Academic literature on the topic 'Lagrange inversion'

Using Riemann-Liouville fractional differential operator, a fractional extension of the Lagrange inversion theorem and related formulas are developed. The required basic definitions, lemmas, and theorems in the fractional calculus are presented. A fractional form of Lagrange's expansion for one implicitly defined independent variable is obtained. Then, a fractional version of Lagrange's expansion in more than one unknown function is generalized. For extending the treatment in higher dimensions, some relevant vectors and tensors definitions and notations are presented. A fractional Taylor expansion of a function of -dimensional polyadics is derived. A fractional -dimensional Lagrange inversion theorem is proved.

In this thesis, we investigate two expressions for symmetric group characters: Kerov?s universal character polynomials and Stanley?s character polynomials. We give a new explicit form for Kerov?s polynomials, which exactly evaluate the characters of the symmetric group scaled by degree and a constant. We use this explicit expression to obtain specific information about Kerov polynomials, including partial answers to positivity questions. We then use the expression obtained for Kerov?s polynomials to obtain results about Stanley?s character polynomials.

The Lagrange inversion formula gives the coefficients of an inverse series, or more generally of powers of the inverse series. We discuss four different approaches to the proof of this formula and focus our attention on the case of negative powers which has largely been ignored in the literature. We also obtain a formula for the constant term in the case of negative powers which appears to be original.

Cette thèse est consacrée à l'étude de familles à un paramètre de coproduits sur lesfonctions symétriques et leurs analogues non commutatifs. On montre en introduisant une base appropriée qu'une famille à un paramètre d'algèbres de Hopf introduite par Foissy interpole entre l'algèbre de Faà di Bruno et l'algèbre de Farahat-Higman. Les constantes de structure dans cette base sont des déformations des constantes de structures de l'algèbre de Farahat-Higman dans la base des projections des classes de conjugaison. On obtient pour ces constantes de structure déformées un analogue des formules de Macdonald. Foissy a également introduit un analogue non commutatif de cette famille d'algèbres de Hopf, qui interpole entre l'algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives et l'algèbre de Faà di Bruno non commutative. Après avoir donné une nouvelle interprétation combinatoire de la formule de Brouder-Frabetti-Krattenthaler pour l'antipode de l'algèbre de Faà di Bruno non commutative, qui est une forme de la formule d'inversion de Lagrange non commutative, on donne une déformation à un paramètre de cette formule. Plus précisément, on obtient une formule explicite pour l'antipode de la déformation de Foissy dans sa version non commutative. On donne aussi d'autres propriétés combinatoires de l'algèbre de Faà di Bruno non commutative et d'autres résultats permettant d'étudier les deux familles d'algèbre de Hopf de Foissy. Ainsi, on généralise par exemple d'autres formes de la formule d'inversion de Lagrange non commutative en donnant d'autres formules qui calculent l'antipode de la deuxième déformation.

In this paper we consider an analogue of the classical simple random walk on the set of integers which has correlated increments. In particular we are interested in the distribution of the absorption times and the maximum of such processes. (author's abstract)
Series: Forschungsberichte / Institut für Statistik

Cette thèse est consacrée à l’étude de familles à un paramètre de coproduits sur lesfonctions symétriques et leurs analogues non commutatifs. On montre en introduisant une base appropriée qu’une famille à un paramètre d’algèbres de Hopf introduite par Foissy interpole entre l’algèbre de Faà di Bruno et l’algèbre de Farahat-Higman. Les constantes de structure dans cette base sont des déformations des constantes de structures de l’algèbre de Farahat-Higman dans la base des projections des classes de conjugaison. On obtient pour ces constantes de structure déformées un analogue des formules de Macdonald. Foissy a également introduit un analogue non commutatif de cette famille d’algèbres de Hopf, qui interpole entre l’algèbre de Hopf des fonctions symétriques non commutatives et l’algèbre de Faà di Bruno non commutative. Après avoir donné une nouvelle interprétation combinatoire de la formule de Brouder-Frabetti-Krattenthaler pour l’antipode de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative, qui est une forme de la formule d’inversion de Lagrange non commutative, on donne une déformation à un paramètre de cette formule. Plus précisément, on obtient une formule explicite pour l’antipode de la déformation de Foissy dans sa version non commutative. On donne aussi d’autres propriétés combinatoires de l’algèbre de Faà di Bruno non commutative et d’autres résultats permettant d’étudier les deux familles d’algèbre de Hopf de Foissy. Ainsi, on généralise par exemple d’autres formes de la formule d’inversion de Lagrange non commutative en donnant d’autres formules qui calculent l’antipode de la deuxième déformation
This thesis is devoted to study one-parameter families of coproducts on symmetric functionsand their noncommutative analogues. We show, by introducing an appropriate basis,that a one-parameter family of Hopf algebras introduced by Foissy interpolates between theFa`a di Bruno algebra and the Farahat-Higman algebra. The structure constants in this basisare deformations of the structure constants of the Farahat-Higman algebra in the basis ofprojections of conjugacy classes. For these deformed structure constants, we obtain an analogueof the Macdonald formulas.Foissy has also introduced a noncommutative analogue of this family of Hopf algebras. Itinterpolates between the Hopf algebra of noncommutative symmetric functions and the noncommutativeFa`a di Bruno algebra. First, we give a new combinatorial interpretation ofthe Brouder-Frabetti-Krattenthaler formula for the antipode of the noncommutative Fa`a diBruno algebra, that is a form of the noncommutative Lagrange inversion formula. Then, wegive a one-parameter deformation of this formula. Namely, it is an explicit formula for theantipode of the noncommutative family.We also give other combinatorial properties of the noncommutative Fa`a di Bruno algebra,and other results about the families of Hopf algebras of Foissy. In this way, we generalize otherforms of the noncommutative Lagrange inversion formula. Namely, we give other formulasfor the antipode of the noncommutative family

La FWI (Full Waveform Inversion) est un problème d'optimisation sous contraintes dédié à l'estimation des paramètres constitutifs du sous-sol à partir de mesures parcimonieuses des champs d'ondes sismiques. La FWI est fondée sur des approches locales d'optimisation et sur un espace de recherche réduit obtenu par projection de variables. La non linéarité et le caractère mal posé de la FWI sont deux difficultés majeures. Une source de non linéarité est liée au repliement de la phase, qui conduit à un minimum local dès que le modèle initial n'est pas suffisamment précis. Le caractère mal posé résulte de l'éclairage incomplet du sous-sol depuis la surface, le bruit et les couplages inter-paramètres. L'objectif de cette thèse est de réduire ces deux pathologies par de nouvelles approches d'optimisation et de régularisation. J'améliore tout d'abord la méthode d'inversion par reconstruction des champs d'onde (WRI : Wavefield Reconstruction Inversion). WRI étend l'espace de recherche en calculant les champs d'onde avec une relaxation de l'équation d'onde afin d'ajuster les données avec des modèles imprécis avant d'estimer les paramètres en minimisant les erreurs générées par cette relaxation. Quand ces deux estimations sont effectuées de manière alternée, WRI décompose l'inversion non linéaire en deux sous-problèmes linéaires en vertu de la bilinéarité de l'équation d'onde. WRI a été implémentée avec une méthode de pénalité, nécessitant une adaptation du paramètre de pénalité lors des itérations. Je remédie à cela avec ADMM (Alternating-Direction Method of Multipliers), qui concilie l'extension de l'espace de recherche et la précision de la solution au point de convergence avec un paramètre de pénalité fixe grâce à la mise à jour itérative des multiplicateurs de Lagrange. Une seconde contribution est l'implémentation de contraintes de bornes et de régularisation par variation totale (TV) dans WRI. Suivant la méthode de Split Bregman, des variables auxiliaires permettent de découpler les termes impliquant des normes ℓ2 et ℓ1 et de traiter les seconds efficacement avec des opérateurs de proximité. Ensuite, j'ai combiné une régularisation de Tikhonov et de TV par convolution infimale pour prendre en compte les différentes propriétés statistiques du milieu (constantes par morceau et lisses). Ma thèse aborde ensuite des reconstructions multi-paramètres. Je montre dans un premier temps que la bilinéarité de l'équation d'onde est vérifiée pour les équations de l'elastodynamique. Ensuite, je traite le cas de milieux acoustique VTI où je reconstruis conjointement la vitesse verticale et epsilon pour un modèle synthétique représentatif d'un champ pétrolier en mer du Nord. Je m'intéresse ensuite à l'imagerie de l'atténuation qui est introduite en domaine harmonique sous forme d'une vitesse complexe. J'étends WRI à la reconstruction de paramètres complexes tout en développant une régularisation adaptable à la vitesse réelle et au facteur de qualité. Durant les premières itérations, les champs d'onde reconstruits sont précis uniquement au voisinage des récepteurs. Les imprécisions de la phase pourraient avoir un rôle préjudiciable sur la solution de l'inversion. Afin de réduire cette empreinte, j'estime les paramètres par "phase retrieval", un processus qui vise la reconstruction d'un signal complexe à partir de l'amplitude de sa mesure linéaire. Une fois un premier modèle obtenu, je réinjecte l'information de la phase pour converger vers la solution finale. Je montre la pertinence de cette stratégie lorsque le modèle initial est homogène. WRI a été initialement développée dans le domaine fréquentiel car la reconstruction des champs d'onde y est raisonnablement aisée avec des méthodes d'algèbre linéaire. En domaine temporel, une approche fondée sur un schéma explicite d'intégration temporelle a été proposée mais repose sur une linéarisation autour des sources supposées connues
Full Waveform Inversion (FWI) is a PDE-constrained optimization which reconstructs subsurface parameters from sparse measurements of seismic wavefields. FWI generally relies on local optimization techniques and a reduced-space approach where the wavefields are eliminated from the variables. In this setting, two bottlenecks of FWI are nonlinearity and ill-posedness. One source of nonlinearity is cycle skipping, which drives the inversion to spurious minima when the starting subsurface model is not kinematically accurate enough. Ill-posedness can result from incomplete subsurface illumination, noise and parameter cross-talks. This thesis aims to mitigate these pathologies with new optimization and regularization strategies. I first improve the wavefield reconstruction method (WRI). WRI extends the FWI search space by computing wavefields with a relaxation of the wave equation to match the data from inaccurate parameters. Then, the parameters are updated by minimizing wave equation errors with either alternating optimization or variable projection. In the former case, WRI breaks down FWI into to linear subproblems thanks to wave equation bilinearity. WRI was initially implemented with a penalty method, which requires a tedious adaptation of the penalty parameter in iterations. Here, I replace the penalty method by the alternating-direction method of multipliers (ADMM). I show with numerical examples how ADMM conciliates the search space extension and the accuracy of the solution at the convergence point with fixed penalty parameters thanks to the dual ascent update of the Lagrange multipliers. The second contribution is the implementation of bound constraints and non smooth Total Variation (TV) regularization in ADMM-based WRI. Following the Split Bregman method, suitable auxiliary variables allow for the de-coupling of the ℓ1 and ℓ2 subproblems, the former being solved efficiently with proximity operators. Then, I combine Tikhonov and TV regularizations by infimal convolution to account for the different statistical properties of the subsurface (smoothness and blockiness). At the next step, I show the ability of sparse promoting regularization in reconstruction the model when ultralong offset sparse fixed-spread acquisition such as those carried out with OBN are used. This thesis continues with the extension of the ADMM-based WRI to multiparameter reconstruction in vertical transversely isotropic (VTI) acoustic media. I first show that the bilinearity of the wave equation is satisfied for the elastodynamic equations. I discuss the joint reconstruction of the vertical wavespeed and epsilon in VTI media. Second, I develop ADMM-based WRI for attenuation imaging, where I update wavefield, squared-slowness, and attenuation in an alternating mode since viscoacoustic wave equation can be approximated, with a high degree of accuracy, as a multilinear equation. This alternating solving provides the necessary flexibility to taylor the regularization to each parameter class and invert large data sets. Then, I overcome some limitations of ADMM-based WRI when a crude initial model is used. In this case, the reconstructed wavefields are accurate only near the receivers. The inaccuracy of phase of the wavefields may be the leading factor which drives the inversion towards spurious minimizers. To mitigate the role of the phase during the early iterations, I update the parameters with phase retrieval, a process which reconstructs a signal from magnitude of linear mesurements. This approach combined with efficient regularizations leads to more accurate reconstruction of the shallow structure, which is decisive to drive ADMM-based WRI toward good solutions at higher frequencies. The last part of this PhD is devoted to time-domain WRI, where a challenge is to perform accurate wavefield reconstruction with acceptable computational cost

La tomographie par courants de Foucault peut être utilisée pour évaluer la forme et le volume de défauts dans des plaques métalliques de générateur de vapeur de centrale nucléaire. L'objectif du travail présenté est de cartographier la distribution d'une grandeur représentative du défaut, ici la conductivité relative. Ce problème est difficile à résoudre car mal-posé et non-linéaire. Afin de le résoudre un modèle numérique est nécessaire. Nos travaux ont tout d'abord consisté à étudier les modèles directs existants pour choisir le plus adapté à notre cas. Il s'est avéré que les méthodes différentielles, différences finies ou éléments finis, étaient les plus adaptées à notre cas. Une fois que le modèle direct a été choisi, nous avons adapté les méthodes de type contrast source inversion (CSI) à ce modèle, puis proposé un nouveau critère à minimiser. Les méthodes de type CSI sont basées sur la minimisation de l'erreur quadratique pondérée des équations du modèle, observation et couplage. Par construction, elles autorisent une erreur sur ces équations. Il apparaît que les résultats de reconstruction s'améliorent lorsque l'erreur sur l'équation de couplage diminue. Afin de contraindre cette équation en évitant des problèmes de conditionnement, on a eu recours à une technique de Lagrangien augmenté. Enfin, le caractère mal-posé de ce problème peut être contourné en introduisant des informations a priori adéquates notamment sur la forme générale des défauts à reconstruire ainsi que sur les valeurs possibles de la conductivité relative
Eddy current tomography can be employed to caracterize flaws in metal plates in steam generators of nuclear power plants. Our goal is to evaluate a map of the relative conductivity that represents the flaw. This nonlinear ill-posed problem is difficult to solve and a forward model is needed. First, we studied existing forward models to chose the one that is the most adapted to our case. Finite difference and finite element methods matched very good to our application. We adapted contrast source inversion (CSI) type methods to the chosen model and a new criterion was proposed. These methods are based on the minimization of the weighted errors of the model equations, coupling and observation. They allow an error on the equations. It appeared that reconstruction quality grows with the decay of the error on the coupling equation. We resorted to augmented Lagrangian techniques to constrain coupling equation and to avoid conditioning problems. In order to overcome the ill-posed character of the problem, prior information was introduced about the shape of the flaw and the values of the relative conductivity

La thèse s'inscrit dans le thème "Mécanismes des précipitations orographiques" de MAP (Mesoscale Alpine Programme). Elle étudie le déclenchement et l'intensification des précipitations sur un relief exposé à un flux humide quasi-stationnaire, et examine le problème de la prévision numérique des fortes précipitations à l'échelle de quelques kilomètres. Un flux de sud à sud-ouest quasi-stationnaire caractérise la plupart des épisodes de pluies diluviennes sur les Alpes à l'automne, où de l'air méditerranéen est advecté vers le relief. Le cas de la POI (Période d'Observation Intensive) 2B de MAP est simulé avec le modèle MesoNH. Une méthode d'analyse lagrangiennne originale permet d'identifier une masse d'air sec d'échelle méso-béta sur la Méditerranée, et d'étudier son évolution et son influence sur la répartition des précipitations sur les Alpes. Les fortes précipitations sur les versants sud des Alpes sont étudiées grâce à des simulations idéalisées, où l'écoulement incident de sud ou sud-ouest est rendu uniforme et stationnaire. Les distributions obtenues, proches des données climatologiques, indiquent que les zones les plus arrosées correspondent à un forçage orographique du flux incident plus prononcé. Enfin, ces simulations permettent, à haute résolution et avec une microphysique explicite, l'identification de mécanismes de déclenchement et de développement de la convection spécifiques à la région sud-alpine - dont certains ont pu être observés pendant MAP. Ils se révèlent très complexes malgré la simplification des conditions en amont.

La tomographie par courants de Foucault peut être utilisée pour évaluer la forme et le volume de défauts dans des plaques métalliques de générateur de vapeur de centrale nucléaire. L'objectif du travail présenté est de cartographier la distribution d'une grandeur représentative du défaut, ici la conductivité relative. Ce problème est difficile à résoudre car mal-posé et non-linéaire. Afin de le résoudre un modèle numérique est nécessaire. Nos travaux ont tout d'abord consisté à étudier les modèles directs existants pour choisir le plus adapté à notre cas. Il s'est avéré que les méthodes différentielles, différences finies ou éléments finis, étaient les plus adaptées à notre cas. Une fois que le modèle direct a été choisi, nous avons adapté les méthodes de type contrast source inversion (CSI) à ce modèle, puis proposé un nouveau critère à minimiser. Les méthodes de type CSI sont basées sur la minimisation de l'erreur quadratique pondérée des équations du modèle, observation et couplage. Par construction, elles autorisent une erreur sur ces équations. Il apparaît que les résultats de reconstruction s'améliorent lorsque l'erreur sur l'équation de couplage diminue. Afin de contraindre cette équation en évitant des problèmes de conditionnement, on a eu recours à une technique de Lagrangien augmenté. Enfin, le caractère mal-posé de ce problème peut être contourné en introduisant des informations a priori adéquates notamment sur la forme générale des défauts à reconstruire ainsi que sur les valeurs possibles de la conductivité relative. L'efficacité des méthodes développées est illustrée avec des cas simulés en 2D.

In this chapter I develop the essential maximum entropy procedure, which is an inversion procedure for inferring an unknown probability distribution function from incomplete information. The formulation here is the root of info-metrics and is grounded in the motivations provided in Chapter 2 and the metrics defined in Chapter 3. Once the basic maximum entropy problem is defined and the solution is derived via the method of Lagrange multipliers, I derive and discuss its dual formulation. I then define and discuss the concept of conjugate variables, which is related to the Lagrange multipliers. Throughout, the mathematical derivations are supported by graphical illustrations and supplemented with heuristic arguments and with numerous examples in ideal settings.

Abstract Mechanisms are inherently constrained devices. Combining flexibility with mechanisms usually requires using Lagrange multipliers to handle the constraints. The added algebraic or numerical tedium, associated with the Lagrange multipliers, is well documented. Presented in this paper is a technique for obtaining the minimal set of hybrid parameter differential equations for a constrained device. That is, the set of equations that inherently incorporate the constraints. The technique illustrated in this paper is a recently developed hybrid parameter multiple body (HPMB) system modeling methodology. The variational nature of the methodology allows rigorous equation formulation providing not only the complete nonlinear, hybrid differential equations, but also the boundary conditions. The methodology is formulated in the constraint-free subspace of the system’s configuration space, thus Lagrange multipliers are not needed for constrained systems, regardless of the constraint type (holonomic or nonholonomic). To evince the utility of the method, a flexible four bar mechanism is modeled. Particularly, the inversion of the slider crank found in the quick return mechanism. A comparison of Hamilton’s principle and the described technique, as they are applied to the mechanism, is included. It is shown that the same equations result from either method, but the new technique is much more concise, more efficiently handles the constraints, and requires less algebraic tedium.

Abstract The prevalent Mathematical Programming Neural Network (MPNN) models are surveyed, and MPNN models have been developed and applied to the unconstrained optimization of mechanisms. Algorithms which require Hessian inversion and those which build up a variable approach matrix, are investigated. Based upon a comprehensive investigation of the Augmented Lagrange Multiplier (ALM) method, new algorithms have been developed from the combination of ideas from MPNN and ALM methods and applied to the constrained optimization of mechanisms. A relationship between the weighted least square minimization of design equation error residuals and the mini-max norm of the structure error for function generating mechanisms is developed and employed in the optimization process; as a result, the computational difficulties arising from the direct usage of the complex structural error function have been avoided. The paper presents relevant theory as well as some numerical experience for four MPNN algorithms.

Abstract This paper introduces the swirling pendulum, a two-link, two degree-of-freedom mechanism which is under-actuated and has an unusual non-planar coupling with axis of rotation of the two links being perpendicular to each other. The swirling pendulum mechanism, while being simple to mathematically represent and easy to physically construct, exhibits several properties like loss of inertial coupling, loss of relative degree, multiple stable and unstable equilibrium points. These properties are unique as well as interesting from dynamics and controls point of view which make the swirling pendulum an excellent test-bed for testing various ideas in control and demonstrating several notions associated with systems and control theory. In this paper, we discuss the modeling of the swirling pendulum mechanism based on Lagrange’s equation along with an analysis related to equilibrium points and their stability. We also present simulation results for regulatory as well as tracking control tasks through simulations on a non-linear model using control methods like LQR, lead compensator and system inversion-based control to demonstrate the utility of the proposed mechanism in the area of systems, control and dynamics. Furthermore, we also discuss experimental results for controls applied on a real-time hardware setup.