Dissertations / Theses on the topic 'Metodi stocastici'

Gli ultimi decenni testimoniano un importante cambiamento nella risoluzione di una vasta classe di problemi in differenti discipline. Dalle Scienzeesatte e naturali all’Economia, dall’Ingegneria alla Statistica, numerosi problemi complessi vengono oggi risolti con metodi di ottimizzazione. A partire dagli anni 50 in particolare, i metodi di ottimizzazione sono esplosi nel campo dell’apprendimento automatico meglio conosciuto come machine learning, portando ad un’evoluzione dei metodi stessi. I metodi di ottimizzazione utilizzati per risolvere problemi di apprendimento sono quelli che coinvolgono l’utilizzo del gradiente. Questi metodi tradizionali purtroppo, non riescono ad essere efficienti quando le dimensioni dell’input non sono limitate. Nell’apprendimento automatico, l’ottimizzazione numerica ha lo scopo di determinare nella fase di addestramento i valori ottimali dei parametri; questi parametri definiscono la funzione di predizione richiesta dalla metodologia di apprendimento. Nel contesto dell’apprendimento automatico universalmente noto come largescale machine learning vengono utilizzati principalmente approcci di tipo Gradiente Stocastico. Gli approcci basati sul gradiente stocastico sono relativamente recenti nel panorama dell’ottimizzazione numerica. Per questo motivo necessitano di un’importante analisi teorica e algoritmica per l’adattamento di tecniche efficienti sviluppate nel contesto dei metodi del gradiente tradizionali. Questo lavoro di tesi si colloca esattamente in questo contesto, facendo un’analisi della differenza tra il metodo del gradiente classico e il metodo del gradiente stocastico mini-batch. I metodi del Gradiente Stocastico affrontati in questa tesi fanno rifermento ai metodi studiati e implementati da Robbins e Monro.

I metodi saddlepoint studiati nella tesi permettono di approssimare la densità di una variabile aleatoria a partire dalla funzione generatrice dei cumulanti (ricavabile dalla funzione caratteristica). Integrando la densità saddlepoint si ottiene la formula di Lugannani-Rice (e ulteriori generalizzazioni) per approssimare le probabilità di coda. Quest'ultima formula è stata poi applicata in ambito finanziario per il calcolo del prezzo di un'opzione call rispetto a vari modelli (Black-Scholes, Merton, CGMY)e in ambito assicurativo per calcolare la probabilità che il costo totale dei sinistri in una polizza non superi una certa quota fissata.

Nell'ambito dell'analisi numerica la tomografia si traduce in problemi di ottimizzazione dalle dimensioni molto elevate (dell'ordine di diversi terabyte) da risolvere nel minor tempo possibile. Si è pensato di testare l'approccio stocastico già presente nel machine learning (ulteriore ambito in cui sono presenti problemi con insiemi di dati molto grandi), per conoscerne l'eventuale compatibilità coi problemi di imaging sparsi e di grandi dimensione. Viene utilizzato il metodo del gradiente stocastico con diversi mini-batch e confrontato con il metodo deterministico del gradiente proiettato, implementato con accelerazione del passo e senza scaling. Dopo una contestualizzazione storica, si procede con la formalizzazione analitica, deducendo dalla legge di Lambert Beer nel caso mono-materiale quella nel caso reale. Si introduce il metodo analitico della retro proiezione filtrata (FBP) e si giunge all'approccio numerico con la descrizione del sistema lineare ottenuto dalla discretizzazione della trasformata della legge sopracitata. Il secondo capitolo della tesi è dedicato alla descrizione degli algoritmi dei metodi numerici di ottimizzazione classici e stocastici. Vengono infine allegati i dettagli e i risultati dello studio svolto implementando al calcolatore quanto riportato nei capitoli precedenti, variando diversi parametri al fine di cercare di comprendere l'effettiva efficacia di un metodo stocastico in alternativa ad uno deterministico. Si vedrà che la natura aleatoria del metodo si riscontra nel repentino cambio dell'andamento dell'errore, che varia di un ordine di grandezza in corrispondenza di un lieve cambio del mini-batch. Nelle prove discusse, risulta ancora essere più prestante il metodo deterministico del gradiente proiettato sia per i tempi di esecuzione sia per la precisione del risultato, sebbene queste esperienze abbiano aperto molti spunti di riflessione e suggerito un'indagine più approfondita di diverse casistiche.

In questa tesi si vuole approfondire il metodo di regressione per la programmazione dinamica stocastica, al fine di valutare i derivati finanziari Americani. Inizialmente studiamo il metodo di Eulero, che permette di modellizzare il sottostante dell’opzione, ed il metodo Monte Carlo, per stimare il valore atteso di una variabile aleatoria. Si analizza poi il metodo di regressione attraverso l’approccio di Longstaff-Schwartz, utilizzando esempi e analizzando l’algoritmo. Applichiamo diverse tipologie di polinomi al metodo di regressione e confrontiamo infine opzioni con caratteristiche diverse, grazie anche all’uso di tabelle e grafici.

In questa tesi si discute di alcuni modelli di pricing per opzioni di tipo europeo e di opportuni metodi perturbativi che permettono di trovare approssimazioni soddisfacenti dei prezzi e delle volatilità implicite relative a questi modelli.

Lo scopo di questa tesi è la calibrazione del modello di volatilità locale-stocastico (SLV) usando il metodo delle particelle. Il modello SLV riproduce il prezzo di un asset finanziario descritto da un processo stocastico. Il coefficiente di diffusione o volatilità del processo è costituito da una parte stocastica, la varianza, e da una parte locale chiamata funzione di leva che dipende dal processo stesso e che dà origine ad un'equazione differenziale alle derivate parziali (PDE) non lineare. La funzione di leva deve essere calibrata alla tipica curva che appare nella volatilità implicita dei dati di mercato, il volatility-smile. Per fa ciò si utilizza un metodo computazionale preso dalla fisica: il metodo delle particelle. Esso consiste nell'approssimare la distribuzione di probabilità del processo con una distribuzione empirica costituita da N particelle. Le N particelle consistono in N variabili aleatorie indipendenti e identicamente distribuite che seguono ciascuna l'equazione differenziale stocastica del prezzo con N moti Browniani indipendenti. La funzione di leva dipenderà così da una misura di probabilità casuale e la PDE non-lineare si ridurrà ad una PDE lineare con N gradi di libertà. Il risultato finale è una funzione di leva determinata dall'interazione tra tutte le particelle. La simulazione al computer viene eseguita tramite la tecnica di implementazione in parallelo che accelera i calcoli sfruttando l'architettura grafica della GPU.

Lo scopo di questa tesi è quello di descrivere una equazione stocastica di McKean, il Particle Method, algoritmo di tipo Monte Carlo derivante dalla fisica statistica utile per l'approssimazione della soluzione di una equazione di McKean, ed infine una loro applicazione alla finanza matematica in option pricing. Vengono mostrati risultati di esistenza e unicità di una soluzione di una equazione di McKean sotto opportune ipotesi, utilizzando anche la Metrica di Wasserstein, ed inoltre viene descritta la proprietà di propagazione del Caos, introdotta da Sznitman, utile per la dimostrazione della convergenza del Particle Method. Entrambi i concetti (McKean e Particle Method) trovano applicazione nella matematica finanza ed in particolar modo nella calibrazione di modelli a volatilità locale-stocastica. Vengono descritti tali modelli portando alcuni esempi (Modello di SABR e di Dupire-Heston) e focalizzandosi sul concetto chiave di Leverage Function, viene motivata l'introduzione di tali modelli ed infine viene data notevole attenzione al problema della calibrazione. La calibrazione di un modello a volatilità locale-stocastica richiede innanzitutto lo studio della volatilità di Dupire, della omonima equazione e del collegamento fra i coefficienti di volatilità di modelli stocastici (SV) e quelli di modelli locali (LV). La calibrazione della leverage function porta alla ricerca della soluzione di una equazione stocastica di McKean che viene approssimata attraverso il Particle Method.

In questa tesi si stimano tre differenti modelli a volatilità stocastica con distribuzioni a code spesse utilizzando i metodi Monte Carlo sequenziali per la stima congiunta di parametri e stati. I modelli stimati vengono applicati a dati reali riguardanti i metalli preziosi, rame e petrolio, con lo scopo di combinare le tre densità di previsione ottenute per ciascuna serie ed utilizzare tale combinazione a fini previsivi. Viene proposta inoltre un’applicazione in tema di portfolio composition analizzando le differenze tra l’uso della combinazione di modelli diversi e del singolo modello migliore.

Le fratture fragili del collo del femore rappresentano un grave problema sociosanitario, in via di aggravamento a causa dell’aumento dell’età media e dell’aspettativa di vita. Il verificarsi di tale evento dipende da più fattori: la frequenza con la quale si verificano cadute, la gravità delle stesse e lo stato di salute del paziente, in particolare la resistenza meccanica delle sue ossa e il suo grado di controllo neuro-motorio. Negli ultimi anni gli strumenti di analisi e stima della resistenza meccanica del femore basati su modelli agli elementi finiti hanno raggiunto un tale livello di maturità da prospettarne l’utilizzo nel contesto di “in silico trials”, ovvero la simulazione virtuale di sperimentazioni cliniche e precliniche. In questo studio si è sviluppato un modello stocastico in grado di simulare la sperimentazione clinica di nuovi trattamenti per l’osteoporosi. Questo comprende più sotto modelli in grado di simulare il processo di invecchiamento, determinare stocasticamente le cadute che si verificano in una certa popolazione in un determinato orizzonte temporale e l’entità delle forze che agiscono sul grande trocantere. In particolare, le cadute sono state generate a partire da una distribuzione di Poisson e le forze sono state stimate attraverso un modello stocastico multiscala. La tesi si è concentrata su aspetti metodologici e procedurali, nell’ottica di sviluppare un modello che permettesse agevolmente la variazione dei parametri associati alla caduta, dotato di buone robustezza ed applicabilità. È stato verificato come la discretizzazione nel dominio del tempo del rimodellamento osseo non influisca significativamente nella determinazione delle fratture; inoltre, il modello si è dimostrato capace di fornire risultati stabili in modo computazionalmente efficiente. La validazione dei risultati del modello, invece, ha dato risultati non soddisfacenti, per cui sarà necessario procedere in futuro a un’attenta calibrazione dei parametri del modello.

The Linear Discrete Method (LDM; SIMMEL 2000; SIMMEL ET AL. 2000) is used to solve the Stochastic Collection Equation (SCE) numerically. Comparisons are made to the Method of Moments (MOM; TzIVION ET AL. 1999) which is suggested as a reference for numerical solutions of the SCE. Simulations for both methods are shown for the GoLOVIN kernel (for which an analytical solution is available) and the hydrodynamic kernel after LONG (1974) as it is used by TZIVION ET AL. (1999). Different bin resolutions are investigated and the simulation times are compared. In addition, LDM simulations using the hydrodynamic kernel after BÖHM (1992b) are presented. The results show that for the GoLOVIN kernel, LDM is slightly closer to the analytic solution than MOM. For the LONG kernel, the low resolution results of LDM and MOM are of similar quality compared to the reference solution. For the BÖHM kernel, only LDM simulations were carried out which show good correspondence between low and high resolution results<br>Die lineare diskrete Methode (LDM; SIMMEL 2000; SIMMEL ET AL. 2000) wird dazu benutzt, die Gleichung für stochastisches Einsammeln (stochastic collection equation, SCE) numerisch zu lösen. Dabei werden Vergleiche gezogen zur Methode der Momente (Method of Moments, MOM; TzIVION ET AL. 1999), die als Referenz für numerische Lösungen der SCE vorgeschlagen wurde. Simulationsrechnungen für beide Methoden werden für die Koaleszenzfunktion nach GoLOVIN (für die eine analytische Lösung existiert) und die hydrodynamische Koaleszenzfunktion nach LONG (1974) wie sie von TZIVION ET AL. (1999) verwendet wird, gezeigt. Verschiedene Klassenauflösungen werden untersucht und die Simulationszeiten verglichen. Zusätzlich werden LDM-Simulationen mit der hydrodynamischen Koaleszenzfunktion nach BÖHM (1992b) gezeigt. Die Ergebnisse für die Koaleszenzfunktion nach GoLOVIN zeigen, daß die LDM der analytischen Lösung etwas näher kommt als MOM. Für die Koaleszenzfunktion nach LONG sind die Ergebnisse von LDM und MOM mit niedriger Auflösung von ähnlicher Qualität verglichen mit der Referenzlösung. Für die Koaleszenzfunktion nach BÖHM wurden nur Simulationen mit der LDM durchgeführt, die eine gute Übereinstimmung der Ergebnisse mit niedriger und hoher Auflösung zeigen

The Linear Discrete Method (LDM; SIMMEL 2000; SIMMEL ET AL. 2000) is used to solve the Stochastic Collection Equation (SCE) numerically. Comparisons are made to the Method of Moments (MOM; TzIVION ET AL. 1999) which is suggested as a reference for numerical solutions of the SCE. Simulations for both methods are shown for the GoLOVIN kernel (for which an analytical solution is available) and the hydrodynamic kernel after LONG (1974) as it is used by TZIVION ET AL. (1999). Different bin resolutions are investigated and the simulation times are compared. In addition, LDM simulations using the hydrodynamic kernel after BÖHM (1992b) are presented. The results show that for the GoLOVIN kernel, LDM is slightly closer to the analytic solution than MOM. For the LONG kernel, the low resolution results of LDM and MOM are of similar quality compared to the reference solution. For the BÖHM kernel, only LDM simulations were carried out which show good correspondence between low and high resolution results.<br>Die lineare diskrete Methode (LDM; SIMMEL 2000; SIMMEL ET AL. 2000) wird dazu benutzt, die Gleichung für stochastisches Einsammeln (stochastic collection equation, SCE) numerisch zu lösen. Dabei werden Vergleiche gezogen zur Methode der Momente (Method of Moments, MOM; TzIVION ET AL. 1999), die als Referenz für numerische Lösungen der SCE vorgeschlagen wurde. Simulationsrechnungen für beide Methoden werden für die Koaleszenzfunktion nach GoLOVIN (für die eine analytische Lösung existiert) und die hydrodynamische Koaleszenzfunktion nach LONG (1974) wie sie von TZIVION ET AL. (1999) verwendet wird, gezeigt. Verschiedene Klassenauflösungen werden untersucht und die Simulationszeiten verglichen. Zusätzlich werden LDM-Simulationen mit der hydrodynamischen Koaleszenzfunktion nach BÖHM (1992b) gezeigt. Die Ergebnisse für die Koaleszenzfunktion nach GoLOVIN zeigen, daß die LDM der analytischen Lösung etwas näher kommt als MOM. Für die Koaleszenzfunktion nach LONG sind die Ergebnisse von LDM und MOM mit niedriger Auflösung von ähnlicher Qualität verglichen mit der Referenzlösung. Für die Koaleszenzfunktion nach BÖHM wurden nur Simulationen mit der LDM durchgeführt, die eine gute Übereinstimmung der Ergebnisse mit niedriger und hoher Auflösung zeigen.

Public news is a relevant source of information describing events occurring in the real world. Despite information leakages and fake news readers are often willing to pay to gather information conveyed through the news. In this work, we investigated the effects of micro news sentiment on the equity market. Therefore, according to several market theories of Behavioral Finance, we want to understand if public news is interesting for the equity market investor. The Adaptive Market Hypothesis is one of these theories and states that also if markets are efficient in general, inefficiency may affect them in particular periods. These inefficiencies may then leave open profit opportunities for the informed investor. For this reason, public news could have an important impact on investor's choices. In the second chapter we present the Efficient Market Hypothesis, Behavioral Finance, and the Adaptive Market Hypothesis. After the basic theoretical introduction, we report a review of the available literature regarding studies on the effect of the news on markets. The reported papers cover many relevant aspects regarding how to measure the news impact on the market returns. The main factors extracted from the news are: the news sentiment, the cumulated sentiment, the news relevance and novelty, and the news topics and categories. The third chapter tries to describe the events happening in the market that could be conveyed through the news. At first, the events characterizing the value generation process and the highly complex firms' interconnection are described. The description then moves on to events concerning the firms' evaluation process, which is split into two sections: the former about fundamental indicators evaluation and the latter about perspectival views and ratings. In the last section of the chapter events regarding the ownership structure of a firm are reported and a possible path of transmission from the news to the effects on the market is outlined. The fourth chapter describes the market data and news sentiment database and reports statistics about the considered stocks. The description of the data also reports statistics about category groups, a high-level grouping of news events in a hierarchical taxonomy of financial-related news events. The fifth chapter presents news-based strategies for intraday open to close trading. The strategies are based on a naive beauty context model that takes into account only indicators generated by firm-specific public news sentiment or volume subdivided by category group. Three main patterns emerged from the analysis and characterize different category groups: sell on news volumes, buy according to news sentiment, and sell according to news sentiment. The analysis has also shown that many portfolio strategies based on category groups are characterized by a reversal effect overnight, while few others by a continuation trend. The sixth chapter presents a more complex model that tries to enhance baseline models with the use of public news. The baseline models rely on three different portfolio optimization criteria: Sharpe Ratio, Second-order Stochastic Dominance, and Scaled Second-order Stochastic Dominance. The Second-order Stochastic Dominance optimization criteria are based on enhanced indexation, where the optimal portfolio is supposed to be the best portfolio dominating the reference market index. The aim of the models is to understand which category groups bring useful information for portfolio optimization. The discussion of the results is divided into two parts, the former reports profitability and turnover results for the three baseline strategies, while the latter reports the results for the different category groups and cumulation periods. In the last part of the chapter a series of possible further researches are proposed.