Academic literature on the topic 'Grandes déviations et déviations modérées'

Cette thèse est consacrée à l'étude des grandes déviations et des déviations modérées de divers processus stochastiques issus de la statistique, regroupés en trois parties. La première partie est motivée par les mathématiques financières. On étudie les déviations grandes et modérées pour les estimateurs du processus de variation quadratique d'un processus de diffusion des deux points de vue de la statistique : paramètrique et non paramètique Des résultats de déviations exactes sont aussi obtenus. On utilise des outils puissants d'analyse stochastique, des inégalités isopérimètriques et divers techniques de grandes déviations. Dans la seconde partie, on s'intéresse aux déviations grandes et modérées de fonctionnelles dépendant d'une suite infinie de variables aléatoires indépendantes de même loi. Ce cadre contient diverses situations : filtrage, systèmes dynamiques, moyennes mobiles. Les résultats obtenus couvrent les grandes déviations de niveau III de ces fonctionnelles, sous des hypothèses plus larges que celles connues préalablement. Dans la troisième partie, on étend la belle caractérisation de Chen-Ledoux sur les déviations modérées de sommes de variables aléatoires indépendantes de même loi à valeurs dans un espace de Banach séparable, aux cas de processus empirique fonctionnel de chaine de Markov et d'une suite de différences de Martingale, avec application aux suites stationnaires-mélangeantes. Les résultats obtenus étendent et améliorent en plusieurs aspects des travaux très récents

Cette thèse est consacrée à l’étude de théorèmes limites : grandes déviations et déviations modérées pour des estimateurs liés à des modèles financiers. Dans une première partie, nous nous sommes intéressés à l’étude des déviations grandes et modérées des estimateurs de la covariation et de la (co)volatilité réalisée issus des fonctionnelles associées à deux processus de diffusion couplés de manière synchronisée. Les techniques utilisées dans ces travaux sont basées d’une part sur celles utilisées dans Djellout-Guillin-Wu et sur la sous additivité et sur la notion d’approximation exponentielle inspirées des travaux de J. Najim d’autre part. Dans une deuxième partie, on considère que les deux processus de diffusion sont observés de manière non synchronisée et on établit des déviations modérées pour l’estimateur de la variation généralisée et pour celui de Hayashi-Yoshida. Les résultats sont obtenus par l’utilisation d’une nouvelle approche sur les déviations modérées des variables aléatoires m−dépendantes vérifiant des conditions de type "Chen-Ledoux". Dans la troisième et dernière partie, on s’intéresse à l’étude processus autorégressif d’ordre p dont le bruit est un processus autorégressif d’ordre q. On montre des déviations modérées pour certains estimateurs associés à notre modèle dont la statistique de Durbin-Watson. Les résultats sont donnés dans le cas où le bruit est gaussien puis dans le cas de condition de type "Chen-Ledoux" portant sur le bruit<br>This thesis is devoted to the study of the limits theorem : large and moderate déviations for some financial mathematicals estimators. In the first part, we studied the large and moderate deviations of the estimators of covariation and the realized (co)volatility obtained from the functional associated to two diffusion processes coupled in synchronous manner. The techniques used in this work are based, on the one hand, on those used in Djellout-Guillin-Wu and the subadditivity and the exponential approximation notion inspired by J. Najim results on the other hand. In the second part, we consider that ours two diffusion processes are observed in a nonsynchronized manner and on the establish the moderate deviations for the generalised bipower variation estimator and the Hayashi-Yoshida estimator. The results are obtained by using a new approach on the moderate deviations of the m−dependent random variables based on the Chen-Ledoux type condition. In the third and last part, we study the stable autoregressive process of order p where the driven noise is also given by a q-order autoregressive process. We prove the moderate deviations for some estimators associated with our model such as the Durbin-Watson statistic. The results are given in the case where the driven noise is the normally distributed then in the case where the driven noise satisfy a Chen-Ledoux type condition

Cette thèse traite quelques aspects fonctionnels et non fonctionnels des grandes déviations et des déviations modérées en estimation fonctionnelle. Nous avons introduit dans la première partie un processus qui nous a permis de traiter de façon unifiée l'estimation de la fonction de densité et de la fonction de régression en utilisant plusieurs méthodes d'estimation. Plus explicitement, des principes de grandes déviations fonctionnels et non fonctionnels et des résultats de type Chernoff ponctuels et uniformes ont été obtenus. Dans un premier lieu nous avons établi un principe fonctionnel de grandes déviations pour l'estimateur par la méthode du noyau de la fonction de régression indexé par une famille de fonction vérifiant les conditions du théorème d'Arzèla-Ascoli. Ces résultats ont été utilisés pour définir un critère de sélection de modèles. Par la suite, dans la deuxième partie, nous nous sommes intéressé à 'estimation de la fonction de densité et de la fonction de régression par la méthode des histogrammes et nous avons obtenu des principes de grandes déviations ponctuels, des résultats de type Chernoff ponctuels et uniformes pour ces estimateur ainsi que des résultats de type minimax. Enfin dans les deux dernières parties, nous avons établi des principes fonctionnels de grandes déviations dans l'espace $L^1$ pour les estimateurs par la méthode des delta-suites des fonctions de densité et de régression ainsi qu'un principe de déviations modérées dans $L^1$ pour l'estimateur de la fonction de densité par la méthode des histogrammes.

Le but de cette thèse est d'étudier les modèles stochastiques d'épidémies en tenant compte de la structure spatiale de l'environnement. Dans un premier temps, nous considérons un modèle déterministe et stochastique SIR sur une grille de [0,1]^d, d=1,2 ou 3. D'une part, on prouve qu'en fixant le pas de la grille et en faisant tendre la taille de la population en chaque point de la grille vers l'infini, le modèle stochastique converge vers le modèle déterministe sur la grille. Ce système déterministe d'équations différentielles ordinaires converge vers un système d'équations aux dérivées partielles quand le pas de la maille tend vers zéro. D'autre part, on fait tendre en même temps la taille de la population en chaque point vers l'infini et le pas de maillage vers zéro, avec une restriction sur la vitesse de convergence entre les deux paramètres. Dans ce cas le modèle stochastique converge vers le modèle déterministe en espace continu. Le chapitre 2 étudie dans le cas d=1 les fluctuations du modèle stochastique autour de sa limite loi des grands nombres, à l'aide d'un théorème central limite. Dans le chapitre 3, nous étudions la dynamique de maladie infectieuse au sein d'une population répartie sur un nombre fini d'îlots interconnectés, dans le cadre d'un modèle SIS. A l'aide du théorème central limite, des déviations modérées et des grandes déviations, on donne une estimation du temps mis par les perturbations aléatoires pour éteindre une situation endémique. Nous calculons numériquement le quasi-potentiel qui apparaît dans l'expression du temps d'extinction, que l'on compare avec celui du cas homogène<br>The aim of this thesis is to study stochastic epidemic models taking into account the spatial structure of the environment. Firstly, we consider a deterministic and a stochastic SIR model on a regular grid of [0,1]^d, d=1, 2 or 3. On the one hand, by letting first the size of the population on each node go to infinity and the mesh size of the grid is kept fixed, we prove that the stochastic model converges to the deterministic model on the spatial grid. This system of ordinary differential equations converges to a system of partial differential equations as the mesh size of the grid goes to zero. On the other hand, we let both the population size go to infinity and the mesh size of the grid go to zero with a restriction on the the speed of convergence between the two parameters. In this case, we show that the stochastic model converges to the deterministic model in the continuous space. Next, we study, in the case d=1, the fluctuations of the stochastic model around its deterministic law of large numbers limit, by using a cental limit theorem. Finally, we study the dynamic of infectious disease within a population distribued on a finite number of interconnected patches. We place ourselves in the context of an SIS model. By using the central limit theorem, the moderate deviations and the large deviations, we give an approximation of the time taken by the random pertubations to extinct an endemic situation. We make numerical calculus for the quasi-potential which appear in the expression of the time of extinction. Comparisons are made with that of the homogeneous model

Les processus de Cox-Ingersoll-Ross et de Heston jouent un rôle prépondérant dans la modélisation mathématique des cours d’actifs financiers ou des taux d’intérêts. Dans cette thèse, on s’intéresse à l’estimation de leurs paramètres à partir de l’observation en temps continu d’une de leurs trajectoires. Dans un premier temps, on se place dans le cas où le processus CIR est géométriquement ergodique et ne s’annule pas. On établit alors un principe de grandes déviationspour l’estimateur du maximum de vraisemblance du couple des paramètres de dimension et de dérive d’un processus CIR. On établit ensuite un principe de déviations modérées pour l’estimateur du maximum de vraisemblance des quatre paramètres d’un processus de Heston, ainsi que pour l’estimateur du maximum de vraisemblance du couple des paramètres d’un processus CIR. Contrairement à ce qui a été fait jusqu’ici dans la littérature,les paramètres sont estimés simultanément. Dans un second temps, on ne se restreint plus au cas où le processus CIR n’atteint jamais zéro et on propose un nouvel estimateur des moindres carrés pondérés pour le quadruplet des paramètres d’un processus de Heston.On établit sa consistance forte et sa normalité asymptotique, et on illustre numériquement ses bonnes performances<br>The Cox-Ingersoll-Ross process and the Heston process are widely used in financial mathematics for pricing and hedging or to model interest rates. In this thesis, we focus on estimating their parameters using continuous-time observations. Firstly, we restrict ourselves to the most tractable situation where the CIR processis geometrically ergodic and does not vanish. We establish a large deviations principle for the maximum likelihood estimator of the couple of dimensionnal and drift parameters of a CIR process. Then we establish a moderate deviations principle for the maximum likelihood estimator of the four parameters of an Heston process, as well as for the maximum likelihood estimator of the couple of parameters of a CIR process. In contrast to the previous literature, parameters are estimated simultaneously. Secondly, we do not restrict ourselves anymore to the case where the CIR process never reaches zero and we introduce a new weighted least squares estimator for the quadruplet of parameters of an Heston process. We establish its strong consitency and asymptotic normality, and we illustrate numerically its good performances

L'objet de cette thèse est l'étude du comportement asymptotique d'estimateurs à noyau d'une densité de probabilité et de ses dérivées, d'une fonction de régression, ainsi que du mode et de la valeur modale d'une densité de probabilité. Le but est d'établir certaines propriétés des estimateurs à noyau récursifs ou semi-récursifs afin de comparer leur comportement asymptotique à celui des estimateurs classiques. Dans le premier chapitre, nous établissons des principes de grandes déviations (PGD) et des principes de déviations modérées (PDM) pour l'estimateur récursif d'une densité de probabilité et pour ses dérivées. Il s'avére que, dans les principes de déviations vérifiés par les estimateurs des dérivées, la fonction de taux est toujours une fonction quadratique, que les déviations soient grandes ou modérées. Contrairement, pour l'estimateur de la densité, les fonctions de taux qui apparaissent sont de nature différente selon que les déviations sont grandes ou modéerées. Les fonctions de taux qui apparaissent tant dans les PGD pour les dérivées que dans les PDM pour la densité et pour les dérivées sont plus grandes dans le cas où l'estimateur récursif est utilisé. Dans le deuxième chapitre, nous établissons des PGD et des PDM pour des estimateurs à noyau d'une fonction de régression. Nous généralisons les résultats déjà obtenus dans le cas unidimensionnel pour l'estimateur de Nadaraya-Watson. Nous étudions ensuite le comportement en déviations de la version semi-récursive de cet estimateur en établissant des PGD et des PDM. Les fonctions de taux qui apparaissent dans les PDM sont plus grandes pour l'estimateur semi-récursif que pour l'estimateur classique. Dans le troisième chapitre, nous nous intéressons à l'estimation jointe du mode et de la valeur modale d'une densité de probabilité basée sur l'estimateur à noyau récursif de la densité. Nous étudions la vitesse de convergence en loi et presque sûre du couple formé par ces deux estimateurs. Pour estimer simultanément les deux paramètres de façon optimale, il faut utiliser des fenêtres différentes pour définir chacun des deux estimateurs. Les estimateurs semi-récursifs conduisent à des variances asymptotiques plus petites que les estimateurs classiques.

Les problèmes d'optimisation combinatoires définis sur graphes aléatoires sont au coeur de la théorie de la complexité algorithmique. Ils sont également étroitement liés à une formulation champ moyen, dite approximation de Bethe, de modèles sur réseau de verres de spins et verres structuraux. Cette thèse s'appuie sur ce parallèle pour appliquer à des problèmes d'optimisation une approche issue de la physique statistique des systèmes désordonnés, la méthode de la cavité. Etant donné un ensemble d'entrées (instances) d'un problème d'optimisation, cette méthode permet de déterminer les propriétés des solutions des instances typiques, ainsi que celles des instances atypiques, dont les probabilités sont exponentiellement petites (grandes déviations sur la structure externe). Pour une instance donnée, la méthode de la cavité donne également accès à la thermodynamique des différentes solutions admissibles (grandes déviations sur la structure interne). D'un point de vue physique, de nombreux problèmes algorithmiquement difficiles se révèlent ainsi posséder une phase de type verre. Cette thèse est composée de trois parties destinées à exposer les principes, applications et limitations de la méthode de la cavité. La première partie rappelle, dans la perspective des grandes déviations, les liens entre physique statistique et optimisation combinatoire. La deuxième partie aborde les modèles définis sur graphes aléatoires et, pour différents ensembles de graphes, analyse les propriétés typiques et atypiques de ces modèles. La troisième partie est consacrée aux grandes déviations sur le "désordre interne", constitué par les solutions et quasi-solutions d'une instance donnée. Une attention particulière est dévolue au traitement des phases vitreuses où l'ensemble des solutions est fragmenté en un nombre exponentiel d'amas disjoints (structure dite à un pas de brisure de symétrie des répliques); il est montré comment la méthode de la cavité fournit dans de tels cas une description fine des propriétés géométriques de l'espace des solutions.

Cette thèse porte sur divers aspects de lois et de processus non-gaussiens qui partagent des propriétés de changement d'échelle où intervient l'exposant 2/3. Les deux principaux objets probabilistes que nous allons présenter sont : 1) La loi de Tracy-Widom : C'est la loi limite de la plus grande valeur propre de matrices aléatoires appartenant aux beta-ensembles lorsque leur dimension tend vers l'infini. Dans un travail en commun avec Balint Virag, nous avons établi le comportement asymptotique de la queue droite de cette loi pour tout beta strictement positif, en utilisant des outils d'analyse de diffusions du type Girsanov. 2) Le ''vrai'' processus auto-répulsif (''true self repelling motion'') TSRM : C'est un processus auto-interagissant qui a été introduit par Balint Toth et Wendelin Werner. Nous nous sommes intéressés à des propriétés de cet objet liées à ses trajectoires (grandes déviations, lois du logarithme itéré) et à des calculs explicites de lois marginales (travail en collaboration avec Balint Toth). Cette étude nous a aussi amenés à aborder des questions liées à la théorie des jeux.

Dans cette thèse on s'intéresse à la convergence et aux grandes déviations de la mesure empirique associée à certains processus ponctuels déterminantaux. Le point commun entre ces processus ponctuels est que leur polynôme caractéristique moyen est un polynôme orthogonal multiple, une généralisation des polynômes orthogonaux usuels. L'exemple le plus simple est fourni par un gaz de Coulomb bidimensionnel dans un potentiel confinant à température inverse bêta = 2; son polynôme caractéristique moyen est alors un polynôme orthogonal. Il a été prouvé, même dans le cas plus général où bêta &gt; 0, que la mesure empirique satisfait à un principe de grande déviation, avec une fonction de taux qui fait intervenir un problème d'équilibre bien connu en théorie logarithmique du potentiel. En guise d'échauffement, nous allons montrer que ce résultat s'étend au cas d'un potentiel faiblement confinant, c'est-à-dire satisfaisant une condition de croissance plus faible que d'habitude. Pour ce faire, nous utilisons un argument de compactification qui sera d'importance pour la suite. Anticipant la description asymptotique de processus déterminantaux plus complexes, nous développons alors un cadre adéquat pour définir rigoureusement des problèmes d'équilibre vectoriels avec des potentiels faiblement confinants. Nous prouvons l'existence et l'unicité de leurs solutions, un résultat nouveau en théorie du potentiel, et aussi que les fonctionnelles associées ont des ensembles de niveau compacts. Après, nous nous intéressons à un processus ponctuel déterminantal associé à une perturbation additive d'une matrice de Wishart, pour lequel le polynôme caractéristique moyen est un polynôme orthogonal multiple à deux poids. Nous établissons un principe de grande déviation pour la mesure empirique avec une fonction de taux qui fait intervenir un problème d'équilibre vectoriel ayant des potentiels faiblement confinants. C'est la première fois qu'un problème d'équilibre vectoriel intervient dans la description des grandes déviations de matrices aléatoires. Finalement, on étudie de façon générale quand est-ce que la mesure empirique associée à un processus ponctuel déterminantal et la distribution des zéros du polynôme caractéristique moyen associé convergent vers la même limite. Nous obtenons une condition suffisante pour une classe de processus ponctuels déterminantaux qui contient les processus liés aux polynômes orthogonaux multiples. En chemin, nous donnons aussi une condition suffisante pour améliorer la convergence en moyenne de la mesure empirique en une convergence presque sûre. Comme application, on décrit les distributions asymptotiques des zéros des polynômes de Hermite multiple et de Laguerre multiple en termes de convolutions libres de distributions classiques avec des mesures discrètes, et puis nous dérivons des équations algébriques pour leur transformée de Cauchy- Stieltjes<br>In this thesis we investigate the convergence and large deviations of the empirical measure associated with several determinantal point processes. These point processes have in common that their average characteristic polynomial is a multiple orthogonal polynomial, the latter being a generalization of orthogonal polynomials. The first simplest example is a 2D Coulomb gas in a confining potential at inverse temperature beta = 2, for which the average characteristic polynomial is an orthogonal polynomial. A large deviation principle for the empirical measure is known to hold, even in the general beta &gt; 0 case, with a rate function involving an equilibrium problem arising from logarithmic potential theory. As a warming up, we show this result actually extends to the case where the potential is weakly confining, i. E. Satisfying a weaker growth assumption that usual. To do so, we introduce a compactification procedure which will be of important use in what follows. Motivated by more complex determinantal point processes, we then develop a general framework for vector equilibrium problems with weakly confining potentials to make sense. We prove existence and uniqueness of their solutions, which improves the existing results in the potential theory literature, and moreover show that the associated functionals have compact level sets. Next, we investigate a determinantal point process associated with an additive perturbation of a Wishart matrix, for which the average characteristic polynomial is a multiple orthogonal polynomial associated with two weights. We establish a large deviation principle for the empirical measure with a rate function related to a vector equilibrium problem with weakly confining potentials. This is the first time that a vector equilibrium problem is shown to be involved in a large deviation principle for random matrix models. Finally, we study on a more general level when both the empirical measure of a determinantal point process and the zero distribution of the associated average characteristic polynomial converge to the same limit. We obtain a sufficient condition for a class of determinantal point processes which contains the ones related to multiple orthogonal polynomials. On the way, we provide a sufficient condition to strengthen the mean convergence of the empirical measure to the almost sure one. As an application, we describe the limiting distributions for the zeros of multiple Hermite and multiple Laguerre polynomials in terms of free convolutions of classical distributions with atomic measures, and then derive algebraic equations for their Cauchy-Stieltjes transforms

L'objet de cette these est de proposer des criteres de principes de deviations moderees (pdm) pour des suites triangulaires de martingales vectorielles, et de les appliquer a des modeles statistiques de regression lineaires et fonctionnels dans lesquels ces martingales interviennent de facon naturelle. Le premier chapitre est consacre a la methode dite des cumulants developpee par a. Pukhalskii : elle constitue un outil majeur dans ce travail, nous la decrivons donc en details en l'etoffant en plusieurs points. Dans le chapitre 2 nous exhibons des criteres de pdm pour des martingales et des series regressives scalaires ou matricielles : ils s'averent etre des versions en vitesse exponentielle des criteres de normalite asymptotique usuels. En seconde partie du chapitre 5 ces criteres sont affaiblis quand on considere des martingales autonormalisees par leur processus croissant. Le chapitre 3 est consacre a l'etude des grandes deviations de fonctionnelles additives non-bornees de chaines de markov stables, notamment de modeles autoregressifs fonctionnels d'ordre p. Dans la premiere moitie du chapitre 4, nous obtenons le pdm pour l'estimateur des moindres carres dans les modeles de regression lineaires stables, en particulier autoregressifs ; le cas du modele autoregressif gaussien explosif ou instable est etudie en premiere partie du chapitre 5. Dans la seconde moitie du chapitre 4 nous prouvons des resultats uniformes, d'une part de grandes deviations pour l'estimateur a noyau de la densite de la loi stationnaire d'une chaine de markov stable, et d'autre part de deviations moderees pour l'estimateur a noyau de la fonction de regression d'un modele de regression non-lineaire markovien stable