Academic literature on the topic 'Metodi stocastici'

Gli ultimi decenni testimoniano un importante cambiamento nella risoluzione di una vasta classe di problemi in differenti discipline. Dalle Scienzeesatte e naturali all’Economia, dall’Ingegneria alla Statistica, numerosi problemi complessi vengono oggi risolti con metodi di ottimizzazione. A partire dagli anni 50 in particolare, i metodi di ottimizzazione sono esplosi nel campo dell’apprendimento automatico meglio conosciuto come machine learning, portando ad un’evoluzione dei metodi stessi. I metodi di ottimizzazione utilizzati per risolvere problemi di apprendimento sono quelli che coinvolgono l’utilizzo del gradiente. Questi metodi tradizionali purtroppo, non riescono ad essere efficienti quando le dimensioni dell’input non sono limitate. Nell’apprendimento automatico, l’ottimizzazione numerica ha lo scopo di determinare nella fase di addestramento i valori ottimali dei parametri; questi parametri definiscono la funzione di predizione richiesta dalla metodologia di apprendimento. Nel contesto dell’apprendimento automatico universalmente noto come largescale machine learning vengono utilizzati principalmente approcci di tipo Gradiente Stocastico. Gli approcci basati sul gradiente stocastico sono relativamente recenti nel panorama dell’ottimizzazione numerica. Per questo motivo necessitano di un’importante analisi teorica e algoritmica per l’adattamento di tecniche efficienti sviluppate nel contesto dei metodi del gradiente tradizionali. Questo lavoro di tesi si colloca esattamente in questo contesto, facendo un’analisi della differenza tra il metodo del gradiente classico e il metodo del gradiente stocastico mini-batch. I metodi del Gradiente Stocastico affrontati in questa tesi fanno rifermento ai metodi studiati e implementati da Robbins e Monro.

I metodi saddlepoint studiati nella tesi permettono di approssimare la densità di una variabile aleatoria a partire dalla funzione generatrice dei cumulanti (ricavabile dalla funzione caratteristica). Integrando la densità saddlepoint si ottiene la formula di Lugannani-Rice (e ulteriori generalizzazioni) per approssimare le probabilità di coda. Quest'ultima formula è stata poi applicata in ambito finanziario per il calcolo del prezzo di un'opzione call rispetto a vari modelli (Black-Scholes, Merton, CGMY)e in ambito assicurativo per calcolare la probabilità che il costo totale dei sinistri in una polizza non superi una certa quota fissata.

Nell'ambito dell'analisi numerica la tomografia si traduce in problemi di ottimizzazione dalle dimensioni molto elevate (dell'ordine di diversi terabyte) da risolvere nel minor tempo possibile. Si è pensato di testare l'approccio stocastico già presente nel machine learning (ulteriore ambito in cui sono presenti problemi con insiemi di dati molto grandi), per conoscerne l'eventuale compatibilità coi problemi di imaging sparsi e di grandi dimensione. Viene utilizzato il metodo del gradiente stocastico con diversi mini-batch e confrontato con il metodo deterministico del gradiente proiettato, implementato con accelerazione del passo e senza scaling. Dopo una contestualizzazione storica, si procede con la formalizzazione analitica, deducendo dalla legge di Lambert Beer nel caso mono-materiale quella nel caso reale. Si introduce il metodo analitico della retro proiezione filtrata (FBP) e si giunge all'approccio numerico con la descrizione del sistema lineare ottenuto dalla discretizzazione della trasformata della legge sopracitata. Il secondo capitolo della tesi è dedicato alla descrizione degli algoritmi dei metodi numerici di ottimizzazione classici e stocastici. Vengono infine allegati i dettagli e i risultati dello studio svolto implementando al calcolatore quanto riportato nei capitoli precedenti, variando diversi parametri al fine di cercare di comprendere l'effettiva efficacia di un metodo stocastico in alternativa ad uno deterministico. Si vedrà che la natura aleatoria del metodo si riscontra nel repentino cambio dell'andamento dell'errore, che varia di un ordine di grandezza in corrispondenza di un lieve cambio del mini-batch. Nelle prove discusse, risulta ancora essere più prestante il metodo deterministico del gradiente proiettato sia per i tempi di esecuzione sia per la precisione del risultato, sebbene queste esperienze abbiano aperto molti spunti di riflessione e suggerito un'indagine più approfondita di diverse casistiche.

In questa tesi si vuole approfondire il metodo di regressione per la programmazione dinamica stocastica, al fine di valutare i derivati finanziari Americani. Inizialmente studiamo il metodo di Eulero, che permette di modellizzare il sottostante dell’opzione, ed il metodo Monte Carlo, per stimare il valore atteso di una variabile aleatoria. Si analizza poi il metodo di regressione attraverso l’approccio di Longstaff-Schwartz, utilizzando esempi e analizzando l’algoritmo. Applichiamo diverse tipologie di polinomi al metodo di regressione e confrontiamo infine opzioni con caratteristiche diverse, grazie anche all’uso di tabelle e grafici.

In questa tesi si discute di alcuni modelli di pricing per opzioni di tipo europeo e di opportuni metodi perturbativi che permettono di trovare approssimazioni soddisfacenti dei prezzi e delle volatilità implicite relative a questi modelli.

Lo scopo di questa tesi è la calibrazione del modello di volatilità locale-stocastico (SLV) usando il metodo delle particelle. Il modello SLV riproduce il prezzo di un asset finanziario descritto da un processo stocastico. Il coefficiente di diffusione o volatilità del processo è costituito da una parte stocastica, la varianza, e da una parte locale chiamata funzione di leva che dipende dal processo stesso e che dà origine ad un'equazione differenziale alle derivate parziali (PDE) non lineare. La funzione di leva deve essere calibrata alla tipica curva che appare nella volatilità implicita dei dati di mercato, il volatility-smile. Per fa ciò si utilizza un metodo computazionale preso dalla fisica: il metodo delle particelle. Esso consiste nell'approssimare la distribuzione di probabilità del processo con una distribuzione empirica costituita da N particelle. Le N particelle consistono in N variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite che seguono ciascuna l'equazione differenziale stocastica del prezzo con N moti Browniani indipendenti. La funzione di leva dipenderà così da una misura di probabilità casuale e la PDE non-lineare si ridurrà ad una PDE lineare con N gradi di libertà. Il risultato finale è una funzione di leva determinata dall'interazione tra tutte le particelle. La simulazione al computer viene eseguita tramite la tecnica di implementazione in parallelo che accelera i calcoli sfruttando l'architettura grafica della GPU.

Lo scopo di questa tesi è quello di descrivere una equazione stocastica di McKean, il Particle Method, algoritmo di tipo Monte Carlo derivante dalla fisica statistica utile per l'approssimazione della soluzione di una equazione di McKean, ed infine una loro applicazione alla finanza matematica in option pricing. Vengono mostrati risultati di esistenza e unicità di una soluzione di una equazione di McKean sotto opportune ipotesi, utilizzando anche la Metrica di Wasserstein, ed inoltre viene descritta la proprietà di propagazione del Caos, introdotta da Sznitman, utile per la dimostrazione della convergenza del Particle Method. Entrambi i concetti (McKean e Particle Method) trovano applicazione nella matematica finanza ed in particolar modo nella calibrazione di modelli a volatilità locale-stocastica. Vengono descritti tali modelli portando alcuni esempi (Modello di SABR e di Dupire-Heston) e focalizzandosi sul concetto chiave di Leverage Function, viene motivata l'introduzione di tali modelli ed infine viene data notevole attenzione al problema della calibrazione. La calibrazione di un modello a volatilità locale-stocastica richiede innanzitutto lo studio della volatilità di Dupire, della omonima equazione e del collegamento fra i coefficienti di volatilità di modelli stocastici (SV) e quelli di modelli locali (LV). La calibrazione della leverage function porta alla ricerca della soluzione di una equazione stocastica di McKean che viene approssimata attraverso il Particle Method.

In questa tesi si stimano tre differenti modelli a volatilità stocastica con distribuzioni a code spesse utilizzando i metodi Monte Carlo sequenziali per la stima congiunta di parametri e stati. I modelli stimati vengono applicati a dati reali riguardanti i metalli preziosi, rame e petrolio, con lo scopo di combinare le tre densità di previsione ottenute per ciascuna serie ed utilizzare tale combinazione a fini previsivi. Viene proposta inoltre un’applicazione in tema di portfolio composition analizzando le differenze tra l’uso della combinazione di modelli diversi e del singolo modello migliore.

Le fratture fragili del collo del femore rappresentano un grave problema sociosanitario, in via di aggravamento a causa dell’aumento dell’età media e dell’aspettativa di vita. Il verificarsi di tale evento dipende da più fattori: la frequenza con la quale si verificano cadute, la gravità delle stesse e lo stato di salute del paziente, in particolare la resistenza meccanica delle sue ossa e il suo grado di controllo neuro-motorio. Negli ultimi anni gli strumenti di analisi e stima della resistenza meccanica del femore basati su modelli agli elementi finiti hanno raggiunto un tale livello di maturità da prospettarne l’utilizzo nel contesto di “in silico trials”, ovvero la simulazione virtuale di sperimentazioni cliniche e precliniche. In questo studio si è sviluppato un modello stocastico in grado di simulare la sperimentazione clinica di nuovi trattamenti per l’osteoporosi. Questo comprende più sotto modelli in grado di simulare il processo di invecchiamento, determinare stocasticamente le cadute che si verificano in una certa popolazione in un determinato orizzonte temporale e l’entità delle forze che agiscono sul grande trocantere. In particolare, le cadute sono state generate a partire da una distribuzione di Poisson e le forze sono state stimate attraverso un modello stocastico multiscala. La tesi si è concentrata su aspetti metodologici e procedurali, nell’ottica di sviluppare un modello che permettesse agevolmente la variazione dei parametri associati alla caduta, dotato di buone robustezza ed applicabilità. È stato verificato come la discretizzazione nel dominio del tempo del rimodellamento osseo non influisca significativamente nella determinazione delle fratture; inoltre, il modello si è dimostrato capace di fornire risultati stabili in modo computazionalmente efficiente. La validazione dei risultati del modello, invece, ha dato risultati non soddisfacenti, per cui sarà necessario procedere in futuro a un’attenta calibrazione dei parametri del modello.