Academic literature on the topic 'Géométrie symplectique et de Poisson'

Les methodes de reduction et d'induction dans la geometrie symplectique et de poisson, ainsi que leurs applications, sont l'objet de cette these. Nous etudions une classe speciale de polarisations associees a un produit semi-direct et la validite de la condition de pukanszky pour ces polarisations. La structure des orbites coadjointes des produits semi-directs s'avere particulierement interessante : en effet, nous demontrons que ces orbites peuvent etre obtenues par induction symplectique. Nous generalisons ensuite la reduction de marsden-weinstein des systemes hamitoniens a symetrie, dans la categorie des varietes graduees. Nous definissons les actions libres, propres et symplectiques dans le contexte gradue et l'application moment pour les actions symplectiques des groupes de lie gradues. En appliquant la reduction graduee dans des cas particuliers, nous obtenons les orbites coadjointes des groupes de lie gradues et nous definissons les espaces projectifs gradues. Nous proposons finalement une generalisation des techniques de reduction et d'induction dans le contexte de la geometrie de poisson. L'etude des actions de poisson des groupes de lie-poisson sur les varietes symplectiques, montre clairement la relation entre l'equivariance de l'application moment d'une telle action de poisson et les extensions centrales des bigebres de lie et des groupes de lie-poisson. Un analogue de lie-poisson de la methode brst classique est propose, en appliquant l'induction de poisson avec un groupe de lie-poisson et son groupe double.

Le système de Gelfand-Ceitlin a été découvert par V. Guillemin et S. Sternberg en 1983. C'est un système bien connu en géométrie, mais ses singularités sont mal comprises. Le but de cette thèse est d'étudier la géométrie et la topologie des systèmes hamiltoniens intégrables et la relation avec la théorie de Lie et la géométrie symplectique et de Poisson. On s'intéresse au système de Gelfand-Ceitlin sur une orbite coadjointe générique du groupe SU(3). Pour une description géométrique de ce système, on a étudié la topologie de la variété ambiante. On calcule ses invariants (les groupes de cohomologie, d'homotopie). On étudie le problème de convexité en relation avec ce système. L'étude des singularités de ce système montre que toutes les singularités sont non dégénérées de type elliptique, sauf une dégénérée. On décrit soigneusement le comportement du système au voisinage de cette singularité, on donne un modèle simple pour la singularité dégénérée que l'on prouve grâce à un théorème qui établit un symplectomorphisme entre la singularité dégénérée et le modèle de flots géodésiques sur la sphère S3
The Gelfand-Ceitlin system has been discovered by V. Guillemin and S. Sternberg in 1983. It is a well known geometry, its singularities are yet poorly understood. The aim of this thesis is to study the geometry and topology of integrable Hamiltonian systems and the relationship between the theory of Lie and symplectic geometry and Poisson geometry. We study the Gelfand Ceitlin system on a generic coadjoint orbit of the group SU(3). To describe this system geometrically, we studied the topology of the ambient variety. We calculate its invariants (the cohomology groups, the homotopy groups). We study the problem of convexity in relation with this system. The singularities study of this system shows that all singularities are elliptic non-degenerate, except for only one. We describe carefully the behaviour of the system in the neighbourhood of this singularity, we give a simple model for degenerated singularity that we prove by a theorem which establishes a unique symplectomorphisme between the degenerate singularity and the model of geodesic flows on the sphere S3

Le but de cette thèse est d'étudier les structures symplectiques dans la catégorie des variétés linéaires par morceaux (PL). La question centrale est de déterminer si toute variété symplectique lisse $(M,omega)$ peut être triangulée de manière symplectique, au sens où il existe une variété linéaire par morceaux $K$ et une triangulation $h :K -> M$ telle que $h^*omega$ est une forme symplectique constante par morceaux. Nous étudions d'abord un problème plus simple, qui consiste à trianguler les formes volumes lisses. Étant donnée une variété lisse $M$ munie d'une forme volume $Omega$, nous montrons qu'il existe une triangulation lisse $h :K -> M$ telle que $h^*Omega$ est une forme volume constante par morceaux. En particulier, les variétés symplectiques lisses de dimension 2 admettent donc des triangulations symplectiques. Étant donnée une variété symplectique fermée $(M,omega)$, nous montrons ensuite que pour certaines triangulations lisses $h :K -> M$, on peut, par une modification arbitrairement petite du complexe $K$, supposer que la forme $h^*omega$ est de rang maximal le long de tous les simplexes de $K$. Ce résultat permet d'approximer arbitrairement bien toute variété symplectique fermée par une variété symplectique PL. Nous nous intéressons finalement au cas d'une sous-variété symplectique $M$ d'un espace ambiant qui admet lui-même une triangulation symplectique. Nous montrons qu'il est possible de construire un cobordisme entre la sous-variété $M$ considérée et une approximation lisse par morceaux de celle-ci, triangulée par un complexe symplectique.
In this thesis, we study symplectic structures in a piecewise linear (PL) setting. The central question is to determine whether a smooth symplectic manifold can be triangulated symplectically, in the sense that there exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*omega$ is a piecewise constant symplectic form on $K$. We first focus on a simpler related problem, and show that any smooth volume form $Omega$ on $M$ can be triangulated. This means that there always exists a triangulation $h :K -> M$ such that $h^*Omega$ is a piecewise constant volume form. In particular, symplectic surfaces admit symplectic triangulations. Given a closed symplectic manifold $(M,omega)$, we then prove that there exists triangulations $h :K -> M$ for which the piecewise smooth form $h^*omega$ has maximal rank along all the simplices of $K$. This result allows to approximate arbitrarily closely any closed symplectic manifold by a PL one. Finally, we investigate the case of a symplectic submanifold $M$ of an ambient space which is itself symplectically triangulated, and give the construction of a cobordism between $M$ and a piecewise smooth approximation of $M$, triangulated by a symplectic complex.
Doctorat en Sciences
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Let (E,h) be a holomorphic, Hermitian vector bundle over a polarized manifold. We provide a canonical quantisation of the Laplacian operator acting on sections of the bundle of Hermitian endomorphisms of E. If E is simple we obtain an approximation of the eigenvalues and eigenspaces of the Laplacian. In the case when the bundle E is the trivial line bundle, we quantise solutions to the heat equation on the manifold. Furthermore we show that geometric quantisation can be seen as the differential of a natural map between two Riemannian manifolds. Motivated by this fact we compute its next order approximation, namely its Hessian.
Option Mathématique du Doctorat en Sciences
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Les structures de Poisson et de Jacobi peuvent être singulières de deux façons : la structure peut être singulière (que l'on appelle singularité du premier type), mais aussi la variété elle-même peut avoir des singularités (ce que l'on appelle deuxième type de singularité). Dans un cas comme dans l'autre, résoudre la singularité consiste à trouver un objet lisse muni d'une structure symplectique ou de contact qui se projette sur l'objet singulier. Plusieurs travaux s'intéressent à ces différents types de singularités, pour celles du second type, des méthodes de type Hironaka ont été proposées dans le cadre de la géométrie algébrique. Pour celles du premier type, dans un cadre de la géométrie différentielle, il est bien connu qu'il est possible de changer la structure de Poisson et la structure de Jacobi en une structure symplectique et en une structure de contact quitte à doubler la dimension. Le but de cette thèse est de donner quelques jalons pour une théorie cohérente de la résolution des deux types de singularités pour des variétés de Poisson et de Jacobi sans augmenter la dimension et en restant dans le cadre de géométrie différentielle, c’est à dire en travaillant avec des fonctions lisses. Le premier de ses jalons est un résultat négatif : nous montrons qu'il n'existe pas de résolutions raisonnables de singularités du premier type quand le lieu singulier est de codimension 1. Nous donnons aussi des exemples qui montrent qu'en codimension deux une telle résolution peut exister. Nous faisons ceci aussi bien pour les structures de Poisson que celles de Jacobi. Les deux derniers chapitres sont consacrés à la résolution du deuxième type de singularité. Nous commençons par redonner un point de vue nouveau sur des résultats connus sur la singularité du Du Val qui sont des quotients de R^2 par des groupes finis de Sl(2,R). Enfin, en s'appuyant sur les résolutions de Du Val, on donne au dernier chapitre des résolutions symplectiques propres d’objets de Poisson singuliers définis par le quotient de R^2 par un sous-groupe infini de Gl(2,R)
Poisson and Jacobi structures can be singular in two ways: the structure can be singular (we then say: singularity of the first type), but the variety itself can also have singularities (we then say: singularity of the second type). In both cases, solving the singularity consists in finding a smooth object equipped a symplectic or contact structure that projects onto the singular object under consideration. Several works deal with these different types of singularities. For those of the second type, Hironaka type methods have been proposed in the framework of algebraic geometry. For those of the first type, in a framework of differential geometry, it is well known that it is possible to turn the Poisson structure and the Jacobi structure into a symplectic structure and a contact structure if we allow to double the dimension. The aim of this thesis is to give some milestones for a coherent theory of the resolution of the two types of singularities for Poisson and Jacobi varieties. We want, however, 1) not to increase the dimension and 2) to remain within the framework of differential geometry – i.e. we work with smooth functions. The first of its milestones is a negative result: we show that there are no reasonable resolutions of singularities of the first type when the singular locus is of codimension one. We also give examples that show that in codimension two such a resolution can exist. We do this for both Poisson and Jacobi structures. The last two chapters are devoted to solving the second type of singularity. We begin by suggesting a new point of view on known results on the Du Val singularity which are quotients of R^2 by finite groups of Sl (2, R). Finally, when using Du Val's symplectic resolutions, we give in the last chapter an example of a proper symplectic resolution of a singular Poisson object: the quotient of R ^ 2 by an infinite subgroup of Gl (2, R)

Dans cette thèse on étudie certaines constructions géométriques qui apparaissent naturellement dans le contexte des modèles sigma, leur jaugeage et supersymétrisation. La thèse comprend trois parties. La première partie (chapitres 1 et 2) contient des faits issus de la géométrie différentielle classique et de la géométrie graduée nécessaires pour comprendre les résultats clés de la thèse. On survole la géométrie liée aux variétés de Poisson et variétés symplectiques. On généralise ces notions aux variétés de Dirac et variétés n-plectiques, et établit leur liens avec les algebroïdes de Courant. Le langage principal utilisé dans la thèse pour la description mathématique des modèles sigma – c'est la géométrie graduée – on définit donc des bases de calcul sur les supervariétés et variétés graduées ainsi que les notions des Q-structures et des variétés multigraduées. La deuxième partie (chapitres 3 et 4) a pour but d’interpréter géométriquement l'invariance de jauge de certains modèles sigma. On établit la relation entre les symétries de modèle sigma de Dirac, et comme cas particulier de modèle sigma de Poisson (tordu), avec les sous-algèbres des sections d'algebroïde de Courant. On généralise la notion de cohomologie équivariante, ce qui permet d'obtenir les modèles sigma avec le groupe des symétries prescrit, en particulier on construit les groupes nécessaires pour les modèles sigma mentionnés. La troisième partie (chapitre 5) adresse l'extension graduée des modèles sigma (comme en supersymétrisation). Ceci est en fait lié auxstructures géométriques qui peuvent être définies sur l'espace des applications entre les variétés multigraduées
In this thesis we study some geometric constructions appearing naturally in the context of sigma models, their gauging and supersymmetrization. The thesis consists of three parts. The first part (chapters 1 and 2) contains facts coming from classical differential geometry and graded geometry, they are needed to understand the main results of the thesis. We review the geometric constructions related to Poisson and symplectic manifolds. We generalize these notions to Dirac and n-plectic manifolds and establish the links with Courant algebroids. The main language used in the thesis for mathematical description of the sigma models is the graded geometry - we thus define the basis of calculus on supermanifolds and graded manifolds, as well as describe the notions of Q-structures and multigraded manifolds. The main goal of the second part (chapters 3 and 4) is to interpret geometrically the gauge invariance of some sigma models. We establish the relation of the symmetries of the Dirac sigma model, and as a particular case of the (twisted) Poisson sigma model, with the subalgebra of sections of Courant algebroid. We generalize the notion of equivariant cohomology, that permits to recover the sigma models with a prescribed group of gauge symmetries. In particular we construct the necessary groups for the mentioned sigma models. The third part (chapter 5) addresses the graded extension of the sigma models (like in supersymmetrization). It is in fact related to the geometric structures that can be defined on the space of maps between multigraded manifolds

Dans cette thèse, nous étudions des transformées de type Radon sur certains espaces symétriques. Une transformée de type Radon associe à toute fonction continue à support compact sur une variété $M$ ses intégrales sur une classe $Xi$ de sous-variétés de $M$. Le problème sur lequel nous nous concentrons est l'inversion d'une telle transformée, c'est-à-dire déterminer la fonction à partir de ses intégrales sur les sous-variétés dans $Xi$. Nous présentons d'abord la solution de ce problème inverse due à Sigurdur Helgason et François Rouvière, entre autres, lorsque $M$ est un espace symétrique riemannien isotrope et $Xi$ une certaine orbite de sous-variétés totalement géodésiques de $M$ sous l'action d'un groupe de transformations de Lie de $M$. La transformée de Radon associée est qualifiée de totalement géodésique.Sur les espaces symétriques pseudo-riemanniens semisimples, nous considérons une autre transformée de type Radon, qui associe à toute fonction continue à support compact ses intégrales orbitales, c'est-à-dire ses intégrales sur les orbites du sous-groupe d'isotropie du groupe des transvections. L'inversion des intégrales orbitales, qui est donnée par une formule-limite, a été obtenue par Sigurdur Helgason sur les espaces symétriques lorentziens à courbure sectionnelle constante et par Jeremy Orloff sur tout espace symétrique pseudo-riemannien semisimple de rang un. Nous résolvons le problème d'inversion des intégrales orbitales sur les espaces de Cahen-Wallach, qui sont les modèles d'espaces symétriques lorentziens indécomposables résolubles.Pour finir, nous nous intéressons aux transformées de type Radon sur les espaces symétriques symplectiques à courbure de type Ricci. L'inversion des orbitales intégrales sur ces espaces lorsqu'ils sont semisimples a déjà été obtenue par Jeremy Orloff. En revanche, lorsque ces espaces ne sont pas semisimples, la transformée donnée par les intégrales orbitales n’est pas inversible. Ensuite, nous déterminons les orbites de sous-variétés totalement géodésiques symplectiques ou lagrangiennes sous l'action d'un groupe de transformations de Lie de l'espace de départ. Dans ce contexte, la méthode d'inversion développée par Sigurdur Helgason et François Rouvière, entre autres, ne fonctionne que pour les transformées de Radon totalement géodésiques symplectiques sur les espaces symétriques kählériens à courbure holomorphe constante. Les formules d'inversion de ces transformées sur les espaces hyperboliques complexes sont dues à François Rouvière. Nous calculons les formules d'inversion de ces transformées sur les espaces projectifs complexes.
In this thesis, we study Radon-type transforms on some symmetric spaces. A Radon-type transform associates to any compactly supported continuous function on a manifold $M$ its integrals over a class $Xi$ of submanifolds of $M$. The problem we address is the inversion of such a transform, that is determining the function in terms of its integrals over the submanifolds in $Xi$. We first present the solution to this inverse problem which is due to Sigurdur Helgason and François Rouvière, amongst others, when $M$ is an isotropic Riemannian symmetric space and $Xi$ a particular orbit of totally geodesic submanifolds of $M$ under the action of a Lie transformation group of $M$. The associated Radon transform is qualified as totally geodesic.On semisimple pseudo-Riemannian symmetric spaces, we consider an other Radon-type transform, which associates to any compactly supported continuous function its orbital integrals, that is its integrals over the orbits of the isotropy subgroup of the transvection group. The inversion of orbital integrals, which is given by a limit-formula, has been obtained by Sigurdur Helgason on Lorentzian symmetric spaces with constant sectional curvature and by Jeremy Orloff on any rank-one semisimple pseudo-Riemannian symmetric space. We solve the inverse problem for orbital integrals on Cahen-Wallach spaces, which are model spaces of solvable indecomposable Lorentzian symmetric spaces.In the last part of the thesis, we are interested in Radon-type transforms on symplectic symmetric spaces with Ricci-type curvature. The inversion of orbital integrals on these spaces when they are semisimple has already been obtained by Jeremy Orloff. However, when these spaces are not semisimple, the orbital integral operator is not invertible. Next, we determine the orbits of symplectic or Lagrangian totally geodesic submanifolds under the action of a Lie transformation group of the starting space. In this context, the technique of inversion that has been developed by Sigurdur Helgason and François Rouvière, amongst others, only works for symplectic totally geodesic Radon transforms on Kählerian symmetric spaces with constant holomorphic curvature. The inversion formulas for these transforms on complex hyperbolic spaces are due to François Rouvière. We compute the inversion formulas for these transforms on complex projective spaces.
Doctorat en Sciences
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The thesis comprises two parts. In the first part, we investigate various cohomological aspects of hypercomplex manifolds and analyse the existence of special metrics. In the second part, we define Seiberg-Witten equations on the leaf space of manifolds which admit a Riemannian foliation of codimension four.
Doctorat en Sciences
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Une capacité symplectique pour les ensembles convexes peut être définie indépendamment de toute représentation hamiltoniennne. Ce sera la plus petite aire symplectique bordée par un lacet caractéristique: on démontre qu'elle est symplectiquement invariance, normalisée, monotone et continue en topologie de Hausdorff. Elle satisfait une formule de produit symplectique. Les produits sont des sous-variétés à bord non lisse parce qu'elles présentent des arêtes. Une analyse fine des systèmes hamiltoniens quasi convexes non différentiables est donc nécessaire. Deux contre-exemples montrent que la conservation de l'énergie et l'unicité du problème de Cauchy des propriétés incontestables au cadre différentiable sont violées. Une fois établis les outils géométriques, on représente les lacets sur le produit comme un produit de lacets. Cette caractérisation permet de développer une grande famille de systèmes hamiltoniens convexes intégrables. Toutes leurs solutions, actions et capacités sont calculées. Il s'ensuit entre autre une amélioration des estimations de Croke-Weinstein et celle de Ekeland

Dans une première partie, nous développerons la théorie de l'homogénéisation symplectique ainsi que ses applications à la théorie de Mather et à la rigidité symplectique. Les invariants spectraux lagrangiens seront l'outil de base de ce travail. Dans une seconde partie, nous rappelerons les toutes nouvelles applications de la théorie des faisceaux aux problèmes de non déplaçabilité. Nous formulerons ce que nous pensons être l'équivalent de l'homologie de Floer dans ce cas là et les invariants spectraux. Puis, à l'aide de ces outils nous prouverons la non-déplaçabilité de sous-variétés lagrangiennes non exactes du cotangent. Ensuite, nous parlerons des applications à la topologie symplectique $C^0$ et à l'optimisation non lisse.