Dissertations / Theses on the topic 'Indice de Sobol'

Dans un modèle qui peut s'avérer complexe et fortement non linéaire, les paramètres d'entrée, parfois en très grand nombre, peuvent être à l'origine d'une importante variabilité de la sortie. L'analyse de sensibilité globale est une approche stochastique permettant de repérer les principales sources d'incertitude du modèle, c'est-à-dire d'identifier et de hiérarchiser les variables d'entrée les plus influentes. De cette manière, il est possible de réduire la dimension d'un problème, et de diminuer l'incertitude des entrées. Les indices de Sobol, dont la construction repose sur une décomposition de la variance globale du modèle, sont des mesures très fréquemment utilisées pour atteindre de tels objectifs. Néanmoins, ces indices se basent sur la décomposition fonctionnelle de la sortie, aussi connue soue le nom de décomposition de Hoeffding. Mais cette décomposition n'est unique que si les variables d'entrée sont supposées indépendantes. Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'extension des indices de Sobol pour des modèles à variables d'entrée dépendantes. Dans un premier temps, nous proposons une généralisation de la décomposition de Hoeffding au cas où la forme de la distribution des entrées est plus générale qu'une distribution produit. De cette décomposition généralisée aux contraintes d'orthogonalité spécifiques, il en découle la construction d'indices de sensibilité généralisés capable de mesurer la variabilité d'un ou plusieurs facteurs corrélés dans le modèle. Dans un second temps, nous proposons deux méthodes d'estimation de ces indices. La première est adaptée à des modèles à entrées dépendantes par paires. Elle repose sur la résolution numérique d'un système linéaire fonctionnel qui met en jeu des opérateurs de projection. La seconde méthode, qui peut s'appliquer à des modèles beaucoup plus généraux, repose sur la construction récursive d'un système de fonctions qui satisfont les contraintes d'orthogonalité liées à la décomposition généralisée. En parallèle, nous mettons en pratique ces différentes méthodes sur différents cas tests<br>A mathematical model aims at characterizing a complex system or process that is too expensive to experiment. However, in this model, often strongly non linear, input parameters can be affected by a large uncertainty including errors of measurement of lack of information. Global sensitivity analysis is a stochastic approach whose objective is to identify and to rank the input variables that drive the uncertainty of the model output. Through this analysis, it is then possible to reduce the model dimension and the variation in the output of the model. To reach this objective, the Sobol indices are commonly used. Based on the functional ANOVA decomposition of the output, also called Hoeffding decomposition, they stand on the assumption that the incomes are independent. Our contribution is on the extension of Sobol indices for models with non independent inputs. In one hand, we propose a generalized functional decomposition, where its components is subject to specific orthogonal constraints. This decomposition leads to the definition of generalized sensitivity indices able to quantify the dependent inputs' contribution to the model variability. On the other hand, we propose two numerical methods to estimate these constructed indices. The first one is well-fitted to models with independent pairs of dependent input variables. The method is performed by solving linear system involving suitable projection operators. The second method can be applied to more general models. It relies on the recursive construction of functional systems satisfying the orthogonality properties of summands of the generalized decomposition. In parallel, we illustrate the two methods on numerical examples to test the efficiency of the techniques

La thèse s'intéresse à une problématique concrète de sécurité des aéronefs. Le domaine de vol post-décroché est un domaine aérodynamiquement complexe où l'écoulement autour des surfaces portantes (ailes et gouvernes) peut présenter de fortes instabilités et peut être partiellement ou massivement décollé. Dans ce domaine de vol, atteignable de façon accidentelle ou volontaire (avions d'entraînement ou de voltige), les moyens de contrôle usuels sont moins efficaces, voire totalement inefficaces, ce qui peut mettre en danger le pilote et ses potentiels passagers. Le travail de recherche s'intéresse à la détermination des prévisions de vol dans le domaine de vol post-décroché, ainsi qu'à leurs dépendances aux structures de modèles utilisées pour les coefficients aérodynamiques et aux incertitudes des données expérimentales sur lesquelles ce modèle repose. La dynamique du mouvement de l'avion est régie par un système dynamique d'équations différentielles ordinaires autonomes non linéaires. Dans ces équations, les effets du fluide sur l'aéronef apparaissent par le biais des coefficients aérodynamiques globaux, qui sont les forces et les moments adimensionnés appliqués par le fluide sur l'aéronef. Ces coefficients dépendent de façon non-linéaire d'un grand nombre de variables, dont la géométrie de l'aéronef, sa vitesse et sa vitesse de rotation par rapport à la Terre, ainsi que des caractéristiques de l'écoulement qui l'entoure. Pour chaque coefficient, un modèle de représentation ayant une certaine structure est déterminé pour décrire ces dépendances complexes. Ce modèle s'appuie sur des données expérimentales recueillies sur des maquettes de taille réduite, les données de vol libre sur avion réel étant trop coûteuses et trop risquées à collecter dans le domaine post-décroché. Une autre piste pour l'établissement de ces bases serait d'utiliser des données venant de calculs numériques. Néanmoins, le caractère instationnaire et complexe de l'écoulement autour de la géométrie 3D de l'aéronef semble rendre les simulations trop coûteuses en terme de temps de calcul pour le moment, même si des études récentes explorent cette direction de recherche. Les modèles utilisés dans le cadre de notre étude sont bâtis exclusivement sur des données expérimentales. Dans le système dynamique, les coefficients aérodynamiques globaux sont évalués par interpolation dans ces tables de données d'après la structure du modèle choisie. De par la nécessité de sélectionner une structure simplificatrice du modèle de représentation des coefficients aérodynamiques globaux, ces modèles sont lacunaires. De plus, ils sont entachés d'incertitudes dues au caractère intrinsèque des expériences. Ces lacunes et ces incertitudes vont impacter les résultats des prévisions de vol. L'objectif initial de la thèse est d'étudier ces impacts.Lors des travaux de thèse, de nouveaux objectifs scientifiques ont émergé. En premier lieu, une nouvelle méthode multi-éléments basée sur des méthodes modernes d'apprentissage automatique est développée. Les méthodes multi-éléments sont des méthodes qui ont été développées pour pallier au manque de précision des polynômes du chaos en présence de discontinuités. En second lieu, une formule analytique reliant les indices de sensibilité de Sobol aux coefficients d'un métamodèle multi-éléments est démontrée. Ces méthodes sont ainsi utilisées dans le cas de la dynamique du vol pour répondre à l'objectif initial de la thèse. Les nombreuses bifurcations que possède le système dynamique du vol peuvent se traduire par des irrégularités et/ou des discontinuités dans l'évolution des variables d'état par rapport aux paramètres incertains. Les méthodes d'analyse de sensibilité et de quantification d'incertitude développées sont alors de bonnes candidates pour effectuer l'analyse du système<br>The thesis is addressing a concrete issue on aircrafts safety. The post-stall flight domain is a complex flight domain where flows around an airfoil may be highly unstable and massively stalled. In this domain, which can be reached on purpose or accidentally, usual controls are less efficient or completely inefficient, which can endanger the pilot and its passengers. The thesis is about the determination of the flight predictions in the post-stall flight domain, their dependences to the selected model structure and about the uncertainties of the experimental data the model relies on. The dynamic of the motion of the aircraft is governed by a dynamic system of ordinary non-linear differential equations. In these equations, the effects from the fluid on the aircraft are traduced by the global aerodynamic coefficients, the dimensionless forces and moments applied by the fluid on the aircraft. These coefficients depend on a high number of variables in a non-linear fashion. Among these variables are the geometry of the aircraft, its velocity and its rotation rates compared to earth, and characteristics of the surrounding flow. A representation model having a selected structure is determined for every aerodynamic coefficient, in order to represent these complex dependences. This model rely on experimental data obtained on a scale model, free flight data on a real aircraft being too expensive and too risky to get in the post-stall domain. Another way of obtaining data would be to use computational simulations. Nevertheless, the complex and unsteady flows around the 3D geometry of the aircraft makes the simulation too expensive with the current ressources, even if some recent studies begin to explore this direction of research. The selected models in the thesis are built on experimental data only. In the dynamic system, the global aerodynamic coefficients are evaluated by interpolation in these databases according to the selected model structure. The fact of selecting a simplified structure of the model makes it deficient. Moreover, as these models rely on experimental data, they are uncertain. The gaps and the uncertainties of the model have some impacts on the flight predictions. The initial objective of the thesis is therefore to study these impacts.During the thesis, new scientific objectives appeared, objectives going beyond the scope of Flight Dynamics. First, a new multi-element surrogate model for Uncertainty Quantification based on modern Machine learning methods is developed. Multi-element surrogate models were developed to address the loss of accuracy of Polynomial Chaos model in presence of discontinuities. Then, a formula linking the sensitivity Sobol indices to the coefficient of a multi-element surrogate model is derived. These results are used in the case of Flight Dynamics in order to address the issue raised in the initial objective of the thesis. The numerous bifurcations of the dynamic system can be traduced by discontinuities and/or irregularities in the evolution of the state variables compared to the uncertain parameters. The methods of Sensitivity Analysis and of Uncertainty Quantification developed in the thesis are therefore good candidates to analyse the system

En finance, le risque de modèle est le risque de pertes financières résultant de l'utilisation de modèles. Il s'agit d'un risque complexe à appréhender qui recouvre plusieurs situations très différentes, et tout particulièrement le risque d'estimation (on utilise en général dans un modèle un paramètre estimé) et le risque d'erreur de spécification de modèle (qui consiste à utiliser un modèle inadéquat). Cette thèse s'intéresse d'une part à la quantification du risque de modèle dans la construction de courbes de taux ou de crédit et d'autre part à l'étude de la compatibilité des indices de Sobol avec la théorie des ordres stochastiques. Elle est divisée en trois chapitres. Le Chapitre 1 s'intéresse à l'étude du risque de modèle dans la construction de courbes de taux ou de crédit. Nous analysons en particulier l'incertitude associée à la construction de courbes de taux ou de crédit. Dans ce contexte, nous avons obtenus des bornes de non-arbitrage associées à des courbes de taux ou de défaut implicite parfaitement compatibles avec les cotations des produits de référence associés. Dans le Chapitre 2 de la thèse, nous faisons le lien entre l'analyse de sensibilité globale et la théorie des ordres stochastiques. Nous analysons en particulier comment les indices de Sobol se transforment suite à une augmentation de l'incertitude d'un paramètre au sens de l'ordre stochastique dispersif ou excess wealth. Le Chapitre 3 de la thèse s'intéresse à l'indice de contraste quantile. Nous faisons d'une part le lien entre cet indice et la mesure de risque CTE puis nous analysons, d'autre part, dans quelles mesures une augmentation de l'incertitude d'un paramètre au sens de l'ordre stochastique dispersif ou excess wealth entraine une augmentation de l'indice de contraste quantile. Nous proposons enfin une méthode d'estimation de cet indice. Nous montrons, sous des hypothèses adéquates, que l'estimateur que nous proposons est consistant et asymptotiquement normal<br>In finance, model risk is the risk of loss resulting from using models. It is a complex risk which recover many different situations, and especially estimation risk and risk of model misspecification. This thesis focuses: on model risk inherent in yield and credit curve construction methods and the analysis of the consistency of Sobol indices with respect to stochastic ordering of model parameters. it is divided into three chapters. Chapter 1 focuses on model risk embedded in yield and credit curve construction methods. We analyse in particular the uncertainty associated to the construction of yield curves or credit curves. In this context, we derive arbitrage-free bounds for discount factor and survival probability at the most liquid maturities. In Chapter 2 of this thesis, we quantify the impact of parameter risk through global sensitivity analysis and stochastic orders theory. We analyse in particular how Sobol indices are transformed further to an increase of parameter uncertainty with respect to the dispersive or excess wealth orders. Chapter 3 of the thesis focuses on contrast quantile index. We link this latter with the risk measure CTE and then we analyse on the other side, in which circumstances an increase of a parameter uncertainty in the sense of dispersive or excess wealth orders implies and increase of contrast quantile index. We propose finally an estimation procedure for this index. We prove under some conditions that our estimator is consistent and asymptotically normal

Ce travail porte sur le problème de l'estimation d'un méta-modèle d'un modèle complexe, noté m. Le modèle m dépend de d variables d'entrées X1,...,Xd qui sont indépendantes et ont une loi connue. Le méta-modèle, noté f∗, approche la décomposition de Hoeffding de m et permet d'estimer ses indices de Sobol. Il appartient à un espace de Hilbert à noyau auto-reproduisant (RKHS), noté H, qui est construit comme une somme directe d'espaces de Hilbert (Durrande et al. (2013)). L'estimateur du méta-modèle, noté f^, est calculé en minimisant un critère des moindres carrés pénalisé par la somme de la norme de Hilbert et de la norme empirique L2 (Huet and Taupin (2017)). Cette procédure, appelée RKHS ridge groupe sparse, permet à la fois de sélectionner et d'estimer les termes de la décomposition de Hoeffding, et donc de sélectionner les indices de Sobol non-nuls et de les estimer. Il permet d'estimer les indices de Sobol même d'ordre élevé, un point connu pour être difficile à mettre en pratique.Ce travail se compose d'une partie théorique et d'une partie pratique. Dans la partie théorique, j'ai établi les majorations du risque empirique L2 et du risque quadratique de l'estimateur f^ d'un modèle de régression où l'erreur est non-gaussienne et non-bornée. Il s'agit des bornes supérieures par rapport à la norme empirique L2 et à la norme L2 pour la distance entre le modèle m et son estimation f^ dans le RKHS H. Dans la partie pratique, j'ai développé un package R appelé RKHSMetaMod, pour la mise en œuvre des méthodes d'estimation du méta-modèle f∗ de m. Ce package s'applique indifféremment dans le cas où le modèle m est calculable et le cas du modèle de régression. Afin d'optimiser le temps de calcul et la mémoire de stockage, toutes les fonctions de ce package ont été écrites en utilisant les bibliothèques GSL et Eigen de C++ à l'exception d'une fonction qui est écrite en R. Elles sont ensuite interfacées avec l'environnement R afin de proposer un package facilement exploitable aux utilisateurs. La performance des fonctions du package en termes de qualité prédictive de l'estimateur et de l'estimation des indices de Sobol, est validée par une étude de simulation<br>In this work, the problem of estimating a meta-model of a complex model, denoted m, is considered. The model m depends on d input variables X1 , ..., Xd that are independent and have a known law. The meta-model, denoted f ∗ , approximates the Hoeffding decomposition of m, and allows to estimate its Sobol indices. It belongs to a reproducing kernel Hilbert space (RKHS), denoted H, which is constructed as a direct sum of Hilbert spaces (Durrande et al. (2013)). The estimator of the meta-model, denoted f^, is calculated by minimizing a least-squares criterion penalized by the sum of the Hilbert norm and the empirical L2-norm (Huet and Taupin (2017)). This procedure, called RKHS ridge group sparse, allows both to select and estimate the terms in the Hoeffding decomposition, and therefore, to select the Sobol indices that are non-zero and estimate them. It makes possible to estimate the Sobol indices even of high order, a point known to be difficult in practice.This work consists of a theoretical part and a practical part. In the theoretical part, I established upper bounds of the empirical L2 risk and the L2 risk of the estimator f^. That is, upper bounds with respect to the L2-norm and the empirical L2-norm for the f^ distance between the model m and its estimation f into the RKHS H. In the practical part, I developed an R package, called RKHSMetaMod, that implements the RKHS ridge group sparse procedure and a spacial case of it called the RKHS group lasso procedure. This package can be applied to a known model that is calculable in all points or an unknown regression model. In order to optimize the execution time and the storage memory, except for a function that is written in R, all of the functions of the RKHSMetaMod package are written using C++ libraries GSL and Eigen. These functions are then interfaced with the R environment in order to propose an user friendly package. The performance of the package functions in terms of the predictive quality of the estimator and the estimation of the Sobol indices, is validated by a simulation study

Le but de cette thèse est de montrer l'efficacité des Sparse Grids comme méthode d'approximation appliquée à des problèmes réels de dimension élevée. Pour ces problèmes la détection des paramètres principaux est fondamentale. Dans un premier temps je présente la méthode des Sparse Grids en mettant l'accent sur sa forme adaptative. Je montre ensuite l'efficacité de la méthode sur des cas tests analytiques en montrant les particularités de la méthode en terme de détection des paramètres principaux. La méthode est ensuite utilisée pour des problèmes réels pour lesquels des résultats précis sont obtenus avec une réduction importante des coûts de calcul. Dans un premier temps la méthode est appliquée à un problème de transport de polluant. La seconde application est dédiée à l'étude de la performance d'un réseau électrique de puissance<br>The aim of this thesis is to show the efficiency of Sparse Grid approximation method applied to high dimensional real-life problems. For that kind of problems main parameters detection is fundamental. First we introduce Sparse Grid approximation method and emphasize its adaptive form. Then we show the efficiency of the method on standard test functions to show Sparse Grid specificities in main parameters detection. Due to excellent performance properties of the method, we apply it to a real-life problem and obtain accurate results with a reduced computation cost. The first application is dedicated to a pollutant diffusion problem, the second one aims to evaluate the performance of a power network

L’objectif de ce travail de thèse est d’établir une méthode d’éco-conception basée sur l’Analyse de Cycle de Vie, qui doit permettre d’identifier des leviers d’actions environnementaux propres à chacun des différents acteurs économiques intervenant dans le cycle de vie d’un produit. L’Analyse de Cycle de Vie a été couplée avec deux méthodes d’analyse de sensibilité, suivant cinq étapes décrites dans le mémoire : (i) la définition des objectifs et du système, (ii) la modélisation du calcul de l’inventaire et des indicateurs d’impacts avec des approches différenciées en premier et arrière-plan, (iii) la caractérisation des paramètres utilisés avec unetypologie définie selon les possibilités d’action de l’acteur économique concerné, (iv) la réalisation successive de deux méthodes d’analyse de sensibilité (Morris et Sobol) sur le modèle défini, (v) l’interprétation des résultats en vue de proposer des pistes efficaces d’amélioration. L’approche établie a été appliquée au cycle de vie du béton de chanvre, avec l’étude des étapes de production agricole, de transformation des fibres de chanvre et d’utilisation du béton de chanvre comme isolant thermique dans le bâtiment. L’approche permet d’identifier des scénarios technologiques potentiels, permettant d’améliorer les performances environnementales, pour chacun des acteurs du cycle de vie du produit. Mettre en oeuvre cette approche actuellement nécessite un surcroît d’informations, mais présente un gain à long terme car elle permet d’effectuer des choix robustes pour un produit donné<br>The purpose of this PhD thesis is to establish an ecodesign method based on Life Cycle Assessment, that should allow identifying action levers specific for each economic actor of the life cycle of a product, for improved environmental performances. Life Cycle Assessment was coupled with two methods of sensitivity analysis in five steps: (i) definition of objectives and system, (ii) modeling calculation of inventory and impact indicators with different approaches according to foreground and background sub-systems, (iii) characterization of parameters using a typology specific to possibilities of control of the considered economic actor, (iv) application of two sensitivity analysis methods (Morris and Sobol) and (v) results interpretation in order to identify potential efficient improvements. The approach was applied on the hemp concrete insulation product, including agricultural production, industrial transformation of hemp fibers, and use of hemp concrete as a thermal insulator for buildings. The approach provides potential technological scenarios improving environmental performances for each single economic actor of the product’s life cycle. Performing the method presently requires additional information, but will probably be paid back in the future by driving more robust choices for a given product

Dans un modèle qui peut s'avérer complexe et fortement non linéaire, les paramètres d'entrée, parfois en très grand nombre, peuvent être à l'origine d'une importante variabilité de la sortie. L'analyse de sensibilité globale est une approche stochastique permettant de repérer les principales sources d'incertitude du modèle, c'est-à-dire d'identifier et de hiérarchiser les variables d'entrée les plus influentes. De cette manière, il est possible de réduire la dimension d'un problème, et de diminuer l'incertitude des entrées. Les indices de Sobol, dont la construction repose sur une décomposition de la variance globale du modèle, sont des mesures très fréquemment utilisées pour atteindre de tels objectifs. Néanmoins, ces indices se basent sur la décomposition fonctionnelle de la sortie, aussi connue sous le nom de décomposition de Hoeffding. Mais cette décomposition n'est unique que si les variables d'entrée sont supposées indépendantes. Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'extension des indices de Sobol pour des modèles à variables d'entrée dépendantes. Dans un premier temps, nous proposons une généralisation de la décomposition de Hoeffding au cas où la forme de la distribution des entrées est plus générale qu'une distribution produit. De cette décomposition généralisée aux contraintes d'orthogonalité spécifiques, il en découle la construction d'indices de sensibilité généralisés capable de mesurer la variabilité d'un ou plusieurs facteurs corrélés dans le modèle. Dans un second temps, nous proposons deux méthodes d'estimation de ces indices. La première est adaptée à des modèles à entrées dépendantes par paires. Elle repose sur la résolution numérique d'un système linéaire fonctionnel qui met en jeu des opérateurs de projection. La seconde méthode, qui peut s'appliquer à des modèles beaucoup plus généraux, repose sur la construction récursive d'un système de fonctions qui satisfont les contraintes d'orthogonalité liées à la décomposition généralisée. En parallèle, nous mettons en pratique ces méthodes sur différents cas tests.

Durant cette thèse, une méthode d'analyse statistique sur la gerbe d'éclats d’une bombe, en particulier sur leurs masses, a été mise au point. Nous avions à disposition trois échantillons partiels de données expérimentales et un modèle mécanique simulant l'explosion d'un anneau. Dans un premier temps, un modèle statistique a été créé à partir du modèle mécanique fourni, pour générer des données pouvant être similaires à celles d'une expérience. Après cela, la distribution des masses a pu être étudiée. Les méthodes d'analyse classiques ne donnant pas de résultats suffisamment précis, une nouvelle méthode a été mise au point. Elle consiste à représenter la masse par une variable aléatoire construite à partir d'une base de polynômes chaos. Cette méthode donne de bons résultats mais ne permet pas de prendre en compte le lien entre les éclats d'une même charge. Il a donc été décidé ensuite de modéliser la masse par un processus stochastique, et non par une variable aléatoire. La portée des éclats, qui dépend en partie de la masse, a elle aussi été modélisée par un processus. Pour finir, une analyse de sensibilité a été effectuée sur cette portée avec les indices de Sobol. Ces derniers s'appliquant aux variables aléatoires, nous les avons adaptés aux processus stochastiques de manière à prendre en compte les liens entre les éclats. Dans la suite, les résultats de cette dernière analyse pourront être améliorés. Notamment, grâce à des indices présentés en dernière partie qui seraient adaptés aux variables dépendantes, et permettraient l'utilisation de processus stochastiques à accroissements non indépendants<br>During this thesis, a method of statistical analysis on sheaf of bomb fragments, in particular on their masses, has been developed. Three samples of incomplete experimental data and a mechanical model which simulate the explosion of a ring were availables. First, a statistical model based on the mechanical model has been designed, to generate data similar to those of an experience. Then, the distribution of the masses has been studied. The classical methods of analysis being not accurate enough, a new method has been developed. It consists in representing the mass by a random variable built from a basis of chaos polynomials. This method gives good results however it doesn't allow to take into account the link between slivers. Therefore, we decided to model the masses by a stochastic process, and not a random variable. The range of fragments, which depends of the masses, has also been modeled by a process. Last, a sensibility analysis has been carried out on this range with Sobol indices. Since these indices are applied to random variables, it was necessary to adapt them to stochastic process in a way that take into account the links between the fragments. In the last part, it is shown how the results of this analysis could be improved. Specifically, the indices presented in the last part are adapted to dependent variables and therefore, they could be suitable to processes with non independent increases

Dans les domaines de la modélisation et de la simulation numérique, les simulateurs développés prennent parfois en compte de nombreux paramètres dont l'impact sur les sorties n'est pas toujours bien connu. L'objectif principal de l'analyse de sensibilité est d'aider à mieux comprendre comment les sorties d'un modèle sont sensibles aux variations de ces paramètres. L'approche la mieux adaptée pour appréhender ce problème dans le cas de modèles potentiellement complexes et fortement non linéaires repose sur la décomposition ANOVA et les indices de Sobol'. En particulier, ces derniers permettent de quantifier l'influence de chacun des paramètres sur la réponse du modèle. Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de l'estimation des indices de Sobol'. Dans une première partie, nous réintroduisons de manière rigoureuse des méthodes existantes au regard de l'analyse harmonique discrète sur des groupes cycliques et des tableaux orthogonaux randomisés. Cela nous permet d'étudier les propriétés théoriques de ces méthodes et de les généraliser. Dans un second temps, nous considérons la méthode de Monte Carlo spécifique à l'estimation des indices de Sobol' et nous introduisons une nouvelle approche permettant de l'améliorer. Cette amélioration est construite autour des hypercubes latins et permet de réduire le nombre de simulations nécessaires pour estimer les indices de Sobol' par cette méthode. En parallèle, nous mettons en pratique ces différentes méthodes sur un modèle d'écosystème marin<br>In the fields of modelization and numerical simulation, simulators generally depend on several input parameters whose impact on the model outputs are not always well known. The main goal of sensitivity analysis is to better understand how the model outputs are sensisitive to the parameters variations. One of the most competitive method to handle this problem when complex and potentially highly non linear models are considered is based on the ANOVA decomposition and the Sobol' indices. More specifically the latter allow to quantify the impact of each parameters on the model response. In this thesis, we are interested in the issue of the estimation of the Sobol' indices. In the first part, we revisit in a rigorous way existing methods in light of discrete harmonic analysis on cyclic groups and randomized orthogonal arrays. It allows to study theoretical properties of this method and to intriduce generalizations. In a second part, we study the Monte Carlo method for the Sobol' indices and we introduce a new approach to reduce the number of simulations of this method. In parallel with this theoretical work, we apply these methods on a marine ecosystem model

Dans les domaines de la modélisation et de la simulation numérique, les simulateurs développés prennent parfois en compte de nombreux paramètres dont l'impact sur les sorties n'est pas toujours bien connu. L'objectif principal de l'analyse de sensibilité est d'aider à mieux comprendre comment les sorties d'un modèle sont sensibles aux variations de ces paramètres. L'approche la mieux adaptée pour appréhender ce problème dans le cas de modèles potentiellement complexes et fortement non linéaires repose sur la décomposition ANOVA et les indices de Sobol'. En particulier, ces derniers permettent de quantifier l'influence de chacun des paramètres sur la réponse du modèle. Dans cette thèse, nous nous intéressons au problème de l'estimation des indices de Sobol'. Dans une première partie, nous réintroduisons de manière rigoureuse des méthodes existantes au regard de l'analyse harmonique discrète sur des groupes cycliques et des tableaux orthogonaux randomisés. Cela nous permet d'étudier les propriétés théoriques de ces méthodes et de les généraliser. Dans un second temps, nous considérons la méthode de Monte Carlo spécifique à l'estimation des indices de Sobol' et nous introduisons une nouvelle approche permettant de l'améliorer. Cette amélioration est construite autour des hypercubes latins et permet de réduire le nombre de simulations nécessaires pour estimer les indices de Sobol' par cette méthode. En parallèle, nous mettons en pratique ces différentes méthodes sur un modèle d'écosystème marin.

Le développement et l'utilisation de modèles intégrés transport-urbanisme sont devenus une norme pour représenter les interactions entre l'usage des sols et le transport de biens et d'individus sur un territoire. Ces modèles sont souvent utilisés comme outils d'aide à la décision pour des politiques de planification urbaine.Les modèles transport-urbanisme, et plus généralement les modèles mathématiques, sont pour la majorité conçus à partir de codes numériques complexes. Ces codes impliquent très souvent des paramètres dont l'incertitude est peu connue et peut potentiellement avoir un impact important sur les variables de sortie du modèle.Les méthodes d'analyse de sensibilité globales sont des outils performants permettant d'étudier l'influence des paramètres d'un modèle sur ses sorties. En particulier, les méthodes basées sur le calcul des indices de sensibilité de Sobol' fournissent la possibilité de quantifier l'influence de chaque paramètre mais également d'identifier l'existence d'interactions entre ces paramètres.Dans cette thèse, nous privilégions la méthode dite à base de plans d'expériences répliqués encore appelée méthode répliquée. Cette méthode a l'avantage de ne requérir qu'un nombre relativement faible d'évaluations du modèle pour calculer les indices de Sobol' d'ordre un et deux.Cette thèse se focalise sur des extensions de la méthode répliquée pour faire face à des contraintes issues de notre application sur le modèle transport-urbanisme Tranus, comme la présence de corrélation entre paramètres et la prise en compte de sorties multivariées.Nos travaux proposent également une approche récursive pour l'estimation séquentielle des indices de Sobol'. L'approche récursive repose à la fois sur la construction itérative d'hypercubes latins et de tableaux orthogonaux stratifiés et sur la définition d'un nouveau critère d'arrêt. Cette approche offre une meilleure précision sur l'estimation des indices tout en permettant de recycler des premiers jeux d'évaluations du modèle. Nous proposons aussi de combiner une telle approche avec un échantillonnage quasi-Monte Carlo.Nous présentons également une application de nos contributions pour le calage du modèle de transport-urbanisme Tranus<br>Land Use and Transportation Integrated (LUTI) models have become a norm for representing the interactions between land use and the transportation of goods and people in a territory. These models are mainly used to evaluate alternative planning scenarios, simulating their impact on land cover and travel demand.LUTI models and other mathematical models used in various fields are most of the time based on complex computer codes. These codes often involve poorly-known inputs whose uncertainty can have significant effects on the model outputs.Global sensitivity analysis methods are useful tools to study the influence of the model inputs on its outputs. Among the large number of available approaches, the variance based method introduced by Sobol' allows to calculate sensitivity indices called Sobol' indices. These indices quantify the influence of each model input on the outputs and can detect existing interactions between inputs.In this framework, we favor a particular method based on replicated designs of experiments called replication method. This method appears to be the most suitable for our application and is advantageous as it requires a relatively small number of model evaluations to estimate first-order or second-order Sobol' indices.This thesis focuses on extensions of the replication method to face constraints arising in our application on the LUTI model Tranus, such as the presence of dependency among the model inputs, as far as multivariate outputs.Aside from that, we propose a recursive approach to sequentially estimate Sobol' indices. The recursive approach is based on the iterative construction of stratified designs, latin hypercubes and orthogonal arrays, and on the definition of a new stopping criterion. With this approach, more accurate Sobol' estimates are obtained while recycling previous sets of model evaluations. We also propose to combine such an approach with quasi-Monte Carlo sampling.An application of our contributions on the LUTI model Tranus is presented

Cette thèse a pour objectif la quantification de l’impact d’incertitudes affectant le processus de Retournement Temporel (RT). Ces aléas, de natures diverses, peuvent avoir une forte influence s’ils se produisent entre les deux étapes du RT. Dans cette optique la méthode de Collocation Stochastique (CS) est utilisée. Les très bons résultats en termes d’efficacité et de précision observés lors de précédentes études en Compatibilité ÉlectroMagnétique (CEM) se confirment ici, pour des problématiques de RT. Cependant, lorsque la dimension du problème à traiter augmente (nombre de variables aléatoires important), la méthode de CS atteint ses limites en termes d’efficacité. Une étude a donc été menée sur les méthodes d’Analyse de Sensibilité (AS) qui permettent de déterminer les parts d’influence respectives des entrées d’un modèle. Parmi les différentes techniques quantitatives et qualitatives, la méthode de Morris et un calcul des indices de Sobol totaux ont été retenus. Ces derniers apportent des résultats qualitatifs à moindre frais, car seule une séparation des variables prépondérantes est recherchée. C’est pourquoi une méthodologie combinant des techniques d’AS avec la méthode de CS a été développée. En réduisant le modèle aux seules variables prédominantes grâce à une première étude faisant intervenir les méthodes d’AS, la CS peut ensuite retrouver toute son efficacité avec une grande précision. Ce processus global a été validé face à la méthode de Monte Carlo sur différentes problématiques mettant en jeu le RT soumis à des aléas de natures variées<br>The aim of this thesis is to measure and quantify the impacts of uncertainties in the Time Reversal (TR) process. These random variations, coming from diverse sources, can have a huge influence if they happen between the TR steps. On this perspective, the Stochastique Collocation (SC) method is used. Very good results in terms of effectiveness and accuracy had been noticed in previous studies in ElectroMagnetic Compatibility (EMC). The conclusions are still excellent here on TR problems. Although, when the problem dimension rises (high number of Random Variables (RV)), the SC method reaches its limits and the efficiency decreases. Therefore a study on Sensitivity Analysis (SA) techniques has been carried out. Indeed, these methods emphasize the respective influences of the random variables of a model. Among the various quantitative or qualitative SA techniques the Morris method and the Sobol total sensivity indices have been adopted. Since only a split of the inputs (point out of the predominant RV) is expected, they bring results at a lesser cost. That is why a novel method is built, combining SA techniques and the SC method. In a first step, the model is reduced with SA techniques. Then, the shortened model in which only the prevailing inputs remain, allows the SC method to show once again its efficiency with a high accuracy. This global process has been validated facing Monte Carlo results on several analytical and numerical TR cases subjet to random variations

Pour l'évaluation du risque inondation, l’emploi de modèles numériques 2D d’hydraulique à surface libre reposant sur la résolution des équations de Saint-Venant est courant. Ces modèles nécessitent entre autre la description de la topographie de la zone d’étude. Sur des secteurs urbains denses ou des sites industriels, cette topographie complexe peut être appréhendée de plus en plus finement via des technologies dédiées telles que le LiDAR et la photogrammétrie. Les Modèles Numériques d'Elévation Haute Résolution (HR MNE) générés à partir de ces technologies, deviennent employés dans les études d’évaluation du risque inondation. Cette thèse étudie les possibilités, les avantages et les limites, liées à l'intégration des données topographiques HR en modélisation 2D du risque inondation en milieux urbains et industriels. Des modélisations HR de scénarios d'inondation d'origines pluviale ou fluviale sont testés en utilisant des HR MNE crées à partir de données LiDAR et photo-interprétées. Des codes de calculs (Mike 21, Mike 21 FM, TELEMAC-2D, FullSWOF_2D) offrant des moyens différent d'intégration de la donnée HR et basés sur des méthodes numériques variées sont utilisés. La valeur ajoutée de l'intégration des éléments fins du sur-sol impactant les écoulements est démontrée. Des outils pour appréhender les incertitudes liées à l'emploi de ces données HR sont développés et une analyse globale de sensibilité est effectuée. Les cartes d'indices de sensibilité (Sobol) produites soulignent et quantifient l'importance des choix du modélisateur dans la variance des résultats des modèles d'inondation HR ainsi que la variabilité spatiale de l'impact des paramètres incertains testés<br>High Resolution (infra-metric) topographic data, including LiDAR photo-interpreted datasets, are becoming commonly available at large range of spatial extent, such as municipality or industrial site scale. These datasets are promising for High-Resolution (HR) Digital Elevation Model (DEM) generation, allowing inclusion of fine aboveground structures that influence overland flow hydrodynamic in urban environment. DEMs are one key input data in Hydroinformatics to perform free surface hydraulic modelling using standard 2D Shallow Water Equations (SWEs) based numerical codes. Nonetheless, several categories of technical and numerical challenges arise from this type of data use with standard 2D SWEs numerical codes. Objective of this thesis is to tackle possibilities, advantages and limits of High-Resolution (HR) topographic data use within standard categories of 2D hydraulic numerical modelling tools for flood hazard assessment purpose. Concepts of HR topographic data and 2D SWE based numerical modelling are recalled. HR modelling is performed for : (i) intense runoff and (ii) river flood event using LiDAR and photo-interpreted datasets. Tests to encompass HR surface elevation data in standard modelling tools ranges from industrial site scale to a megacity district scale (Nice, France). Several standard 2D SWEs based codes are tested (Mike 21, Mike 21 FM, TELEMAC-2D, FullSWOF_2D). Tools and methods for assessing uncertainties aspects with 2D SWE based models are developed to perform a spatial Global Sensitivity Analysis related to HR topographic data use. Results show the importance of modeller choices regarding ways to integrate the HR topographic information in models

L'analyse de sensibilité est un outil puissant qui permet d'analyser des modèles mathématiques et des codes de calculs. Elle révèle les variables d'entrées les plus influentes sur la variable de sortie, en leur affectant une valeur appelée "indice de sensibilité". Dans ce cadre, les effets de Shapley, récemment définis par Owen, permettent de gérer des variables d'entrées dépendantes. Cependant, l'estimation de ces indices ne peut se faire que dans deux cadres très particuliers : lorsque la loi du vecteur d'entrée est connue ou lorsque les entrées sont gaussiennes et le modèle est linéaire. Cette thèse se divise en deux parties. Dans la première partie, l'objectif est d'étendre les estimateurs des effets de Shapley lorsque seul un échantillon des entrées est disponible et leur loi est inconnue. Dans la deuxième partie porte sur le cas linéaire gaussien. Le problème de la grande dimension est abordé et des solutions sont proposées lorsque les variables forment des groupes indépendants. Enfin, l'étude montre comment les effets de Shapley du cadre linéaire gaussien peuvent estimer ceux d'un cadre plus général<br>Sensitivity analysis is a powerful tool to study mathematical models and computer codes. It reveals the most impacting input variables on the output variable, by assigning values to the the inputs, that we call "sensitivity indices". In this setting, the Shapley effects, recently defined by Owen, enable to handle dependent input variables. However, one can only estimate these indices in two particular cases: when the distribution of the input vector is known or when the inputs are Gaussian and when the model is linear. This thesis can be divided into two parts. First, the aim is to extend the estimation of the Shapley effects when only a sample of the inputs is available and their distribution is unknown. The second part focuses on the linear Gaussian framework. The high-dimensional problem is emphasized and solutions are suggested when there are independent groups of variables. Finally, it is shown how the values of the Shapley effects in the linear Gaussian framework can estimate of the Shapley effects in more general settings

Une avalanche de neige est un danger naturel défini comme une masse de neige en mouvement rapide. Depuis les années 30, scientifiques conçoivent des modèles d'avalanche de neige pour décrire ce phénomène. Cependant, ces modèles dépendent de certains paramètres d'entrée mal connus qui ne peuvent pas être mesurés. Pour mieux comprendre les paramètres d'entrée du modèle et les sorties du modèle, les objectifs de cette thèse sont (i) de proposer un cadre pour calibrer les paramètres d'entrée et (ii) de développer des méthodes pour classer les paramètres d'entrée en fonction de leur importance dans le modèle en tenant compte la nature fonctionnelle des sorties. Dans ce cadre, nous développons des méthodes statistiques basées sur l'inférence bayésienne et les analyses de sensibilité globale. Nos développements sont illustrés sur des cas de test et des données réelles des avalanches de neige.D'abord, nous proposons une méthode d'inférence bayésienne pour récupérer la distribution des paramètres d'entrée à partir de séries chronologiques de vitesse d'avalanche ayant été collectées sur des sites de test expérimentaux. Nos résultats montrent qu'il est important d'inclure la structure d'erreur (dans notre cas l'autocorrélation) dans la modélisation statistique afin d'éviter les biais dans l'estimation des paramètres de frottement.Deuxièmement, pour identifier les paramètres d'entrée importants, nous développons deux méthodes basées sur des mesures de sensibilité basées sur la variance. Pour la première méthode, nous supposons que nous avons un échantillon de données et nous voulons estimer les mesures de sensibilité avec cet échantillon. Dans ce but, nous développons une procédure d'estimation non paramétrique basée sur l'estimateur de Nadaraya-Watson pour estimer les indices agrégés de Sobol. Pour la deuxième méthode, nous considérons le cadre où l'échantillon est obtenu à partir de règles d'acceptation/rejet correspondant à des contraintes physiques. L'ensemble des paramètres d'entrée devient dépendant du fait de l'échantillonnage d'acceptation-rejet, nous proposons donc d'estimer les effets de Shapley agrégés (extension des effets de Shapley à des sorties multivariées ou fonctionnelles). Nous proposons également un algorithme pour construire des intervalles de confiance bootstrap. Pour l'application du modèle d'avalanche de neige, nous considérons différents scénarios d'incertitude pour modéliser les paramètres d'entrée. Dans nos scénarios, la position et le volume de départ de l'avalanche sont les entrées les plus importantes.Nos contributions peuvent aider les spécialistes des avalanches à (i) prendre en compte la structure d'erreur dans la calibration du modèle et (ii) proposer un classementdes paramètres d'entrée en fonction de leur importance dans les modèles en utilisant des approches statistiques<br>Snow avalanche is a natural hazard defined as a snow mass in fast motion. Since the thirties, scientists have been designing snow avalanche models to describe snow avalanches. However, these models depend on some poorly known input parameters that cannot be measured. To understand better model input parameters and model outputs, the aims of this thesis are (i) to propose a framework to calibrate input parameters and (ii) to develop methods to rank input parameters according to their importance in the model taking into account the functional nature of outputs. Within these two purposes, we develop statistical methods based on Bayesian inference and global sensitivity analyses. All the developments are illustrated on test cases and real snow avalanche data.First, we propose a Bayesian inference method to retrieve input parameter distribution from avalanche velocity time series having been collected on experimental test sites. Our results show that it is important to include the error structure (in our case the autocorrelation) in the statistical modeling in order to avoid bias for the estimation of friction parameters.Second, to identify important input parameters, we develop two methods based on variance based measures. For the first method, we suppose that we have a given data sample and we want to estimate sensitivity measures with this sample. Within this purpose, we develop a nonparametric estimation procedure based on the Nadaraya-Watson kernel smoother to estimate aggregated Sobol' indices. For the second method, we consider the setting where the sample is obtained from acceptance/rejection rules corresponding to physical constraints. The set of input parameters become dependent due to the acceptance-rejection sampling, thus we propose to estimate aggregated Shapley effects (extension of Shapley effects to multivariate or functional outputs). We also propose an algorithm to construct bootstrap confidence intervals. For the snow avalanche model application, we consider different uncertainty scenarios to model the input parameters. Under our scenarios, the release avalanche position and volume are the most crucial inputs.Our contributions should help avalanche scientists to (i) account for the error structure in model calibration and (ii) rankinput parameters according to their importance in the models using statistical methods

L’objectif général de cette thèse est de caractériser la dynamique des transferts des bactéries fécales à l’aide d’une modélisation spatio-temporelle, à l’échelle du bassin versant (BV) dans une région agricole et à l’échelle événementielle. Ce projet vise à mieux comprendre l'influence des processus hydrologiques, les facteurs environnementaux et temporels impliqués dans l’explication des épisodes de contamination microbienne des eaux récréatives. Premièrement, un modèle bayésien hiérarchique a été développé pour quantifier et cartographier les niveaux de probabilité des eaux à être contaminées par des effluents agricoles, sur la base des données spectrales et des variables géomorphologiques. Par cette méthode, nous avons pu calculer les relations pondérées entre les concentrations d’Escherichia coli et la distribution de l’ensemble des paramètres agro-pédo-climatiques qui régissent sa propagation. Les résultats ont montré que le modèle bayésien développé peut être utilisé en mode prédictif de la contamination microbienne des eaux récréatives. Ce modèle avec un taux de succès de 71 % a mis en évidence le rôle significatif joué par la pluie qui est la cause principale du transport des polluants. Deuxièmement, le modèle bayésien a fait l’objet d'une analyse de sensibilité liée aux paramètres spatiaux, en utilisant les indices de Sobol. Cette démarche a permis (i) la quantification des incertitudes sur les variables pédologiques, d’occupation du sol et de la distance et (2) la propagation de ces incertitudes dans le modèle probabiliste c'est-à-dire le calcul de l’erreur induite dans la sortie par les incertitudes des entrées spatiales. Enfin, une analyse de sensibilité des simulations aux différentes sources d’incertitude a été effectuée pour évaluer la contribution de chaque facteur sur l’incertitude globale en prenant en compte leurs interactions. Il apparaît que sur l’ensemble des scénarios, l’incertitude de la contamination microbienne dépend directement de la variabilité des sols argileux. Les indices de premier ordre de l’analyse de Sobol ont montré que parmi les facteurs les plus susceptibles d’influer la contamination microbienne, la superficie des zones agricoles est le premier facteur important dans l'évaluation du taux de coliformes. C’est donc sur ce paramètre que l’attention devra se porter dans le contexte de prévision d'une contamination microbienne. Ensuite, la deuxième variable la plus importante est la zone urbaine avec des parts de sensibilité d’environ 30 %. Par ailleurs, les estimations des indices totaux sont meilleures que celles des indices de premier ordre, ce qui signifie que l’impact des interactions paramétriques est nettement significatif pour la modélisation de la contamination microbienne Enfin, troisièmement, nous proposons de mettre en œuvre une modélisation de la variabilité temporelle de la contamination microbiologique du bassin versant du lac Massawippi, à partir du modèle AVSWAT. Il s'agit d'une modélisation couplant les composantes temporelles et spatiales qui caractérisent la dynamique des coliformes. La synthèse des principaux résultats démontrent que les concentrations de coliformes dans différents sous-bassins versants se révèlent influencées par l’intensité de pluie. La recherche a également permis de conclure que les meilleures performances en calage sont obtenues au niveau de l'optimisation multi-objective. Les résultats de ces travaux ouvrent des perspectives encourageantes sur le plan opérationnel en fournissant une compréhension globale de la dynamique de la contamination microbienne des eaux de surface.<br>Abstract : The aim of this study was to predict water faecal contamination from a bayesian probabilistic model, on a watershed scale in a farming area and on a factual scale. This project aims to better understand the influence of hydrological, environmental and temporal factors involved in the explanation of microbial contamination episodes of recreational waters. First, a bayesian probabilistic model: Weight of Evidence was developed to identify and map the probability of water levels to be contaminated by agricultural effluents, on the basis of spectrals data and geomorphologic variables. By this method, we were able to calculate weighted relationships between concentrations of Escherichia coli and distribution of key agronomic, pedologic and climatic parameters that influence the spread of these microorganisms. The results showed that the Bayesian model that was developed can be used as a prediction of microbial contamination of recreational waters. This model, with a success rate of 71%, highlighted the significant role played by the rain, which is the main cause of pollution transport. Secondly, the Bayesian probabilistic model has been the subject of a sensitivity analysis related to spatial parameters, using Sobol indications. This allowed (1) quantification of uncertainties on soil variables, land use and distance and (2) the spread of these uncertainties in the probabilistic model that is to say, the calculation of induced error in the output by the uncertainties of spatial inputs. Lastly, simulation sensitivity analysis to the various sources of uncertainty was performed to assess the contribution of each factor on the overall uncertainty taking into account their interactions. It appears that of all the scenarios, the uncertainty of the microbial contamination is directly dependent on the variability of clay soils. Sobol prime indications analysis showed that among the most likely to influence the microbial factors, the area of farmland is the first important factor in assessing the coliforms. Importance must be given on this parameter in the context of preparation for microbial contamination. Then, the second most important variable is the urban area with sensitivity shares of approximately 30%. Furthermore, estimates of the total indications are better than those of the first order, which means that the impact of parametric interaction is clearly significant for the modeling of microbial contamination. Thirdly, we propose to implement a temporal variability model of microbiological contamination on the watershed of Lake Massawippi, based on the AVSWAT model. This is a model that couples the temporal and spatial components that characterize the dynamics of coliforms. The synthesis of the main results shows that concentrations of Escherichia coli in different sub-watersheds are influenced by rain intensity. Research also concluded that best performance is obtained by multi-objective optimization. The results of these studies show the prospective of operationally providing a comprehensive understanding of the dynamics of microbial contamination of surface water.

Nel presente studio è stata analizzata l’interazione tra il flusso generato da un canale superficiale disperdente, attraverso il sottosuolo, verso la zona satura, al fine di determinare la distanza di influenza del canale ed individuare le grandezze da cui essa dipende. L’analisi è stata condotta per mezzo di un modello realizzato con il codice VS2DHI che ha permesso la determinazione del grado di saturazione del terreno al raggiungimento della condizione stazionaria. È stata svolta un'analisi di sensitività globale attraverso la tecnica dell’Espansione in Caos Polinomiale (PCE) con l’obiettivo di studiare, tramite la determinazione degli indici di Sobol, come la variazione del livello d’acqua nel canale H e l'incertezza associata alla porosità del terreno, alla conducibilità idraulica a saturazione, e ai parametri di van Genuchten, incidano sulla previsione del modello. Il modello surrogato definito con la PCE è stato ottenuto applicando il Probabilistic Collocation Method in modo da ridurre l’onere computazionale delle simulazioni. Il lavoro di tesi si colloca all'interno di un progetto mirato a stimare il livello della falda ipodermica e le sue variazioni a seguito dell'interazione con correnti superficiali.

Cette thèse se concentre autour du problème de l'estimation de matrices de covariance conditionnelles et ses applications, en particulier sur la réduction de dimension et l'analyse de sensibilités. Dans le Chapitre 2 nous plaçons dans un modèle d'observation de type régression en grande dimension pour lequel nous souhaitons utiliser une méthodologie de type régression inverse par tranches. L'utilisation d'un opérateur fonctionnel, nous permettra d'appliquer une décomposition de Taylor autour d'un estimateur préliminaire de la densité jointe. Nous prouverons deux choses : notre estimateur est asymptoticalement normale avec une variance que dépend de la partie linéaire, et cette variance est efficace selon le point de vue de Cramér-Rao. Dans le Chapitre 3, nous étudions l'estimation de matrices de covariance conditionnelle dans un premier temps coordonnée par coordonnée, lesquelles dépendent de la densité jointe inconnue que nous remplacerons par un estimateur à noyaux. Nous trouverons que l'erreur quadratique moyenne de l'estimateur converge à une vitesse paramétrique si la distribution jointe appartient à une classe de fonctions lisses. Sinon, nous aurons une vitesse plus lent en fonction de la régularité de la densité de la densité jointe. Pour l'estimateur de la matrice complète, nous allons appliquer une transformation de régularisation de type "banding". Finalement, dans le Chapitre 4, nous allons utiliser nos résultats pour estimer des indices de Sobol utilisés en analyses de sensibilité. Ces indices mesurent l'influence des entrées par rapport a la sortie dans modèles complexes. L'avantage de notre implémentation est d'estimer les indices de Sobol sans l'utilisation de coûteuses méthodes de type Monte-Carlo. Certaines illustrations sont présentées dans le chapitre pour montrer les capacités de notre estimateur<br>This thesis will be focused in the estimation of conditional covariance matrices and their applications, in particular, in dimension reduction and sensitivity analyses. In Chapter 2, we are in a context of high-dimensional nonlinear regression. The main objective is to use the sliced inverse regression methodology. Using a functional operator depending on the joint density, we apply a Taylor decomposition around a preliminary estimator. We will prove two things: our estimator is asymptotical normal with variance depending only the linear part, and this variance is efficient from the Cramér-Rao point of view. In the Chapter 3, we study the estimation of conditional covariance matrices, first coordinate-wise where those parameters depend on the unknown joint density which we will replace it by a kernel estimator. We prove that the mean squared error of the nonparametric estimator has a parametric rate of convergence if the joint distribution belongs to some class of smooth functions. Otherwise, we get a slower rate depending on the regularity of the model. For the estimator of the whole matrix estimator, we will apply a regularization of type "banding". Finally, in Chapter 4, we apply our results to estimate the Sobol or sensitivity indices. These indices measure the influence of the inputs with respect to the output in complex models. The advantage of our implementation is that we can estimate the Sobol indices without use computing expensive Monte-Carlo methods. Some illustrations are presented in the chapter showing the capabilities of our estimator

’Flight’ is a program that uses flight mechanics to estimate the flight range of birds. This program, used by ornithologists, is only available for Windows OS. It requires manual imputation of body measurements and constants (one observation at a time) and this is time-consuming. Therefore, the first task is to implement the methods in R, a programming language that runs on various platforms. The resulting package named flying, has three advantages; first, it can estimate flight range of multiple bird observations, second, it makes it easier to experiment with different settings (e.g. constants) in comparison to Flight and third, it is open-source making contribution relatively easy. Uncertainty and global sen- sitivity analyses are carried out on body measurements separately and with various con- stants. In doing so, the most influential body variables and constants are discovered. This task would have been near impossible to undertake using ’Flight’. A comparison is made amongst the results from a crude partitioning method, generalized additive model, gradi- ent boosting machines and quasi-Monte Carlo method. All of these are based on Sobol’s method for variance decomposition. The results show that fat mass drives the simulations with other inputs playing a secondary role (for example mechanical conversion efficiency and body drag coefficient).

Diploma thesis is focused on advanced reliability analysis of structures solved by non--linear finite element analysis. Specifically, semi--probabilistic methods for determination of design value of resistance, sensitivity analysis and surrogate model created by polynomial chaos expansion are described in the diploma thesis. Described methods are applied on prestressed reinforced concrete roof girder.

Le problème de la dimension stochastique élevée est récurrent dans les analyses probabilistes des structures. Il correspond à l'augmentation exponentielle du nombre d'évaluations du modèle mécanique lorsque le nombre de paramètres incertains est élevé. Afin de pallier cette difficulté, nous avons proposé dans cette thèse, une approche à deux étapes. La première consiste à déterminer la dimension stochastique efficace, en se basant sur une hiérarchisation des paramètres incertains en utilisant les méthodes de criblage. Une fois les paramètres prépondérants sur la variabilité de la réponse du modèle identifiés, ils sont modélisés par des variables aléatoires et le reste des paramètres est fixé à leurs valeurs moyennes respectives, dans le calcul stochastique proprement dit. Cette tâche fut la deuxième étape de l'approche proposée, dans laquelle la méthode de décomposition de la dimension est utilisée pour caractériser l'aléa de la réponse du modèle, par l'estimation des moments statistiques et la construction de la densité de probabilité. Cette approche permet d'économiser jusqu'à 90% du temps de calcul demandé par les méthodes de calcul stochastique classiques. Elle est ensuite utilisée dans l'évaluation de l'intégrité d'une toiture à ossature bois d'une habitation individuelle installée sur un site d'aléa sismique fort. Dans ce contexte, l'analyse du comportement de la structure est basée sur un modèle éléments finis, dans lequel les assemblages en bois sont modélisés par une loi anisotrope avec hystérésis et l'action sismique est représentée par huit accélérogrammes naturels fournis par le BRGM. Ces accélérogrammes permettent de représenter différents types de sols selon en se référant à la classification de l'Eurocode 8. La défaillance de la toiture est définie par l'atteinte de l'endommagement, enregistré dans les assemblages situés sur les éléments de contreventement et les éléments d'anti-flambement, d'un niveau critique fixé à l'aide des résultats des essais. Des analyses déterministes du modèle éléments finis ont montré que la toiture résiste à l'aléa sismique de la ville du Moule en Guadeloupe. Les analyses probabilistes ont montré que parmi les 134 variables aléatoires représentant l'aléa dans le comportement non linéaire des assemblages, 15 seulement contribuent effectivement à la variabilité de la réponse mécanique ce qui a permis de réduire la dimension stochastique dans le calcul des moments statistiques. En s'appuyant sur les estimations de la moyenne et de l'écart-type on a montré que la variabilité de l'endommagement dans les assemblages situés dans les éléments de contreventement est plus importante que celle de l'endommagement sur les assemblages situés sur les éléments d'anti-flambement. De plus, elle est plus significative pour les signaux les plus nocifs sur la structure.

Dissertação de Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia<br>Com o aumento da competitividade industrial é crucial conhecer bem os processos de conformação de chapas metálicas, de modo a que estes possam ser otimizados e consequentemente reduzir os tempos e custos de produção. Assim, nesta dissertação é aplicada uma análise de sensibilidade ao processo de estampagem de uma taça quadrada, com o objetivo de compreender como as propriedades do material e condições do processo podem influenciar a estampagem. É estudada a influência da variabilidade do módulo de Young, do coeficiente de Poisson, dos coeficientes de anisotropia, dos parâmetros constitutivos da lei de Swift, da espessura inicial da chapa, do coeficiente de atrito e da força do cerra chapas. O objetivo é avaliar a influência da variabilidade destes parâmetros de entrada, na deformação plástica equivalente, na alteração de geometria, na redução de espessura, na força do punção e no retorno elástico. A análise de sensibilidade é realizada por duas técnicas distintas, índices de Sobol e índices PAWN.Antes de ser aplicada a análise de sensibilidade, é importante perceber quais as zonas da taça mais sujeitas à variabilidade dos parâmetros de entrada. Concluiu-se que a aba da taça e a zona próxima ao raio de curvatura da matriz são as zonas mais afetadas, sendo a base da taça a zona menos afetada pela variabilidade nos parâmetros de entrada.Posteriormente, avaliou-se a estabilização dos índices de sensibilidade e concluiu-se que, para a mesma precisão de resultados, os índices PAWN requerem apenas 7,7% a 12,8% das simulações utilizadas para avaliar os índices de Sobol. Da análise de sensibilidade constatou-se que os parâmetros de entrada com mais influência na variabilidade dos parâmetros de saída são: o coeficiente de encruamento, o parâmetro C da lei de Swift e o coeficiente de anisotropia a 90º. Ambos os índices de sensibilidade fornecem resultados semelhantes para todos os parâmetros de saída, exceto para o retorno elástico, para o qual se mostrou que os índices PAWN são mais precisos quando aplicados a um conjunto de dados que segue uma distribuição multimodal.<br>With the industrial competitiveness increasing day by day, it is crucial to have knowledge about the processes of conformation of metallic plates, in order to optimize that process and consequently decrease time and costs of production. In this dissertation it is applied a sensitivity analysis to the stamping process of a square cup with the aim of understanding how the material properties and the process conditions can influence that same process. The variability influence of the Young’s module, Poisson’s coefficient, anisotropy coefficients, constitutive parameters of Swift’s law, sheet thickness, friction coefficient and blank-holder force is studied. The objective is to evaluate the variability influence of these input parameters, on the variability of equivalent plastic strain, geometry change, thickness reduction, punch force and springback. This sensitivity analysis is made using two techniques: PAWN indices and Sobol indices.Before applying the sensitivity analysis, it is important to understand which zones of the square cup were more affected by inputs variability. It was concluded that the cup flange and the region near the curvature radius of the die are the most affected regions, and the cup base is the region least affected by the variability in the input parameters.Afterwards, the stabilization of the sensitivity indices was evaluated and it was concluded that, for the same results precision, the PAWN indices require only 7.7% to 12.8% of the simulations used to evaluate the Sobol indices. The sensitivity analysis showed that the input parameters with more influence on the variability of the output parameters are: the hardening coefficient, the parameter C of Swift’s law and the anisotropy coefficient at 90º. Both sensitivity indices provide similar results for all outputs, except springback, for which we can conclude that PAWN indices are more accurate than Sobol indices when the data follows a multimodal distribution.

Dissertação de Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia<br>In the industry, it is becoming more and more important to guarantee the quality of the produced components. To ensure this quality, it is important to define which parameters should be considered important and which ones’ control must be prioritized. With this goal, in this dissertation is presented a numerical study about the influence of the variability of the parameters associated with the mechanical behavior of the material and the process conditions, in the stamping results of a square cup. In this analysis is assumed variability in the elastic properties, Swift law constitutive parameters, anisotropy coefficients, sheet thickness, friction coefficient and in the blank-holder force. The effect of these parameters’ variability is evaluated in the punch force, equivalent plastic strain, thickness reduction, change of geometry and in the springback.Firstly, the quasi-Monte Carlo method was used to evaluate the average and standard deviation values of the simulation outputs, considering the variability of the input parameters. With this analysis, it was possible to conclude that the change of geometry and the springback are the outputs most sensible to the variability of the input parameters; and that the top of the square cup is the zone where the effect of the variability is more significant.Afterwards, a variance-based sensitivity analysis was done. In this analysis, first order Sobol indices were used to identify the input parameters with more effect in the output’s variability, and total Sobol indices were used to estimate the effect of the interactions between the different input parameters in the outputs’ variability. It was concluded that the input parameters with more effect are the Swift law coefficients, n and C, the anisotropy coefficient r_90 and that the effect of the interactions is only relevant for the geometry change. Furthermore, it was verified that the Sobol indices are not suitable to evaluate the influence of the input parameters in the springback, since this output have a multimodal distribution, thus different sensitivity indices must be used.With the goal to reduce the number of necessary simulations to compute the Sobol indices, a Polynomial Chaos Expansion metamodel is utilized. The values obtained for the Sobol indices using this metamodel were compared to the ones obtained with the quasi-Monte Carlo method. It was concluded that the use of the metamodel allowed to significantly reduce the computation time associated to the sensitivity analysis, without compromising the results.<br>Na indústria, cada vez mais é dada importância à qualidade final dos componentes produzidos. De forma a garantir esta qualidade, é importante definir quais os parâmetros a considerar como sendo importantes e cujo controlo deve ser prioritário. Com isto em vista, nesta dissertação é apresentado um estudo numérico sobre a influência da variabilidade dos parâmetros associados ao comportamento mecânico do material e às condições do processo, nos resultados da estampagem de uma taça quadrada. Nesta análise assume-se variabilidade nas propriedades elásticas, nos parâmetros constitutivos da lei de Swift, nos coeficientes de anisotropia, na espessura da chapa, no coeficiente de atrito e na força de aperto do cerra-chapas. O efeito da variabilidade destes parâmetros é avaliado na força do punção, na deformação plástica equivalente, na redução de espessura, na alteração de geometria e no retorno elástico. Inicialmente, utilizou-se o método de quase-Monte Carlo para avaliar a média e o desvio padrão dos resultados das simulações, tendo em conta a variabilidade nos parâmetros de entrada. Com base nesta análise foi possível concluir que a alteração de geometria e o retorno elástico são as respostas mais sensíveis à variabilidade nos parâmetros de entrada; sendo que a zona da aba da taça é aquela cujo efeito da variabilidade é mais significativo. Posteriormente, realizou-se uma análise de sensibilidade com base na variância. Nesta análise, foram utilizados índices de Sobol de primeira ordem, para identificar os parâmetros de entrada com maior efeito na variabilidade dos resultados, e também índices de Sobol totais, para estimar o efeito das interações entre os vários parâmetros na variabilidade dos resultados. Concluiu-se que os parâmetros mais importantes são o n e o C da lei de Swift, o coeficiente de anisotropia r_90 e que o efeito das interações apenas é relevante para a alteração de geometria. Para além disso, verificou-se que os índices de Sobol não são adequados para avaliar a influência no retorno elástico, uma vez que esta resposta tem uma distribuição multimodal, pelo que devem ser utilizadas outros índices de sensibilidade.Com o objetivo de reduzir o número de simulações necessário à computação dos índices de Sobol, é utilizado o metamodelo Polynomial Chaos Expansion. Os resultados dos índices de Sobol obtidos com o metamodelo foram comparados com os obtidos através do método de quase-Monte Carlo. Concluiu-se que a utilização do metamodelo permitiu reduzir significativamente o tempo de computação associado à análise de sensibilidade, sem prejudicar os resultados da mesma.

Dissertação de Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia<br>Os processos de conformação estão entre os mais utilizados na indústria automóvel, aeronáutica e metalomecânica. A procura por produtos com melhor qualidade e menores custos de produção tem incentivado o interesse crescente por um robusto desenvolvimento e otimização destes processos, que tem em conta a variabilidade inerente aos mesmos. De forma a perceber quais as fontes de variabilidade mais importantes na estampagem de um perfil em U, esta tese apresenta um estudo numérico que visa analisar a influência da variabilidade de onze parâmetros de entrada diferentes (módulo de Young, coeficiente de Poisson, coeficientes de anisotropia, parâmetros da lei de Swift, espessura inicial da chapa, coeficiente de atrito e força do cerra-chapas) nos resultados de conformação (Deformação Plástica Equivalente, Redução de Espessura, Retorno Elástico, Alteração de Geometria e Força do Punção).Inicialmente foi utilizado o método de quasi-Monte Carlo com uma sequência de Sobol para analisar a influência da variabilidade dos parâmetros de entrada na variabilidade dos resultados do processo. Nesta fase, conclui-se que a variabilidade dos parâmetros de entrada afeta todos os resultados do perfil em U, principalmente a Alteração de Geometria. De seguida, através do cálculo dos índices de Sobol, é estimada a influência de cada um dos parâmetros de entrada nos valores máximos das variáveis de saída. Com esta análise foi possível concluir que o coeficiente de atrito, a espessura inicial da chapa, o coeficiente de encruamento e a constante C da lei de Swift, são os parâmetros de entrada que mais influenciam os resultados em estudo, sendo que as interações entre parâmetros de entrada só são relevantes na Alteração de Geometria. Por último, foram calculadas as distribuições dos índices de Sobol para todos os nós, de forma a analisar a influência dos parâmetros de entrada nos resultados ao longo do perfil em U. Esta análise permitiu concluir que o coeficiente de atrito, a constante C da lei de Swift e o coeficiente de encruamento são os parâmetros com mais influência na zona da aba e da curvatura superior, que o coeficiente de atrito é o parâmetro com mais influência na zona da curvatura inferior e que a espessura inicial e o coeficiente de atrito são os parâmetros com mais influência na zona da parede do perfil em U.<br>Forming processes are among the most used in the automotive, aeronautic and metalworking industry. The demand for quality enhanced products and lower production costs has encouraged the growing interest for a robust development and optimization of these processes which takes into account the inherent variability in them. In order to understand which are the most important sources of variability of a U-rail stamping process, this thesis presents a numerical study that aims to analyse the influence of the variability of eleven different input parameters (Young’s modulus, Poisson’s coefficient, anisotropy coefficients, parameters of Swift’s hardening law, initial thickness of the sheet metal, friction coefficient and Blank Holder force) in the forming process results (Equivalent Plastic Strain, Thickness Reduction, Springback, Geometry Modification and Punch Force).Initially the quasi-Monte Carlo method with a Sobol sequence was used to analyse the influence of the variability of the input parameters on the variability of the process results. In this phase, it is concluded that the variability of the input parameters affects all the results of the U-rail, mainly the Geometry Modification. Then the influence of each of the input parameters, for the maximum values of the output variables, is estimated by calculating the Sobol indices. With this analysis it was possible to conclude that the friction coefficient, the initial thickness of the sheet metal, the hardening coefficient and the Swift’s Law constant, C, are the input parameters that most influence the results under study, and the interactions between input parameters are only relevant for the Geometry Modification. Lastly, distributions of the Sobol indices were calculated for all nodes, in order to analyse the influence of the input parameters throughout the U-rail geometry. This analysis allowed to conclude that the friction coefficient, Swift’s law constant C and the hardening coefficient are the parameters with the most influence in the tab and upper curvature areas, that the friction coefficient is the parameter with the most influence in the lower curvature area and that the initial thickness and the friction coefficient are the parameters with the most influence in the wall area of the U-rail.

Dissertação de Mestrado Integrado em Engenharia Mecânica apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia<br>Neste trabalho é realizada uma análise de sensibilidade para avaliar a influência dos parâmetros do material nos resultados do ensaio biaxial em provete cruciforme. Esta análise é feita com auxílio dos índices de Sobol de 1ª ordem, que permitem quantificar a sensibilidade de cada parâmetro do material, e dos índices de Sobol totais, que permitem avaliar a influência das interações entre esses parâmetros. Nesta análise foram estudados os parâmetros s0, k e n da lei de encruamento de Swift, e F, G e N do critério de plasticidade anisotrópico de Hill’48. A influência desses parâmetros é avaliada nos resultados do ensaio biaxial (variáveis de saída), nomeadamente, as forças máximas segundo 0x e 0y, as deformações principais e1 e e2, a deformação plástica equivalente eeq, a redução de espessura e a trajetória de deformação. Todos estes resultados do ensaio biaxial foram obtidos numericamente, com recurso ao programa de elementos finitos DD3IMP.Inicialmente, recorreu-se à análise de sensibilidade para avaliar a influência dos parâmetros do material nos valores máximos das variáveis de saída. Desta análise concluiu-se que: os parâmetros K e n da lei de Swift são os mais influentes no valor máximo das forças e da deformação principal e1; o valor máximo da deformação plástica equivalente é afetado principalmente pelos parâmetros G e n, embora os restantes parâmetros também tenham uma influência relevante; os valores máximos de e2 e da redução de espessura são essencialmente afetados pelo parâmetro G do critério de Hill’48.Posteriormente analisou-se os parâmetros que mais influenciam os resultados do ensaio em cada região do provete. Desta análise concluiu-se no geral que: G é o parâmetro que mais influencia as variáveis de saída no centro do provete e no braço do eixo 0x; F é o parâmetro que mais influencia as variáveis de saída no braço do eixo 0y; as variáveis de saída na zona do raio de curvatura do provete são mais sensíveis aos parâmetros n, N e G. No geral, pode-se afirmar que os parâmetros do critério de plasticidade Hill’48 são os que mais influenciam os resultados ao longo do provete cruciforme.<br>In this work, a sensitivity analysis is performed to evaluate the influence of the material parameters on the results of the biaxial test on a cruciform specimen. This analysis is done with the help of 1st order Sobol indices, which quantify the sensitivity of each material parameter, and total Sobol indices, which allow to evaluate the influence of the interactions between these parameters. In this analysis, the parameters s0, K and n of the Swift hardening law, and the parameters F, G and N of the Hill'48 anisotropic yield criterion were studied. The influence of these parameters is evaluated on the results of the biaxial test (output variables, namely, the maximum forces along 0x and 0y, the principal strains e1 and e2, the equivalent plastic strain eeq, the thickness reduction and the strain paths. All these results of the biaxial test were numerically obtained, resorting to the finite element software DD3IMP.Initially, the sensitivity analysis was used to assess the influence of the material parameters on the maximum values of the output parameters. From this analysis, it was concluded that: the parameters K and n of Swift's law are the most influential in the maximum values of the forces and the principal strain e1; the maximum value of the equivalent plastic strain is mainly affected by G and n, although the remaining parameters also have a relevant influence; the maximum values of e2 and thickness reduction are essentially affected by the parameter G of the Hill’48 criterion.Afterwards, the parameters that most influence the test results in each specimen region were analyzed. From this analysis, it was concluded in general that: G is the parameter that most influences the output variables in the center of the specimen and in the 0x arm; F is the parameter that most influences the output variables in the 0y arm; the output variables in the radius of curvature of the specimen are more sensitive to the parameters n, N and G. In general, it can be stated that the parameters of the Hill’48 yield criterion are the ones that most influence the results along the cruciform specimen.