Academic literature on the topic 'Méthode lyapunov'

Cette thèse porte essentiellement sur l'étude des solutions stationnaires, en dimension 1 d'espace, d'unmodèle de champs de phase cristallin introduit par Elder en 2002. Ainsi, nous prouvons, par la méthode deréduction de Lyapunov-Schmidt et la technique des multiparamètres, l'existence de courbes de solutionsbifurquantes stationnaires lorsque le noyau de l'opérateur linéarisé, au voisinage de la solution triviale estde dimension 2. Une parenthèse est ouverte pour la comparaison de l'énergie de la solution bifurquantepar rapport à celle la solution triviale. Aussi, grâce au principe de la stabilité réduite, nous fournissonsdes ensembles précis de valeurs des paramètres de bifurcation pour lesquelles les solutions obtenues sontstables ou instables. Ces résultats théoriques sont corroborés par plusieurs tests numériques.Par ailleurs, dans le cas classique du noyau unidimensionel, nous établissons des diagrammes de phasespermettant de comprendre les différentes orientations de courbes de solutions non triviales au voisinage dechaque point de bifurcation<br>This thesis is devoted to the study of stationary solutions of a Phase Field Crystal model, in one spacedimension, introduced by Elder in 2002. Thus, we prove by the Lyapunov-Schmidt method of reductionand the multiparameter technique, the existence of the curves of bifurcating stationary solutions whenthe kernel of the linearized operator near to trivial solution is of two dimension. A parenthesis is open forcomparing the energies of the bifurcating solution and the trivial solution. Also, thanks to the principle ofreduced stability, we provide specific sets of parameter values for wich the obtained solutions are stable orunstable. These theoretical results are confirmed by several numerical tests.Moreover, in the classical case of a one dimensional kernel, we establish the phase diagrams allowing tounderstand the different orientations of non-trivial solutions curves near to of each bifurcation point

Cette thèse porte sur des méthode de résolution d'équations matricielles appliquées à la résolution numérique d'équations aux dérivées partielles ou des problèmes de contrôle linéaire. On s'intéressen en premier lieu à des équations matricielles linéaires. Après avoir donné un aperçu des méthodes classiques employées pour les équations de Sylvester et de Lyapunov, on s'intéresse au cas d'équations linéaires générales de la forme M(X)=C, où M est un opérateur linéaire matriciel. On expose la méthode de GMRES globale qui s'avère particulièrement utile dans le cas où M(X) ne peut s'exprimer comme un polynôme du premier degré en X à coefficients matriciels, ce qui est le cas dans certains problèmes de résolution numérique d'équations aux dérivées partielles. Nous proposons une approche, noté LR-BA-ADI consistant à utiliser un préconditionnement de type ADI qui transforme l'équation de Sylvester en une équation de Stein que nous résolvons par une méthode de Krylox par blocs. Enfin, nous proposons une méthode de type Newton-Krylov par blocs avec préconditionnement ADI pour les équations de Riccati issues de problèmes de contrôle linéaire quadratique. Cette méthode est dérivée de la méthode LR-BA-ADI. Des résultats de convergence et de majoration de l'erreur sont donnés. Dans la seconde partie de ce travail, nous appliquons les méthodes exposées dans la première partie de ce travail à des problèmes d'équations aux dérivées partielles. Nous nous intéressons d'abord à la résolution numérique d'équations couplées de type Burgers évolutives en dimension 2. Ensuite, nous nous intéressons au cas où le domaine borné est choisi quelconque. Nous établissons des résultats théoriques de l'existence de tels interpolants faisant appel à des techniques d'algèbre linéaire.

Nous nous intéressons dans cette thèse, à l’étude des méthodes itératives pour la résolutiond’équations matricielles de grande taille : Lyapunov, Sylvester, Riccati et Riccatinon symétrique.L’objectif est de chercher des méthodes itératives plus efficaces et plus rapides pour résoudreles équations matricielles de grande taille. Nous proposons des méthodes itérativesde type projection sur des sous espaces de Krylov par blocs Km(A, V ) = Image{V,AV, . . . ,Am−1V }, ou des sous espaces de Krylov étendus par blocs Kem(A, V ) = Image{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V } . Ces méthodes sont généralement plus efficaces et rapides pour les problèmes de grande dimension. Nous avons traité d'abord la résolution numérique des équations matricielles linéaires : Lyapunov, Sylvester, Stein. Nous avons proposé une nouvelle méthode itérative basée sur la minimisation de résidu MR et la projection sur des sous espaces de Krylov étendus par blocs Kem(A, V ). L'algorithme d'Arnoldi étendu par blocs permet de donner un problème de minimisation projeté de petite taille. Le problème de minimisation de taille réduit est résolu par différentes méthodes directes ou itératives. Nous avons présenté ainsi la méthode de minimisation de résidu basée sur l'approche global à la place de l'approche bloc. Nous projetons sur des sous espaces de Krylov étendus Global Kem(A, V ) = sev{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V }. Nous nous sommes intéressés en deuxième lieu à des équations matricielles non linéaires, et tout particulièrement l'équation matricielle de Riccati dans le cas continu et dans le cas non symétrique appliquée dans les problèmes de transport. Nous avons utilisé la méthode de Newtown et l'algorithme MINRES pour résoudre le problème de minimisation projeté. Enfin, nous avons proposé deux nouvelles méthodes itératives pour résoudre les équations de Riccati non symétriques de grande taille : la première basée sur l'algorithme d'Arnoldi étendu par bloc et la condition d'orthogonalité de Galerkin, la deuxième est de type Newton-Krylov, basée sur la méthode de Newton et la résolution d'une équation de Sylvester de grande taille par une méthode de type Krylov par blocs. Pour toutes ces méthodes, les approximations sont données sous la forme factorisée, ce qui nous permet d'économiser la place mémoire en programmation. Nous avons donné des exemples numériques qui montrent bien l'efficacité des méthodes proposées dans le cas de grandes tailles<br>In this thesis, we focus in the studying of some iterative methods for solving large matrix equations such as Lyapunov, Sylvester, Riccati and nonsymmetric algebraic Riccati equation. We look for the most efficient and faster iterative methods for solving large matrix equations. We propose iterative methods such as projection on block Krylov subspaces Km(A, V ) = Range{V,AV, . . . ,Am−1V }, or block extended Krylov subspaces Kem(A, V ) = Range{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V }. These methods are generally most efficient and faster for large problems. We first treat the numerical solution of the following linear matrix equations : Lyapunov, Sylvester and Stein matrix equations. We have proposed a new iterative method based on Minimal Residual MR and projection on block extended Krylov subspaces Kem(A, V ). The extended block Arnoldi algorithm gives a projected minimization problem of small size. The reduced size of the minimization problem is solved by direct or iterative methods. We also introduced the Minimal Residual method based on the global approach instead of the block approach. We projected on the global extended Krylov subspace Kem(A, V ) = Span{V,A−1V,AV,A−2V,A2V, · · · ,Am−1V,A−m+1V }. Secondly, we focus on nonlinear matrix equations, especially the matrix Riccati equation in the continuous case and the nonsymmetric case applied in transportation problems. We used the Newton method and MINRES algorithm to solve the projected minimization problem. Finally, we proposed two new iterative methods for solving large nonsymmetric Riccati equation : the first based on the algorithm of extended block Arnoldi and Galerkin condition, the second type is Newton-Krylov, based on Newton’s method and the resolution of the large matrix Sylvester equation by using block Krylov method. For all these methods, approximations are given in low rank form, wich allow us to save memory space. We have given numerical examples that show the effectiveness of the methods proposed in the case of large sizes

Des méthodes d'analyse en dynamique stochastique sont étudiées pour une maquette avec contact oblique. Elles ont pour objet de déterminer les caractéristiques statistiques de la réponse de la structure non linéaire soumise à des sollicitations aléatoires. La maquette représente une ailette avec ses ailerons qui sont en contact avec les ailerons voisins. Cette maquette est modélisée par la théorie des poutres d'Euler-Bernoulli pour l'ailette et par le modèle curvilinéaire de Bouc-Wen pour la non-linéarité de contact. Les résultats de ce modèle de comportement sont comparés avec succès à ceux d'une maquette de laboratoire qui concrétise la poutre avec les contacts obliques, sollicitées par des processus aléatoires. Les caractéristiques du processus de réponse du modèle de comportement soumis à des sollicitations aléatoires sont déterminées par la méthode de Monte-Carlo basée sur la simulation numérique des processus à partir des densités spectrales et par la méthode de linéarisation stochastique gaussienne basée sur l'équation de Lyapunov. Les résultats de ces deux méthodes concordent et ont mis en évidence trois domaines de comportement: pour les faibles excitations, il y a adhérence, pour les excitations moyennes, il y a glissement avec effort tangentiel limité constant et pour les excitations élevées, il y a glissement avec effort tangentiel limité croissant

La classe des systèmes non-linéaires dont la dynamique est définie par un champ de vecteurs polynomial est étudié. Des modèles polynomiaux peuvent représenter différents systèmes réels ou bien definir des approximations plus riches que des modèles linéaires pour des systèmes non-linéaires différentiables. Des techniques de programmation semi-définie développées récemment ont rendu possible l'étude de cette classe de systèmes avec des outils numériques. Le problème d'analyse en stabilité locale est résolu via des conditions basées sur la positivité de polynomes. Dans le cadre de la synthèse de lois de commande nous proposons un changement de variables linéaire pour traiter la synthèse de lois de commande non-linéaire qui garantissent la stabilité locale. Les ensembles définissant des estimations de la région d'attraction, définis par des courbes de niveau de la fonction de Lyapunov pour le système, sont également donnés par des fonctions polynomiales.

Ce travail porte sur l'étude des systèmes différentiels et algébriques du type Riccati issus de la théorie des jeux différentiels linéaires quadratiques. Ces systèmes dérivent de l'équilibre de Nash et de la commande optimale sous une contrainte différentielle stochastique. Ils sont le principal obstacle à franchir afin d'obtenir les stratégies optimales des joueurs. Dans le cas des systèmes différentiels, nous avons construit une méthode analytique pour le recherche d'une paire de solutions. Cette méthode s'appuie sur des changements de base de la matrice décrivant l'équilibre de Nash. Dans le cas des systèmes algébriques, nous avons proposé des itérations du type Lyapunov et des itérations du type Riccati. Des propriétés des solutions itératives ainsi que des conditions suffisantes de convergence de ces itérations sont également établies. Les résultats numériques obtenus avec ces deux types d'itérations sont présentées et comparés. Ces résultats démontrent une plus grande performance des itérations du type Riccati relativement aux itérations du type Lyapunov.

L'objectif de cette thèse est de modéliser la transmission du paludisme dans la région montagneuse de l'ouest du Kenya, en se servant des outils de systèmes dynamiques. Nous considérons deux modèles mathématiques. Le premier prend en compte une susceptibilité et une infectivité différentielle dans les métapopulations, et le second un taux de saturation des repas sanguins dans la population des moustiques. Dans le premier modèle, nous considérons plusieurs écosystèmes identifiés comme zones sensibles dans la région montagneuse de l'ouest du Kenya. Dans ce modèle, ces zones sensibles sont considérées comme nos différents patchs. Les populations de chaque patch sont divisées en deux : les enfants et les adultes. Le modèle nous permet d'évaluer le rôle de l'hétérogénéité de l'écosystème et la persistance de l'épidémie dans la région, due à la structuration d'âge. Nous prenons en compte la susceptibilité et l'infectivité différentielle afin d'étendre le modèle d'un patch en un modèle à plusieurs patchs. Après avoir subdivisé la région en n zones sensibles, nous faisons une analyse mathématique du modèle obtenu. Pour effectuer cette analyse, nous utilisons la théorie des systèmes triangulaires, des systèmes dynamiques monotones, des systèmes dynamiques non linéaires anti-monotones et le principe d'invariance de LaSalle. Un des éléments très utilisés dans notre analyse qui est un concept clé en épidémiologie, est le taux de reproduction de base, très souvent noté Ro. Cette quantité, sans dimension, est le nombre moyen de cas secondaires, engendré par un individu infectieux typique durant sa période d'infectiosité, quand il est introduit dans une population constituée entièrement de susceptibles. L'existence et la stabilité du point d'équilibre sans maladie (DFE) sont établies et nous prouvons que le DFE est globalement asymptotiquement stable lorsque Ro&lt;1. Lorsque Ro&gt;1, le modèle admet un point d'équilibre endémique qui est globalement asymptotiquement stable. L'analyse de notre modèle montre que la structuration d'âge réduit l'ampleur de l'infection. En utilisant les données relevées, nous faisons quelques simulations numériques afin de montrer l'impact de la métapopulation et de la structuration d'âge sur le taux de reproduction de base. Dans la seconde partie, nous formulons un modèle de paludisme avec saturation du taux d'alimentation des moustiques qui nous conduit à une incidence non linéaire. Nous démontrons que DFE est globalement asymptotiquement stable si Ro&lt;1. Lorsque Ro&gt;1, il existe un unique point d'équilibre endémique qui est globalement asymptotiquement stable. Des simulations numériques sont faites afin d'illustrer l'impact de la saturation d'alimentation sur le taux de reproduction de base<br>The objective of this thesis is to model highland malaria in western Kenya using dynamical systems. Two mathematical models are formulated ; one, on differentiated susceptibility and differentiated infectivity in a metapopulation setting with age structure, the other, a saturated vector feeding rate model with disease induced deaths and varying host and vector populations. In the first model, we consider the different ecosystems identified as malaria hotspots in the western Kenya highlands and consider the ecosystems as different patches. The population in each patch is classified as, either child or, adult. The model will aid in examining the role of ecosystem heterogeneity and age structure to the persistent malaria epidemics in the highlands. We formulate the differentiated susceptibility and infectivity model that extend to multiple patches the well known epidemiological models in one patch. Classifying the hot spots as n patches, we give its mathematical analysis using the theory of triangular system, monotone non-linear dynamical systems, and Lyapunov-Lasalle invariance principle techniques. Key to our analysis is the definition of a reproductive number, Ro, the number of new infections caused by one individual in an otherwise fully susceptible population throughout the duration of the infectious period. The existence and stability of disease-free and endemic equilibrium is established. We prove that the disease free state of the systems is globally asymptotically stable when the basic reproduction number Ro&lt;1, and when Ro&gt;1 an endemic equilibrium is established which is locally and globally asymptotically stable. The model shows that the age structuring reduces the magnitude of infection. Using relevant data we did some simulation, to demonstrate the role played by metapopulation and age structuring on the incidence and Ro. In the second part we formulate a model for malaria with saturation on the vector feeding rates that lead to a nonlinear function in the infection term. The vector feeding rate is assumed, as in the predator prey models, to rise linearly as a function of the host-vector ratio until it reaches a threshold Qv, after which the vector feeds freely at its desired rate. The two populations are variable and drive malaria transmission, such that when the vectors are fewer than hosts, the rate of feeding is determined by the vectors feeding desire, whereas, when the hosts are more than the vectors, the feeding rate is limited by host availability and other feeding sources may have to be sought by the vector. Malaria induced deaths are introduced in the host population, while the vector is assumed to survive with the parasite till its death. We prove that the Disease Free Equilibrium is locally and globally asymptotically stable if Ro&lt;1 and when Ro&gt;1, an endemic equilibrium emerges, which is unique, locally and globally asymptotically stable. The role of the saturated mosquito feeding rate is explored with simulation showing the crucial role it plays especially on the basic reproduction number

En matière de production énergétique, les tendances actuelles indiquent que la part de marché mondiale des énergies renouvelables continuera d’augmenter du fait de l’amélioration continue de l’efficacité des équipements et de la réduction de leurs coûts. Les convertisseurs de puissance jouent un rôle fondamental dans le fonctionnement des réseaux électriques car ils permettent les transferts d'énergie entre les sources, les éléments de stockage et les charges. Ces dispositifs doivent répondre à des exigences particulières d'efficacité, de robustesse et de stabilité pour garantir un fonctionnement correct. Le travail présenté dans ce mémoire est centré sur deux problèmes particuliers liés au comportement des convertisseurs de puissance : la commande et l’observation. Ces problèmes sont difficiles à résoudre en raison des non-linéarités et des phénomènes physiques complexes présents dans ces composants. Le modèle mathématique utilisé pour représenter les convertisseurs de puissance est le modèle dit à commutation. Sur la base de ce modèle, nous exploitons des outils abordés dans des problématiques telles que la stabilité de Lyapunov, la méthode des moments, la géométrie algébrique et le filtrage direct. Nous proposons des approches novatrices pour commander et observer ces systèmes commutés. Nous introduisons notamment la notion de moments de relaxation pour les systèmes commutés. Ces représentations permettent d’obtenir des modèles permettant d'établir une cartographie de l’entrée de commutations dans l'espace des moments. Cette carte supprime la non-linéarité associée à l'entrée de commutation et fournit un modèle plus approprié pour effectuer les calculs numériques de la commande. C'est l'idée fondamentale de la méthode de commande à variation de paramètres proposée. Après avoir calculé un signal de commande pour le modèle relaxé, le signal d'entrée pour le système commuté peut alors être déduit. Cette approche a montré de bonnes performances en termes de suivi de référence et de stabilité. Une approche reposant sur les données pour l'observation des systèmes commutés est proposée. Cette méthode implique la synthèse d'un filtre direct qui calcule les limites du cas le plus défavorable sur l'erreur d'estimation. Cette méthode est appliquée au cas des convertisseurs de puissance fonctionnant en mode continu et discontinu. Une mise en oeuvre pratique est effectuée et ses performances sont comparées à d’autres méthodes d’estimation<br>Current trends in global energy production indicate that renewables will continue to increase their market share due to continuous efficiency improvements and cost reductions. Power converters constitute the interfaces that enable energy transfers in microgrids between sources, storage and loads, playing a fundamental role in their operation. These devices are required to meet particular efficiency, robustness and stability requirements to guarantee a proper operation. The present work is focused on two particular problems present in the operation of power converters: control and observation. These problems are hard to solve because of the nonlinearities and complex behaviors present in power converters. The mathematical model used to represent power converters is the switched system. Based on this model we take elements from subjects like Lyapunov stability, the method of moments, algebraic geometry and direct filtering, and propose novel approaches to control and observation of switched systems. We introduce moment relaxations of switched systems. These representations allow to obtain models where the switching input is mapped to a moment space. This map removes the nonlinearity associated to the switching input and yields a model which is more suitable for performing numerical computations. This is the fundamental idea in the proposed parameter-varying control method. After computing a control signal for the relaxed model, the control signal for the switched system can be recovered. This approach has shown good performance with respect to reference tracking and stability. A data-driven approach for the observation of switched systems is proposed. This method involves the design of a direct filter that computes worst-case bounds on the estimation error. This method is applied to the case of power converters operating in continuous and discontinuous modes. A practical implementation is described, and its performance is compared with other estimation approaches

Le principe du système adaptatif réalisé consiste à prendre en compte les informations au fur et à mesure de leurs acquisitions et à les utiliser pour calculer directement les paramètres de commande sans passer par une identification du modèle mathématique proposé. On développe également une nouvelle méthode d'auto-réglage