Academic literature on the topic 'Gibbs fenomen'

Проведено численное исследование разложения пробной функции в ряд Фурье при различных значениях t и количестве членов ряда. Получена экспериментальная зависимость величины скачка значений суммы ряда, обусловленные феноменом Гиббса, от скорости роста.

Studio della serie di Fourier e risultati di convergenza. Analisi matematica del fenomeno di Gibbs partendo da alcuni esempi, come quello dell'onda quadra. Analisi quantitativa del fenomeno, sviluppo grafico delle approssimazioni prese in esame attraverso algoritmi implementati in Matlab. Studio delle somme di Fejér e risoluzione del fenomeno di Gibbs.

Questa trattazione ha lo scopo di fornire una spiegazione matematica del fenomeno di Gibbs, il quale si verifica quando sono presenti forti oscillazioni nei polinomi di Fourier di una funzione con discontinuità di prima specie. Osserveremo che queste peculiarità, che si trovano vicino ai punti di discontinuità della funzione, non diminuiscono aumentando il grado del polinomio, tanto che la serie sembra non convergere alla funzione sviluppata. Vedremo che un modo per far scomparire questo fenomeno è quello di utilizzare un altro tipo di polinomi trigonometrici, cioè quelli di Fejér, al posto di quelli di Fourier. Di solito però si preferisce utilizzare comunque il polinomio di Fourier per la rappresentazione della funzione, anche se può portare a queste anomalie, perché è il polinomio trigonometrico che meglio approssima la funzione in norma quadratica. Diremo che lo studio di questo fenomeno è molto attuale, perché in tutti i processi di approssimazione, quali per esempio la ricostruzione o il filtraggio di immagini e segnali, bisogna tener controllate queste particolari oscillazioni descritte sopra, cercando di eliminarne il più possibile.

In questa trattazione è presente una descrizione dettagliata del fenomeno di Gibbs , che si presenta quando vi sono delle forti oscillazioni dei polinomi di Fourier, con i quali una funzione regolare a tratti e periodica viene approssimata, attorno alle discontinuità di prima specie. Questo fenomeno risulta essere ancora estremamente attuale; infatti nei processi di approssimazione, riguardanti, per esempio, la ricostruzione o il filtraggio di immagini o segnali, è fondamentale riuscire a controllare le oscillazioni dovute a tale fenomeno. Ho fornito nozioni preliminari per descrivere in modo dettagliato il fenomeno preso in esame come la definizione di serie di Fourier ed i relativi criteri di convergenza (puntale, uniforme e in media quadratica). Infine ho definito le serie di Fejér e mostrato che, approssimando le funzioni con queste, il fenomeno di Gibbs non avviene.

Questa trattazione si propone di fornire una spiegazione del fenomeno di Gibbs in termini matematici. Con l'espressione fenomeno di Gibbs intendiamo la presenza di forti oscillazioni nei polinomi di Fourier di una funzione con discontinuità di prima specie. Si osserva che queste anomalie, presenti vicino ai punti di discontinuità, non sembrano diminuire aumentando il grado del polinomio, al punto che la serie pare non convergere alla funzione sviluppata. Osserveremo che utilizzando un altro tipo di polinomi trigonometrici, quelli di Fejér in luogo di quelli di Fourier, scomparirà il fenomeno di Gibbs. Nonostante ciò, spesso si preferisce rappresentare una funzione utilizzando il suo polinomio di Fourier poiché questo è il polinomio trigonometrico che meglio approssima la funzione in norma quadratica.

L'argomento di questa tesi è il fenomeno di Gibbs, un fenomeno che riguarda dei particolari polinomi trigonometrici, i polinomi di Fourier: questi ultimi sono molto utilizzati per approssimare funzioni periodiche in quanto tra tutti i polinomi trigonometrici sono quelli che minimizzano l'errore in norma quadratica. Il fenomeno di Gibbs si può descrivere in questo modo: siano date una funzione f periodica che presenta punti di discontinuità di prima specie e la sua approssimazione tramite serie di Fourier; quando si tronca questa serie si avranno delle forti oscillazioni in prossimità dei punti di discontinuità della funzione. Aumentando il numero di componenti della serie troncata le oscillazioni si avvicinano sempre di più ai relativi punti di discontinuità ma il picco rimane lo stesso. La tesi è stata suddivisa in tre capitoli. Nel primo si inizia definendo i polinomi di Fourier e mostrando alcune loro proprietà, dopodiché si studia la convergenza della serie di Fourier. Nel secondo si descrive il fenomeno di Gibbs: si comincia mostrando graficamente cosa accade in tre esempi distinti di funzioni periodiche in prossimità dei loro punti di discontinuità; si analizza quindi quantitativamente uno di questi esempi e si conclude fornendo un risultato generale. Infine nel terzo, dopo aver definito le somme di Fejér e un nuovo tipo di convergenza, quella secondo Cesaro si mostra come correggere questo fenomeno utilizzando le somme di Fejér al posto dei polinomi di Fourier.

U radu je predložena metoda merenja moždanih ERP potencijala zasnovana na merenju harmonika epohe. Predložena metoda je zasnovana na pristupu takozvanog stohastičkog digitalnog merenja na intervalu (SDMI), a hardver sa kojim se ova metoda može implementirati je zasnovan na brzim A/D konvertorima i FPGA strukturi. Metoda je ispitana brojnim simulacijama i eksperimentima i pokazano je da SDMI manjeg broja epoha, sa zadovoljavajućom tačnošću, meri latenciju ERP-a, što je korisno kod vremenski kraćih merenja, kada tačno merenje amplitude ERP komponente nije od značaja.