Academic literature on the topic 'Garside groups'
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Journal articles on the topic "Garside groups"
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Arcis, Diego, and Luis Paris. "Ordering Garside groups." International Journal of Algebra and Computation 29, no. 05 (July 8, 2019): 861–83. http://dx.doi.org/10.1142/s0218196719500322.
Full textAbstract:
We introduce a structure on a Garside group that we call Dehornoy structure and we show that an iteration of such a structure leads to a left-order on the group. We define two conditions on a Garside group [Formula: see text] and we show that if [Formula: see text] satisfies these two conditions, then [Formula: see text] has a Dehornoy structure. Then, we show that the Artin groups of type [Formula: see text] and of type [Formula: see text], [Formula: see text] satisfy these conditions, and therefore have Dehornoy structures. As indicated by the terminology, one of the orders obtained by this method on the Artin groups of type [Formula: see text] coincides with the Dehornoy order.
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Lee, Eon-Kyung, and Sang-Jin Lee. "Periodic elements in Garside groups." Journal of Pure and Applied Algebra 215, no. 10 (October 2011): 2295–314. http://dx.doi.org/10.1016/j.jpaa.2010.12.011.
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3
Chouraqui, Fabienne. "Left orders in Garside groups." International Journal of Algebra and Computation 26, no. 07 (November 2016): 1349–59. http://dx.doi.org/10.1142/s0218196716500570.
Full textAbstract:
We consider the structure group of a non-degenerate symmetric (non-trivial) set-theoretical solution of the quantum Yang–Baxter equation. This is a Bieberbach group and also a Garside group. We show this group is not bi-orderable, that is it does not admit a total order which is invariant under left and right multiplications. Regarding the existence of a left invariant total ordering, there is a great diversity. There exist structure groups with a recurrent left order and with space of left orders homeomorphic to the Cantor set, while there exist others that are even not unique product groups.
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Lee, Eon-Kyung, and Sang Jin Lee. "Abelian Subgroups of Garside Groups." Communications in Algebra 36, no. 3 (March 7, 2008): 1121–39. http://dx.doi.org/10.1080/00927870701715605.
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5
Calvez, Matthieu, and Bert Wiest. "Curve graphs and Garside groups." Geometriae Dedicata 188, no. 1 (November 28, 2016): 195–213. http://dx.doi.org/10.1007/s10711-016-0213-x.
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6
Godelle, Eddy. "Parabolic subgroups of Garside groups." Journal of Algebra 317, no. 1 (November 2007): 1–16. http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2007.05.024.
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7
Franco, Nuno, and Juan González-Meneses. "Conjugacy problem for braid groups and Garside groups." Journal of Algebra 266, no. 1 (August 2003): 112–32. http://dx.doi.org/10.1016/s0021-8693(03)00292-8.
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8
Sibert, Herve´. "EXTRACTION OF ROOTS IN GARSIDE GROUPS." Communications in Algebra 30, no. 6 (June 19, 2002): 2915–27. http://dx.doi.org/10.1081/agb-120003997.
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Chouraqui, Fabienne. "Garside Groups and Yang–Baxter Equation." Communications in Algebra 38, no. 12 (December 15, 2010): 4441–60. http://dx.doi.org/10.1080/00927870903386502.
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10
Lee, Sang Jin. "Garside groups are strongly translation discrete." Journal of Algebra 309, no. 2 (March 2007): 594–609. http://dx.doi.org/10.1016/j.jalgebra.2006.03.018.
Full textDissertations / Theses on the topic "Garside groups"
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Arcis, Diego. "Ordering Garside groups." Thesis, Bourgogne Franche-Comté, 2017. http://www.theses.fr/2017UBFCK049/document.
Full textAbstract:
Nous pre´sentons une condition sur les groupes de Garside que nous appelons la structure de Dehornoy. Une ite´ration d’une telle structure conduit a` une ordre a` gauche sur le groupe. Nous montrons des conditions pour qu’un groupe de Garside admet une structure de Dehornoy, et nous appliquons ce crite`re pour prouver que les groupes d’Artin de type A et I2(m), m ≥ 4, ont des structures de Dehornoy. Nous montrons que les ordres a` gauche sur les groupes d’Artin de type A obtenus a` partir de leurs structures de Dehornoy sont les ordres de Dehornoy. Dans le cas des groupes d’Artin du type I2(m), m ≥ 4, nous montrons que les ordres a` gauche de´rive´es de leurs structures de Dehornoy co¨ıncident avec les ordres obtenus a` partir des plongements de ces groupes dans les groupes de tressesWe introduce a condition on Garside groups that we call Dehornoy structure. An iteration of such a structure leads to a left order on the group. We show conditions for a Garside group to admit a Dehornoy structure, and we apply these criteria to prove that the Artin groups of type A and I2(m), m ≥ 4, have Dehornoy structures. We show that the left orders on the Artin groups of type A obtained from their Dehornoy structures are the Dehornoy orders. In the case of the Artin groups of type I2(m), m ≥ 4, we show that the left orders derived from their Dehornoy structures coincide with the orders obtained from embeddings of the groups into braid groups
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Cornwell, Christopher R. "On the Combinatorics of Certain Garside Semigroups." Diss., CLICK HERE for online access, 2006. http://contentdm.lib.byu.edu/ETD/image/etd1381.pdf.
Full text
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Franco, Nuno. "Combinatorial methods in Garside and Artin groups." Dijon, 2005. http://www.theses.fr/2005DIJOS005.
Full textAbstract:
L'objet principal de cette thèse est l'étude de certains problèmes combinatoires en théorie des groupes. Etant donné un groupe défini par générateurs et relations, il y a plusieurs problèmes combinatoires qui nous intéressent , par exemple : le problème du mot, le problème de conjugaison, le problème de l'appartenance, et le problème qui consiste à trouver un ensemble de générateurs pour le centralisateur d'un élément donné. Notre étude est centrée sur le problème de conjugaison et sur le problème qui consiste à trouver un ensemble de générateurs pour le centralisateur d'un élément donné. On présente une solution au problème de conjugaison pour les groupes de Garside, et aussi un algorithme qui calcule un ensemble de générateurs pour le centralisateur d'un élément donné dans un groupe de Garside. Soit G un groupe muni d'une solution au problème de conjugaison et d'un algorithme qui calcule un ensemble de générateurs pour le centralisateur de tout élément de G. On donne des conditions sur un sous-groupe H de G sous lesquelles on présente une solution au problème de conjugaison dans H. Soit A un groupe d'Artin du type sphérique, non nécessairement irréductible, et on note CA le groupe d'Artin coloré associé. On montre que CA est un sous-groupe caractéristique de AThe main purpose of this thesis is the study of combinatorial problems in group theory. Given a group defined by generators and relations, there are several combinatorial problems that we can state , such as the word problem, the conjugacy problem , the membership problem , and the problem of finding generating sets of centralizers. We present a solution to the conjugacy problem for Garside groups as well as an algorithm which computes a generating set for centralizers in Garside groups. Let G be a group endowed with a solution to the conjugacy problem and with an algorithm which computes a generating set of the centralizer of any element in G. We give conditions to a subgroup H of G under which we give a solution to the conjugacy problem in H. Let A be a spherical type Artin group, which is not necessarily irreductible, and let CA denote its associated coloured Artin group. We prove that CA is a characteristic subgroup
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Coles, Ben. "Conjugacy in braid groups and the LKB representation, and Bessis-Garside groups of rank 3." Thesis, University of Warwick, 2017. http://wrap.warwick.ac.uk/90207/.
Full textAbstract:
In the first part of this thesis, we give a survey of the conjugacy problem in the braid group, describing the solution provided by Garside theory, and outlining the progress that has been made towards a polynomial time solution in recent years using refinements of Garside's solution, and the Thurston-Nielsen classification of braids, which reduces the problem to the case of pseudo-Anosov braids. Using the faithful Lawrence-Krammer-Bigelow representation of the braid groups, we consider how the eigenspaces of pseudo-Anosov braids can under certain conditions yield invariants of their conjugacy class and thus lead us towards a polynomial time solution of the conjugacy problem. In the second part we introduce Bessis-Garside groups, a generalisation of the methods used by Bessis in his papers on dual braid monoids. We consider the groups given by taking the quotient of the free group by the orbits of its generators under the action of some subgroup of the braid group, and find that in many cases this construction can give us a group with a Garside structure. By means of introduction we review the simple rank 2 case, and summarise examples of such groups already known to admit Garside structures, in particular due to the work of Digne. We then go on to give all those of such groups which can be found as quotients of affine and spherical Artin groups of rank 3. We show that all such groups may be given a cycle presentation, or equivalently may be given as labelled-oriented-graph presented groups, and give conditions on such presentations that are equivalent to the group admitting a `dual' Garside structure. Restricting by the cycle lengths occurring in such presentations we give all Bessis-Garside groups of rank 3 which have all cycles length at most 4, and discuss the case of Bessis-Garside groups with uniform cycle length.
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Cumplido, Cabello María. "Sous-groupes paraboliques et généricité dans les groupes d'Artin-Tits de type sphérique." Thesis, Rennes 1, 2018. http://www.theses.fr/2018REN1S022/document.
Full textAbstract:
Dans la première partie de cette thèse on étudiera la conjecture de généricité: dans le graphe de Cayley du groupe modulaire d'une surface fermée on regarde une boule centrée à l'identité et on s'intéresse à la proportion de sommets pseudo-Anosov dans cette boule. La conjecture de généricité affirme que cette proportion doit tendre vers 1 quand le rayon de la boule tend vers l'infini. On montre qu'elle est bornée inférieurement par un nombre strictement positif et on montre des résultats similaires pour une grande classe de sous-groupes du groupe modulaire. On présente aussi des résultats analogues pour des groupes d'Artin-Tits de type sphérique, en sachant que dans ce cas, être pseudo-Anosov est analogue à agir loxodromiquement sur un complexe delta-hyperbolique convenable. Dans la deuxième partie on donne des résultats sur les sous-groupes paraboliques des groupes d'Artin-Tits de type sphérique: le standardisateur minimal d'une courbe dans le disque troué est la tresse minimale positive qui la fait devenir ronde. On construit un algorithme pour le calculer d'une façon géométrique. Ensuite, on généralise le problème pour les groupes d'Artin-Tits de type sphérique. On montre aussi que l'intersection de deux sous-groupes paraboliques est un sous-groupe parabolique et que l'ensemble de sous-groupes paraboliques est un treillis par rapport à l'inclusion. Finalement, on définit le complexe simplicial des sous-groupes paraboliques irréductibles, et on le propose comme l'analogue du complexe de courbesIn the first part of this thesis we study the genericity conjecture: In the Cayley graph of the mapping class group of a closed surface we look at a ball of large radius centered on the identity vertex, and at the proportion of pseudo-Anosov vertices among the vertices in this ball. The genericity conjecture states that this proportion should tend to one as the radius tends to infinity. We prove that it stays bounded away from zero and prove similar results for a large class of subgroups of the mapping class group. We also present analogous results for Artin--Tits groups of spherical type, knowing that in this case being pseudo-Anosov is analogous to being a loxodromically acting element. In the second part we provide results about parabolic subgroups of Artin-Tits groups of spherical type: The minimal standardizer of a curve on a punctured disk is the minimal positive braid that transforms it into a round curve. We give an algorithm to compute it in a geometrical way. Then, we generalize this problem algebraically to parabolic subgroups of Artin--Tits groups of spherical type. We also show that the intersection of two parabolic subgroups is a parabolic subgroup and that the set of parabolic subgroups forms a lattice with respect to inclusion. Finally, we define the simplicial complex of irreducible parabolic subgroups, and we propose it as the analogue of the curve complex for mapping class groups
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Neaime, Georges. "Interval structures, Hecke algebras, and Krammer’s representations for the complex braid groups B(e,e,n)." Thesis, Normandie, 2018. http://www.theses.fr/2018NORMC214/document.
Full textAbstract:
Nous définissons des formes normales géodésiques pour les séries générales des groupes de réflexions complexes G(de,e,n). Ceci nécessite l'élaboration d'une technique combinatoire afin de déterminer des décompositions réduites et de calculer la longueur des éléments de G(de,e,n) sur un ensemble générateur donné. En utilisant ces formes normales géodésiques, nous construisons des intervalles dans G(e,e,n) qui permettent d'obtenir des groupes de Garside. Certains de ces groupes correspondent au groupe de tresses complexe B(e,e,n). Pour les autres groupes de Garside, nous étudions certaines de leurs propriétés et nous calculons leurs groupes d'homologie sur Z d'ordre 2. Inspirés par les formes normales géodésiques, nous définissons aussi de nouvelles présentations et de nouvelles bases pour les algèbres de Hecke associées aux groupes de réflexions complexes G(e,e,n) et G(d,1,n) ce qui permet d'obtenir une nouvelle preuve de la conjecture de liberté de BMR (Broué-Malle-Rouquier) pour ces deux cas. Ensuite, nous définissons des algèbres de BMW (Birman-Murakami-Wenzl) et de Brauer pour le type (e,e,n). Ceci nous permet de construire des représentations de Krammer explicites pour des cas particuliers des groupes de tresses complexes B(e,e,n). Nous conjecturons que ces représentations sont fidèles. Enfin, en se basant sur nos calculs heuristiques, nous proposons une conjecture sur la structure de l'algèbre de BMWWe define geodesic normal forms for the general series of complex reflection groups G(de,e,n). This requires the elaboration of a combinatorial technique in order to determine minimal word representatives and to compute the length of the elements of G(de,e,n) over some generating set. Using these geodesic normal forms, we construct intervals in G(e,e,n) that give rise to Garside groups. Some of these groups correspond to the complex braid group B(e,e,n). For the other Garside groups that appear, we study some of their properties and compute their second integral homology groups. Inspired by the geodesic normal forms, we also define new presentations and new bases for the Hecke algebras associated to the complex reflection groups G(e,e,n) and G(d,1,n) which lead to a new proof of the BMR (Broué-Malle-Rouquier) freeness conjecture for these two cases. Next, we define a BMW (Birman-Murakami-Wenzl) and Brauer algebras for type (e,e,n). This enables us to construct explicit Krammer's representations for some cases of the complex braid groups B(e,e,n). We conjecture that these representations are faithful. Finally, based on our heuristic computations, we propose a conjecture about the structure of the BMW algebra
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Maffre, Samuel. "Conjugaison et cyclage dans les groupes de Garside, applications cryptographiques." Limoges, 2005. http://aurore.unilim.fr/theses/nxfile/default/a2d5043f-56f9-490f-9b58-18c1b0f7d718/blobholder:0/2005LIMO0028.pdf.
Full textAbstract:
Ce travail s'inscrit dans la thématique de la cryptographie basée sur les tresses. Nous nous intéressons au problème de conjugaison et au problème des cyclages présentés par K. H. Ko, S. J. Lee et al. à CRYPTO 2000 (LNCS 1880) dans New public-key cryptosystem using braid groups. D'une part, nous montrons que l'inversion de la fonction cyclage admet une solution polynomiale dans les groupes de Garside, qui sont une généralisation des groupes de tresses ; ceci permet de résoudre efficacement le problème des cyclages. D'autre part, le travail réalisé sur le problème de conjugaison et ses variantes met en relief le rôle joué par les générateurs aléatoires de tresses. Nous proposons un algorithme qui donne une factorisation du secret sous la forme d'un diviseur et d'un multiple. Ceci permet de définir deux nouvelles instances dont les secrets sont de taille réduite. De plus, nous exploitons la double structure de Garside des groupes de tresses afin d'améliorer l'efficacité de cette réduction. Nous observons que le choix du générateur aléatoire influe grandement sur la sécurité d'une instance et donnons plusieurs éléments constructifs et encourageants pour de futures recherches dans la conception d'un bon générateur aléatoire de tresses. This work deals with braid based cryptography. We study the conjugacy search problem and the cycling problem presented by K. H. Ko, S. J. Lee and al. At CRYPTO 2000 (LNCS 1880) in New public-key cryptosystem using braid groups. On the one hand, we give a polynomial time algorithm to inverse the cycling function in Garside group which are a generalization of braid groups ; that allows to solve practically the cycling problem. On the other hand, our work on the conjugacy search problem and its variants emphasizes the choice of random generator of braids in protocols. We give an algorithm that factorizes the secret into a divisor and a multiple. That allows to define two new conjugacy instances with shorter secrets. Moreover, we exploit the fact that a braid group has two distinct Garside structures to improve the efficiency of the reduction. We observe that the choice of random generators influences greatly the security of an instance and we give several constructive and encouraging elements for further research in the design of good random generator of braids
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Ajbal, Oussama. "Groupes d’Artin-Tits et de Garside : points fixes, métriques, et double centralisateurs." Caen, 2015. http://www.theses.fr/2015CAEN2046.
Full textAbstract:
Les groupes d'Artin-Tits et de Garside, qui sont deux généralisations des groupes de tresses, sont à leurs tours deux cas particuliers des groupes préGarside. Dans cette thèse, nous généralisons certains résultats vérifiés pour les groupes de tresses, aux groupes d'Artin-Tits, de Garside, et préGarside. On étudie dans la première partie les sous-monoïdes des points fixes et des points périodiques d'endomorphismes des monoïdes préGarside, d'Artin-Tits, et de Garside. Nous prouvons que ces sous-monoïdes héritent, sous certaines conditions, de la structure du monoïde ambiant. Dans la deuxième partie on étudie des métriques sur ces mêmes monoïdes. Nous comparons ces métriques, montrons des équivalences et non- équivalences entre elles dans des cas généraux et particuliers, et donnons une caractérisation des contractions sur les monoïdes d'Artin-Tits. En troisième partie, nous calculons le double centralisateur d'un sous-groupe parabolique d'un groupe d'Artin-Tits de type sphériqueArtin-Tits and Garside groups, two generalizations of braid groups, are both particular types of preGarside groups. In this thesis, we extend some results proved for braid groups, to Artin-Tits, Garside, and preGarside groups. First, we focus on the submonoids of fixed points and periodic points of endomorphisms of preGarside, Garside and Artin-Tits monoids. We show that these submonoids inherit, under some conditions, the structure of the ambient group. Then, we study some metrics over these same monoids. We compare these distances, show some equivalences and non-equivalences between them in general and in some particular cases, and then we provide a characterization of those endomorphisms of Artin-Tits monoids that are contractions. Finally, we calculate the double centralizer of any parabolic subgroup of any Artin-Tits group of spherical type
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Calvez, Matthieu. "Problèmes algorithmiques dans les groupes de tresses." Phd thesis, Université Rennes 1, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00718633.
Full textAbstract:
Cette thèse a pour objet de développer de nouveaux algorithmes pour les groupes de tresses. Un problème important en théorie mathématique des tresses est d'améliorer les algorithmes existants pour résoudre le problème de conjugaison. Nous résolvons complètement ce problème dans le cas du groupe des tresses à quatre brins, en exhibant un algorithme de complexité cubique en terme de la longueur des entrées. La démonstration s'appuie sur deux aspects fondamentaux des groupes de tresses : la structure de groupe de Garside et la structure de groupe de difféotopie. Comme résultat préliminaire, nous développons un algorithme de complexité quadratique capable de classifier les tresses à quatre brins selon leur type de Nielsen-Thurston. Plus généralement, nous étudions ce problème de classification pour un nombre arbitraire de brins. Nous donnons une adaptation des résultats connus de Benardete-Gutiérrez-Nitecki au cadre de la structure de Garside duale. Enfin, à l'aide d'un résultat profond (et non constructif) de Masur-Minsky, nous prouvons l'existence d'un algorithme de complexité polynômiale pour décider le type de Nielsen-Thurston d'une tresse avec un nombre de brins arbitraire.
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Tesson, Emilie. "Un hybride du groupe de Thompson F et du groupe de tresses B°°." Thesis, Normandie, 2018. http://www.theses.fr/2018NORMC212/document.
Full textAbstract:
Nous étudions un certain monoïde défini par une présentation, notée P, qui est un hybride de celles du monoïde de tresses infinies et du monoïde de Thompson. Pour cela, nous utilisons plusieurs approches. On décrit d’abord un système de réécriture convergent pour la présentation P, ce qui fournit en particulier une solution au problème de mots de P et rapproche le monoïde hybride du monoïde de Thompson. Puis, suivant le modèle du monoïde de tresses, on utilise la méthode du retournement de facteur pour analyser la relation de divisibilité à gauche, et montrer en particulier que le monoïde hybride admet la simplification et des ppcm à droite conditionnels. Ensuite, on étudie la combinatoire de Garside de l'hybride: pour chaque entier n, on introduit un élément ∆(n) comme ppcm à droite des (n−1) premiers atomes, et on étudie les diviseurs à gauche des éléments ∆(n), appelés éléments simples. Les principaux résultats sont les dénombrement des diviseurs à gauche de ∆(n) et la détermination effective des formes normales des éléments simples. On termine en construisant des représentations du monoïde hybride dans divers monoïdes, en particulier une représentation dans des matrices à coefficients polynômes de Laurent dont on conjecture qu’elle est fidèleWe study a certain monoid specified by a presentation, denoted P, that is a hybrid of the classical presentation of the infinite braid monoid and of the presentation of Thompson’s monoid. To this end, we use several approaches. First, we describe a convergent rewrite system for P, which provides in particular a solution to the word problem, and makes the hybrid monoid reminiscent of Thompson’s monoid. Next, on the shape of the braid monoid, we use the factor reversing method to analyze the divisibility relation, and show in particular that the hybrid monoid admits cancellation and conditional right lcms. Then, we study Garside combinatorics of the hybrid: for every integer n, we introduce an element ∆(n) as the right lcm of the first (n−1) atoms, and one investigates the left divisors of the elements ∆(n), called simple elements. The main results are a counting of the left divisors of ∆(n) and a characterization of the normal forms of simple elements. We conclude with the construction of several representations of the hybrid monoid in various monoids, in particular a representation in a monoid of matrices whose entries are Laurent polynomials, which we conjecture could be faithful
Book chapters on the topic "Garside groups"
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Hock, Martin, and Boaz Tsaban. "Solving Random Equations in Garside Groups Using Length Functions." In Combinatorial and Geometric Group Theory, 149–69. Basel: Birkhäuser Basel, 2010. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-7643-9911-5_6.
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Samuel, Maffre. "Reduction of Conjugacy Problem in Braid Groups, Using Two Garside Structures." In Coding and Cryptography, 189–201. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2006. http://dx.doi.org/10.1007/11779360_16.
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