Academic literature on the topic 'Matematiska bevis'

Tujuan penelitian ini adalah (1) mengetahui aspek-aspek matematika yang terkandung dalam moko sebagai mas kawin di Alor (2) mengetahui sejarah serta makna penggunaan moko sebagai mas kawin di Alor. Jenis penelitian yang digunakan adalah kualitatif dengan pendekatan etnografi. Subjek dalam penelitian ini adalah masyarakat Alor yang mana diwakili oleh 2 orang warga yang merupakan tua adat. Objek dalam penelitian ini adalah sejarah dan makna moko, aspek-aspek matematika yang terkandung dalam moko tersebut. Hasil penelitian menunjukan bahwa (1) sejarah penggunaan moko sebagai belis di masyarakat alor berasal dari budaya Dongson yang berpusat di Vietnam Utara. Penggunaan moko sebagai belis dalam kehidupan masyarakat Alor adalah sebagai tradisi nenek moyang yang telah melakukan sumpah dan komitmen sebagai mahar atau mas kawin. Makna Penggunaan moko sebagai Belis adalah sebagai sakralitas perkawinan, sosial, identitas masyarakat Alor, konservasi. (2) Aspek-aspek matematika yang terkandung dalam moko sebagai belis di masyarakat alor adalah menghitung, mengukur, mendesain, locating dan playing. Ditemukan konsep-konsep matematika sebagai pola dalam membuat moko. Konsep matematika yang terkandung dalam moko adalah tabung, lingkarang, belah ketupat. Hal ini menunjukan bahwa matematika tumbuh dan berkembang dalam keteraturan adat masyarakat tertentu yang disebut dengan istilah etnomatematika. Konsep matematika pada moko dapat digunakan dalam proses pembelajaran dan juga untuk memperkenalkan budaya, diharapkan juga cara penerapan proses pembelajaran berbasis budaya.

Forskere innen matematikkdidaktikk er tydelige på at økt vektlegging av arbeid med bevis allerede i grunnskolen støtter elevers meningsskaping i matematikk og danner grunnlag for utvikling av dyp forståelse for begreper og sammenhenger. Med bevis i grunnskolen menes matematisk gyldig argumentasjon som er uttrykt på en måte som passer og er kjent for en gitt elevgruppe. I den nye læreplanen i matematikk for grunnskolen inngår bevis som en del av et kjerneelement i faget, og i denne studien ser vi nærmere på hvordan kompetanser knyttet til arbeid med bevis fremkommer på trinn 1–10. Vi har analysert læreplanen ved å bruke et rammeverk som ser på bevisrelaterte kompetanser som bestående av seks kategorier. For å tydeliggjøre relasjonene mellom de ulike kategoriene har vi sett på bevis som et element av matematisk resonnering. Analysen vår viser at læreplanen legger opp til at elever skal arbeide med flere bevisrelaterte kompetanser – de skal utforske og argumentere i matematikk og arbeide med ulike representasjoner og sammenhenger. På den annen side nevnes ikke bevis eksplisitt i den trinnspesifikke delen av læreplanen, og det er lite fokus på utvikling av logisk tankegang og arbeid med definisjoner. Det kan være til hindring for utvikling av elevers kompetanse knyttet til arbeid med bevis i grunnskolen. Nøkkelord: matematisk resonnering, bevis, matematisk kompetanse, læreplan, grunnskole Proof-related competences in the mathematics curriculum LK20 for grades 1–10 AbstractResearchers in mathematics education have long stated that a greater emphasis on proof in primary school supports students’ meaning-making in mathematics and creates foundations for deep understanding of concepts and connections. We take proof in primary and lower secondary school to mean mathematical valid argumentation using forms of expressions that are appropriate and known to a given group of students. The new Norwegian curriculum for school mathematics includes proof as a part of one of its core elements, and in this study we explore how competences connected to work with proof are spelled out for grades 1–10. We have analyzed the curriculum using a framework which conceptualizes proof-related competences into six categories. In order to uncover relationships between the categories, we see proof as a part of mathematical reasoning. Our analysis shows that the curriculum addresses several of the proof-related categories – students shall work with investigations, representations, relationships and argumentation. However, the notion of proof is not mentioned as a part of the goals for each grade, and there is very little focus on development of logical thinking and work with definitions. This can hinder the development of students’ competence with proof and proof related work in primary and lower secondary school. Keywords: mathematical reasoning, proof, mathematical competence, curriculum, primary and lower secondary school

Practice of mathematical proof increase the understanding of mathematics anddevelop creativity skills, problem solving, communication, logical thinking andreasoning which are all important tools not only within the subject of mathematicsbut also important tools for the society in which we are living. The aim of this projectwas to investigate whether it is accurate that proof and proving has a subordinate rolein mathematic education in the upper secondary school in Sweden. This was done byconstructing of a digital survey that was sent to approximately 100 practicingmathematics teachers in a normal size city located in the middle of Sweden. Theresults of the survey show that the teachers consider themselves comfortable withtheir own skills in teaching proof. Paradoxically, the results also show that there is alack of teaching of proof and proving in the upper secondary school, although the newcurriculum puts more focus on proof and proving.
Matematiska bevis ger eleven en ökad förståelse för matematiken och utvecklarförmågor som kreativitet, problemlösning, kommunikation, logiskt tänkande ochresonemang, vilka alla är viktiga även utanför matematiken och för det samhälle vilever i. Syftet med detta arbete var att undersöka om det stämmer att bevis ochbevisföring har en underordnad roll i matematikundervisningen i den svenskagymnasieskolan vilket gjordes med hjälp av en enkät som skickades digitalt till cirka100 gymnasiematematiklärare i en medelstor stad i Mellansverige. Det visade sig attlärarna själva anser sig tillräckligt kunniga för att undervisa i bevis men det förefallerinte som att undervisningen är tillräcklig trots att dagens läroplaner sätter bevis istörre fokus än tidigare.

Uppsatsens syfte har varit att försöka få en bild av hur bevis och bevisföring fokuseras och har fokuserats i gymnasiematematiken. De frågeställningar arbetet inriktas på är vad elever har för attityd till matematiska bevis, syn på matematiska bevis samt kunskap om matematiska bevis. I uppsatsen har olika läroböcker som använts under de senaste decennierna studerats, och då genom att se hur härledningen av ett par centrala satser har genomförts. Vidare har kursplaner, läroplaner samt litteratur som berör didaktiska aspekter på matematiska bevis granskats. För att få svar på frågeställningarna ovan så har dels en enkätundersökning och dels ett test genomförts bland naturvetarelever på en gymnasieskola i Sydsverige.

Resultatet av studien visar att det är svårt att påstå att bevisfokuseringen i läroböcker och kursplaner skulle ha genomgått en drastisk förändring under de senaste decennierna mot en mindre bevisorienterad matematik, även om det finns exempel från läroboksanalysen som stöder ett sådant påstående. Resultatet från enkäten visar att elevernas uppfattningar om matematiska bevis på det hela taget är diffusa och att det finns många olika typer av föreställningar. Ett påtagligt resultat är att eleverna resonerar kring formlers giltighet när de beskriver det matematiska beviset. En elevgrupp i studien har en syn på det matematiska beviset som ligger nära ett naturvetenskapligt förhållningssätt. Anledningen till att det finns elevgrupper som associerar matematisk bevisföring till en naturvetenskaplig metod kan ha sin förklaring i att eleverna är färgade av andra förhållningssätt som finns i deras utbildning. Resultatet visar å andra sidan att det finns elever som uppfattar beviset som en del av ett större sammanhang där beviset bygger på tidigare grunder och genomförs exempelvis med hjälp av logiken. Undersökningen ger också uttryck för att en stor del av eleverna anser att det är viktigt att kunna bevisa matematiska satser, samtidigt som många av eleverna misslyckades med att bevisa enklare påståenden i det test som genomfördes. Detta kan möjligen hänga samman med att bara omkring en fjärdedel av de elever som ingick i studien instämde helt i påståendet att de haft möjlighet att öva på bevis i gymnasiet.

I detta examensarbete har intervjuer med gymnasieelever och gymnasielärare genomförts för att ta reda på hur lärarna arbetar med bevisbegreppet i matematiken, vad lärarna anser om matematiska bevis, hur elever förklarar begreppet bevis samt om elever kan känna igen matematiska bevis och skilja mellan generella matematiska bevis och enskilda exempel. Syftet har varit att undersöka hur elever förklarar bevisbegreppet och om eleverna har några felaktiga föreställningar om vad ett matematiskt bevis är. Resultatet av elevintervjuerna, tillsammans med lärarintervjuerna, bildar sedan en grund till ett förslag på några lektioner som syftar till att introducera viktiga matematiska begrepp hos eleverna. Intervjuerna visar att eleverna har svårt att förklara vad ett matematiskt bevis är. De har inte tillägnat sig de grundläggande begrepp som behövs för att kunna förklara bevisbegreppet. Några elever verkar också ha svårt att skilja mellan de olika betydelserna av begreppet bevis i matematiken och i naturvetenskaperna. Lärarintervjuerna visar att lärarna uppfattar bevis som något viktigt som skall ingå i matematikkurserna, men att det kan vara svårt att motivera eleverna och att det är stor skillnad i hur stort intresse eleverna visar för matematiska bevis. Några av lärarna har också tyckt att matematiska bevis och kravet på elevernas beviskunskaper har minskat alltför mycket i dagens matematikkurser.

Den här uppsatsens syfte har varit att mäta gymnasieelevers förmågor inom matematisk bevisföring. Förmågan att kunna följa och bedöma matematiska resonemang är enförmåga som ska utvecklas i gymnasiets samtliga matematikkurser. Att kunna föra och följa matematiska resonemang är inte bara en förmåga som ska utvecklas enligt styrdokument utan även en förutsättning för fortsatta studier inom matematik. Frågeställningarna i den här undersökningen var inriktade på två frågor. Den ena fråga när ”Vilken förmåga har elever att tolka matematiska symboler och resonemang när dehar läst matematik 5?”. Den andra frågan är ”Hur ser elever på matematiska bevis ochhur bedömer de ett bevis?”. Metoden som användes var en tematisk analys där empirin hämtades in genom enkäter som elever som läst färdigt matematik 5 fick besvara. 33 elever medverkade från en skola i Stockholmsområdet. I enkäten svarade över 80 % av eleverna att de var bekväma med att tolka matematiska symboler. Dock så har en del elever uttryckt att användningen av matematiska symboler och tecken ledde till att de ogillade resonemanget som fördes. Dessutom använde sig respondenterna av ett informellt matematiskt språk i sina svar som tydde på att vissa begrepp inte var befäst kunskap. Det här ledde till slutsatsen att eleverna som deltog i studien har en underutvecklad förmåga att tolka matematiska symboler och resonemang. Resultaten visar även att det finns en utbredd syn på bevisföring där exempel värderas högre än deduktiva bevis. Det här indikerar att det finns en kunskapslucka när det kommer till att bedöma matematiska bevis och resonemang.
The purpose of this thesis was to measure the abilities of upper secondary school students in the area of mathematical proofs. The ability to follow and judge mathematical reasoning is an ability that is supposed to be developed in all mathematics courses in upper secondary school. To be able to conduct and follow mathematical reasoning is not just an ability that is a part of the curriculum but it is a prerequisite for higher studies in mathematics. There were two questions that this report aims to answer. The first one i ”What abilities do students have when it comes to interpreting mathematical symbols and reasoning after they have taken the course matematik 5?”. The second question is ”What views do students have on mathematical proofs and how do they judge a proof?”. The method used was thematic analysis where the data was gathered through a survey for students who had finished the coursematematik 5. There were 33 responses from students at a school in the Stockholm area. Over 80% of the responding students stated that they felt comfortable with interpreting mathematical symbols. However som of the students expressed that the usage of mathematical symbols and notation led to that they disliked the argument that was being made. Respondents also used an informal mathematical language i their answers which indicates that some concepts were not consolidated knowledge. This led to the conclusion that the students who participated in this study have an underdeveloped ability to interpret mathematical symbols and reasoning. The results also showed that there is a widespread view on mathematical proving where examples are valued higher than deductive reasoning. This indicates that there is a knowledge gap when it comes to judging mathematical proofs and reasoning.

Arbetets syfte är att undersöka hur högstadieelever för matematiskt resonemang. De frågeställningar som studien inriktas på är vilka lösningsstrategier elever väljer då de resonerar matematiskt såväl som vad  det finns för skillnader och likheter mellan de yngre elevernas lösningar och de äldre elevernas lösningar. Undersökningen genomfördes i två klasser, den ena i årskurs 8 och den andra i årskurs 9, på en grundskola. Eleverna fick lösa uppgifter, vilka uppmanade dem att föra matematiskt resonemang, individuellt. Resultatet av studien visar att majoriteten av undersökta elever har valt att resonera deduktivt. Jämförelsen av elevers lösningar i två årskurser visar att årskurs 9 elevers resonemangsföring präglas av större förtrogenhet med den algebraiska demonstrationen. Resultatet visar även att elever med högre kunskaper om algebra oftare visar benägenheter till att vidaregeneralisera de givna påståendena.
The purpose of this study is to examine secondary school students’ strategies of reasoning. The study inquires into which strategies students choose when reasoning mathematically as well as differences and similarities between the younger students’ solutions and the older students’ solutions. The study was conducted in two classes, in years 8 and 9 respectively, at a secondary school. The students were asked to solve tasks, which encouraged them to reason mathematically, on individual basis. The study revealed that the majority of students had chosen to reason deductively. The comparison of students’ presented answers in two years showed that the ninth-graders’ solutions are characterized of greater skill when it comes to algebraic demonstrations. The results of the study also reveal that students with stronger algebraic abilities attempt more often to generalize the given mathematical statements further.

I den här uppsatsen undersöks en grupp gymnasieelevers förmågor när det gäller att lösa den typ av matematikuppgifter som kallas visa-att-uppgifter. Denna typ av uppgifter består i att verifiera matematiska påståenden. Uppgifter har valts från underområdena heltal, geometri och avancerade aktuella begrepp. Gymnasiets båda studieförberedande spår och två av inledande matematikkurserna är representerade.Undersökningen är kvasi-empirisk och bygger på elevers lösningar och dessa analyseras uti-från forskning på området. Främst används Balacheffs fyra utförandenivåer och de tre förmågorna begrepps-, resonemangs- och kommunikationsförmågan.Resultatet är en kvantitativ beskrivning av elevernas lösningar där nivåer och förmågor utgör variabler. En kvalitativ beskrivning utan specifik metod är också med.
In this thesis, a group of secondary school students’ competencies are investigated specific to a certain type of exercises called show-that-exercises. These exercises consist of demonstrating the correctness of mathematical propositions and have been chosen from the sub contents whole numbers, geometry and advanced concepts. Both secondary schools’ preparatory tracks and two of the first mathematic courses are represented.The survey is a quasi-empirical field experiment and rests on students’ solutions to exercises and these are analysed in accordance with research on the topic. Primarily Balacheffs’ four levels of proofs are used, and the three competencies key concepts, reasoning and communica-tion are in focus.The result is a quantitative description of the pupils’ solutions with the four levels and the three competencies as variables. A qualitative description without specific method is included.

Syftet med denna studie var att med en kvalitativ metod ta reda på matematiklärares och läroböckers syn på bevis och bevisföring i gymnasieskolan. Studien bygger på fem intervjuer och dokumentanalyser på utvalda böcker ur två vanligt förekommande läroboksserier som informanterna i undersökningen använder i sin undervisning. I undersökningen framkom det att bevis är något viktigt men att det läggs ner mycket mindre tid på bevis och bevisföring på ”svagare” elever än på ”starkare” elever. Det visade sig också att det finns mindre med bevis i de böcker som anses vara lättare än i de som anses vara svårare. Det viktigaste med att arbeta med bevis enligt informanterna i vår undersökning var att det ökar elevers förståelse för matematik.

I kursplanen för matematik i Gy11, har det lagts mer betoning på bevis i matematikundervisningen. Denna kvalitativa studie undersöker hur tre gymnasielärare ser på denna förändring. Teorin utgår från filosofiska perspektiv på matematikundervisning, med betoning på kritik av en absolutistisk syn på matematik. De tre lärarna uttalar sig till stor del positivt om den ökade mängden bevisföring i kursplanerna, men anser att mycket av undervisningen i bevisföring går eleverna förbi. Slutligen drar jag slutsatsen att lärarna inte går utanför sina egna uppfattningar om bevis och bevisföring i undervisningen, och reflekterar över dessa. I min framtida yrkesroll som lärare vill jag lära mer om hur elever tänker kring bevis och bevisföring.
The curriculum in mathematics for Gy11, emphasizes proof in the mathematics education. This qualitative study explores how three upper secondary school teachers views on this change. The theory origins from the philosophy of mathematics and from critic of the absolute view of mathematics. The three teachers have a positive view on more proof in the curriculum, but they also claim that the pupils have problems understanding them. My conclusion is that the teachers are unable to take a step outside their own views and reflect on proofs. In my future job as a teacher I will explore what students think about proof and proving.

Centrala gränsvärdessatsen (CGS) är en av grundpelarna inom statistik och sannolikhetsteori. CGS säger att ”summan av ett stort antal oberoende likafördelade slumpmässiga variabler är approximativt normalfördelad”. Det finns olika bevis för CGS. I denna uppsats kommer jag att bevisa centrala gränsvärdessatsen genom att utnyttja karaktäristiska funktioner, eftersom karaktäristiska funktioner har bra egenskaper vilket vi kommer att få se när vi definerar dem. I detta arbete har jag kopplat samman olika pusselbitar som behövs för att kunna bevisa CGS. Genom att göra det så blir det enklare för läsaren att förstå CGS mer grundläggande.
The Central Limit Theorem (CLT) is one of the pillars of statistics and probability theory. CLT states that ”the sum of a large number of independent equally distributed random variables is approximately normally distributed”. There are different proofs for CLT. In this essay I will prove the central limit theorem by utilizing characteristic functions, since characteristic functions have good features, which we will see when defining them. In this paper I have linked various pieces of the puzzle needed to prove CLT. By doing so it becomes easier for readers to gain a deeper understanding of CLT.

Centrala gränsvärdessatsen (CGS) är en av grundpelarna inom statistik och sannolikhetsteori. CGS säger att ”summan av ett stort antal oberoende likafördelade slumpmässiga variabler är approximativt normalfördelad”. Det finns olika bevis för CGS. I denna uppsats kommer jag att bevisa centrala gränsvärdessatsen genom att utnyttja karaktäristiska funktioner, eftersom karaktäristiska funktioner har bra egenskaper vilket vi kommer att få se när vi definierar dem. I detta arbete har jag kopplat samman olika pusselbitar som behövs för att kunna bevisa CGS. Genom att göra det så blir det enklare för läsaren att förstå CGS mer grundläggande.
The Central Limit Theorem (CLT) is one of the pillars of statistics and probability theory. CLT states that ”the sum of a large number of independent equally distributed random variables is approximately normally distributed”. There are different proofs for CLT. In this essay I will prove the central limit theorem by utilizing characteristic functions, since characteristic functions have good features, which we will see when defining them. In this paper I have linked various pieces of the puzzle needed to prove CLT. By doing so it becomes easier for readers to gain a deeper understanding of CLT.