Academic literature on the topic 'Méthodes Hamiltoniennes'

On étudie essentiellement la coexistence du chaos temporel et des structures cohérentes persistantes dans un milieu non linéaire unidimensionnel. Une extension de la méthode de Melnikov à des cas de perturbations non périodiques permet d'étudier les bifurcations des solutions dans des systèmes modélisant le comportement dynamique des jonctions Josephson. On montre aussi que cette méthode cesse d'être valide pour des systèmes perturbés périodiquement à hautes harmoniques de la fréquence caractéristique du système non perturbé. Enfin, on montre que l'équation de Sine-Gordon perturbée par des champs périodiques présente des régimes de chaos temporel en présence de structures spatiales cohérentes persistantes. Voici un schéma de la procédure suivie : par une méthode des coordonnées collectives, on réduit le nombre infini de degrés de liberté de l'équation aux dérivées partielles a un degré de liberté (la largeur de l'onde). On utilise la méthode de Melnikov et les applications de Poincaré pour étudier analytiquement le comportement dynamique du système réduit. Les prédictions théoriques et les résultats obtenus par simulations numériques de l'équation originale, sont en parfait accord à la fois qualitativement et quantitativement

Le but premier est la comparaison de deux méthodes de lie utilisées en théorie des perturbations en mécanique hamiltonienne: la méthode de deprit et la méthode de dragt-finn. Elles reposent sur l'utilisation de transformations canoniques (symplectiques) formelles. On étudie les liens entre ces deux approches pour conclure qu'elles conduisent, dans les cas non-résonnants, a la construction des mêmes objets (forme normale et intégrales premières formelles). On propose, par la suite, des méthodes de construction de tels objets et on observe que la méthode de dragt-finn est moins couteuse. La connaissance des premiers termes de ces séries de lie peut fournir des informations sur la stabilité de systèmes hamiltoniens, au voisinage de points d'équilibre elliptiques. On propose, a l'instar de ce qui a été fait avec la transformation de lie, des estimations pour celle de dragt-finn. Pour étudier les relations entre les différentes transformations canoniques, on se place dans une algèbre de lie libre pour étudier des identités exponentielles. On donne des méthodes générales pour l'obtention de telles formules (dont la formule de Baker-Campbell-Hausdorff), en utilisant des propriétés de la base de Lyndon. Ces identités explicites et leur méthode de calcul permettent alors d'obtenir des intégrateurs symplectiques. On retrouve les intégrateurs connus et on en donne une liste exhaustive pour les petits ordres, montrant que les différentes méthodes de recherches sont complètement équivalentes. On décrit l'implantation de ces algorithmes dans le système de calcul formel axiom et des exemples de calcul sont donnes en appendice

À l'aide de méthodes probabilistes, nous donnons des propriétés qualitatives de solutions d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger ou ondes. Nous tirons profit de l'aléa grâce à des propriétés de régularisation de séries aléatoires ou en éliminant un certain nombre de mauvaises valeurs d'un paramètre de l'équation. Ainsi, nous obtenons, sur un gros ensemble de paramètres, des résultats concernant la dynamique de l'équation. Notons que physiquement cette approche a un sens puisque les paramètres et les conditions initiales de l'équation ne peuvent être déterminés de façon absolue. De plus, dans chacune de nos méthodes employées, nous obtenons des résultats de stabilité de la dynamique par rapport aux conditions initiales. Enfin, nous montrons que l'approche précédente est pertinente en construisant, pour des choix particuliers de paramètres, des trajectoires exceptionnelles en utilisant des phénomènes de résonance.

Dans cette thèse, on analyse par des méthodes de variétés invariantes deux problèmes distincts: le phénomène des roll-waves en hydraulique et l'existence de breathers discrets dans des réseaux non linéaires discrets. Les roll-waves sont des ondes progressives périodiques et discontinues solutions entropiques des équations de Saint Venant. Grace aux théorèmes de Fenichel, on montre l'existence de roll-waves continues "visqueuses" proches des roll-waves discontinues lorsqu'on ajouté aux équations un petit terme de viscosité. On étudie ensuite la stabilité linéaire de ces roll-waves discontinues. Enfin, on montre l'existence de roll-waves de petite amplitude dans des canaux à fond périodiques.\\ Les breathers discrets sont des oscillations périodiques, localisées en espace dans des réseaux non linéaires discrets. On analyse d'abord le modèle Fermi-Pasta-Ulam (FPU) diatomique. En formulant le problème sous la forme d'un mapping en dimension infinie, on montre, via une réduction à une variété centrale, l'existence de breathers discrets de petite amplitude pour des rapports de masses arbitraires. On utilise aussi cette approche pour montrer l'existence de breathers discrets dans des chaines de spins ferromagnétiques.

Dans cette thèse, on analyse par des méthodes de variétés invariantes deux problèmes distincts: le phénomène des roll-waves en hydraulique et l'existence de breathers discrets dans des réseaux non linéaires discrets. Les roll-waves sont des ondes progressives périodiques et discontinues solutions entropiques des équations de Saint Venant. Grace aux théorèmes de Fenichel, on montre l'existence de roll-waves continues "visqueuses" proches des roll-waves discontinues lorsqu'on ajouté aux équations un petit terme de viscosité. On étudie ensuite la stabilité linéaire de ces roll-waves discontinues. Enfin, on montre l'existence de roll-waves de petite amplitude dans des canaux à fond périodiques. Les breathers discrets sont des oscillations périodiques, localisées en espace dans des réseaux non linéaires discrets. On analyse d'abord le modèle Fermi-Pasta-Ulam (FPU) diatomique. En formulant le problème sous la forme d'un mapping en dimension infinie, on montre, via une réduction à une variété centrale, l'existence de breathers discrets de petite amplitude pour des rapports de masses arbitraires. On utilise aussi cette approche pour montrer l'existence de breathers discrets dans des chaines de spins ferromagnétiques
We analyze in this thesis two different problems with invariant manifold methods: the roll-waves phenomenon in hydraulic and the existence of discrete breathers in nonlinear discrete lattices. Roll-waves are periodic and discontinuous travelling waves, entropic solutions of the Saint Venant equations. With the help of Fenichel theorems, we prove the existence of continuous "viscous" roll-waves close to the discontinuous roll-waves when we add a small viscous term in the equations. Then, we study the linear stability of these discontinuous roll-waves. Finally, we prove the existence of small amplitude roll-waves in a channel with a periodic bottom. Discrete breathers are periodic and spatially localized excitations in nonlinear discrete lattices. We first analyze the diatomic Fermi-Pasta-Ulam (FPU) chain. The problem is formulated as a mapping in a loop space. Using a centre manifold reduction, we prove the existence of small amplitude breathers in a diatomic chain with an arbitrary mass ratio. We also use this technique to prove the existence of discrete breathers in ferromagnetic spin chains

Une formulation hamiltonienne à ports des écoulements unidimensionnels à surface libre modélisés par les équations de Saint-Venant a été proposée. Des propriétés intéressantes telles que la passivité et la conservation d'énergie découlent naturellement de cette formulation. En utilisant des méthodes de réduction type éléments finis mixtes un modèle hamiltonien à port réduit à été obtenu. Cette réduction dites géométrique à permis de conserver les propriétés dynamiques qualitatives du modèle d'origine. On a montré aussi que le modèle réduit possède des propriétés spectrales et entrées-sorties proches du modèle d’origine. Des lois de commande, permettant de réguler le débit et la hauteur d’eau, ont été synthétisées sur le modèle réduit en utilisant la méthode IDA-PBC et de modelage d’énergie. L’approche de modelage d’énergie à été généralisée sur le modèle en dimension infinie. Des résultats de simulation ainsi que des résultats expérimentaux obtenus sur un micro-canal expérimental ont permis de valider les lois de commande
A port hamiltonian formulation for shallow water equations is given. It exhibits trivially some interesting properties like passivity and energy conservation. Using a geometric reduction scheme based on mixed finite elements methods, a reduced port hamiltonian model was derived. This reduction preserves the dynamical qualitative properties of the original model. We show that the reduced port Hamiltonian model exhibits interesting spectral and input-output properties which converge two those of infinite dimensional model. A control algorithm which allows regulating the flow and water level are designed using the IDA-PBC and energy shaping method. The energy shaping method was generalized to the infinite dimensional model. Simulation results and an experimental validation of the control algorithm on a micro-canal platform are presented showing the effectiveness of the control law

Cette thèse est constituée de deux parties indépendantes. Dans le premier chapitre, nous introduisons une méthode numérique permettant d'intégrer des équations aux dérivées partielles représentant la dynamique Hamiltonienne de théories des champs. Cette méthode est un intégrateur multi-symplectique qui préserve localement le tenseur énergie-impulsion sur de très longues périodes de temps et avec précision. Son principal avantage est d'être extrêmement simple tout en restant bien définie localement. Nous la mettons à l'épreuve sur le cas particulier du modèle phi^4 en 1+1 dimensions; nous expliquons également comment l'implémenter en dimensions supérieures. De plus, nous faisons une présentation géométrique de la structure multi-symplectique et nous introduisons une construction permettant de résoudre le problème de dégénérescence pouvant l'affecter.Le second chapitre traite d'aspects hors équilibre dans les systèmes statistiques: nous nous intéressons en particulier à la question de l'impact d'un taux de refroidissement fini lors d'une trempe à travers une transition de phase du second ordre. Pour décrire plus fidèlement le régime hors équilibre qui se produit avant la transition de phase, nous étendons le mécanisme dit de Kibble-Zurek. Nous décrivons comment la taille caractéristique des objets géométriques présents dans le système dépend du temps et du taux de refroidissement; ceci, avant et une fois le point critique atteint. Ces prédictions théoriques sont mises à l'épreuve sur l'exemple du modèle d'Ising ferromagnétique. Nous décrivons également les propriétés géométriques des domaines qui apparaissent dans le système au cours de la dynamique de refroidissement
This thesis is made up of two independent parts. In the first chapter, we introduce a novel numerical method to integrate partial differential equations representing the Hamiltonian dynamics of field theories. It is a multi-symplectic integrator that locally conserves the stress-energy tensor with an excellent precision over very long periods. Its major advantage is that it is extremely simple (it is basically a centered box scheme) while remaining locally well defined. We put it to the test in the case of the non-linear wave equation (with quartic potential) in one spatial dimension, and we explain how to implement it in higher dimensions. A formal geometric presentation of the multi-symplectic structure is also given as well as a technical trick allowing to solve the degeneracy problem that potentially accompanies the multi-symplectic structure. In the second chapter, we address the issue of the influence of a finite cooling rate while performing a quench across a second order phase transition. We extend the Kibble-Zurek mechanism to describe in a more faithfully way the out-of-equilibrium regime of the dynamics before crossing the transition. We describe the time and cooling rate dependence of the typical growing size of the geometric objects, before and when reaching the critical point. These theoretical predictions are demonstrated through a numerical study of the emblematic kinetic ferromagnetic Ising model on the square lattice. A description of the geometric properties of the domains present in the system in the course of the annealing and when reaching the transition is also given

Cette thèse traite de la recherche des solutions périodiques de systèmes hamiltoniens a deux degrés de liberté. Dans le premier chapitre, on fait une synthèse de quelques méthodes de recherche des solutions périodiques. Le deuxième chapitre est consacre a l'étude de la méthode perturbative de Lindstedt-Poincare. Les troisième et quatrième chapitres sont consacres a l'application de cette dernière méthode a trois systèmes hamiltoniens non intégrables a deux degrés de liberté. Dans le cinquième chapitre, on étudie les deux périodes principales du système de Barbanis-Contopoulos grâce a la méthode des approximants de Pade. Nous présentons dans le dernier chapitre un algorithme numérique pour la recherche des solutions quasi-périodiques de systèmes hamiltoniens