Academic literature on the topic 'Immersion isométrique'

Nous étudions dans cette thèse des sujets liés aux surfaces minimales dans les variétés homogènes de dimension trois. La première partie est consacrée à l'étude des surfaces de Ricci à courbure négative ou nulle avec des bouts caténoïdaux. L'idée principale de cette recherche vient d'un célèbre théorème d'Huber. Nous commençons par introduire la définition des bouts caténoïdaux pour les surfaces de Ricci complètes à courbure négative ou nulle avec la courbure totale finie. Ensuite, nous développons un outil analogue à des données de Weierstrass. En utilisant cet outil, nous avons trouvé quelques résultats de classification et de non-existence pour les surfaces de Ricci à courbure négative ou nulle de genre zéro avec des bouts caténoïdaux. À la fin du deuxième chapitre, nous prouvons aussi un théorème d'existence pour les surfaces de Ricci à courbure négative ou nulle de genre arbitraire avec un nombre fini de bouts caténoïdaux. Dans la deuxième partie de cette thèse, nous nous concentrons sur les surfaces minimales dans un groupe de Lie métrique de dimension trois widetilde{E(2)}, qui est le revêtement universel du groupe des isométries affines directes du plan euclidien muni d'une métrique riemannianne invariante à gauche. Premièrement, un résultat de Patrangenaru affirme que les métriques riemanniennes invariantes à gauche de widetilde{E(2)} peuvent être décrites comme une famille de métriques à deux paramètres. Nous appliquons ensuite une representation de type Weierstrass due à Meeks, Mira, Pérez et Ros pour construire une famille à un paramètre des surfaces minimales hélicoïdales, ainsi qu'une famille à un paramètre des surfaces minimales annulaires qui sont proprement plongées dans widetilde{E(2)}. Pour conclure, nous étudions le cas limite de la famille des surfaces minimales annulaires, et nous obtenons une nouvelle preuve d'un théorème de demi-espace pour les surfaces minimales dans widetilde{E(2)}
In this thesis, we will study some topics related to minimal surfaces in three-dimensional homogeneous manifolds. The first part is devoted to the study of non-positively curved Ricci surfaces with catenodial ends. The idea comes from a famous theorem of Huber. In the first place, we give a definition of catenoidal end for non-positively curved Ricci surfaces with finite total curvature. Secondly, we develop a tool which can be regarded as an analogue of the Weierstrass data. By using this tool, we get some classification results and some non-existence results for non-positively curved Ricci surfaces of genus zero with catenoidal ends. In the end of Chapter 2, we also prove an existence result for non-positively curved Ricci surfaces of arbitrary positive genus with finite many catenoidal ends.In the second part of this thesis, we concern about minimal surfaces in a three-dimensional metric Lie group widetilde{E(2)}, which is the universal covering of the group of rigid motions of Euclidean plane endowed with a left-invariant Riemannian metric. Firstly, a result of Patrangenaru describes the left-invariant metrics as a two-parameter family of metrics. Then we take advantage of a Weierstrass-type representation due to Meeks, Mira, Pérez and Ros to construct a one-parameter family of helicoidal minimal surfaces in widetilde{E(2)} as well as a one-parameter family of minimal annuli which are properly embedded in widetilde{E(2)}. In the end, by a discussion of the limit case of the second family of surfaces, we obtain a new proof of a half-space theorem for minimal surfaces in widetilde{E(2)}

Cette thèse vise à approfondir les liens entre la géométrie différentielle et la théorie de l'élasticité, linéaire ou nonlinéaire. En s'appuyant sur cette analogie, on établit des résultats nouveaux tant en élasticité, qu'en géométrie différentielle.
Dans les deux premiers chapitres, on montre que l'inégalité de Korn sur une surface est une conséquence de l'inégalité de Korn tridimensionnelle en coordonnées curvilignes et l'on établit une inégalité de type Korn sur une surface compacte sans bord. Dans le deux derniers chapitres, on établit certains résultats de géométrie différentielle concernant les espaces riemanniens et les surfaces sous des hypothèses affablies de régularité sur les données.
Dans l'appendice, on présente quelques résultats d'analyse utilisés dans la thèse.

L'objectif de cette thèse est d'étudier les surfaces à courbure moyenne constante dans des variétés homogènes de dimension 3 avec un groupe d'isométries de dimension 4. Dans la première partie de cette thèse, nous étudions les surfaces à courbure moyenne constante dans les variétés produites \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} et \mathbb{H}^2\times\mathbb{R}. Comme résultat principal, nous établissons une classification locale pour les surfaces à courbure moyenne constante et courbure intrinsèque constante dans ces espaces. Dans cette classification, nous présentons un nouvel exemple de surface à courbure moyenne constante et courbure intrinsèque constante dans \mathbb{H}^2\times\mathbb{R}. En conséquence, nous utilisons la correspondence des surfaces soeurs pour classifier les surfaces à courbure moyenne constante et courbure intrinsèque constante dans les autres variétés homogènes de dimension 3 avec un groupe d'isométries de dimension 4, et donc sous ces conditions des nouveaux examples apparaissent dans \widetilde{\mathrm{PSL}}_{2}(\mathbb{R}). Nous consacrons la deuxième partie de cette thèse à l'étude des surfaces minimales dans \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}. À cet effet, nous définissons une nouvelle application de Gauss pour ces surfaces, en utilisant le modèle de \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} qui est isométrique à \mathbb{R}^3\setminus\{0\}, muni d'une métrique conformément équivalente à la métrique de l'espace euclidien \mathbb{R}^3. Comme résultat principal, nous montrons que deux immersions minimales conformes quelconques en \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}, avec la même application de Gauss non-constante, ne diffèrent que par des isométries de \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} de deux types particuliers. De plus, si l'application de Gauss est singulière, nous montrons que cette application est forcément constante, et donc, la surface est un cylindre vertical sur une géodésique de \mathbb{S}^2 dans \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}. Nous étudions également quelques cas particuliers, et, parmi eux, nous prouvons qu'il n'existe pas d'immersion minimale conforme dans \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} telle que l'application de Gauss soit non-constante et anti-holomorphe
The goal of this thesis is to study constant mean curvature surfaces into homogeneous 3-manifolds with 4-dimensional isometry group. In the first part of this thesis, we study constant mean curvature surfaces in the product manifolds \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} and \mathbb{H}^2\times\mathbb{R}. As a main result, we establish a local classification for constant mean curvature surfaces with constant intrinsic curvature in these spaces. In this classification, we present a new example of constant mean curvature surfaces with constant intrinsic curvature in \mathbb{H}^2\times\mathbb{R}. As a consequence, we use the sister surface correspondence to classify the constant mean curvature surfaces with constant intrinsic curvature in the others homogeneous 3-manifolds with 4-dimensional isometry group, and then new examples with these conditions arise in \widetilde{\mathrm{PSL}}_{2}(\mathbb{R}). We devote the second part of this thesis to study minimal surfaces in \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}. For this, we define a new Gauss map for surfaces in this space using the model of \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} isometric to \mathbb{R}^3\setminus\{0\}, endowed with a metric conformally equivalent to the Euclidean metric of \mathbb{R}^3. As a main result, we prove that any two minimal conformal immersions in \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} with the same non-constant Gauss map differ by only two types of ambient isometries. Moreover, if the Gauss map is a singular, we show that it is necessarily constant and then the surface is a vertical cylinder over a geodesic of \mathbb{S}^2 in \mathbb{S}^2\times\mathbb{R}. We also study some particular cases, among them we also prove that there is no minimal conformal immersion into \mathbb{S}^2\times\mathbb{R} with anti-holomorphic non-constant Gauss map