Academic literature on the topic 'Laplacien fractionnaire'

Ces travaux concernent deux équations paraboliques, dégénérées et non-locales. La première équation est une équation de films minces fractionnaire et la deuxième est une équation des milieux poreux fractionnaire. La présentation des problèmes, les résultats existants dans la littérature, ainsi que le résumé de nos résultats font l'objet de l'introduction. Le deuxième chapitre est consacré à la présentation de la méthode de De Giorgi utilisée pour montrer la régularité Hölder des solutions des équations elliptiques. On présente de plus les résultats utilisant cette approche dans les cas paraboliques local et non-local. Dans le troisième chapitre, on montre l'existence de solutions faibles d'une équation des films minces fractionnaire. C'est une équation parabolique, dégénérée, non-locale d'ordre $alpha+2$ où $0 &lt; alpha &lt; 2$. C'est une généralisation d'une équation étudiée par Imbert et Mellet en 2011 pour $alpha = 1$. Pour construire les solutions, on passe par un problème régularisé. En utilisant les injections de Sobolev, on passe à la limite pour trouver des solutions faibles. Vu la différence des injections de Sobolev, on distingue deux cas $0 <br>In this thesis, we study two degenerate, non-local parabolic equations, a fractional thin film equation and a fractional porous medium equation. The introduction contains a presentation of problems, the previous results in the literature and a brief presentation of our results. In the second chapter, we present a short overview of the De Giorgi method used to prove Hölder regularity of solutions of elliptic equations. Moreover, we present the results using this approach in the local and non-local parabolic cases. In the third chapter we prove existence of weak solutions of a fractional thin film equation. It is a non-local degenerate parabolic equation of order $alpha + 2$ where $0 &lt; alpha &lt; 2$. It is a generalization of an equation studied by Imbert and Mellet in 2011 for $alpha = 1$. To construct these solutions, we consider a regularized problem then we pass to the limit using Sobolev embedding theorem, that's why we distinguish two cases $0 &lt; alpha &lt; 1$ and $1 leq alpha &lt; 2$. We also prove that the solution is positive if the initial condition is so. The fourth chapter is dedicated for a fractional porous medium equation. We prove Hölder regularity of positive weak solutions satisfying energy estimates. First, we prove the existence of weak solutions that satisfy energy estimates. We distiguish two cases $0 &lt; alpha &lt; 1$ and $1 leq alpha &lt; 2$ because of divergence problems. The we prove De Giorgi Lemmas about oscillation reduction from above and from below. This is not suffisant. We need to improve the lemma about oscillation reduction from above. So we pass by an intermediate values lemma and we prove an improved oscillation reduction lemma from above. Finally, we prove Hölder regularity of solutions using the scaling property

La thèse étudie les problèmes de Dirichlet linéaires et semilinéaires pour différents opérateurs du type Laplacien fractionnaire. Les données peuvent être des fonctions régularières [régulières] ou plus généralement des mesures de Radon. Le but est de classifier les solutions qui présentent une singularité au bord du domaine prescrit. Nous remarquons d'abord l'existence de toute une gamme de fonctions harmoniques explosant au bord et nous les caractérisons selon une nouvelle notion de trace au bord. A l'aide d'une nouvelle formule d'intégration par parties, nous élaborons ensuite une théorie faible de type Stampacchia pour étendre la théorie linéaire à un cadre qui comprend ces fonctions : nous étudions les questions classiques d'existence, d'unicité, de dépendance à l'égard des données, la régularité et le comportement asymptotique au bord. Puis, nous développons la théorie des problèmes sémilinéaires, en généralisant la méthode des sous- et sursolutions. Cela nous permet de construire l'analogue fractionnaire des grandes solutions dans la théorie des EDPs elliptiques nonlinéaires, en donnant des conditions suffisantes pour l'existence. La thèse se termine par la définition et l'étude d'une notion de courbures directionnelles nonlocales<br>The thesis studies linear and semilinear Dirichlet problems driven by different fractional Laplacians. The boundary data can be smooth functions or also Radon measures. The goal is to classify the solutions which have a singularity on the boundary of the prescribed domain. We first remark the existence of a large class of harmoni functions with a boundary blow-up and we characterize them in termsof a new notion of degenerate boundary trace. Via some integration by parts formula, we then provide a weak theory of Stampacchia's sort to extend the linear theory to a setting including these functions: we study the classical questions of existence, uniqueness, continuous dependence on the data, regularity and asymptotic behaviour at the boundary. Afterwards we develop the theory of semilinear problems, by adapting and generalizing some sub- and supersolution methods. This allows us to build the fractional counterpart of large solutions in the elliptic PDE theory of nonlinear equations, giving sufficient conditions for the existence. The thesis is concluded with the definition and the study of a notion of nonlocal directional curvatures

Cette thèse est consacrée à l'étude du comportement en temps long, et plus précisément de phénomènes de propagation rapide, des équations de réaction-diffusion de type Kisher-KPP avec diffusion fractionnaire. Ces équations modélisent, par exemple, la propagation d'espèces biologiques. Sous certaines hypothèses, la population envahit le milieu et nous voulons comprendre à quelle vitesse cette invasion a lieu. Pour répondre à cette question, nous avons mis en place une nouvelle méthode et nous l'appliquons à différents modèles. Dans une première partie, nous étudions deux problèmes d'évolution comprenant une diffusion fractionnaire : un modèle de type Fisher-KPP en milieu périodique et un système coopératif. Dans les deux cas, nous montrons, sous certaines conditions, que la vitesse de propagation est exponentielle en temps, et nous donnons une expression précise de l'exposant de propagation. Nous menons des simulations numériques pour étudier la dépendance de cette vitesse de propagation en la donnée initiale. Dans une seconde partie, nous traitons un environnement bidimensionnel, dans lequel le terme de reproduction est de type Fisher-KPP et le terme diffusif est donné par un laplacien standard, excepté sur une ligne du plan où une diffusion fractionnaire intervient. Le plan est nommé "le champ" et la ligne "la route", en référence aux situations biologiques que nous voulons modéliser. Nous prouvons que la vitesse de propagation est exponentielle en temps sur la route, alors qu'elle dépend linéairement du temps dans le champ. La forme des lignes de niveau dans le champ est étudiée au travers de simulations numériques<br>This thesis focuses on the long time behaviour, and more precisely on fast propagation, in Fisher-KPP reaction diffusion equations involving fractional diffusion. This type of equation arises, for example, in spreading of biological species. Under some specific assumptions, the population invades the medium and we want to understand at which speed this invasion takes place when fractional diffusion is at stake. To answer this question, we set up a new method and apply it on different models. In a first part, we study two different problems, both including fractional diffusion : Fisher-KPP models in periodic media and cooperative systems. In both cases, we prove, under additional assumptions, that the solution spreads exponentially fast in time and we find the precise exponent of propagation. We also carry out numerical simulations to investigate the dependence of the speed of propagation on the initial condition. In a second part, we deal with a two dimensional environment, where reproduction of Fisher-KPP type and usual diffusion occur, except on a line of the plane, on which fractional diffusion takes place. The plane is referred to as "the field" and the line to "the road", as a reference to the biological situations we have in mind. We prove that the speed of propagation is exponential in time on the road, whereas it depends linearly on time in the field. The expansion shape of the level sets in the field is investigated through numerical simulations

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés aux équations différentielles fractionnaires. Nous avons commencé par l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Ensuite, nous avons étudié trois systèmes fractionnaires non linéaires ; le premier avec un Laplacien fractionnaire et les autres avec une dérivée fractionnaire en temps définie au sens de Caputo. Dans le premier chapitre, nous avons établi les propriétés qualitatives de la solution d'une équation différentielle fractionnaire en temps qui modélise l'évolution d'une certaine espèce. Plus précisément, l'existence et l'unicité de la solution globale sont démontrées pour certaines valeurs de la condition initiale. Dans ce cas, nous avons obtenu le comportement asymptotique de la solution en t^α. Sous une autre condition sur la donnée initiale, la solution explose en temps fini. Le profil de la solution et l'estimation du temps d'explosion sont établis et une confirmation numérique de ces résultats est présentée. Les chapitres 4, 5 et 6 sont consacrés à l'étude théorique de trois systèmes fractionnaires : un système de la diffusion anormale qui décrit la propagation d'une épidémie infectieuse de type SIR dans une population confinée, le Brusselator avec une dérivée fractionnaire en temps et un système fractionnaire en temps avec une loi de balance. Pour chaque système, on présente l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions. L'existence et l'unicité de la solution locale pour les trois systèmes sont obtenues par le théorème de point fixe de Banach. Cependant, le comportement asymptotique est établi par des techniques différentes : le comportement asymptotique de la solution du premier système est démontré en se basant sur les estimations du semi-groupe et le théorème d'injection de Sobolev. Concernant le Brusselator fractionnaire, la technique utilisée s'appuie sur un argument de feedback. Finalement, un résultat de régularité maximale est utilisé pour l'étude du dernier système<br>In this thesis, we are interested in fractional differential equations. We begin by studying a time fractional differential equation. Then we study three fractional nonlinear systems ; the first system contains a fractional Laplacian, while the others contain a time fractional derivative in the sense of Caputo. In the second chapter, we establish the qualitative properties of the solution of a time fractional equation which describes the evolution of certain species. The existence and uniqueness of the global solution are proved for certain values of the initial condition. In this case, the asymptotic behavior of the solution is dominated by t^α. Under another condition, the solution blows-up in a finite time. The solution profile and the blow-up time estimate are established and a numerical confirmation of these results is presented. The chapters 4, 5 and 6 are dedicated to the study of three fractional systems : an anomalous diffusion system which describes the propagation of an infectious disease in a confined population with a SIR type, the time fractional Brusselator and a time fractional reaction-diffusion system with a balance law. The study includes the global existence and the asymptotic behavior. The existence and uniqueness of the local solution for the three systems are obtained by the Banach fixed point theorem. However, the asymptotic behavior is investigated by different techniques. For the first system our results are proved using semi-group estimates and the Sobolev embedding theorem. Concerned the time fractional Brusselator, the used technique is based on an argument of feedback. Finally, a maximal regularity result is used for the last system

Notre objectif dans cette thèse est l'étude des équations différentielles non linéaires comportant des dérivées fractionnaires en temps et/ou en espace. Nous nous sommes intéressés dans un premier temps à l'étude de deux systèmes non linéaires d'équations différentielles fractionnaires en temps et/ou en espace, puis à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire en temps. Plus exactement pour la première partie, les questions concernant l'existence globale et le comportement asymptotique des solutions d'un système non linéaire d'équations différentielles comportant des dérivées fractionnaires en temps et en espace sont élucidées. Les techniques utilisées reposent sur des estimations obtenues pour les solutions fondamentales et la comparaison de certaines inégalités fractionnaires. Toujours dans la première partie, l'étude d'un système non linéaire d'équations de réaction-diffusion avec des dérivées fractionnaires en espace est abordée. L'existence locale et l'unicité des solutions sont prouvées à l'aide du théorème du point fixe de Banach. Nous montrons que les solutions sont bornées et analysons leur comportement à l'infini. La deuxième partie est consacrée à l'étude d'une équation différentielle fractionnaire non linéaire. Sous certaines conditions sur la donnée initiale, nous montrons que la solution est globale alors que sous d'autres, elle explose en temps fini. Dans ce dernier cas, nous donnons son profil ainsi que des estimations bilatérales du temps d'explosion. Alors que pour la solution globale nous étudions son comportement asymptotique<br>Our objective in this thesis is the study of nonlinear differential equations involving fractional derivatives in time and/or in space. First, we are interested in the study of two nonlinear time and/or space fractional systems. Our second interest is devoted to the analysis of a time fractional differential equation. More exactly for the first part, the question concerning the global existence and the asymptotic behavior of a nonlinear system of differential equations involving time and space fractional derivatives is addressed. The used techniques rest on estimates obtained for the fundamental solutions and the comparison of some fractional inequalities. In addition, we study a nonlinear system of reaction-diffusion equations with space fractional derivatives. The local existence and the uniqueness of the solutions are proved using the Banach fixed point theorem. We show that the solutions are bounded and analyze their large time behavior. The second part is dedicated to the study of a nonlinear time fractional differential equation. Under some conditions on the initial data, we show that the solution is global while under others, it blows-up in a finite time. In this case, we give its profile as well as bilateral estimates of the blow-up time. While for the global solution we study its asymptotic behavior

Dans cette thèse, nous donnons des résultats d’existence, de non-existence, d’unicité et de multiplicité de solutions pour des équations aux dérivées partielles avec croissance critique dans le gradient. Les principales méthodes utilisées dans nos preuves sont des arguments variationnels, la théorie des sous et sur-solutions, des estimations à priori et la théorie de la bifurcation. La thèse se compose de six chapitres. Dans le chapitre 0 nous introduisons le sujet de thèse et nous présentons les résultats principaux. Le chapitre 1 porte sur l’´étude d’une équation du type p-Laplacien avec croissance critique dans le gradient et dépendant d’un paramètre. En fonction de l’intervalle où se trouve le paramètre, nous obtenons l’existence et l’unicité d’une solution ou nous montrons l’existence et la multiplicité de solutions. Dans les chapitres 2 et 3, nous poursuivons notre étude dans le cas où l’opérateur utilisé est le Laplacien mais, contrairement au chapitre 1, nous étudions le cas où les coefficients changent de signe. Nous obtenons à nouveau des résultats d’existence et de multiplicité de solutions. Dans le chapitre 4, nous étudions des problèmes nonlocaux du type Laplacien fractionnaire avec différents termes de gradient non-local. Nous montrons des résultats d’existence et de non-existence de solutions pour différentes équations de ce type. Finalement, dans le chapitre 5 nous présentons quelques problèmes ouverts liés au contenu de la thèse et des perspectives de recherche<br>In this thesis, we provide existence, non-existence, uniqueness and multiplicity results for partial differential equations with critical growth in the gradient. The principal techniques employed in our proofs are variational techniques, lower and upper solution theory, a priori estimates and bifurcation theory. The thesis consists of six chapters. In chapter 0, we introduce the topic of the thesis and we present the main results. Chapter 1 deals with a p-Laplacian type equation with critical growth in the gradient. This equation will depend on a real parameter. Depending on the interval where this parameter lives, we obtain the existence and uniqueness of one solution or we prove the existence and multiplicity of solutions. In chapters 2 and 3, we continue our study in the case where the operator is the Laplacian. However, unlike chapter 1, we study the case where the coefficient functions may change sign. We obtain again existence and multiplicity results. In chapter 4, we study non-local problems of fractional Laplacian type with different non-local gradient terms. We prove existence and non-existence results for different equations of this type. Finally, in chapter 5, we present some open problems related to the content of the thesis and some research perspectives

La thèse se compose de quatre articles. Dans l'article I, " Hardy spaces for the Laplacian with lower order perturbations ", on considère les espaces de Hardy des fonctions harmoniques pour le Laplacien avec une perturbation de type gardient ou de Schrödinger, sous des conditions de Kato. On y montre le théorème de représentation pour les espaces de Hardy sur les domaines bornés au bord lisse dans l'espace euclidien. L'article II, " On hardy spaces ", traite des caractérisations des espaces de Hardy et des espaces de Hardy conditionnels du Laplacien et du Laplacien fractionnaire à l'aide des identités de Hardy-Stein. Dans l'article III, " Boundary behavior of alpha-harmonic functions on the complement of the sphere and hyperplane ", on étudie les fonctions harmoniques pour le Laplacien fractionnaire sur l'espace euclidien privé d'une sphère ou d'un hyperplan. On obtient les théorèmes de représentation pour les espaces de Hardy ainsi que les théorèmes de Fatou. On établit également la formule explicite pour le noyau de Martin sur l'espace euclidien privé d'une sphère et pour la fonction de Green, le noyau de Martin et la mesure harmonique sur l'espace euclidien privé d'un hyperplan. L'article IV, " Martin représentation, Relative Fatou Theorem and Hardy spaces for fractional Laplacian with a gardient perturbation ", concerne la théorie du potentiel pour le Laplacien fractionnaire avec une perturbation de type gardient. On y montre l'existence de noyau de Martin pour les domaines bornés au bord lisse ainsi que la représentation de Martin pour les fonctions harmoniques. Le théorème de Fatou relatif et le théorème de représentation pour les espaces de Hardy y sont également établis.

On étudie dans cette thèse le comportement en temps long de solutions d’équations aux dérivées partielles. Celles-ci modélisent des systèmes à grand nombre de particules dont la dynamique est due à des forces externes, internes et à l’interaction entre ces particules. Cependant, on considère différentes échelles. On voyage ainsi du niveau quantique des atomes au niveau macroscopique des étoiles, et l’on voit que des différences apparaissent bien que certaines propriétés soient conservées. Dans ce voyage, on croise le chemin de diverses applications telles que l’astrophysique, les plasmas,les semi-conducteurs, la biologie et l’économie. Ce travail est divisé en trois parties.Dans la première, on étudie le comportement semi-classique de l’équation de Hartree en mécanique quantique et sa limite vers l’équation de Vlasov. On quantifie uniformément en la constante de Planck des propriétés telles que la propagation des moments et de normes de Lebesgue à poids et la dispersion. On les utilise ensuite pour établir des estimées de stabilité entre les deux équations au moyen d’un analogue semi-classique des distances de Wasserstein. Dans la deuxième partie, on regarde le comportement en temps long d’équations cinétiques dont l’opérateur de collision est linéaire et a un équilibre local avec peu de moments, tel que l’opérateur de Fokker-Planck, sa version fractionnaire et un opérateur de Boltzmann linéaire. Deux principales techniques sont utilisées, l’une consistant à construire des entropies et la seconde à utiliser la positivité.Enfin, la dernière partie s’intéresse à des modèles macroscopiques inspirés de l’équation de Keller-Segel et l’on regarde les paramètres sous lesquels ce type de système s’effondre sur lui-même, se disperse ou se stabilise. Le premier effet se voit en introduisant des poids appropriés, le deuxième avec des distances de Wasserstein et le troisième au moyen des normes de Lebesgue<br>In this thesis, we study the behavior of solutions of partial differential equations that arise from the modeling of systems with a large number of particles. The dynamic of all these systems is driven by interaction between the particles and external and internal forces. However, we will consider different scales and travel from the quantum level of atoms to the macroscopic level of stars. We will see that differences emerge from the associated dynamics even though the main properties are conserved. In this journey, we will cross the path of various applications of these equations such as astrophysics, plasma, semi-conductors, biology, economy. This work is divided in three parts.In the first one, we study the semi classical behavior of the quantum Hartree equation and its limit to the kinetic Vlasov equation. Properties such as the propagation of moments and weighted Lebesgue norms and dispersive estimates are quantified uniformly in the Planck constant and used to establish stability estimates in a semiclassical analogue of the Wasserstein distance between the solutions of these two equations.In the second part, we investigate the long time behavior of macroscopic and kinetic models where the collision operatoris linear and has a heavy-tailed local equilibrium, such as the Fokker-Planck operator, the fractional Laplacian with a driftor a Linear Boltzmann operator. This let appear two main techniques, the entropy method and the positivity method.In the third part, we are interested in macroscopic models inspired from the Keller-Segel equation, and we study therange of parameters under which the system collapses, disperses or stabilizes. The first effect is studied using appropriate weights, the second using Wasserstein distances and the third using Lebesgue norms

Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'étude de quatre équations d'évolution non-locales. Les solutions de ces quatre équations peuvent exploser en temps fini. Dans la théorie des équations d'évolution non-linéaires, une solution est qualifiée de globale si elle est définie pour tout temps positif. Au contraire, si une solution existe seulement sur un intervalle de temps [0; T) borné, elle est dite locale. Dans ce dernier cas et quand le temps maximal d'existence est relié à une alternative d'explosion, on dit aussi que la solution explose en temps fini. Dans un premier travail, nous considérons l'équation de Schrödinger non-linéaire avec une puissance fractionnaire du laplacien, et nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini Tmax &gt; 0 pour toute condition initiale positive et non-triviale dans le cas d'exposant sous-critique. Ensuite, nous étudions une équation des ondes amorties avec un potentiel d'espace-temps et un terme non-linéaire et non-local en temps. Nous obtenons un résultat d'existence locale d'une solution dans l'espace d'énergie sous des conditions restrictives sur les données initiales, la dimension de l'espace et la croissance du terme non-linéaire. De plus, nous obtenons l'explosion de la solution en temps fini pour toute condition initiale de moyenne strictement positive. De plus, nous étudions un problème de Cauchy pour l'équation d'évolution avec un p- Laplacien avec une non linéarité non-locale en temps. Dans ce cadre, nous nous intéressons à l'étude de l'existence locale d'une solution de cette équation ainsi qu'un résultat de non-existence de solution globale. Finalement, nous étudions l'intervalle maximal d'existence des solutions de l'équation des milieux poreux avec un terme non-linéaire non-local en temps<br>In this thesis, we study four non-local evolution equations. The solutions of these four equations can blow up in finite time. In the theory of nonlinear evolution equations, a solution is qualified as global if it isdefined for any time. Otherwise, if a solution exists only on a bounded interval [0; T), it is called local solution. In this case and when the maximum time of existence is related to a blow up alternative, we say that the solution blows up in finite time. First, we consider the nonlinear Schröodinger equation with a fractional power of the Laplacien operator, and we get a blow up result in finite time Tmax &gt; 0 for any non-trivial non-negative initial condition in the case of sub-critical exponent. Next, we study a damped wave equation with a space-time potential and a non-local in time non-linear term. We obtain a result of local existence of a solution in the energy space under some restrictions on the initial data, the dimension of the space and the growth of nonlinear term. Additionally, we get a blow up result of the solution in finite time for any initial condition positive on average. In addition, we study a Cauchy problem for the evolution p-Laplacien equation with nonlinear memory. We study the local existence of a solution of this equation as well as a result of non-existence of global solution. Finally, we study the maximum interval of existence of solutions of the porous medium equation with a nonlinear non-local in time term

Cette thèse est consacrée à l'étude de certaines classes d'équations aux dérivées partielles stochastiques de type fractionnaire dirigées par un bruit gaussien additif. Le caractère fractionnaire de ces équations est donné soit par l'opérateur différentiel qui intervient (le laplacien fractionnaire) ou bien par le bruit aléatoire. La perturbation aléatoire qui dirige ces équations peut avoir une corrélation en temps ou en espace. Dans un premier temps, on analyse l'équation de la chaleur stochastique avec un opérateur différentiel donné par le laplacien fractionnaire d'ordre alpha dans ]1, 2]. Le bruit aléatoire qui intervient dans cette équation est additif et il se comporte comme un processus de Wiener par rapport à la variable temporelle et comme un bruit blanc ou colorié par rapport à la variable spatiale. Nous obtenons des résultats concernant l'existence de la solution, la régularité de ses trajectoires ainsi que sa loi de probabilité. Nous remarquons un lien étroit entre la solution de l'équation fractionnaire de la chaleur et certains processus stochastiques fractionnaires (mouvement brownien fractionnaire ou bifractionnaire). En utilisant ce lien, nous étudions le comportement asymptotique des variations généralisées de la solution, en temps et en espace. Nous proposons également, dans la situation où l'équation initiale dépend d'un paramètre de dérive (ou de drift), des estimateurs pour ce paramètre. Les estimateurs s'expriment en fonction des variations généralisées de la solution et nous utilisons les comportements de celles-ci pour obtenir les propriétés asymptotiques (consistance, normalité asymptotique) de nos estimateurs.Dans un deuxième temps, on analyse l'équation stochastique des ondes sur un intervalle fini en espace. Ici le caractère fractionnaire est donné par le bruit gaussien qui se comporte comme un mouvement brownien fractionnaire avec un indice de Hurst H dans ]1/2,1[par rapport à la variable temporelle et comme un mouvement brownien standard en espace. Notre analyse est basé sur l'écriture sous la forme d'une série trigonométrique du noyau associé à l'équation des ondes. Des différentes propriétés de la solution sont ainsi obtenues, parmi lesquelles l'existence, la continuité holdérienne de ses trajectoires, la propriété dite de scaling et le comportement par rapport à l'indice de Hurst<br>This doctoral thesis is devoted to the study of the fractional stochastic heat equation driven by additive Gaussian noises.The world "fractional" concerns the appearance of the fractional Laplacian operator or it refers to the driven fractional noise. The Guassian random may have a non tivial correlation in time and/or in space.First, we analyze the stochastic differential heat equation with a fractional Laplacian operator with exponent alpha in (1, 2). The random noise is considered to be white in time and white or colored with respect to the space variable. We obtain several results concerning the existence of the solution, the regularity of its paths and its law. We noticed a link between the solution of fractional heat equation and some fractional stochastic processes (Fractional Brownian motion or bi-Fractional Brownian motion). Using this link, we study the asymptotic behavior of the generalized variations of the solution, in time and in space. We also propose, in the situation where the initial equation depends on a drift parameter, estimators for this parameter. The estimators are expressed as a function of the generalized variations of the mild solution. We use the behavior of these variations to prove some asymptotic properties (the consistency, asymptotic normality) of our estimators.In a second time, we analyze the wave stochastic equation on a finite interval in space. In this case, the character “fractional” is given by the Gaussian noise which behaves in time as a Fractional Brownian motion with Hurst parameter H in (½,1) with respect to the variable of time and as a standard Brownian motion in space. Our analysis is based on the expression of the Green kernel associated to the wave equation, which can be written as a trigonometric series. We establish various properties for the solution, including the scaling property, the pathwise regularity or the asymptotic behavior with respect to the Hurst parameter