Academic literature on the topic 'Imitativa resonemang och kreativa resonemang'

Since mathematical tasks are central to the teaching of mathematics, it is crucial to extend our knowledge of the characteristic features of tasks that are conducive to student development of problem-solving and reasoning abilities as well as conceptual understanding.   The aim of the dissertation is to investigate how different types of mathematical tasks affect student learning and choice of learning strategies. This is done through a twofold approach: 1) to test the hypothesis that tasks affording students the opportunity and responsibility for constructing knowledge are more effective learning tools than tasks for which the solution is presented, and 2) to analyse the educational message embedded in the teacher’s formulation of the mathematical tasks on the Internet.   The main conclusion is that the type of task students engage with is important for their learning of new things. The participants who were engaged in creating their own solutions were less successful during practice but performed better on the tests in comparison with the participants who were involved in solving the tasks with a given method. The results of the sub-studies indicate that in a learning situation consisting of repeated practice of a solution method, the results are closely related to the students’ cognitive ability. The investigation shows that tasks inviting the opportunity to be solved through creative reasoning, to a certain extent serve a compensatory function in relation to students’ cognitive resources. This means that the participants need not put in so much effort in the test situation if they have practiced creative reasoning.   One conclusion to be drawn from the study of the educational message in Internet documents, when it comes to teachers’ formulation of tasks, is that there are many teachers who design tasks that encourage young students’ creative reasoning. However, the educational message in the documents shows that the teachers demand relatively little of the students in the majority of the tasks. The result indicates that there is some uncertainty about how to formulate and use tasks to support the older student’s mathematical development. The way the tasks are formulated indicates a lack of discursive tools to clarify the intended educational situation. Thus, the qualities in the tasks are hidden resources.
Det övergripande syftet med avhandlingen är att undersöka hur olika typer av matematikuppgifter påverkar elevers möjligheter till lärande och val av lärandestrategi. Resultaten visar att i en lärandesituation som består av upprepad träning av en lösningsmetod är elevernas resultat starkt beroende av deras kognitiva förmåga. Uppgifter som ger eleverna möjligheter att lösa dem med kreativa resonemang verkar i viss mån kompensatoriskt i förhållande till elevers kognitiva resurser. Testdeltagare som tränat via kreativa resonemang har en lägre kognitiv belastning. Studien av lärarkonstruerade uppgifter på internet visar exempel på uppgifter som upplevs som användbara i undervisningen. Uppgiftskonstruktörerna tenderar att ställa förhållandevis låga krav på eleverna i merparten av uppgifterna. Resultatet tyder även på en osäkerhet inför hur uppgifter skall kommuniceras för att stötta elevers matematiska utveckling. De kvalitéer som finns i uppgifterna kommer därför i skymundan. Matematikuppgifter är centrala i matematikundervisningen. Det är därför viktigt att öka kunskapen om matematikuppgifter och hur dessa kan bidra till elevers möjligheter att utveckla sin matematiska kompetens. Väl utformade matematikuppgifter kan bidra till att minska elevers utantillärande.

Enligt den aktuella läroplanen som trädde i kraft 2011, ska undervisningen i matematik skapa förutsättningar för eleverna att använda sig av flera matematiska resonemang. Enligt Lithner (2008, ss. 255–276) finns det två grundläggande resonemang i matematik, kreativt och imitativt. Ett kreativt resonemang är sådant som efterfrågas när eleven stöter på en ny uppgift som kräver ett nytt tänkande. Motsatsen till kreativt resonemang är imitativt resonemang, som betyder att eleven har stött på uppgiften tidigare och använder sig av ett välbekant tänkande. Det var utifrån dessa resonemang sex olika matematikläromedlen för årskurs 1–3 analyserades. Analysen genomfördes för att kunna urskilja vilka uppgifter som kräver imitativt respektive kreativt resonemang samt åskådliggöra om någon progression av kreativa uppgifter finns i Favorit matematikserien. Med progressionen menas en successiv ökning av kreativa uppgifter i serien. Hädanefter i texten kommer vi att referera uppgifterna som kreativa och imitativa fastän det är uppgifterna som efterfrågar dessa resonemang. Metoden som användes var textanalys utifrån Lithners definition av resonemangen men med vissa avgränsningar som exempelvis att elevens förkunskaper och förutsättningar inte togs i beaktande. Detta på grund av att analysen skulle ge en generell bild av matematikläromedlens innehåll. Det var ett kapitel (se urval s. 16) i de sex matematikläromedlen som analyserades, där enbart kapitel fyra avgjorde avgränsningarna för förkunskaper. Det innebar att en uppgift räknades som kreativ om den inte förekommit tidigare i kapitlet (se figur 4). Van den Hams och Heinze (2018, ss. 133–140) undersökning bekräftar att matematikläromedel är en stor del av matematikundervisningen. De understryker även att elevernas resultat gynnas i användandet av matematikläromedel (van den Ham & 2018, ss. 133–140). Läromedlet analyserades utifrån ett kapitel där en uppgift räknades som kreativ om den inte förekommit tidigare i kapitlet. Resultaten av vår undersökning påvisar bland annat att majoriteten av uppgifterna i de aktuella läromedlen är imitativa. Medelvärdet av kreativa uppgifter i de undersökta materialen visar att 1,36/10 uppgifter är kreativa och resterande imitativa. Vårt undersökningsresultat liknar Jäders resultat (2015, ss. 1–75) där han redovisar att cirka 1/10 uppgifter i undersökt material är kreativa. Någon progression av andel kreativa kunde inte identifieras i och med att uppgifterna inte successivt ökade i Favorit matematikserien. Redovisat resultat kan komma att vara användbart för lärare i valet av matematikläromedel, eftersom det ger en inblick i hur läromedlen är strukturerade, vilket kan vara praktiskt i planering av lektioner.

The purpose of this essay is to examine when teachers choose to discuss mathematics withstudents rather then just talk about mathematics. A definition where used to distinguish betweenan interaction that is not a discussion and an interaction that is a discussion. This definition hasbeen created by drawing ideas from other works into making a quite simple definition whichtherefore is easy to observe. The discussions are also separated into two different kinds ofdiscussions. The first and most common category of discussion are one where only imitativereasoning is used. The other type of discussion contains at least one sign of creative reasoning.The terminology imitative and creative reasoning comes from Lithners work A framework foranalysing creative and imitative mathematical reasoning. The data collected comes from observationsfrom three different schools. Five teachers where observed and a total of thirteen classes. Toregister the data and make the observations objective a observations chart where developedcontaining different categories of interaction. From the collected data diagrams where created inorder to show statistics of how often and when discussions containing imitative reasoning orcreative reasoning where used. Of all kinds of observed interaction teachers are using duringclasses discussions make up to about fifty percent. The rest is interaction which could not becategorized as discussions. The overall picture of the data show that creative discussions arerarely used and that teachers talk and discuss subjects that relates to the students personal studysituation.

Trots att kritik riktas mot matematikläroböcker för att främst innefatta uppgifter som tränar elevers procedurella kunskaper är elevaktivt arbete i en lärobok vanligt förekommande i matematikundervisningen i Sverige. Lärares urval av läroboksuppgifter som elever får arbeta med kan antingen möjliggöra för imitativa eller kreativa resonemang. En typ av imitativt resonemang är vad Lithner (2008) benämner som algoritmiskt guidat resonemang (GAR) vilket innebär att eleven på något sätt blir guidad till en lösning. Ett kreativt resonemang (KMR) innebär att eleven uppfattar problemet som nytt och genom att skapa egna lösningsmetoder når en lösning. Studien undersöker 9 lärares urval av läroboksuppgifter som sedan analyseras och kategoriseras som antingen GAR eller KMR. Resultatet visar att majoriteten av urvalen innefattar främst GAR-uppgifter men att samtliga lärares urval också innehåller KMR-uppgifter samt en likhet avseende omfattningen av uppgifter i respektive urval. Uppgiftsanalysen visar hur antalet uppgifter som lärare väljer till sina elever kan ge signaler om vad som förväntas av elever avseende vilken hastighet de bör räkna i, samt att läroboksuppgifterna i sig nödvändigtvis inte är vad som bör ifrågasättas. Det arbetssätt som elever ges förutsättning att använda kan vara avgörande för i vilken utsträckning de får möjlighet att tillämpa imitativa och kreativa resonemang.

Matematik

I denna studie har grundskollärares, i årskurs 1–3, tankar om sin undervisning i problemlösning i ämnet matematik, med avseende på kreativa och imitativa resonemang undersökts. Fem kvalitativa intervjuer med grundskollärare från olika skolor utfördes och analyserades därefter med stöd från Lithners (2008) teori om kvalitativa och imitativa resonemang. Studien visar på att grundskollärarna har svårt att undervisa problemlösning utifrån de kriterier Lithner (2008) anser vara matematiska kreativa resonemang (problemlösning) på ett sätt som uppmuntrar och möjliggör för eleverna att resonera kreativt. Empirin visar att lärare i högre utsträckning möjliggör imitativa resonemang då de anser att elevernas kunskapsnivå är för låg och att de är måna om att eleverna ska få lyckas.

Matematik

Elever i grundskolan stöter på problemlösning i matematikämnet och skall därför utveckla flera förmågor för att ha möjligheten att anpassa lösningsstrategier till varje problem. Syftet med studien är att ur ett elevperspektiv undersöka hur elever med hjälp av matematiska resonemang löser två problemlösningsuppgifter. Genom en semistrukturerad intervju med klassläraren justerades två uppgifter som sedan användes i studien. Därefter observerades tre grupper om tre elever från årskurs 3 innan en semistrukturerad gruppintervju tog vid med eleverna. Empirin från studien har sedan analyserats med hjälp av ett analysverktyg som baserats på Lithner (2008) samt Bergqvist, Lithner och Sumpters (2008) tidigare forskning om matematiska resonemang. Resultatet i studien visar att elever använder sig av kreativa resonemang i stor utsträckning vid lösandet av problemlösningsuppgifter och att det behövs kunskap för att avgöra vilken typ av uppgift som löses. Resultatet visar också att eleverna själva säger att de gynnas av att förklara hur de tänkt och att lyssna på andra. Utöver detta visar resultatet även att eleverna använder olika representationsformer för att lösa uppgifterna. En slutsats är att det finns vissa skillnader mellan vad som syns i observationen och i gruppintervjun. En andra slutsats är att det krävs en definition av begreppet ansträngning för att göra en precis analys. En tredje slutsats är att eleverna tycker att det är jobbigt att testa sig fram.

Matematik

Problemlösning är enligt Skolverket (2017) kärnan i matematik och kan leda till att eleverna får en större förståelse för matematiken de utför. Rapporter och forskning visar att matematikundervisningen till stor del utgår från enskilt arbete i läromedel, vilket inte alltid främjar elevers inlärning i problemlösning. Stora matematiker som Brousseau (1997) och Schoenfeld (1991) hävdar att utformningen av matematiska uppgifter har stor betydelse för elevers lärande, och framförallt när eleverna erbjuds uppgifter som låter dem praktisera egna lösningsmetoder. En av Sveriges stora matematiker är Lithner, han benämner uppgifter av denna karaktär som det kreativt resonemang och menar att elevers lärande i matematik utvecklas om de får arbeta med uppgifter av denna karaktär. Syftet med denna studie är att undersöka i vilken utsträckning och vilken sorts problemlösningsuppgifter som finns i “Mera favorit matematik 1B”. Detta genom att besvara frågeställningarna “Hur stor andel av det totala antalet uppgifter i “Mera favorit matematik 1B” kan kategoriseras som problemlösningsuppgifter?” Och “Hur stor andel av problemösningsuppgifterna i “Mera favorit matematik 1B”, kan kategoriseras som det kreativa respektive imitativa resonemanget?” För att besvara frågeställningarna har inledningsvis en kvantitativ innehållsanalys baserad på Skolverkets (2017) och Häggbloms (2013) definition av problemlösningsuppgifter genomförts. I ett andra skede har en kvalitativ innehållsanalys baserad på Lithners (2008) ramverk genomförts på identifierade problemlösningsuppgifter. Resultatet visar att “Mera favorit matematik 1B” innehåller 17,35% problemlösningsuppgifter och att 52,12% av de uppgifterna kräver ett kreativt resonemang och resterande 47,88% bygger på ett imitativt resonemang. Ett förslag på fortsatt forskning är en komparativ studie av hur problemlösning kan undervisas genom enbart matematikbok jämfört med hur problemlösning undervisas vid en kombination av matematikbok och lärarhandledning.

Ett stort fokus inom matematiken ligger på utantillinlärning av kunskap och tillvägagångssätt. Detta trots att forskning och styrdokument visar att elevens resonemangsförmåga är viktig för att utveckla elevers djupare förståelse av matematiken. Denna studie syftar därmed mot att bidra med kunskaper om vilka olika typer av resonemang som elever i årskurs 6 använder sig av och hur detta relaterar till deras förståelse av ett matematiskt område. Det matematiska området som har valts i studien är de geometriska begreppen omkrets och area samt sambandet mellan dem. För att besvara studiens frågeställningar samlades empirin in genom videoinspelningar av elevintervjuer där elever löste och resonerade kring uppgifter i par inom det matematiska området. De resonemang som framkom under intervjuerna identifierades och klassificerades utifrån Lithners (2008) teoretiska ramverk om imitativa och kreativa resonemang samt kopplades till elevens förståelse av begreppen och dess samband. Det resultat som framkom gav upphov till en ny typ av resonemang som inte ingick i ramverket och denna typ benämns som nytänkande resonemang. En anledning till att en ny typ skapades kan vara att denna studie applicerades på lägre åldrar än ramverket är utvecklad för. En problematik synliggjordes vid elevernas lösning av ett praktiskt problem kopplat till sambandet mellan begreppen. I denna uppgift hade inte eleverna ett matematiskt förhållningssätt och förde således inga matematiska resonemang eller visade sin förståelse.

Denna studie syftar till att öka förståelsen för hur val av resonemangstyp påverkar elevers lärande över tid. Två matchade grupper med elever i årskurs 8 fick antingen lösa uppgifter med givna lösningsstrategier eller uppgifter där de fick konstruera egna lösningar. En kvantitativ analys genomfördes för att undersöka eventuella skillnader i elevers prestationer och en kvalitativ analys gjordes för att studera elevers lösningsstrategier. Studien visade att elever som initialt fått färdiga lösningsstrategier presterade bättre än de som fått konstruera dem själva. Det fanns dock indikationer på att elever som konstruerat egna lösningar presterade bättre över tid. En korrelationsanalys mellan kognitiv förmåga och prestation visade att elever gynnades av att själva konstruera lösningar. Elever i de båda grupperna tillämpade varierande strategier vid både tränings- och testtillfällen. Resultatet visade också att elever som initialt konstruerat egna lösningar tenderade att använda samma strategi vid senare tillfälle i större utsträckning än elever som fått färdiga lösningsstrategier.

Trots att läroböcker i matematik har en viktig roll i undervisningen, så finns det inte mycket forskning på hur väl de uppfyller sin uppgift. Rapporter om lärobokens roll i skolan förekommer, dock oftast med en negativ klang. Forskning som vi har uppmärksammat tar upp att läroböckerna styr undervisning. Det nationella provet som utfördes för årskurs 3 2009, visade att eleverna har vissa brister i sina matematikkunskaper. Det står i kursplanen för matematik att det är skolans uppgift att utveckla kunskaper som behövs i matematiken för att eleverna ska kunna fatta välgrundade beslut i valsituationer (Skolverket, 2009-11-28). Med ovanstående i åtanke uppkom denna studie med syfte i att ta reda på hur en matematikbok kan se ut och i vilken grad den kan erbjuda eleverna tillfällen att träna de uppsatta målen som finns för årskurs 3.

 

Resultatet av föreliggande studie visar att de undersökta matematikböckerna inte motsvarar de krav som finns gällande de uppsatta målen för vad eleverna ska uppnå i matematik, till och med årskurs 3. Matematikböckerna tränar ej alla de utsatta målen för matematik. I vår undersökning delade vi upp uppgifterna i kreativa respektive imitativa resonemang. Imitativa resonemang innebär uppgifter som kräver en inövad metod eller ett memorerat svar och dessa uppgifter fanns det betydligt fler av. Kreativa resonemang kräver en ny sorts lösningsmetod för eleverna och var mycket mindre representerade i de båda matematikböckerna vi undersökt. Tidigare forskning har visat på att kreativa resonemang ger eleverna större förståelse för matematik. Med resultatet från nationella provet i åtanke, visade det sig att inte alla elever hade lyckats ta till sig förståelse för de olika räknesätten. Matematikböckernas uppgifter har i studien delats upp i delar som bygger på målen för matematik i årskurs 3. Utifrån delarna har vi sedan kunnat hitta mönster och dragit slutsatser om matematikböckerna som helhet. De undersökta matematikböckerna utger sig ej för att träna alla målen och det är upp till lärarna att kunna ge förutsättningar så att eleverna når alla målen i slutet på årskurs 3. Böckerna utger sig heller inte för att träna imitativa eller kreativa resonemang.

 

Vi kan genom denna studie rekommendera lärare att uppmärksamma olika matematikböckers innehåll. De bör undersöka vad böckerna kan erbjuda eleverna, för att eleverna ska kunna ha goda förutsättningar för att bli mästare i matematik.