
International audience We obtain a nonrecursive combinatorial formula for the Kazhdan-Lusztig polynomials which holds in complete generality and which is simpler and more explicit than any existing one, and which cannot be linearly simplified. Our proof uses a new basis of the peak subalgebra of the algebra of quasisymmetric functions. On montre une formule combinatoire pour les polynômes de Kazhdan-Lusztig qui est valable en toute généralité. Cette formule est plus simple et plus explicite que toutes les autres formules connues; de plus, elle ne peut pas être simplifiée linéairement. La preuve utilise une nouvelle base pour la sous-algèbre des sommets de l’algèbre des fonctions quasi-symmetriques.