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Dissertations / Theses on the topic 'Inégalité de Sobolev'
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1
Gentil, Ivan. "Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en E.D.P." Phd thesis, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2001. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001145.
Full textAbstract:
Dans cette thèse nous nous intéressons à des inégalités fonctionnelles comme les inégalités de Poincaré, Sobolev logarithmique, Sobolev, et celles appelées inégalités de transport. Dans un premier temps, nous étudions les inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmique pour des modèles de mécanique statistique. Cette étude nous permet de donner une nouvelle classe de phases telle que les mesures de Gibbs associées satisfassent à ces deux inégalités. Nous étudions dans un second temps, les inégalités de Sobolev logarithmique et de Sobolev par le biais des équations de Hamilton-Jacobi. Nous montrons, de la même façon que Gross en 1975 pour les semi-groupes de diffusion, l'équivalence entre l'inégalité de Sobolev logarithmique et l'hypercontractivité des solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Cette équivalence permet de montrer, par une nouvelle méthode que celle utilisée par Otto et Villani, que l'inégalité de Sobolev logarithmique implique une inégalité de transport quadratique. De la même manière que Varopoulos en 1985 pour les semi-groupes de diffusion, nous donnons le lien entre l'inégalité de Sobolev et l'ultracontractivité des solutions des équations de Hamilton-Jacobi. Pour finir nous étudions les inégalités de transport dans un cadre général. Cette étude permet d'une part de donner le lien entre des inégalités de Sobolev logarithmiques modifiées et des inégalités de transport particulières et d'autre part de donner un exemple d'inégalité de transport quadratique pour une mesure en dimension infinie, la mesure de Wiener.
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Humbert, Emmanuel. "Inégalités optimales de types Nash et Sobolev en géométrie riemannienne." Paris 6, 2000. http://www.theses.fr/2000PA066218.
Full text
3
Zugmeyer, Simon. "Inégalités de Sobolev optimales : approches dynamiques." Thesis, Lyon, 2019. http://www.theses.fr/2019LYSE1253.
Full textAbstract:
Les inégalités de Sobolev, depuis leur preuve en 1938, ont été l'objet d'une intense recherche, et ont permis de nombreuses applications dans des domaines variés de l'analyse et des probabilités. Elles sont notamment au cœur de l'étude des équations aux dérivées partielles, car elles traduisent des propriétés fondamentales des dérivées au sens faible : l'intégrabilité d'une dérivée au sens faible implique la régularité au sens fort. Les dérivées au sens faible, ou au sens des distributions, constituent un cadre particulièrement efficace dans la résolution d'EDP, en permettant par exemple de donner du sens à la dérivée d'une onde de choc, phénomène se manifestant même dans des modèles physiques très simples. Pour la majorité des applications, connaître la forme optimale d'une inégalité ne présente pas beaucoup plus d'intérêt que d'avoir une estimation des constantes impliquées dans l'inégalité. Toutefois, la recherche d'inégalités optimales est une entreprise riche pour (au moins) deux raisons. La première, c'est que les inégalités fonctionnelles sont naturellement liées aux EDP, et donc aux modèles physiques. Les fonctions optimales sont alors exactement les solutions d'énergie minimale du problème physique sous-jacent. L'autre raison est le lien très fort entre les inégalités de Sobolev et la géométrie de l'espace ambiant. Par exemple, l'inégalité isopérimétrique dans l'espace euclidien est équivalente à un cas de l'inégalité de Sobolev classique. Le manuscrit de thèse est divisé en 5 chapitres. Les deux premiers constituent l'introduction, d'abord en Français, puis en Anglais, dans laquelle les concepts et outils utilisés dans les chapitres suivants sont définis. Ainsi, on rappelle quelques résultats intéressants de la théorie de Brunn-Minkowski, puis du transport optimal, ces deux théories étant le point de départ du chapitre 3. Ensuite, on présente la méthode de Bakry et Émery, qui opère en quelque sorte une renversement des intérêts : au lieu d'utiliser des inégalités de Sobolev pour étudier le comportement en temps long de solutions à certaines équations, comme la chaleur, on utilise les solutions de ces équations pour montrer des inégalités de Sobolev. Les chapitres 3, 4, et 5 sont des reproduction plus ou moins verbatim des articles écrits au cours de cette thèse. Dans le chapitre 3, on utilise une inégalité de Borell-Brascamp-Lieb améliorée, prouvée dans l'introduction grâce au transport optimal, afin de démontrer de nouvelles inégalités à trace, c'est-à-dire qui impliquent les valeurs d'une fonction au bord de son domaine de définition. La clé de cette étude est l'introduction d'une convolution infimale. Dans le chapitre 4, un article écrit en collaboration avec Ivan Gentil, les variétés riemanniennes sont à l'honneur. Grâce à la théorie des semigroupes de Markov, on montre des inégalités de type Poincaré à poids et Beckner à poids en étudiant les solutions d'EDP paraboliques linéaires, avec des hypothèses relativement faibles sur les variétés en question. Les variétés de dimension effective négative (mais à courbure strictement positive) constituent un nouveau cas intéressant d'application des méthodes développées dans le chapitre. Finalement, le chapitre 5 présente un cadre efficace pour démontrer des inégalités de Sobolev optimales dans des domaines convexes de l'espace euclidien, et facilement adaptable au cas des variétés riemanniennes. Les équations considérées dans ce chapitre sont de nature assez différente à celle du chapitre 4, car elles sont non linéaires, et avec des contraintes au bord, ce qui empêche complètement l'utilisation des techniques de semigroupes. Malgré cela, les résultats obtenus dans ce cadre sont sensiblement similaires à ceux du cas linéaire<br>Sobolev inequalities have been, every since their original proof in 1938, a very active research interest, and have lead to very many applications in various fields of analysis and probability. Notably, they are at the center of the study of partial derivative equations, because they describe a fundamental property of weak derivatives: integrability of a weak derivative translates to strong regularity. Weak derivatives, also known as distributional derivatives, constitute a good setting for the study of PDEs, allowing for instance to make sense of the derivative of a shockwave, a very common physical phenomena. In most applications, knowing the sharp form of an inequality is not particularly better than having estimates of the sharp constants. However, proving sharp inequalities is interesting in itself for at least two reasons. The first one is their link with PDEs, and thus with physical models. Optimal functions are then exactly ground states of the physical problem the model describes. The other reason is the very strong relationship between Sobolev inequalities and the geometry of the underlying space. For example, the isoperimetric inequality in the Euclidean space is equivalent to a special case of the classical Sobolev inequality. The manuscript is divded in 5 chapters. The first two make up the introduction, firt in French and then in English. Concepts and tools used in the other chapters are defined therein, such as some elementary results from the Brunn-Minkowski theory, then from optimal transport, both of those being the starting point of chapter 3. Then, we showcase the Bakry-Émery method, which constitutes an interesting reversal: instead of using Sobolev to study long-term behavior of solutions to certain PDEs, like the heat equation, we use these equations to prove Sobolev inequalities. Chapters 3 to 5 are almost verbatim reproductions of articles written during the thesis. In chapter 3, we use an improved Borell-Brascamp-Lieb inequality, proved in the introduction using optimal transport, to prove new trace inequalities on convex domains of the Euclidean space. The key to this study is the introduction of an infimal convolution. In chapter 4, which was written with Ivan Gentil, Riemannian manifolds are studied. Thanks to the theory of Markov semigroups, weighted Poincaré inequalities as well as weighted Beckner inequalities are proved using solutions to linear parabolic PDEs, with relatively weak hypotheses on the manifolds at hand. Manifolds with negative effective dimension (but with positive Ricci curvature) are an exciting new application of the methods developped in the chapter. Lastly, we construct in chapter 5 an efficient setting to prove sharp Sobolev inequalities in convex domains of the Euclidean space, with applications to manifolds in mind. The equations considered in this chapter are rather different then those in chapter 4, since they are non linear, and with boundary conditions, which renders semigroup thoery completely useless. Despite of that, the results are surprisingly similar to the linear case
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Nguyen, Hoai-Minh. "Nouvelle estimée du degré topologique et caractérisation des espaces de Sobolev." Paris 6, 2007. http://www.theses.fr/2007PA066114.
Full textAbstract:
Cette thèse se compose de deux partie. Première partie est relative à une estimée du degré topologique. Dans cette partie une nouvelle estimée du degré et une constante qui apparaît naturellement dans cette estim ée est montré. Deuxième partie porte sur des caractérisations des espaces de Sobolev. Dans cette partie, quelques caractérisations et quelques inégalités liées aux normes des espaces de Sobolev sont présentés<br>This thesis is divided into two part. In the first part, a new estimate for the topological degree is established. An optimal constant in this estimate is also shown. In the second part, some characterizations of Sobolev spaces are presented. By the motivation of these characterizations, some inequalities related to norms of Sobolev spaces are established
5
Le, Mao-Capitaine Mireille. "Fonctionnelle d'Onsager-Machlup pour une diffusion. Inégalité de Sobolev logarithmique sur l'espace des chemins." Toulouse 3, 1996. http://www.theses.fr/1996TOU30238.
Full textAbstract:
Ce memoire de these comporte deux parties independantes. Dans la premiere partie, nous considerons un processus de diffusion elliptique solution d'une equation differentielle stochastique et determinons sa fonctionnelle d'onsager-machlup pour une large famille de normes sur l'espace de wiener. Dans la deuxieme partie, nous obtenons une inegalite de sobolev logarithmique pour les marginales d'une diffusion elliptique dans le cas unidimensionnel et, lorsque les champs commutent, dans le cas multidimensionnel. Nous presentons egalement une demonstration simple de l'inegalite de sobolev logarithmique pour un mouvement brownien sur une variete riemannienne de courbure de ricci bornee
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Fougères, Pierre. "Inégalités fonctionnelles liées aux formes de Dirichlet : de l'isopérimétrie aux inégalités de Sobolev." Phd thesis, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2002. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00002624.
Full textAbstract:
Les semi-groupes de Markov ergodiques permettent d'approcher des mesures de probabilité au moyen d'inégalités fonctionnelles. L'objectif de la thèse est l'étude de certaines de ces inégalités, de l'isopérimétrie gaussienne aux inégalités de Sobolev. Nous cherchons essentiellement à établir des liens entre elles, à déterminer leurs constantes optimales et à obtenir des critères assurant leur existence. Le travail est divisé en trois parties. Dans la première , nous nous intéressons aux liens entre les inégalités de Sobolev logarithmiques (SL) et celles d'?isopérimétrie gaussienne de Bobkov (IGB). Nous montrons qu'?un semi-groupe de courbure minorée (éventuellement négative) qui satisfait à (SL) vérifie également une inégalité (IGB). Nous obtenons ainsi une inégalité (IGB) pour certains systèmes de spins. Dans la seconde partie, nous montrons que la constante de Poincaré d'une mesure de probabilité log-concave sur la droite réelle est universellement comparable au carré de la distance moyenne à la médiane. La preuve repose sur un calcul de variations dans l'ensemble des fonctions convexes. La dernière partie est consacrée à de nouveaux critères conduisant aux inégalités de Sobolev lorsque le critère de courbure-dimension (CD) de Bakry et Emery est mis en défaut. La technique utilisée repose sur la construction (au moyen de changements conformes de métrique et tensorisation) d?'une structure de Dirichlet en dimension supérieure qui satisfait un critère (CD) et se projette sur la structure de départ.
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Barbieri, Davide. "Approximation des normes de Sobolev dans les groupes de Carnot." Cergy-Pontoise, 2008. http://www.theses.fr/2008CERG0381.
Full textAbstract:
Dans cette thèse nous traitons une notion d'espace de Sobolev W^{1,p} qui a eté introduite par Bourgain, Brezis et Mironescu en 2001. Ils ont travaillé avec moyennes locales de différences finies, en definissant une norme équivalente à l'ordinaire norme du gradient. Ce travail a permis à Ponce d'obtenir une variante de l'inégalité de Poincaré en 2003, où il retrouve cette norme a droite. Les résultats principaux sont des généralisations de ces travaux dans le cadre des groupes de Carnot: il s'agit d'une extension à cette structure non-Euclidienne, où il y a une structure différentiable dite sub-Riemannienne. Pour le premier travail, celui de Bourgain et al. , notre preuve a simplement adapté la preuve originale. Par contre, pour obtenir une prouve de l'inégalité de Poincaré-Ponce, nous avons usé d'une technique différente: le résultat est un peu plus faible, mais son caractère constructif nous a permis d'obtenir des expressions explicites pour le seuil des approximations<br>In this thesis we deal with a notion of Sobolev space W^{1,p} introduced by Bourgain, Brezis and Mironescu in 2001 by means of a norm involving local averages of finite differences. This norm turns out to be equivalent to the ordinary norm of the gradient, and this result has led to a Poincaré-like estimate due to Ponce in 2003, where indeed the right hand side contains the mentioned local approximations of the gradient norm. The main results are a generalization of these two works, originally stated in Euclidean setting, to a non-Euclidean framework, namely that of Carnot groups. While the first result of Bourgain et al. Could be directly generalized by adapting an Euclidean proof to the differential structure of Carnot groups, the Poincaré estimate of Ponce needed a completely different proof. This proof provides a sligtly less sharp result, but, due to its constructive approach, it gives an explicit realization of the threshold that makes the approximations effective
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Malrieu, Florent. "Inégalités de Sobolev logarithmiques pour des problèmes d'évolution non linéaires." Phd thesis, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2001. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001287.
Full textAbstract:
Nous étudions des équations aux dérivées partielles non linéaires du type McKean-Vlasov. Nous leur associons des systèmes de particules en interaction de type champ moyen pour lesquels nous établissons des inégalités de Sobolev logarithmiques à temps fini. Grâce à un résultat supplémentaire de propagation du chaos, nous déduisons, dans certains cas, le comportement en temps long de l'équation non linéaire en fonction de celui du système de particules. Enfin, nous établissons des intervalles de confiance exacts pour la convergence de méthodes de Monte-Carlo pour les schémas d'Euler explicites et implicites associés à des processus de diffusion. Ces résultats s'appliquent notamment pour les systèmes de particules cités plus haut.
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Chafai, Djalil. "Sur les inégalités de Sobolev logarithmiques en théorie de l'information et pour des systèmes de spins conservatifs en mécanique statistique." Phd thesis, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2002. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001382.
Full textAbstract:
1°) Utilisation d'inégalités fonctionnelles de Bobkov pour l'établissement de principes de grandes déviations quasi-gaussiens. <br /><br />2°) Etude de l'inégalité de Sobolev logarithmique en théorie de l'information. <br /><br />3°) Etablissement d'inégalités de Poincaré et de Sobolev logarithmiques pour certaines dynamiques de Kawasaki et Glauber pour un modèle à spins continus en mécanique statistique.
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Gentil, Ivan. "Inégalités fonctionnelles: probabilités et EDP." Habilitation à diriger des recherches, Université Paris Dauphine - Paris IX, 2008. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00321824.
Full textAbstract:
Ce document présente une synthèse des travaux de recherche effectués après la thèse, soutenue à l'université Toulouse III en décembre 2001. <br /><br /><br />Une large partie de ces recherches est consacrée aux inégalités fonctionnelles, dont les inégalités de Poincaré ou de Sobolev logarithmique sont deux représentantes emblématiques. De façon générale, les inégalités fonctionnelles sont à la frontière de l'analyse et des probabilités et sont utilisées dans de nombreux problèmes mathématiques. On pourra citer par exemple l'étude de la convergence à l'équilibre d'équations différentielles ou de chaîne de Markov, l'étude des ensembles convexes en grande dimension, l'étude de la concentration de mesures produits ou corrélées, l'étude de la convergence de systèmes de particules, ou l'étude de l'existence d'une unique mesure de Gibbs en mécanique statistique. La résolution de chacun de ces problèmes repose sur l'établissement d'une inégalité fonctionnelle adaptée au modèle. <br /><br /><br />Dans ce mémoire, nous traitons ces problèmes de deux façons. D'une part, nous nous intéressons directement aux inégalités fonctionnelles, en cherchant à établir des hiérarchies entre elles, à trouver des critères simples permettant d'établir leur existence. D'autre part, à partir de problèmes de convergence à l'équilibre d'équations d'évolutions, nous élaborons et utilisons des inégalités fonctionnelles appropriées permettant d'obtenir des taux de convergence à l'équilibre.<br /><br /><br />Ce document est divisé en 5 chapitres. Les 4 premiers chapitres traitent des inégalités fonctionnelles et leurs implications pour des équations d'évolutions linéaires, non-linéaires, locales ou non-locales. <br /><br />Le dernier chapitre traite quant à lui un tout autre problème. Nous essayons de montrer la convergence à l'équilibre d'un algorithmique génétique utilisé pour des problèmes de filtrage non-linéaire.
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Shouman, Abdolhakim. "Comparaison de valeurs propres de Laplaciens et inégalités de Sobolev sur des variétés riemanniennes à densité." Thesis, Tours, 2017. http://www.theses.fr/2017TOUR4034.
Full textAbstract:
Le but de cette thèse est triple : INÉGALITÉS DE SOBOLEV AVEC DES CONSTANTES EXPLICITES SUR DES VARIÉTÉS RIEMANNIENNES À DENSITÉ ET À BORD CONVEXE : On obtient des inégalités de Sobolev à densité, avec des constantes géométriques explicites pour des variétés à courbure de m-Bakry-Émery Ricci minorée par une constante positive et à bord convexe. Ceci permet de généraliser de nombreux résultats connus dans le cas riemannien aux variétés avec densité. Nous montrons aussi comment déduire des inégalités de Sobolev obtenues, un résultat d’isolement pour les applications f -harmoniques. Nous présenterons également une nouvelle et très simple méthode pour la preuve de l’inégalité de Moser-Trudinger-Onofri [Onofri, 1982] dans le cas du disque euclidien<br>The purpose of this thesis is threefold: SOBOLEV INEQUALITIES WITH EXPLICIT CONSTANTS ON A WEIGHTED RIEMANNIAN MANIFOLD OF CONVEX BOUNDARY: We obtain weighted Sobolev inequalities with explicit geometric constants for weighted Riemannian manifolds of positive m-Bakry-Emery Ricci curvature and convex boundary. As a first application, we generalize several results of Riemannian manifolds to the weighted setting. Another application is a new isolation result for the f -harmonic maps. We also give a new and elemantry proof of the well-known Moser-Trudinger-Onofri [Onofri, 1982] inequality for the Euclidean disk
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Jaber, Hassan. "Équations de Hardy-Sobolev sur les variétés Riemanniennes compactes : influence de la géométrie." Thesis, Université de Lorraine, 2014. http://www.theses.fr/2014LORR0062/document.
Full textAbstract:
Dans ce Manuscrit, nous étudions l'influence de la géométrie sur les équations de Hardy-Sobolev perturbées ou non sur toute variété Riemannienne compacte sans bord de dimension supérieure ou égale à 3. Plus précisément, dans le cas non perturbé nous démontrons que pour toute dimension de la variété strictement supérieure à, l'existence d'une solution (ou plutôt une condition suffisante d'existence) dépendra de la géométrie locale autour de la singularité. En revanche, dans le cas où la dimension est égale à 3, c'est la géométrie globale (particulièrement, la masse de la fonction de Green) de la variété qui comptera. Dans le cas d'une équation à terme perturbatif sous-critique, nous démontrons que l'existence d'une solution dépendra uniquement de la perturbation pour les grandes dimensions et qu'une interaction entre la géométrie globale de la variété et la perturbation apparaîtra en dimension 3. Enfin, nous établissons une inégalité optimale de Hardy-Sobolev Riemannienne, la variété étant avec ou sans bord, où nous démontrons que la première meilleure constante est celle des inégalités Euclidiennes et est atteinte<br>In this Manuscript, we investigate the influence of geometry on the Hardy-Sobolev equations on the compact Riemannian manifolds without boundary of dimension greateror equal to 3. More precisely, we prove in the non perturbative case that the existence of solutions depends only on the local geometry around the singularity when the dimension is greater or equal to 4 while it is the global geometry of the manifold when the dimension is equal to 3 that matters. In the presence of a perturbative subcritical term, we prove that the existence of solutions depends only on the perturbation when the dimension is greater or equal to 4 while an interaction between the perturbation and the global geometry appears in dimension 3. Finally, we establish an Optimal Hardy-Sobolev inequality for all compact Riemannian manifolds, with or without boundary, where we prove that the Riemannian sharp constant is the one for the Euclidean inequality and is achieved
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Badr, Nadine. "Interpolation réelle des espaces de Sobolev sur les espaces métriques mesurés et applications aux inégalités fonctionnelles." Phd thesis, Université Paris Sud - Paris XI, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00736066.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous étudions l'interpolation réelle des espaces de Sobolev et ses applications. Le manuscrit est constitué de deux parties. Dans la première partie, nous démontrons au premier chapitre que les espaces de Sobolev non homogènes W^1_p (resp. homogènes ) sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré forment une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat à d'autres cadres géométriques. Dans un deuxième court chapitre, nous comparons différents espaces de Sobolev sur le cone Euclidien et nous regardons le lien de ces espaces avec l'interpolation. Nous montrons sur cet exemple que l'hypothèse de Poincaré n'est pas une condition nécessaire pour pouvoir interpoler les espaces de Sobolev. Dans le dernier chapitre de cette partie, nous définissons les espaces de Sobolev non homog'nes W^1_p,V (resp. homogènes ) associés à un potentiel positif V sur une variété Riemannienne. Nous démontrons que si la variété véifie la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré et si de plus V est dans une classe de Holder inverse, ces espaces forment aussi une échelle d'interpolation réelle pour un intervalle de valeurs de p. Nous étendons ce résultat aux cas des groupes de Lie. Dans la deuxième partie, dans un premier chapitre en collaboration avec E. Russ, nous étudions sur un graphe vérifiant la propriété de doublement et une inégalité de Poincaré, la Lp bornitude de la transformée de Riesz pour p > 2 et son inégalité inverse pour p < 2. Pour notre but, nous démontrons aussi des résultats d'interpolation des espaces de Sobolev et des inégalités de Littlewood-Paley. Dans le deuxième chapitre, nous démontrons en utilisant notre résultat d'interpolation, des inégalités de Gagliardo-Nirenberg sur les variétés Riemanniennes complètes vérifiant le doublement, des inégalités de Poincaré et pseudo-Poincaré. Ce résultat s'applique aussi dans le cadre des groupes de Lie et des graphes.
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Cheikh, Ali Hussein. "Analyse asymptotique des équations de Hardy-Sobolev dans des espaces singuliers." Electronic Thesis or Diss., Université de Lorraine, 2019. http://www.theses.fr/2019LORR0174.
Full textAbstract:
Dans ce manuscrit, divisé en 3 parties, nous étudions des extrémales d’inégalités de Hardy-Sobolev. Partie 1 : Nous obtenons l’existence de solutions singulières pour l’équation de Hardy-Schrödinger perturbée ou non sur un domaine non régulier avec le point singulier 0 de l’équation se trouvant sur le bord du domaine. En particulier, nous introduisons une courbure géométrique G qui généralise la courbure moyenne pour les ”grandes dimensions” et une notion nouvelle de masse m pour les ”petites dimensions”. Notre résultat principal est que dans le cas d’un potentiel variable du terme perturbatif sous-critique, une interaction entre perturbation et G en 0 (resp. m) dans le cas grandes dimensions (resp. petites dimensions) apparait. En plus, la négativité de la courbure G (resp. la positivité de la masse m) pour les grandes dimensions (resp. petites dimensions) est suffisant lorsque la perturbation n’a aucun effet. Partie 2 : Dans cette partie, nous travaillons sur l’analyse asymptotique des sous-extrémales explosives. Nous effectuons une analyse de blow-up pour une équation de Hardy-Sobolev. Dans un premier temps, nous obtenons un contrôle ponctuel optimal de la suite de solutions. Dans un second temps, nous obtenons des informations précises sur le point d’explosion en utilisant une identité de Pohozaev. Partie 3 : Nous considérons la meilleure constante dans une inégalité critique de second ordre de Sobolev. Nous montrons la non-rigidité pour les optimiseurs au-dessus d’un certain seuil, à savoir nous prouvons que la meilleure constante est atteinte par une solution non constante du problème elliptique de quatrième ordre sous des conditions limites de type Neumann. Nos arguments reposent sur des estimations asymptotiques du quotient de Rayleigh. Nous montrons également la rigidité en dessous d’un autre seuil pour les solutions de moindre énergie<br>In this manuscript, divided into 3 parts, we study the existence of extremal for Hardy-Sobolev inequalities. Part 1: We obtain the (non-)existence of singulars solutions for the perturbative Hardy-Schrödinger equation on a non-smooth domain with the singular point 0 on the boundary of the domain. In particular, we introduce a geometric quantity G which generalizes the mean curvature for ”Large dimensions” and the new notion of the mass in ”Small dimensions”. Our main result is that, in the case of a subcritical perturbation, an interaction appears between the perturbation and G at 0 (resp. m) for large dimensions (resp. small dimensions). In addition, the negativity of the curvature G (resp. the positivity of the mass m) for the large dimensions (resp. small dimensions) is sufficient when the perturbation has no effect. Part 2: In this part, we perform a blow-up analysis of solutions for the Hardy-Sobolev equation of minimizing type. First, we obtain an optimal control of the family of solutions. After, we get specific informations about the blowup point using a Pohozaev identity. Part 3: We consider the best constant in a critical Sobolev inequality of second order. We show non-rigidity for the optimizers above a certain threshold, namely, we prove that the best constant is achieved by a nonconstant solution of the associated fourth order elliptic problem under Neumann boundary conditions. Our arguments rely on asymptotic estimates of the Rayleigh quotient. We also show rigidity below another threshold
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Devyver, Baptiste. "Opérateurs de Schrödinger et transformée de Riesz sur les variétés complètes non-compactes." Phd thesis, Université de Nantes, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00631134.
Full textAbstract:
Dans une première partie, on donne une condition nécessaire et suffisante à ce qu'un opérateur de Schrödinger sur une variété complète non-compacte ait un nombre fini de valeurs propres négatives. Dans une deuxième partie, on s'intéresse à la transformée de Riesz sur une classe de variétés complètes non-compactes vérifiant une inégalité de Sobolev. On montre d'abord une estimée gaussienne pour le noyau de la chaleur d'opérateurs de Schrödinger généralisés, comme par exemple le Laplacien de Hodge agissant sur les formes différentielles, puis on utilise ceci pour montrer que la transformée de Riesz est bornée sur les espaces $L^p$ si $p$ est compris entre $1$ et la dimension de Sobolev. Enfin, on montre un résultat de perturbation pour la transformée de Riesz.
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Zhang, Chaoen. "Long time behaviour of kinetic equations." Thesis, Université Clermont Auvergne (2017-2020), 2019. http://www.theses.fr/2019CLFAC056.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée au comportement à long terme de l'équation cinétique de Fokker-Planck et de l'équation de McKean-Vlasov. Le manuscrit est composé d'une introduction et de six chapitres. L'équation cinétique de Fokker-Planck est un exemple de base de la théorie de l'hypocoercivité de Villani qui affirme la décroissance exponentielle dans le temps en l'absence de coercivité. Dans son mémoire AMS, Villani a prouvé l'hypocoercivité de l'équation cinétique de Fokker-Planck en H^1(\mu), L^2(\mu) ou entropie. Cependant, une condition sur la bornitude de l'Hessien de l'hamiltonien a été imposée dans le cas entropique. Nous montrons au chapitre 2 comment nous pouvons affaiblir cette hypothèse par des multiplicateurs bien choisis à l'aide d'une inégalité de Sobolev logarithmique pondérée. Nous montrons que nos conditions sont satisfaites sous certaines conditions pratiques de fonction de Lyapunov.Dans le chapitre 4, nous appliquons les idées de Villani et certaines conditions de Lyapunov pour prouver l'hypocoercivité en H^1 pondéré dans le cas d'une interaction de champ moyen avec un taux de convergence exponentielle indépendant du nombre de particules. Pour cet objectif nous devons établir l'inégalité de Poincaré uniforme (sur le nombre de particules) et rendre une estimation connue de Villani qui était dimension-dépendante, dimension-indépendante.Au chapitre 6, nous étudions la contraction hypocoercive de la distance L^2-Wasserstein et nous retrouvons le taux optimal dans le cas du potentiel quadratique. La méthode est basée sur la dérivée en temps de la distance de Wasserstein. Au chapitre 7, le théorème d'hypoercivité de Villani dans l'espace H^1 pondéré est généralisé aux espaces H^k pondérés par une norm auxiliaire avec des termes mélangés bien choisis.L'équation de McKean-Vlasov est une équation diffusive non linéaire non locale. Il est bien connu qu'il a une structure de gradient-flot. Cependant, les résultats connus dépendent fortement des hypothèses de convexité. De telles hypothèses sont notamment assouplies dans les chapitres 3 et 5 où nous prouvons la convergence exponentielle vers l'équilibre respectivement en énergie libre et la distance L^1-Wasserstain, sous la condition de Dobrushin-Zegarlinski de l'absence de phase de transition. Notre approche est basée sur la théorie de la limite de champ moyen. Autrement dit, nous étudions le système d'un grand nombre de particules avec une interaction du type champ-moyen, puis passons à la limite par la propagation de chaos<br>This dissertation is devoted to the long time behaviour of the kinetic Fokker-Planck equation and of the McKean-Vlasov equation. The manuscript is composed of an introduction and six chapters.The kinetic Fokker-Planck equation is a basic example for Villani's hypocoercivity theory which asserts the exponential decay in large time in the absence of coercivity. In his memoir, Villani proved the hypocoercivity for the kinetic Fokker-Planck equation in either weighted H^1, weighted L^2 or entropy.However, a boundedness condition of the Hessian of the Hamiltonian was imposed in the entropic case. We show in Chapter 2 how we can get rid of this assumption by well-chosen multipliers with the help of a weighted logarithmic Sobolev inequality. Such a functional inequality can be obtained by some tractable Lyapunov condition.In Chapter 4, we apply Villani's ideas and some Lyapunov conditions to prove hypocoercivity in weighted H^1 in the case of mean-field interaction with a rate of exponential convergence independent of the number N of particles. For proving this we should prove the Poincaré inequality with a constant independent of N, and rends a dimension dependent boundeness estimate of Villani dimension-free by means of the stronger uniform log-Sobolev inequality and Lyapunov function method. In Chapter 6, we study the hypocoercive contraction in L^2-Wasserstein distance and we recover the optimal rate in the quadratic potential case. The method is based on the temporal derivative of the Wasserstein distance.In Chapter 7, Villani's hypoercivity theorem in weighted H^1 space is extended to weighted H^k spaces by choosing carefully some appropriate mixed terms in the definition of norm of H^k.The McKean-Vlasov equation is a nonlinear nonlocal diffusive equation. It is well-Known that it has a gradient flow structure. However, the known results strongly depend on convexity assumptions. Such assumptions are notably relaxed in Chapter 3 and Chapter 5 where we prove the exponential convergence to equilibrium respectively in free energy and the L^1-Wasserstain distance. Our approach is based on the mean field limit theory. That is, we study the associated system of a large numer of paricles with mean-field interaction and then pass to the limit by propagation of chaos
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Rossignol, Raphaël. "Largeur du seuil dans les lois du Zéro-Un." Phd thesis, Paris 5, 2005. http://www.theses.fr/2005PA05S010.
Full textAbstract:
Ce travail de thèse prolonge les développements récents, dû à Talagrand, Friedgut et Kalai de l'étude des conditions générales assurant l'existence d'un phénomène de seuil. Dans une première partie, nous apportons une contributions à l'unification du cadre théorique des phénomènes de seuil, d'une part en reliant roigoureusement le cadre originel des "fonctions seuils" introduit par Erdös et renyi, celui des travaux de Friedgut et Kalai et la concentration du temps d'atteint de la propriété qui suit le phénomène de seuil ; d'autre part en initiant une recherche sur la stabilité des phénomènes de seuil par trois opérations : l'union, l'intersection et le produit tensoriel. On obtient ainsi un moyen simple de construire des largeurs de seuil d'ordres variés. Dans une seconde partie, on optimise la majoration générale de la largeur d'une propriété croissante et symétrique, à l'aide de l'inégalité de Sobolev logarithmique sur l'hypercube discret<br>This thesis further develops some recent results due to Talagrand , Friedgut and Kalai on the study of general conditions under which threshold phenomena occur. In a first part, we contribute to the unification of the general framework of the threshold phenomena, firstly by connecting the original setting of the "thresholds functions" due to Erdös and Renyi, the one of Friedgut and Kalai's work and the concentration of the hittig time of the property for which the threshold phenomenon holds ; secondly, by originating a research on the stability of the threshold phenomena under three kind of operations : union, intersection and tensor product. We obtain thus a simple way to construct threshold widths of various orders. In a second part, we optimize the general upper bound on the threshold width of a monotone symmetric property by using the logarithmic Sobolev inequality on the discrete cube
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Negro, Giuseppe. "Sharp estimates for linear and nonlinear wave equations via the Penrose transform." Thesis, Sorbonne Paris Cité, 2018. http://www.theses.fr/2018USPCD071.
Full textAbstract:
Nous appliquons la transformée de Penrose, qui est un outil basique de la physique relativiste, à des estimations optimales pour les équations des ondes linéaire et non linéaire. Nous infirmons une conjecture de Foschi concernant les points extrémaux de l’inégalité de Strichartz à données dans l’espace de Sobolev Ḣ½ x Ḣ⁻½ (Rᵈ) où d ⩾2 est pair. En revanche, nous donnons des indications appuyant cette conjecture en dimension impaire, ainsi qu’une version raffinée de son inégalité optimale sur R¹⁺³, en ajoutant un terme proportionnel à la distance des données initiales de l’ensemble des points extrémaux. À l’aide de ce résultat, nous obtenons une formule asymptotique pour la norme de Strichartz des solutions petites de l’équation des ondes cubique dans l’espace-temps de Minkowski. Le coefficient principal est donné par la constante optimale de Foschi. Nous calculons le terme suivant, qui change de signe et de valeur absolue selon que la non-linéarité est focalisante ou défocalisante<br>We apply the Penrose transform, which is a basic tool of relativistic physics, to the study of sharp estimates for linear and nonlinear wave equations. We disprove a conjecture of Foschi, regarding extremizers for the Strichartz inequality with data in the Sobolev space Ḣ½ x Ḣ⁻½ (Rᵈ), for even d ⩾2. On the other hand, we provide evidence to support the conjecture in odd dimensions and refine his sharp inequality in R¹⁺³, adding a term proportional to the distance of the initial data from the set of extremizers. Using this, we provide an asymptotic formula for the Strichartz norm of small solutions to the cubic wave equation in Minkowski space. The leading coefficient is given by Foschi’s sharp constant. We calculate the constant in the second term, whose absolute value and sign changes depending on whether the equation is focusing or defocusing<br>Aplicamos la transformada de Penrose, una herramienta básica de la fı́sica relativista, a unas estimaciones óptimas para ecuaciones de ondas lineales y no lineales. Invalidamos una conjetura de Foschi, sobre extremizadores para la estimación de Strichartz con datos en el espaciode Sobolev Ḣ½ x Ḣ⁻½ (Rᵈ), para d ⩾2 par. Por otro lado, vamos a dar indicios en favor de su conjetura en dimension impar, ası́ como una versión refinada de su desigualdad óptimaen R¹⁺³, añadiendo un término proporcional a la distancia de los datos iniciales del conjuntode puntos extremales. Utilizando este resultado, conseguimos una fórmula asintótica para la norma de Strichartz de soluciones pequeñas de la ecuación de ondas cúbica en el espacio-tiempo de Minkowski. El coeficiente principal coincide con la constante óptima de Foschi. Calculamos explı́citamente el coeficiente del otro término, cuyo módulo y signo cambian dependiendo de siestamos en el caso focusing o defocusing
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Abbas, Lamia. "Inégalités de Landau-Kolmogorov dans des espaces de Sobolev." Phd thesis, INSA de Rouen, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00776349.
Full textAbstract:
Ce travail est dédié à l'étude des inégalités de type Landau-Kolmogorov en normes L2. Les mesures utilisées sont celles d'Hermite, de Laguerre-Sonin et de Jacobi. Ces inégalités sont obtenues en utilisant une méthode variationnelle. Elles font intervenir la norme d'un polynômes p et celles de ces dérivées. Dans un premier temps, on s'intéresse aux inégalités en une variable réelle qui font intervenir un nombre quelconque de normes. Les constantes correspondantes sont prises dans le domaine où une certaine forme bilinéaire est définie positive. Ensuite, on généralise ces résultats aux polynômes à plusieurs variables réelles en utilisant le produit tensoriel dans L2 et en faisant intervenir au plus les dérivées partielles secondes. Pour les mesures d'Hermite et de Laguerre-Sonin, ces inégalités sont étendues à toutes les fonctions d'un espace de Sobolev. Pour la mesure de Jacobi on donne des inégalités uniquement pour les polynômes d'un degré fixé par rapport à chaque variable.
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Fontenas, Eric. "Constantes dans les inégalités de Sobolev et fonctions extrémales." Toulouse 3, 1996. http://www.theses.fr/1996TOU30001.
Full textAbstract:
Dans le premier chapitre de cette these, nous nous interessons a l'optimisation des constantes dans les inegalites de sobolev des varietes riemanniennes compactes et plus generalement celles associees a un generateur markovien abstrait. Nous developpons dans ce cadre une methode introduite par rothaus dans l'etude de la minoration de la constante de sobolev logarithmique. Elle se base sur l'inegalite de courbure dimension introduite par bakry-emery et sur l'existence de fonctions extremales. Les estimations des constantes de sobolev obtenues sont fonction de la courbure, de la dimension et du trou spectral. Elles permettent de retrouver ou d'ameliorer de nombreux resultats deja connus. Dans le deuxieme chapitre, nous considerons une famille particuliere d'operateurs definis sur des intervalles reels qui regroupe la plupart des exemples de generateurs associes a des familles de polynomes orthogonaux. Nous donnons, tout d'abord, un developpement en serie de la variance pour cette famille d'operateurs. Puis, en utilisant seulement une equation non lineaire, nous etudions les constantes de sobolev et de sobolev logarithmiques associees a cette famille d'operateurs. Finalement, dans le cas ou ces constantes sont optimales, l'existence d'equations non lineaires associees aux inegalites de sobolev, de sobolev logarithmiques et d'onofri, nous permet d'obtenir explicitement les fonctions extremales liees a ces inegalites
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Mascré, David. "Inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev et inégalités à poids sur les espaces métriques mesurés." Cergy-Pontoise, 2005. http://www.theses.fr/2005CERG0228.
Full text
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Aribi, Amine. "Le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement pseudoconvexes." Phd thesis, Université François Rabelais - Tours, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00960234.
Full textAbstract:
Le but de cette thèse est d'étudier le spectre du sous-laplacien sur les variétés CR strictement peusdoconvexes. Nous prouvons que le spectre du sous-laplacien $\Delta_b$ est discret sur un domaine borné $\Omega \subset M$ d'une variété CR strictement pseudoconvexe qui satisfait l'inégalité de Poincaré, sous les conditions de Dirichlet au bord. Nous étudions le comportement des valeurs propres du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$, en tant que fonctionnelle sur l'espace ${\mathcal P}_+$ de formes de contact positivement orientées sur $M$ en dotant ${\mathcal P}_+$ d'une topologie métrique naturelle. Nous établissons des inégalités pour les valeurs propres de $\Delta_b$ sur des variétés CR strictement pseudoconvexes ( éventuellement à bord non vide). Nos estimations prolongent les résultats obtenus par P-C. Niu \& H. Zhang \cite{NiZh} pour les valeurs propres du sous-laplacien avec conditions de Dirichlet au bord sur un domaine borné du groupe de Heisenberg, et sont dans l'esprit des inégalités de Payne-P\'lya-Weinberger et Yang. Nous obtenons une nouvelle borne inférieure sur la première valeur propre non nulle $\lambda_1 (\theta )$ du sous-laplacien $\Delta_b$ sur une variété CR strictement pseudoconvexe compacte $M$ munie d'une forme de contact $\theta$ dont la connexion de Tanaka-Webster est à courbure de Ricci minorée.
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Laroche, Etienne. "Sur des inégalités de corrélation et sur les inégalités de Sobolev logarithmiques en mécanique statistique." Toulouse 3, 1993. http://www.theses.fr/1993TOU30192.
Full textAbstract:
Cette these comporte deux parties distinctes: 1- nous generalisons les inegalites de correlation dites fkg, gks et ghs. Pour fkg, les hypotheses sur les fonctions et le hamiltonien n'interviennent ici que modulo un ensemble de mesure nulle. C'est aussi le cas pour les inegalites gks que nous etablissons pour une classe plus generale en mettant en evidence une propriete de structure liee aux chaos de walsh. Enfin, nous etendons l'inegalite ghs existant auparavant pour des fonctions lineaires de chaque spin a des fonctions presentant certaines proprietes de parite et de convexite. 2- nous considerons un systeme de spins sur le reseau a d dimensions muni d'un potentiel de gibbs de portee non necessairement finie. Nous prouvons l'equivalence entre une condition faible de melange, le controle du trou dans le spectre, et le controle de la constante de sobolev logarithmique. Dans le cas du modele d'ising, cette condition de melange faible s'exprime en termes de decroissance des correlations uniforme pour les mesures de gibbs en volume fini. Une des consequences de ce resultat est l'absence de regime intermediaire, pour la decroissance uniforme des correlations, entre un taux algebrique fonction de la dimension du reseau et un taux exponentiel. Les resultats generaux sont obtenus pour des spins compacts, discrets ou continus
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Faget, Zoé. "Meilleures constantes dans les inégalités de Sobolev en présence de Ssmétries." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2002. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001383.
Full textAbstract:
On établit la meilleure constante dans les inégalités de Sobolev sur une variété riemannienne compacte quelconque lorsque les fonctions considérées sont invariantes par un groupe d'isométries quelconque. On éablit également la meilleure constante dans le cas d'exception des inégalités de Sobolev pour des fonctions invariantes par un groupe d'isométries. La connaissance précise de ces constantes permet d'obtenir des résultats d'existence de solutions d'équation aux dérivées partielles. On se pose ensuite la question de l'existence d'une seconde meilleure constante, et on établit un théorème donnant cette existence sous certaines conditions, conditions permettant toutefois de répondre à certains problèmes ouverts, ainsi qu'à tous les cas constructibles. La démonstration de ce théorème oblige à développer des techniques pointues d'analyse, notamment une étude de phénomène de concentration d'une suite de solutions d'une EDP. La démonstration fait également intervenir des résultats portant sur la géométrie des orbites.
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Wang, Xinyu. "Sur la convergence sous-exponentielle de processus de Markov." Phd thesis, Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00840858.
Full textAbstract:
Ma thèse de doctorat se concentre principalement sur le comportement en temps long des processus de Markov, les inégalités fonctionnelles et les techniques relatives. Plus spécifiquement, Je vais présenter les taux de convergence sous-exponentielle explicites des processus de Markov dans deux approches : la méthode Meyn-Tweedie et l'hypocoercivité (faible). Le document se divise en trois parties. Dans la première partie, Je vais présenter quelques résultats importants et des connaissances connexes. D'abord, un aperçu de mon domaine de recherche sera donné. La convergence exponentielle (ou sous-exponentielle) des chaînes de Markov et des processus de Markov (à temps continu) est un sujet d'actualité dans la théorie des probabilité. La méthode traditionnelle développée et popularisée par Meyn-Tweedie est largement utilisée pour ce problème. Dans la plupart des résultats, le taux de convergence n'est pas explicite, et certains d'entre eux seront brièvement présentés. De plus, la fonction de Lyapunov est cruciale dans l'approche Meyn-Tweedie, et elle est aussi liée à certaines inégalités fonctionnelles (par exemple, inégalité de Poincaré). Cette relation entre fonction de Lyapounov et inégalités fonctionnelles sera donnée avec les résultats au sens L2. En outre, pour l'exemple de l'équation cinétique de Fokker-Planck, un résultat de convergence exponentielle explicite de la solution sera introduite à la manière de Villani : l'hypocoercivité. Ces contenus sont les fondements de mon travail, et mon but est d'étudier la décroissance sous-exponentielle. La deuxième partie, fait l'objet d'un article écrit en coopération avec d'autres sur les taux de convergence sous-exponentielle explicites des processus de Markov à temps continu. Comme nous le savons, les résultats sur les taux de convergence explicites ont été donnés pour le cas exponentiel. Nous les étendons au cas sous-exponentielle par l'approche Meyn-Tweedie. La clé de la preuve est l'estimation du temps de passage dans un ensemble "petite", obtenue par Douc, Fort et Guillin, mais pour laquelle nous donnons une preuve plus simple. Nous utilisons aussi la construction du couplage et donnons une ergodicité sous exponentielle explicite. Enfin, nous donnons quelques applications numériques. Dans la dernière partie, mon second article traite de l'équation cinétique de Fokker-Planck. Je prolonge l'hypocoercivité à l'hypocoercivité faible qui correspond à inégalité de Poincaré faible. Grâce à cette extension, on peut obtenir le taux de convergence explicite de la solution, dans des cas sous-exponentiels. La convergence est au sens H1 et au sens L2. A la fin de ce document, j'étudie le cas de l'entropie relative comme Villani, et j'obtiens la convergence au sens de l'entropie. Enfin, Je donne deux exemples pour les potentiels qui impliquent l'inégalité de Poincaré faible ou l'inégalité de Sobolev logarithmique faible pour la mesure invariante.
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Joulin, Aldéric. "Concentration et fluctuations de processus stochastiques avec sauts." Phd thesis, Université de La Rochelle, 2006. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00115724.
Full textAbstract:
Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes, le premier thème traitant du phénomène de concentration de la mesure pour des processus de naissance et de mort, tandis que le second est consacré aux fluctuations des intégrales stochastiques dirigées par des processus stables. <br />Dans la première partie de la thèse, nous explorons le<br />phénomène de concentration des processus de naissance et de mort. Les différentes approches considérées sont d'une part les inégalités fonctionnelles ainsi que la méthode de<br />Herbst, et d'autre part l'étude des propriétés du semigroupe associé et des techniques de martingales. En particulier, nous<br />sommes amenés à introduire diverses notions de courbures de ces processus, analogues discrets du critère de courbure de Bakry-Emery dans le cadre des processus de diffusion.<br />Dans la deuxième partie de la thèse, nous étudions le<br />comportement du processus supremum d'une intégrale stable stochastique en établissant des inégalités maximales que nous appliquons à des problèmes de temps de passage de<br />processus symétriques stables. Enfin, nous démontrons un principe de domination convexe pour des intégrales stochastiques brownienne et stable corrélées.
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Ben, Hadj Youssef Hasna. "Problème de Cauchy global régulier pour quelques équations d'évolution semi-linéaires." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2006. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00115478.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l' étude des solutions globales régulières pour deux équations d'évolution semi-linéaire différentes.<br />Dans la première partie, nous étudions les solutions régulières globales d'une équation particulière semi-linéaire faiblement<br />hyperbolique d'ordre quatre . Les linéarisés de cette équation<br />vérifient une hypothèse du type de Levi.<br />Dans la seconde patie, nous donnons des exemples d'opérateurs d'évolution notés L = partial_{tt}^2 - p(t, D_x), faisant intervenir des opérateurs singuliers p pour lesquels une perturbation <br />quasi-linéaire donne des équations admettant des solutions régulières et globales.
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Al, Taki Bilal. "Sur quelques modèles hétérogènes en mécanique des fluides." Thesis, Université Grenoble Alpes (ComUE), 2016. http://www.theses.fr/2016GREAM057/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l'analyse mathématique de quelques modèles hétérogènes intervenants en mécanique des fluides. En particulier, elle est consacré a l'étude théorique des systèmes d'équations aux derivées partielles décrivants les trois modèles principaux que nous voulons présenter dans la suite. Le premier modèle étudié dans cette thèse est consacré à l'étude de l'écoulement d'un fluide visqueux newtonien et incompressible dans un bassin avec bathymétrie qui dégenère proche du bord. Le modèle mathématique étudié provient alors des équations de Navier-Stokes incompressible. On cherche à montrer que le problème de Cauchy correspondant est bien posé, au sens qu'on peut garantir l'existence globale et l'unicité de solutions faibles. Nous discuterons aussi la régularité de la solution faible. Finalement,nous établissons la convergence de la solution du modèle visqueux vers celle du modèle non visqueux quand le coefficient de viscosité tend vers zéro.La deuxième partie est dédiée à l'étude d'un modèle issu du système de Navier-Stokes dispersif ( il contient une correction dispersive) qui est lui meme obtenu à partir de la théorie cinétique des gaz. Notre modèle mathématique est dérivé a partir de ce dernier en supposant que le nombre de Mach est très faible. Le modèle obtenu est nommé effet fantôme (ou ghost effect an anglais), puisqu'il ne peut pas être obtenu à partir du modèle de Navier-Stokes compressible classique. L'objectif dans ce cadre sera d'étendre un résultat concernant l'existence locale d'une solution forte vers l'existence globale d'une solution faible. L'ingrédient principal dans notre analyse est une nouvelle inégalité fonctionnelle de type Log-Sobolev.La troisième partie de ce document est une contribution à une thématique de recherche se proposant d'analyser la compréhension des phénomènes rencontrés en géophysique qui font intervenir des milieux granulaires. Le modèle mathématique choisi est de type Bingham incompressible dont on fait dépendre le seuil de plasticité et le coe fficient de viscosité de la pression. On montre un résultat d'existence globale d'une solution faible du problème de Cauchy associé<br>This thesis is devoted to the mathematical analysis of heterogeneous models raised by fluid mechanics. In particular, it is devoted to the theoretical study of partial differential equations used to describe the three main models that we present below.Initially, we are interested to study the motion of a compressible newtonienfluids in a basin with degenerate topography. The mathematical model studied derives from incompressible Navier-Stokes equations. We are interested to prove that the Cauchy problem associated is well posed. Well-posedness means that there exists a solution, that it is unique. In the meantime, we prove that the solution of the viscous model converges to the one of the inviscid limit model when the viscosity coe cient tends to zero.The second part in my thesis is devoted to study a model that arises from dispersive Navier-Stokes equations (that includes dispersive corrections to the classical compressible Navier-Stokes equations). Our model is derived from the last model assuming that the Mach number is very low. The obtained system is a Ghost eect system, which is so named because it can be derived from Kinetic theory. The main goal of this part is to extend a result concerning the local existence of strong solution to a global-in time existence of weak solutions. The main ingredient in this work is a new functional inequality of Log-Sobolev type.The last part of my thesis is a part of a research theme intends to analyze the understanding of phenomena encountered in geophysics which involves granular media. The mathematical model is of Bingham incompressible type with viscosity and placticity depending on the pressure. We provide a global existence of weak solutions of the Cauchy problem associated
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Col, Sylvain. "Propriétés multiplicatives d'entiers soumis à des conditions digitales." Phd thesis, Université Henri Poincaré - Nancy I, 1996. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00339809.
Full textAbstract:
Pour une base fixée, les entiers ellipséphiques (c'est-à-dire les entiers dont l'écriture n'utilise que certains chiffres) et les palindromes forment des sous ensembles éparses des entiers, ensembles définis par des conditions digitales. Nous étudions si ces ensembles ont des propriétés multiplicatives similaires à celles des entiers.<br>Nous évaluons d'abord les grands moments de la série génératrice des entiers ellipséphiques. Comme application, nous en déduisons l'existence d'un 0 < c < 1 tel que pour tout entier k, une infinité d'entiers ellipséphiques n possédant un diviseur p^k de l'ordre de n^c, p désignant un nombre premier. De plus, le nombre de tels entiers est de l'ordre de grandeur attendu.<br>Nous établissons ensuite un résultat de crible où les modules possédant un nombre anormalement grand de diviseurs sont écartés du terme d'erreur. Nous en déduisons l'existence d'une proportion positive d'entiers ellipséphiques friables c'est-à-dire possédant tous leurs facteurs premiers majorés par n^c, pour une constante c < 1 fixée.<br>Nous montrons enfin à l'aide de techniques élémentaires comment réduire l'étude de la série génératrice des palindromes à une série proche de celle des entiers ellipséphiques ce qui permet d'étudier la répartition des palindromes dans les progressions arithmétiques et ainsi d'obtenir une majoration de l'ordre de grandeur attendu du nombre de palindromes premiers. Nous en déduisons en particulier l'existence d'une infinité de palindromes possédant en base 10 au plus 372 facteurs premiers (comptés avec multiplicité).
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Gentil, Ivan. "Inégalités de Sobolev logarithmiques et hypercontractivité en mécanique statistique et en E. D. P." Toulouse 3, 2001. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001145.
Full text
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Xia, Bo. "Equations aux dérivées partielles et aléas." Thesis, Université Paris-Saclay (ComUE), 2016. http://www.theses.fr/2016SACLS171/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, on a d’abord considéré une équation d'onde. On a premièrement montré que l’équation est bien-posée presque sûre par la méthode de décomposition de fréquence de Bourgain sous l’hypothèse de régularité que s > 2(p−3)/(p-1). Ensuite, nous avons réduit de cette exigence de régulation à (p-3)/(p−1) en appelant une estimation probabiliste a priori. Nous considérons également l’approximation des solutions obtenues ci-dessus par des solutions lisses et la stabilité de cette procédure d’approximation. Et nous avons conclu que l’équation est partout mal-posée dans le régime de super-critique. Nous avons considéré ensuite l’équation du faisceau quintique sur le tore 3D. Et nous avons montré que cette équation est presque sûr bien-posée globalement dans certain régimes de super-critique. Enfin, nous avons prouvé que la mesure de l’image de la mesure gaussienne sous l’application de flot de l’équation BBM généralisé satisfait une inégalité de type log-Sobolev avec une petit peu de perte de l’intégrabilité<br>In this thesis, we consider a wave equation. We first showed that the equation is almost sure global well-posed via Bourgain’s high-low frequency decomposition under the regularity assumption s > 2(p−3)/(p−1). Then we lowered down this regularity requirement to be (p−3)/(p−1) by invoking a probabilistic a priori estimate. We also consider approximation of the above achieved solutions by smooth solutions and the stability of this approximating procedure. And we concluded that this equation is everywhere ill-posed in the super-critical regime. Next, we considered the quintic beam equation on 3D torus. And we showed that this equation is almost sure global well-posed in certain super-critical regime. Lastly, we proved that the image measure of the Gaussian measure under the generalized BBM flow map satisfies a log-Sobolev type inequality with a little bit loss of integrability
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Brouttelande, Christophe. "Inegalites de Gagliardo-Nirenberg optimales sur les varietes riemanniennes." Phd thesis, Université Paul Sabatier - Toulouse III, 2003. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00005408.
Full textAbstract:
Les espaces de Sobolev jouent un rôle central dans la théorie des équations aux dérivées partielles. Les théorèmes de plongement de ces espaces dans les espaces de Lebesgue se traduisent en inégalités dites de Sobolev. Elles sont devenues un outil fondamental en analyse. Ces notions ont été introduites par S. L. Sobolev à la fin des années~30. D'autres mathématiciens se sont intéressés à ce domaine. On peut notamment citer les travaux d'E. Gagliardo et L. Nirenberg dans les années~50. L'étude des inégalités de Sobolev optimales trouve ses origines dans de grands problèmes d'analyse tels que le problème de Yamabe. Il existe plusieurs façons d'aborder cette étude. Nous parlerons plus particulièrement de programme AB et de programme BA. Le premier programme a été étudié, entre autre, par T. Aubin, O. Druet, E. Hebey et M. Vaugon. Le second trouve sa source en théorie des semi-groupes de Markov. Il a notamment été étudié par D. Bakry et M. Ledoux. Les inégalités de Sobolev sont un cas particulier des inégalités de Gagliardo-Nirenberg. Il est donc naturel de se demander si les résultats connus pour les inégalités de Sobolev s'adaptent aux autres inégalités de la famille. Les premiers travaux de ce type se sont portés sur l'inégalité de Nash et les inégalités de Sobolev logarithmique. Dans cette thèse, nous obtenons une généralisation de ces travaux à une famille d'inégalités plus large. Plus précisément, nous adaptons les programmes AB et BA à une sous-famille des inégalités de Gagliardo-Nirenberg contenant, entre autres, l'inégalité de Nash.
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Brouttelande, Christophe. "Inégalités de Gagliardo-Nirenberg optimales sur les variétés riemanniennes." Toulouse 3, 2003. http://www.theses.fr/2003TOU30081.
Full text
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Gourcy, Mathieu. "Inégalités Log-Sobolev pour la loi d'une diffusion et grandes déviations pour des EDP stochastiques." Clermont-Ferrand 2, 2006. http://195.221.120.247/simclient/consultation/binaries/stream.asp?INSTANCE=UCFRSIM&eidmpa=DOCUMENTS_THESES_218.
Full textAbstract:
On s'intéresse dans cette thèse au comportement ergodique de certains systèmes dynamiques. Dans la première partie, on établit une inégalité de Sobolev logarithmique pour la loi d'un mouvement Brownien avec dérive, et plus généralement de certaines diffusions elliptiques, sur l'espace des trajectoires muni d'une métrique L2. Ce résultat implique des propriétés de concentrations intéressantes pour le comportement en temps grands de moyennes d'observables le long de la trajectoire. Dans la seconde partie, on trouve un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des équations de Burgers et de Navier-Stokes stochastiques. Ce principe décrit la convergence exponentielle vers la mesure d'équilibre du système, dont l'unicité est assurée par les conditions de non dégénérescence imposées sur la perturbation aléatoire
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Demange, Jérôme. "Des équations à diffusion rapide aux inégalités de Sobolev sur les modèles de la géométrie." Toulouse 3, 2005. http://www.theses.fr/2005TOU30160.
Full textAbstract:
Nous démontrons dans cette thèse comment l'étude d'équations à difusion rapide telles que :@tu = 4u1−1/n, n 2 R, n > 2, conduit à établir des inégalités de Sobolev sous des conditions de courbure minorée et de dimension finie sur l'opérateur diférentiel 4. Nous distinguons trois cas : courbure positive ou nulle, positive et négative, correspondant chacun aux trois modèles de courbure constante : l'espace Euclidien, la sphère et l'espace hyperbolique. Dans les deux premiers cas nous établissons notamment des inégalités qui interpolent entre les inégalités de Sobolev et de Sobolev-logarithmique, ainsi que des estimations de la vitesse de convergence de l'Équation. .<br>We prove in this Thesis how the study of fast-diffusion equations as @tu = 4u1−1/n, n 2 R, n > 2, lead to Sobolev inequalities, under curvature and dimension hypothesis on the differential operator 4. We distinguish three cases : nonnegative, positive and negative curvature, each of which corresponds to the three models with constant curvature : the Euclidean Space, the sphere and the hyperbolic space. In the first two cases we establish inequalities that interpolate between Sobolev and logarithmic-sobolev inequalities, as well as estimations on the rate of convergence of the last equation
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Faget, Zoé. "Meilleures constantes dans les inégalités de Sobolev pour des fonctions invariantes par un groupe d'isométries." Paris 6, 2002. https://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00001383.
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Zghal, Mohamed Khalil. "Inégalités de type Trudinger-Moser et applications." Thesis, Paris Est, 2016. http://www.theses.fr/2016PESC1077/document.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur quelques inégalités de type Trudinger-Moser et leurs applications à l'étude des injections de Sobolev qu'elles induisent dans les espaces d'Orlicz et à l'analyse d'équations aux dérivées partielles non linéaires à croissance exponentielle.Le travail qu'on présente ici se compose de trois parties. La première partie est consacrée à la description du défaut de compacité de l'injection de Sobolev 4D dans l'espace d'Orlicz dansle cadre radial.L'objectif de la deuxième partie est double. D'abord, on caractérise le défaut de compacité de l'injection de Sobolev 2D dans les différentes classes d'espaces d'Orlicz. Ensuite, on étudiel'équation de Klein-Gordon semi-linéaire avec non linéarité exponentielle, où la norme d'Orlicz joue un rôle crucial. En particulier, on aborde les questions d'existence globale, de complétude asymptotique et d'étude qualitative.Dans la troisième partie, on établit des inégalités optimales de type Adams, en étroite relation avec les inégalités de Hardy, puis on fournit une description du défaut de compacité des injections de Sobolev qu'elles induisent<br>This thesis focuses on some Trudinger-Moser type inequalities and their applications to the study of Sobolev embeddings they induce into the Orlicz spaces, and the investigation of nonlinear partial differential equations with exponential growth.The work presented here includes three parts. The first part is devoted to the description of the lack of compactness of the 4D Sobolev embedding into the Orlicz space in the radialframework.The aim of the second part is twofold. Firstly, we characterize the lack of compactness of the 2D Sobolev embedding into the different classes of Orlicz spaces. Secondly, we undertakethe study of the nonlinear Klein-Gordon equation with exponential growth, where the Orlicz norm plays a crucial role. In particular, issues of global existence, scattering and qualitativestudy are investigated.In the third part, we establish sharp Adams-type inequalities invoking Hardy inequalities, then we give a description of the lack of compactness of the Sobolev embeddings they induce
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Zein, Ihsan. "Inégalités de Hardy-Littlewood-Sobolev dans certaines régions coniques de l'espace euclidien et du groupe de Heisenberg." Paris 6, 2006. http://www.theses.fr/2006PA066554.
Full text
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Motron, Mélissa. "Extrémales pour certaines inégalités de Sobolev singulières et critiques : Approximation numérique d'ensembles propres pour le 1-Laplacien." Cergy-Pontoise, 2002. http://www.theses.fr/2002CERG0176.
Full textAbstract:
Ce travail de thèse se divise en trois parties distinctes. La première partie concerne des problèmes variationnels associés au 1-Laplacien : un article est consacré à la recherche des meilleures constantes et des extrémales dans l'inégalité de trace de W1,1(?) dans L1(??), et un deuxième travail porte sur l'étude de la première valeur propre du 1-Laplacien. La seconde partie donne des résultats d'existence de solutions non triviales pour des EDP non linéaires du quatrième ordre. La troisième partie présente une méthode pour prouver l'existence d'une solution à des problèmes faisant intervenir le p-Laplacien avec condition de Neuman non linéaire au bord<br>This thesis is divided in three distinct parts. The first one is concerned with variational problems involving the 1-Laplacian : an article is devoted to the best constants and extremals for the Sobolev trace map from W1,1(?) into L1(??), and a second work is about the first eigenvalue for the 1-Laplacian. The second part gives existence results for nonlinear PDEs of fourth order. The third part presents a method to prove the existence of a solution to problems involving the p-Laplacian with a Neuman condition on the boundary
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Michaille, Gérard. "Inéquations variationnelles fortement non linéaires et applications : [comparaisons des solutions et applications]." Metz, 1988. http://docnum.univ-lorraine.fr/public/UPV-M/Theses/1988/Michaille.Gerard.SMZ882.pdf.
Full textAbstract:
Un théorème de comparaison des solutions relatives à des convexes des contraintes pour des inéquations variationnelles à même opérateur est démontré sous des hypothèses peu restrictives. De nombreux résultats de monotonie et d'unicité sont obtenus pour des problèmes aux convexes standards définis par des contraintes ponctuelles. Le résultat de comparaison ainsi obtenu permet de prouver l'existence d'une frontière libre pour une inéquation variationnelle lorsque l'opérateur présente en un certain sens une singularité en zéro. Enfin une méthode d'existence, utilisant un théorème de point fixe, jointe au théorème d'unicité, permet de résoudre numériquement un problème non linéaire possédant un terme de transport<br>Comparison results of the solutions for two variational inequalities with the same operateur and two convex sets defined by pointwise constraints are obtained with little restrictive hypotheses. As a corollary, we prove uniqueness results and more genrally monotonicity properties for a large class of variational inequalities associated with convex sets whose pointwise constraints are standard. With these results one can show when the operateur fails to be smooth at zero, some variational inequalities can develop a free boundary. Finally, thaks to our uniqueness theorem, the existence method that we have used allows us to solve numerically a non-linear problem with a transport term
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Carron, Gilles. "Inégalités isopérimétriques sur les variétés riemanniennes." Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015), 1994. http://www.theses.fr/1994GRE10107.
Full textAbstract:
Cette these aborde le probleme des inegalites isoperimetriques sur les varietes riemanniennes. La premiere partie traite de la stabilite isoperimetrique: c'est-a-dire de l'amelioration d'une inegalite isoperimetrique classique (une minoration du volume du bord en fonction du volume interieur): un domaine presque optimal pour cette inegalite est-il proche d'un domaine minimisant ? la seconde partie s'interesse aux inegalites isoperimetriques sur les varietes riemanniennes non-compactes ; d'abord, on obtiendra des equivalences entre des inegalites de sobolev, estimees analytiques, et l'inegalite isoperimetrique de faber-krahn (une minoration de la premiere valeur propre du laplacien, pour le probleme de dirichlet, en fonction du volume) ; puis on montrera quelques proprietes impliquees par une telle inegalite de faber-krahn ; on verra notamment sous quelles conditions on peut obtenir une inegalite isoperimetrique classique a partir d'une telle inegalite, a priori plus faible
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Gourcy, Mathieu. "INEGALITES LOG-SOBOLEV POUR LA LOI D'UNE DIFFUSIONET GRANDES DEVIATIONS POUR DES EDP STOCHASTIQUES." Phd thesis, Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2006. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00120651.
Full textAbstract:
On s'intéresse dans cette thèse au comportement ergodique de certains systèmes dynamiques.<br /><br />Dans la première partie, on établit une inégalité de Sobolev logarithmique pour la loi d'un mouvement Brownien avec dérive, et plus généralement de certaines diffusions elliptiques, sur l'espace des trajectoires riemanniennes muni d'une métrique L2. <br />Ce résultat implique des propriétés de concentration intéressantes pour le comportement en temps grands de moyennes d'observables le long de la trajectoire.<br /><br />Dans la seconde partie, on prouve un principe de grandes déviations pour la mesure empirique des équations de Burgers et de Navier-Stokes stochastiques. <br />Ce principe décrit la convergence exponentielle vers la mesure d'équilibre du système, dont l'unicité est assurée par les conditions de non dégénérescence imposées sur la perturbation aléatoire.
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Minerbe, Vincent. "Sur l'effondrement à l'infini des variétés asymptotiquement plates." Phd thesis, Université de Nantes, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00195953.
Full textAbstract:
Cette thèse concerne la géométrie asymptotique de variétés riemanniennes complètes non compactes, dont la courbure tend vers zéro à l'infini, assez vite. Afin de compléter des travaux déjà existants, on s'attache à comprendre le cas où la croissance du volume est non maximale, c'est-à-dire strictement moins rapide que dans l'espace euclidien de même dimension. Dans ce contexte, on prouve tout d'abord une inégalité de Sobolev à poids et une inégalité de Hardy, qui permettent de généraliser nombre de résultats établis quand la croissance du volume est maximale. On obtient en particulier des résultats de rigidité et de finitude de la topologie pour des variétés Ricci plates et asymptotiquement plates. On obtient ensuite un résultat de structure asymptotique pour une classe d'instantons gravitationnels : typiquement, ceux qui ont une croissance du volume cubique sont asymptotes à des fibrations en cercles au-dessus d'une variété asymptotiquement localement euclidienne .
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Bentaleb, Abdellatif. "Analyse des semi-groupes ultrasphériques." Toulouse 3, 1993. http://www.theses.fr/1993TOU30152.
Full textAbstract:
En utilisant l'operateur carre du champ itere pour le semi-groupe ultraspherique, on obtient une inegalite de sobolev pour toutes les dimensions n0, qui entraine l'inegalite de sobolev logarithmique du a mueller et weissler, et une generalisation de l'inegalite d'onofri dans le cas du cercle et de la sphere de dimension 2. Nous generalisons le developpement de la moyenne de c. Houdre et a. Kanoan aux cas des mesures ultraspheriques. Les techniques utilisees permettent aussi de degager des proprietes spectrales remarquables
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Boutayeb, Salahaddine. "Sur les estimations du noyau de la chaleur dans les espaces métriques doublants." Cergy-Pontoise, 2010. http://www.theses.fr/2010CERG0498.
Full textAbstract:
Dans le cadre d'une variété riemannienne et plus généralement dans un espace métrique mesuré muni d'un semi-groupe sous-markovien symétrique, on s'intéresse à généraliser des résultats sur les estimations gaussiennes du noyau de la chaleur qui n'étaient connus jusqu'ici que dans le cas d'une croissance polynomiale du volume ; pour un cas plus général qui est le doublement du volume. Dans cette thèse, nous montrons les résultats suivants: -Caractérisation de l'estimation supérieure gaussienne du noyau de la chaleur par des inégalités à poids et à un paramètre. -L'estimation inférieure gaussienne entraîne l'estimation supérieure gaussienne. -L'estimation supérieure gaussienne étant supposée, caractérisation de l'estimation inférieure gaussienne par des inégalités de type Hölder<br>In the setting of a Riemannian manifold and more generally in a measured metric space endowed with a symmetric submarkovian semigroup, we are interested to generalize some heat kernel estimates results obtained by various authors when the volume growth is polynomial, to a more general case of the volume growth, called the doubling case. In this thesis, we will prove the following results: -Characterization of the Gaussian upper estimate by some one parameter weighted inequalities. -Obtaining the Gaussian upper estimate from the lower estimate. -Assuming the Gaussian upper estimate, we characterize the lower estimate by some Hölder type inequalities
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Nagy, Katalin. "Limites hydrodynamiques et fluctuations à l'équilibre pour des systèmes de particules en interaction." Paris 9, 2006. https://portail.bu.dauphine.fr/fileviewer/index.php?doc=2006PA090011.
Full textAbstract:
Cette thèse traite de trois modèles différents de systèmes de particules en interaction. Dans la première partie de la thèse nous présentons une preuve élémentaire du théorème de la limite centrale pour la marche aléatoire en milieu aléatoire en dimension un et nous prouvons la limite hydrodynamique de l'exclusion simple symétrique en milieu aléatoire. Dans la deuxième partie nous étudions un modèle hyperbolique attractif de gaz sur réseau. À l'aide de la méthode de compacité par compensation, des inégalités de Sobolev logarithmiques et de l'inégalité d'entropie de Lax nous démontrons l'existence et l'unicité de la limite hydrodynamique même dans le régime des chocs. Dans la troisième partie de la thèse nous étudions un système d'oscillateurs harmoniques avec bruit multiplicatif. Nous prouvons que les fluctuations à l'équilibre des champs conservés (énergie et déformation) sous une renormalisation diffusive sont décrites par une paire de processus d'Ornstein-Uhlenbeck généralisés<br>This thesis concerns three different models of interacting particle systems. In the first part of the thesis we give an elementary proof of the central limit theorem for one dimensional symmetric random walk in random environment and we derive the hydrodynamic limit of the symmetric simple exclusion in random environment. In the second part we investigate a hyperbolic and non-attractive lattice-gas model. By means of the method of compensated compactness, logarithmic Sobolev inequalities and the Lax entropy inequality we prove existence and uniqueness of the hydrodynamic limit even in the regime of shocks. In the third part of the thesis we consider a system of harmonic oscillators with multiplicative noise. We show that the equilibrium fluctuations of the conserved fields (energy and deformation) at a diffusive scaling are described by a couple of generalized Ornstein-Uhlenbeck processes
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Dhifaoui, Anis. "Équations de Stokes en domaine extérieur avec des conditions aux limites de type Navier." Thesis, Bourgogne Franche-Comté, 2020. http://www.theses.fr/2020UBFCD009.
Full textAbstract:
On s'intéresse aux équations stationnaires de Stokes posées dans un domaine extérieur tridimensionnel décrivant l'écoulement d'un fluide visqueux et incompressible autour d'obstacle supposé borné. La particularité ici réside dans les conditions au bord de l'obstacle que nous avons imposées. En effet, nous supposons que l'obstacle a une certaine rugosité et par conséquent, le fluide n'adhère pas au bord de l'obstacle mais, au contraire, il existe une friction dont on suppose décrite par les conditions aux limites de type Navier. Ces dernières modélisent d'une part l'imperméabilité de l'obstacle et d'autre part le fait que la composante tangentielle de la vitesse du fluide sur l'obstacle est proportionnelle au tenseur des déformations. Ce problème a été bien étudié lorsqu'il est posé dans un domaine borné. Les espaces de Sobolev classiques fournissent, dans ce cas, un cadre fonctionnel adéquat pour une étude complète. Cependant lorsque le domaine n'est pas borné, ces espaces ne sont plus adaptés car il est nécessaire de décrire le comportement à l'infini des solutions. On choisit alors de poser le problème dans des espaces de Sobolev avec des poids polynomiaux qui précisent la croissance ou la décroissance des fonctions à l'infini. Dans ce travail, nous commençons par effectuer une analyse hilbertienne du problème. Le point-clé ici est d'établir des inégalités de type Korn avec poids afin d'obtenir la coercivité de la forme bilinéaire associée à la formulation variationnelle. Nous continuons par démontrer des résultats d'existence, d'unicité et de régularité de solutions fortes et très faibles. Enfin, nous étudions l'extension de certains résultats en théorie L^p<br>In this manuscript, we study the three-dimensional stationary Stokes equations set in a exterior domain. The problem describes the flow of a viscous and incompressible fluid past a bounded obstacle. The distinctif feature here relies on the fact that the obstacle is assumed to a rough boundary. As a result, the fluid may slip on the boundary of the obstacle and, to take into account this property, we use the Navier boundary conditions. On the one hand, They model the impermeability of the obstacle, and on the other hand, the fact that the tangential component of the fluid velocity on the obstacle is proportional to the stress tensor. This problem has been well studied when set in a bounded domain. The standard Sobolev spaces provides, in this case, an adequate functional framework for a complete study. Since in our case, the domain is unbounded, these spaces are not adapted since it is necessary to describe the behaviour of the solutions to infinity. Therefore, we choose to set the problem in weighted Sobolev spaces where the weights describe the behaviour at infinity of the function (growth or decay).In this work, we first start by performing the mathematical analysis in the Hilbert setting. The key point here is to establish variant weighted Korn’s inequalities in order to get the coercivity of the bilinear form associated to the variational formulation. Next, we proved the existence, uniqueness of strong and very weak solutions. Finally, we study the extension of some of thses results to a weightedL^p-theory
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Mondello, Ilaria. "Le problème de Yamabe sur les espaces stratifiés." Nantes, 2015. http://archive.bu.univ-nantes.fr/pollux/show.action?id=a82f7d20-528d-484f-a6dc-37dd590c9a54.
Full textAbstract:
On étudie une classe d’espaces métriques singuliers, les espaces stratifiés, et on se propose d’étendre à ces derniers des résultats de géométrie riemannienne et d’analyse sur les variétés. Dans une première partie, on montre l’existence d’une borne inférieure pour le bas du spectre du Laplacien, sous une hypothèse géométrique de minoration de la courbure de Ricci. Cela permet également de démontrer l’existence d’une inégalité de Sobolev dont les constantes dépendent uniquement du volume et de la dimension de l’espace, et d’une borne supérieure pour le diamètre. En outre, on prouve que la borne pour le diamètre est atteinte si et seulement si celle pour le bas du spectre l’est aussi. La deuxième partie de ce manuscrit est dédiée aux conséquences des résultats précédents sur le problème de Yamabe pour un espace stratifié : ce problème consiste à chercher une métrique conforme à courbure scalaire constante, et l’existence d’une solution dépend d’un invariant conforme, la constante de Yamabe locale, dont la valeur est en général inconnue. On montre que celle-ci peut-être calculée en un grand nombre de cas, lorsque une hypothèse géométrique sur le lieu singulier est vérifiée. On utilise des techniques liées aux inégalités isopérimétrique et de Sobolev. Enfin, on donne une classe d’exemples pour lesquels on peut prouver qu’une métrique conforme à courbure scalaire constante existe<br>We study a class of singular metric spaces, stratified spaces, with an approach whose goal is to extend to these latter some tools and results of Riemannian geometry and analysis on smooth manifolds. In a first part, we show the existence of a lower bound for the bottom of the spectrum of the Laplacian, under the assumption that the Ricci curvature is bounded by below. This allows us to prove also the existence of a Sobolev inequality whose constants only depend on the volume and of the dimension of the space, and of an upper bound for the diameter. Furthermore, we prove that the bound for the diameter is attained if and only if the one for the bottom of the spectrum is attained as well. The second part is devoted to the direct consequences of the previous results on the Yamabe problem on a stratified space: this problem consists in looking for a conformal metric with constant scalar curvature, and the existence of a solution depends on a conformal invariant, the local Yamabe constant, whose value is generally unknown. We show that this latter can be computed in a large number of cases, when a geometric hypothesis on the singular set is verified. We use techniques which are related to the Sobolev and the isoperimetric inequalities. Finally, we give a class of examples for which we can prove the existence of a conformal metric with constant scalar curvature
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Chamorro, Diego. "Inégalités de Gagliardo-Nirenberg précisées sur le groupe de Heisenberg." Phd thesis, École normale supérieure de Cachan - ENS Cachan, 2006. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00132135.
Full textAbstract:
Cette thèse étudie la généralisation des inégalités de Gagliardo Nirenberg précisées sur les groupes de Lie stratifiés. Dans le cas euclidien il existe trois méthodes en fonction de l'exposant p qui caractérise l'espace de Sobolev. La première série d'inégalités concerne les espaces de Sobolev avec p>1. La démonstration de ces estimations découle de la caractérisation des espaces fonctionnels avec une analyse de Littlewood Paley. Pour traiter le cas p=1 il est nécessaire d'utiliser une autre technique. Nous allons utiliser les propriétés du noyau de la chaleur en généralisant la pseudo inégalité de Poincaré. Ce cas permet l'étude de l'espace de fonction BV, mais ne permet pas de considérer un espace de Sobolev dans le membre de gauche des inégalités. La troisième méthode de démonstration se base sur une décomposition en ondelettes à support compact et la généralisation au groupe de Heisenberg reste ouverte. On traite aussi des généralisations sur certains groupes de Lie et on discute une caractérisation de l'espace BV en termes d'espaces de Besov sur le groupe 2-adique
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Minoukadeh, Kimiya. "Deterministic and stochastic methods for molecular simulation." Phd thesis, Université Paris-Est, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00597694.
Full textAbstract:
Molecular simulation is an essential tool in understanding complex chemical and biochemical processes as real-life experiments prove increasingly costly or infeasible in practice . This thesis is devoted to methodological aspects of molecular simulation, with a particular focus on computing transition paths and their associated free energy profiles. The first part is dedicated to computational methods for reaction path and transition state searches on a potential energy surface. In Chapter 3 we propose an improvement to a widely-used transition state search method, the Activation Relaxation Technique (ART). We also present a local convergence study of a prototypical algorithm. The second part is dedicated to free energy computations. We focus in particular on an adaptive importance sampling technique, the Adaptive Biasing Force (ABF) method. The first contribution to this field, presented in Chapter 5, consists in showing the applicability to a large molecular system of a new parallel implementation, named multiple-walker ABF (MW-ABF). Numerical experiments demonstrated the robustness of MW-ABF against artefacts arising due to poorly chosen or oversimplified reaction coordinates. These numerical findings inspired a new study of the longtime convergence of the ABF method, as presented in Chapter 6. By studying a slightly modified model, we back our numerical results by showing a faster theoretical rate of convergence of ABF than was previously shown