Academic literature on the topic 'Formule d'Itô'

Nos différents résultats consistent principalement à établir des extensions du calcul stochastique classique. Pour (X_t) processus de Markov, il s'agissait à l'origine de donner dans les quatre cas suivants, la décomposition explicite de F(X_t,t) en tant que processus de Dirichlet, sous des conditions minimum sur F fonction déterministe à valeurs réelles. Dans le premier cas, X est un processus de Lévy réel avec composante brownienne. Dans le deuxième cas X est un processus de Lévy symétrique sans composante brownienne mais admettant des temps locaux en tant que processus de Markov. Dans le troisième cas, X est un processus de Markov symétrique général sans condition d'existence de temps locaux mais F(x,t) ne dépend pas de t. Dans le quatrième cas, nous supprimons l'hypothèse de symétrie du troisième cas. Dans chacun des trois premiers cas, on obtient une formule d'Itô à la seule condition que la fonction F admette des dérivées de Radon-Nikodym d'ordre 1 localement bornées. On rappelle que dans l'hypothèse où X est une semi-martingale, la formule d'Itô classique nécessite que F soit C^2. C'est l'hypothèse que nous devons prendre dans le quatrième cas. Le premier cas excepté, chacune des formules d'Itô obtenues s'appuie sur la construction de nouvelles intégrales stochastiques par rapport à des processus aléatoires qui ne sont pas des semi-martingales.

Ce travail de thèse est consacré à l'extension de la formule d'Itô au cas de chemins à variations bornées à valeurs dans l'espace des distributions tempérées composés par des processus réguliers au sens de Malliavin. On s'attache en particulier à faire des hypothèses de régularité minimales, ce qui donne accès à un certain nombre d'applications de notre principal résultat, en particulier à l'étude d'un problème variationnel. Le premier chapitre est consacré à des rappels de calcul de Malliavin. Le deuxième donne des résultats sur la topologie sur la classe de Schwartz et l'espace des distributions tempérées. Dans le troisième chapitre, on donne des conditions optimales sous lesquelles on peut définir la composition d'une distribution tempérée par une variable aléatoire et quelle est la régularité au sens de Malliavin de l'objet ainsi construit. Des techniques d'interpolation permettent d'obtenir des résultats pour des espaces fractionnaires. On donne également des résultats pour le cas où la distribution est elle-même stochastique. Ces résultats nous permettent d'écrire, au chapitre 4, une formule d'Ito faible s'appliquant sous des hypothèses beaucoup plus faibles que celles généralement proposées dans la littérature. On donne aussi une version anticipative et une formule de type Ito-Wentzell. On donne des résultats plus précis dans le cas où le processus auquel on applique notre formule est la solution d'une EDS simple et on applique ce résultat à l'étude de la régularité du temps local en dimension quelconque. Enfin le cinquième chapitre résout un problème variationnel simple en affaiblissant considérablement une hypothèse d'ellipticité faite par la plupart des auteurs
This dissertation studies the extension of the Itô formula to the case of distibution-valued paths of bounded variation lifted by processes which are regular in the sense of Malliavin calculus. We make optimal hypotheses, which gives us access to many applications. The first chapter is a primer in Malliavin calculus. The second chapter provides useful results on the toplogy of the schwartz class and of the space of tempered distributions. in the third chapter, we give optimal conditions under which a tempered distribution may be composed by a random variable and we study the malliavin regularity of the object thus defined. Interpolation techniques give access to results in fractional spaces. We also give results for the case where the tempered distribution is itself stochastic. These results allow us to obtain, in chapter 4, a weak Itô formula under hypotheses which are much weaker than those usually made in the litterature. We also give an Itô-Wentzell and an anticipative version. In the case where the process to which the ito formula is applied is the solution to an SDE, we give a more precise result, which we use to study the reguarity of the multi-dimensional local time. Finally the fifth chapter solves a variational problem under hypotheses which are much weaker than the usual assumption of hypoellipticity

Ce travail de thèse est consacré à l'extension de la formule d'Itô au cas de chemins à variations bornées à valeurs dans l'espace des distributions tempérées composés par des processus réguliers au sens de Malliavin. On s'attache en particulier à faire des hypothèses de régularité minimales, ce qui donne accès à un certain nombre d'applications de notre principal résultat, en particulier à l'étude d'un problème variationnel. Le premier chapitre est consacré à des rappels de calcul de Malliavin. Le deuxième donne des résultats sur la topologie sur la classe de Schwartz et l'espace des distributions tempérées. Dans le troisième chapitre, on donne des conditions optimales sous lesquelles on peut définir la composition d'une distribution tempérée par une variable aléatoire et quelle est la régularité au sens de Malliavin de l'objet ainsi construit. Des techniques d'interpolation permettent d'obtenir des résultats pour des espaces fractionnaires. On donne également des résultats pour le cas où la distribution est elle-même stochastique. Ces résultats nous permettent d'écrire, au chapitre 4, une formule d'Ito faible s'appliquant sous des hypothèses beaucoup plus faibles que celles généralement proposées dans la littérature. On donne aussi une version anticipative et une formule de type Ito-Wentzell. On donne des résultats plus précis dans le cas où le processus auquel on applique notre formule est la solution d'une EDS simple et on applique ce résultat à l'étude de la régularité du temps local en dimension quelconque. Enfin le cinquième chapitre résout un problème variationnel simple en affaiblissant considérablement une hypothèse d'ellipticité faite par la plupart des auteurs
This dissertation studies the extension of the Itô formula to the case of distibution-valued paths of bounded variation lifted by processes which are regular in the sense of Malliavin calculus. We make optimal hypotheses, which gives us access to many applications. The first chapter is a primer in Malliavin calculus. The second chapter provides useful results on the toplogy of the schwartz class and of the space of tempered distributions. in the third chapter, we give optimal conditions under which a tempered distribution may be composed by a random variable and we study the malliavin regularity of the object thus defined. Interpolation techniques give access to results in fractional spaces. We also give results for the case where the tempered distribution is itself stochastic. These results allow us to obtain, in chapter 4, a weak Itô formula under hypotheses which are much weaker than those usually made in the litterature. We also give an Itô-Wentzell and an anticipative version. In the case where the process to which the ito formula is applied is the solution to an SDE, we give a more precise result, which we use to study the reguarity of the multi-dimensional local time. Finally the fifth chapter solves a variational problem under hypotheses which are much weaker than the usual assumption of hypoellipticity

Dans cette thèse nous développons une théorie générale pour prouver l’existence de plusieurs formules de Itô sur l’équation de chaleur stochastique unidimensionnelle dirigée par un bruit blanc en espace-temps. Cela revient a définir de nouvelles notions d’intégrales stochastique sur u, la solution de cette EDPS et à obtenir pour toute fonction assez lisse f des nouvelles identités impliquant f(u) et des termes de correction non triviaux. Ces nouvelles relations sont obtenues en utilisant la théorie des structures de régularité et la théorie des chemins rugueux. Dans le premier chapitre nous obtenons une identité intégrale et une différentielle impliquant la reconstruction de certaines distributions modélisées. Ensuite, nous discutons d’une formule générale de changement de variable pour tout chemins Hölderiens dans le contexte des chemins rugueux en le rapportant à la notion d’algèbres quasi-shuffle et à la famille des chemins rugueux dits quasi-géométriques. Enfin nous appliquons les résultats généraux sur les chemins rugueux quasi-géométriques à l’évolution temporelle du processus u. En utilisant le comportement gaussien de u, nous identifions la plupart des termes impliqués dans ces équations avec certaines constructions du calcul stochastique
In this thesis we develop a general theory to prove the existence of several Itô formulae on the one dimensional stochastic heat equation driven by additive space-time white noise. That is denoting by u the solution of this SPDE for any smooth enough function f we define some new notions of stochastic integrals defined upon u, which cannot be defined classically, in order to deduce new identities involving f(u) and some non trivial corrections. These new relations are obtained by using the theory of regularity structures and the theory of rough paths. In the first chapter we obtain a differential and an integral identity involving the reconstruction of some modelled distributions. Then we discuss a general change of variable formula over any Hölder continuous path in the context of rough paths, relating it to the notion of quasi-shuffle algebras and the family of so called quasi-geometric rough paths. Finally we apply the general results on quasi-geometric rough paths to the time evolution of u. Using the Gaussian behaviour of the process u, most of the terms involved in these equations are also identified with some classical constructions of stochastic calculus

Ce mémoire de thèse traite du filtrage et de la commande des systèmes non linéaires décrits par des équations différentielles stochastiques au sens d'Itô dont la diffusion est commandée par un bruit qui intervient de manière multiplicative avec l'état. Dans ce manuscrit, nous avons cherché à relaxer les conditions de stabilité utilisées dans la littérature en employant la stabilité exponentielle presque sûre, aussi appelée stabilité exponentielle avec une probabilité de un. Un nouveau théorème sur la stabilité exponentielle presque sûre du point d'équilibre d'une classe de systèmes stochastiques non linéaires triangulaires est proposé: la stabilité de l'ensemble du système est assurée par la stabilité de chaque sous-système considéré isolément. Ce théorème est appliqué au filtrage des systèmes stochastiques avec des bruits multiplicatifs. Des conditions pour le rejet asymptotique des perturbations intervenant dans une équation différentielle stochastique avec des bruits multiplicatifs sont proposées avec un taux de convergence exponentielle presque sûre garanti. Un correcteur, par retour d’état et par retour de sortie, de type bang-bang est synthétisé pour une classe de systèmes non linéaires stochastiques avec la stabilité exponentielle presque sûre. Le lemme borné réel pour les systèmes stochastiques algébro-différentiels avec des bruits multiplicatifs est formulé, ainsi que le développement de la formule d'Itô pour ces systèmes. Un correcteur H-infini par retour de sortie est synthétisé pour ces systèmes avec la stabilité exponentielle en moyenne quadratique. Un observateur pour ces systèmes est proposé avec la stabilité exponentielle presque sûre
This thesis deals with the filtering and control of nonlinear systems described by Itô stochastic differential equations whose diffusion is controlled by a noise which is multiplied with the state vector. In this manuscript, the goal is to relax the conditions of stability used in the literature using the almost sure exponential stability, also called exponential stability with probability equal to one. A new theorem on the almost sure exponential stability of the equilibrium point of a class of triangular nonlinear stochastic systems is proposed: the stability of the whole system is ensured by the stability of each decoupled subsystem. This theorem is applied to the filtering of stochastics systems with multiplicative noises. Conditions for asymptotic rejection of perturbations occurring in a stochastic differential equation with multiplicative noises have been proposed. The considered stability is the almost sure exponential one. A bound of the Lyapunov exponent ensures the almost sure convergence rate to zero for the state of the system. A bang-bang control law is synthesized for a class of stochastic nonlinear systems in two cases: (i) state feedback and (ii) measured output feedback with an observer. The used stability is the almost sure exponential one. The bounded real lemma is developed for stochastic algebro-differential systems with multiplicative noises and the Itô formula given for thèse systems. This approach has been used for the synthesis of an H-ihfinity measured output feedback control law with the exponential mean square stability. An observer for nonlinear stochastic algebro-differential systems was proposed using the almost sure exponential stability

Ce document de thèse développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus X à valeurs dans un espace de Banach général B. Il introduit un concept original de Chi-variation quadratique, où Chi est un sous-espace du dual d'un produit tensioriel B⊗B, muni de la topologie projective. Une attention particulière est dévouée au cas où B est l'espace des fonctions continues sur [-τ,0], τ>0. Une classe de résultats de stabilité de classe C^1 pour des processus ayant une Chi-variation quadratique est établie ainsi que des formules d'Itô pour de tels processus. Un rôle significatif est joué par les processus réels à variation quadratique finie X (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet). Le processus naturel à valeurs dans C[-τ,0] est le dénommé processus fenêtre X_t(•) où X_t(y) = X_{t+y}, y ∈ [-τ,0]. Soit T>0. Si X est un processus dont la variation quadratique vaut [X]_t = t et h = H(X_T(•)) où H:C([-T,0])→ R est une fonction de classe C^3 Fréchet par rapport à L^2([-T,0] ou H dépend d'un numéro fini d' intégrales de Wiener, il est possible de représenter h comme un nombre réel H_0 plus une intégrale progressive du type \int_0^T \xi d^-X où \xi est un processus donné explicitement. Ce résultat de répresentation de la variable aléatoire h sera lié strictement à une fonction u:[0,T] x C([-T,0])→R qui en général est une solution d'une equation au derivées partielles en dimension infinie ayant la proprieté H_0=u(0, X_0(•)), \xi_t=Du(t, X_t(•))({0}). A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque X est un mouvement brownien standard W. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options lorsque le prix de l'actif soujacent n'est pas une semimartingale.

Le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z est un processus qui sert de modèle à la diffusion d’un gaz le long d’une fissure. Dans cette thèse, réalisée sous la direction d'Ivan Nourdin, nous prouvons des formules de type Itô pour Z. Nos principaux outils sont le calcul de Malliavin, le calcul stochastique et l'utilisation de théorèmes limites. Une des spécificités des formules de changement de variables que nous avons obtenues est qu’elles ont lieu en loi, avec création d'un nouvel aléa. Ce mémoire est constitué d'un chapitre introductif, suivi de trois autres chapitres qui correspondent chacun à différents résultats obtenus lors de la préparation de cette thèse et rédigés sous forme d'articles de recherche. Plus précisément : 1) Dans un premier article, nous introduisons le processus central de cette thèse, à savoir le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z. Nous étudions ensuite les fluctuations de ses variations d’ordre p, où p est n'importe quel entier supérieur ou égal à 1. 2) Dans un deuxième article, avec mon encadrant Ivan Nourdin nous avons utilisé les résultats du premier article pour construire une formule de type Itô pour Z. Pour ce faire, nous avons étendu à notre cadre une idée due originellement à Khoshnevisan et Lewis, consistant à travailler avec une partition aléatoire du temps au lieu de la partition déterministe classique. 3) Enfin, dans un troisième et dernier article, nous avons prolongé la formule unidimensionnelle décrite en 2) au cadre bidimensionnel
Fractional Brownian motion in Brownian time Z may serve as a model for the motion of a single gas particle constrained to evolve inside a crack. In this PhD thesis, written under the supervision of Ivan Nourdin, we prove Itô's type formulas for Z. To achieve this goal, our main tools are the Malliavin calculus, the stochastic calculus and the use of limit theorems. One of the specificity of the formula we have obtained is that they hold in law, with creation of a new alea. This manuscript consists in an introductory chapter, followed by three other chapters, each one corresponding to different results obtained along the preparation of this thesis and written is the form of research papers. More precisely: 1) In a first paper, we introduce the central process of this thesis, namely the fractional Brownian motion in Brownian time Z. Then, we study the fluctuations of its power variations of order p, for any integer p greater than or equal to 1. 2) In a second paper, written jointly with my supervisor Ivan Nourdin, we use the results obtained in 1) to build an Itô's type formula for Z. To do so, we need to extend to our setting an approach originally due to Khoshnevisan and Lewis, consisting in rather working with a random partition of time, instead of the classical uniform deterministic partition. 3) Finally, in a third and last paper, we extend to bi-dimension the one- dimensional formula obtained in 2)

Le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z est un processus qui sert de modèle à la diffusion d’un gaz le long d’une fissure. Dans cette thèse, réalisée sous la direction d'Ivan Nourdin, nous prouvons des formules de type Itô pour Z. Nos principaux outils sont le calcul de Malliavin, le calcul stochastique et l'utilisation de théorèmes limites. Une des spécificités des formules de changement de variables que nous avons obtenues est qu’elles ont lieu en loi, avec création d'un nouvel aléa. Ce mémoire est constitué d'un chapitre introductif, suivi de trois autres chapitres qui correspondent chacun à différents résultats obtenus lors de la préparation de cette thèse et rédigés sous forme d'articles de recherche. Plus précisément : 1) Dans un premier article, nous introduisons le processus central de cette thèse, à savoir le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z. Nous étudions ensuite les fluctuations de ses variations d’ordre p, où p est n'importe quel entier supérieur ou égal à 1. 2) Dans un deuxième article, avec mon encadrant Ivan Nourdin nous avons utilisé les résultats du premier article pour construire une formule de type Itô pour Z. Pour ce faire, nous avons étendu à notre cadre une idée due originellement à Khoshnevisan et Lewis, consistant à travailler avec une partition aléatoire du temps au lieu de la partition déterministe classique. 3) Enfin, dans un troisième et dernier article, nous avons prolongé la formule unidimensionnelle décrite en 2) au cadre bidimensionnel
Fractional Brownian motion in Brownian time Z may serve as a model for the motion of a single gas particle constrained to evolve inside a crack. In this PhD thesis, written under the supervision of Ivan Nourdin, we prove Itô's type formulas for Z. To achieve this goal, our main tools are the Malliavin calculus, the stochastic calculus and the use of limit theorems. One of the specificity of the formula we have obtained is that they hold in law, with creation of a new alea. This manuscript consists in an introductory chapter, followed by three other chapters, each one corresponding to different results obtained along the preparation of this thesis and written is the form of research papers. More precisely: 1) In a first paper, we introduce the central process of this thesis, namely the fractional Brownian motion in Brownian time Z. Then, we study the fluctuations of its power variations of order p, for any integer p greater than or equal to 1. 2) In a second paper, written jointly with my supervisor Ivan Nourdin, we use the results obtained in 1) to build an Itô's type formula for Z. To do so, we need to extend to our setting an approach originally due to Khoshnevisan and Lewis, consisting in rather working with a random partition of time, instead of the classical uniform deterministic partition. 3) Finally, in a third and last paper, we extend to bi-dimension the one- dimensional formula obtained in 2)

Ce mémoire de thèse traite du filtrage et de la commande des systèmes non linéaires décrits par des équations différentielles stochastiques au sens d'Itô dont la diffusion est commandée par un bruit qui intervient de manière multiplicative avec l'état. Dans ce manuscrit, nous avons cherché à relaxer les conditions de stabilité utilisées dans la littérature en employant la stabilité exponentielle presque sûre, aussi appelée stabilité exponentielle avec une probabilité de un. Un nouveau théorème sur la stabilité exponentielle presque sûre du point d'équilibre d'une classe de systèmes stochastiques non linéaires triangulaires est proposé: la stabilité de l'ensemble du système est assurée par la stabilité de chaque sous-système considéré isolément. Ce théorème est appliqué au filtrage des systèmes stochastiques avec des bruits multiplicatifs. Des conditions pour le rejet asymptotique des perturbations intervenant dans une équation différentielle stochastique avec des bruits multiplicatifs sont proposées avec un taux de convergence exponentielle presque sûre garanti. Un correcteur, par retour d’état et par retour de sortie, de type bang-bang est synthétisé pour une classe de systèmes non linéaires stochastiques avec la stabilité exponentielle presque sûre. Le lemme borné réel pour les systèmes stochastiques algébro-différentiels avec des bruits multiplicatifs est formulé, ainsi que le développement de la formule d'Itô pour ces systèmes. Un correcteur H-infini par retour de sortie est synthétisé pour ces systèmes avec la stabilité exponentielle en moyenne quadratique. Un observateur pour ces systèmes est proposé avec la stabilité exponentielle presque sûre
This thesis deals with the filtering and control of nonlinear systems described by Itô stochastic differential equations whose diffusion is controlled by a noise which is multiplied with the state vector. In this manuscript, the goal is to relax the conditions of stability used in the literature using the almost sure exponential stability, also called exponential stability with probability equal to one. A new theorem on the almost sure exponential stability of the equilibrium point of a class of triangular nonlinear stochastic systems is proposed: the stability of the whole system is ensured by the stability of each decoupled subsystem. This theorem is applied to the filtering of stochastics systems with multiplicative noises. Conditions for asymptotic rejection of perturbations occurring in a stochastic differential equation with multiplicative noises have been proposed. The considered stability is the almost sure exponential one. A bound of the Lyapunov exponent ensures the almost sure convergence rate to zero for the state of the system. A bang-bang control law is synthesized for a class of stochastic nonlinear systems in two cases: (i) state feedback and (ii) measured output feedback with an observer. The used stability is the almost sure exponential one. The bounded real lemma is developed for stochastic algebro-differential systems with multiplicative noises and the Itô formula given for thèse systems. This approach has been used for the synthesis of an H-ihfinity measured output feedback control law with the exponential mean square stability. An observer for nonlinear stochastic algebro-differential systems was proposed using the almost sure exponential stability

Cette thèse traite des fonctionnelles exponentielles du mouvement brownien et porte en particulier sur des calculs explicites de prix de bonds zéro-coupon associés au modèle de taux d'intérêt de Dothan. En utilisant des méthodes de noyaux de la chaleur et de résolution d'équations de Fokker-Planck, nous donnons des formules explicites de densités de probabilités ou de leurs transformées de Laplace. Les différentes formules intégrales obtenues complètent celles de l'article original "On the Term Structure of Interest Rates" (L. U. Dothan). La méthode utilisée est directe et implique notamment une nouvelle représentation intégrale pour le module au carré de la fonction Gamma. Nous étudions ensuite les applications à la physique et aux mathématiques financières des résultats obtenus pour les fonctionnelles périodiques et hyperboliques du mouvement brownien. Nous traitons aussi de calculs de sensibilités d'options par le calcul de Malliavin. Nous donnons des expressions explicites de l'indicateur delta pour des prix d'options asiatiques et des obligations reposant sur des taux courts traités dans la première partie de la thèse.