Academic literature on the topic 'Métodos iterativos'

Este trabajo se realizó con el objeto de mejorar y optimizar los procesos iterativos de aproximación de soluciones a ecuaciones no lineales. El método de Newton es un algoritmo iterativo que permite resolver estos tipos de ecuaciones. La investigación desarrollada consistió en encontrar nuevos esquemas y métodos iterativos equivalente o superiores en el número de iteraciones al método de Newton. Este artículo científico plantea la relación natural que existe entre los Métodos de Descomposición de Adomian y la Técnicas Iterativa Variacional, estableciendo los vínculos matemáticos desarrollados en ambas esferas del conocimiento. Para las demostraciones de los nuevos esquemas y métodos iterativos se basó en el esquema de los Polinomios de Adomian y luego se combinó con las técnicas iterativas variacional, obteniéndose de estas maneras nuevas fórmulas iterativas de cálculo de raíces de ecuaciones no lineales. En todos los casos se utilizó una función auxiliar familia de las funciones exponenciales, ya que tienen la particularidad de ser funciones C∞. El objetivo principal es demostrar dichas fórmulas iterativas y mostrar que la teoría matemática desarrollada en este campo científico, están fundamentadas teóricamente y analíticamente por métodos y procedimientos lógicos, que permiten desarrollar nuevos esquemas, métodos y técnicas iterativas. Los algoritmos son generados mediante los procedimientos de los Polinomios de Adomian y la Técnica Iterativa Variacional. Este trabajo presenta tres algoritmos nuevos que permiten encontrar las soluciones a ecuaciones no lineales en una cantidad menor de iteraciones que el método de Newton y por lo tanto son más eficientes que dicho método. Todos estos algoritmos fueron programados en el lenguaje de programación Python y se utilizó el paradigma de programación orientado a objetos (POO). Todos estos nuevos algoritmos presentan convergencia en dicha solución. Las ideas de este trabajo pueden extenderse para generar nuevos algoritmos con los Método de Abbasbandy y Cisneros en la búsqueda de algoritmos más eficientes.

Al resolver en forma numérica las ecuaciones diferenciales en derivadas parciales surgen sistemas de ecuaciones lineales muy grandes, los métodos iterativos constituyen una alternativa a los métodos de eliminación. En este trabajo se revisan los métodos iterativos de Gauss Seidel e iteración con relajación para resolver los sistemas de ecuaciones lineales que surgen al trabajar numéricamente con las ecuaciones de Laplace, Poisson y de guía de Ondas, bajo el esquema de diferencias finitas.Se proporcionan ejemplos concretos, para calcular potenciales electrostáticos y los programas en Matlab para automatizar los cálculos los cuales se vuelven inmanejables para calcularlos manualmente.

É mostrado como projetar uma familia de novos métodos iterativos lineares através de uma abordagem pela teoria de controle. Escolhas apropriadas de funções de Liapunov resultam em controladores da familia PI/PD com ganhos variantes no tempo. Os novos métodos iterativos são aplicados à determinação dos pesos ótimos de filtros adaptativos. Simulações são feitas para mostrar que o desempenho dos novos algoritmos para filtros adaptativos é comparável ao método RLS.

Este trabajo aborda la técnica iteración variacional que es un método iterativo para resolver ecuaciones no lineales de la forma f(x)=0. En este sentido, el objetivo principal es generar nuevos algoritmos y esquemas iterativos que permitan obtener nuevas fórmulas y métodos iterativos. Se crean nuevas fórmulas mediante procedimientos matemáticos basados en las variantes del método de Newton y las técnicas de iteración variacional. Además, se expresan los desarrollos constructivos de los principales esquemas iterativos. Se obtienen los principales esquemas iterativos de cada método mediante la deducción de su construcción, así como el análisis de convergencia mediante la aplicación computacional en el lenguaje de programación Python. Se ejemplifican y se calculan raíces de ecuaciones no lineales de algunas funciones bases, utilizadas en los artículos científicos consultados, las cuales tienen características de ser continuas y diferenciables. Por otra parte, se realiza una comparación entre algunos de los algoritmos existentes y los diseñados en esta investigación, utilizando los criterios de máximo y mínimo número de evaluaciones funcionales. Dichos aspectos son piezas fundamentales para la validez de los nuevos algoritmos. Según los resultados obtenidos después de las diversas comparaciones, los algoritmos presentan un excelente funcionamiento con respecto a los existentes en la literatura sobre esta área de conocimiento.

Este trabalho investiga o desempenho de diferentes -ciclos do método Multigrid Algébrico baseado em Wavelet (WAMG) como pré-condicionador dos métodos iterativos clássicos Bi-Gradiente Conjugado Estabilizado (BiCGStab) e Mínimo Resíduo Generalizado (GMRES) e Gradiente Conjugado (CG) na solução de sistemas de equações algébricas não lineares oriundos da análise de um motor de relutância chaveado composto pelo material ferromagnético aço S45C com curva de magnetização não linear, associado ao método de Newton-Raphson. Diversas configurações de métodos iterativos e pré-condicionadores serão utilizadas, dando especial atenção ao comportamento de convergência das diferentes técnicas, bem como aos tempos de processamento em cada caso. As técnicas de pré-condicionamento tradicionais, baseados nas decomposições incompletas de Cholesky e LU, serão utilizadas para fins de comparação dos resultados.

Este trabalho investiga o desempenho de diferentes -ciclos do método Multigrid Algébrico baseado em Wavelet (WAMG) como pré-condicionador dos métodos iterativos clássicos Bi-Gradiente Conjugado Estabilizado (BiCGStab) e Mínimo Resíduo Generalizado (GMRES) e Gradiente Conjugado (CG) na solução de sistemas de equações algébricas não lineares oriundos da análise de um motor de relutância chaveado composto pelo material ferromagnético aço S45C com curva de magnetização não linear, associado ao método de Newton-Raphson. Diversas configurações de métodos iterativos e pré-condicionadores serão utilizadas, dando especial atenção ao comportamento de convergência das diferentes técnicas, bem como aos tempos de processamento em cada caso. As técnicas de pré-condicionamento tradicionais, baseados nas decomposições incompletas de Cholesky e LU, serão utilizadas para fins de comparação dos resultados.

El presente trabajo proporciona al docente de física fundamentos teóricos y computacionales para resolver ecuaciones no linea-les, muy comunes en la solución de problemas físicos. En el presente trabajo de investigación se resuelven tres problemas de física, los cuales son: una esfera flotando en agua, caída no libre de un paracaidista, compresión de un resorte real; haciendo uso de principios referentes a fluidos, cinemática y dinámica. Se obtienen ecuaciones no lineales difíciles y en algunos casos imposi-bles de ser resueltas mediante métodos analíticos. Para encontrar una solución aproximada a dichas ecuaciones se hace uso de métodos iterativos partiendo desde los métodos tradicionales como son Newton, Secante, Steffensen hasta la introducción de métodos multipaso con alto orden de convergencia como son Traub, Ostrowski y métodos de orden ocho diseñados a partir del método de Ostrowski. Finalmente, se realiza un análisis de los resultados obtenidos al aplicar todos estos métodos a cada uno de los problemas físicos seleccionados y de esta formar establecer qué método iterativo es más adecuado ante cada situación.

Os sistemas lineares homogéneos integram propriedades especiais que os diferenciam dos demais sistemas lineares e permitem simplificar a busca por soluções que, em certas condições, promovem soluções gerais de até sistemas heterogéneos e sistemas não lineares, daí a sua crucial importância na Matemática, ciências afins e na Engenharia. Desde os Nove Capítulos sobre a Arte Matemática da China Antiga a autores como SekiKowa, Leibniz, Cayley, Silvester, Bôcher, a resolução dos sistemas lineares passou a contar com métodos matriciais firmados em resultados teóricos como o algoritmo de eliminação de Gauss-Jordan, o teorema de Cramer, o teorema de Kronecker-Capelli. Introduziu-se, também, métodos iterativos clássicos como os de Jacobi-Richardson, Gauss-Seidel, factoração de Cholesck, o método SOR, métodos iterativos dos gradientes conjugados, assim como métodos gráficos. Contudo, este artigo apresenta uma alternativa metodológica inovadora denominada contracção dimensional sistemática, que não se funda em matrizes: visa, entre outras dinâmicas, reduzir, de forma sistemática, o número de incógnitas até que a respectiva resolução seja viável. Nesta visão, objectiva-se analisar a operacionalidade deste método de contracção dimensional sistemática no estudo de equações e sistemas lineares, a partir de técnicas homogéneas. Para o efeito, este artigo serve-se de uma pesquisa teórico-metodológica, de tipologia explicativa, com procedimentos técnicos bibliográficos e que utiliza o método indutivo - dedutivo. Assim, foi construído o método de contracção dimensional sistemática e aplicado para a obtenção de soluções originais e exactas de sistemas homogéneos de equações lineares, porque soluções desta natureza são condição necessária para a construção do produto vectorial homogéneo e, em geral, da Teoria Homogénea dos Espaços Vectoriais.

Dissertação (mestrado) - Universidade Federal de Santa Catarina, Centro de Ciências Físicas e Matemáticas. Programa de Pós-Graduação em Matemática e Computação Científica
Made available in DSpace on 2012-10-21T12:22:56Z (GMT). No. of bitstreams: 1 199984.pdf: 874721 bytes, checksum: 9bd70bb1fa2fc1761ee60086321bd859 (MD5)
Este trabalho apresenta uma análise dos métodos iterativos

1. INTRODUCCIÓN:

SPECT ("Single Photon Emission Computed Tomography" - Tomografía Computerizada por Emisión de Fotón Único) es una técnica de la Medicina Nuclear en la que se obtiene una imagen de la distribución de un fármaco marcado con un isótopo radiactivo a partir de la reconstrucción tomográfica de la radiación gamma emitida en diferentes direcciones (proyección de la distribución del radiofármaco en esas direcciones). Debido a la existencia de una gran cantidad de factores degradantes sobre las proyecciones (ruido en la emisión radiactiva y en la detección, atenuación y dispersión de los fotones en el interior del cuerpo y la respuesta del detector), la calidad de las imágenes en SPECT obtenidas con el método estándar (FBP- retroproyección filtrada) no es buena, obteniéndose imágenes ruidosas y de poca resolución. Existen métodos iterativos de reconstrucción tomográfica que corrigen el efecto de estos factores. El objetivo de esta tesis es el estudio de la variación de la calidad de la imagen en función de los parámetros de los que dependen los métodos iterativos de reconstrucción a fin de determinar sus características intrínsecas y la idoneidad de su uso. Para ello es preciso implementar, además de los métodos de reconstrucción, una simulación numérica de proyecciones a partir del objeto y un método de evaluación objetiva de las reconstrucciones.

2. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA:

Es este capitulo se describe detalladamente la física que interviene en SPECT, así como del planteamiento matemático de la reconstrucción tomográfica.

3. METODOLOGÍA:

En este capitulo se expone la simulación de proyecciones implementada con la modelización de los diferentes factores degradantes utilizada, la obtención de datos experimentales y la evaluación de las imágenes con figuras de mérito (FDM): coeficiente de correlación con la imagen ideal (CC), contraste de las regiones de la imagen (CON), relación señal-ruido (SNR) y otras.

4. RETROPROYECCIÓN FILTRADA:

En este capitulo se analiza un método iterativo de compensar el efecto de la atenuación (método de Chang) y un filtro para compensar la respuesta del detector en FBP (filtro de Metz). Se analiza el valor de las diferentes FDM en la reconstrucción en función del exponente del filtro de Metz y del número de iteraciones, para dos modelos y diferentes niveles de ruido.

5. MÉTODOS DE RECONSTRUCCIÓN ALGEBRAICOS (ART):

En este capitulo se analiza la calidad de la reconstrucción al utilizar métodos iterativos algebraicos en función del número de iteraciones y del parámetro de relajación métodos de reconstrucción tomográfica para diferentes niveles de ruido.

6. MÉTODOS DE RECONSTRUCCIÓN ESTADÍSTICOS (MLE):

En este capitulo se analiza la calidad de la reconstrucción al utilizar métodos iterativos estadísticos en función del número de iteraciones empleado para dos modelos y diferentes niveles de ruido. Así mismo se analiza la aplicabilidad del criterio estadístico de la validación cruzada (CVR) en imágenes de SPECT y dos métodos de aceleración del proceso iterativo, el parámetro de sobrerelajación y los subconjuntos ordenados (MLE-OS).

7. COMPARACIÓN DE RESULTADOS:

En este capítulo se comparan los resultados obtenidos en los capítulos anteriores y los resultados producidos por los diferentes métodos de reconstrucción implementados sobre un estudio de cuantificación de la captación de un determinado radiofármaco por un tumor pulmonar simulado numéricamente.

8. CONCLUSIONES:

En este capítulo se exponen las conclusiones de la tesis. De entre ellas cabe destacar:

a) Simulación de proyecciones: Las diferentes pruebas a las que se ha sometido el simulador y la comparación cualitativa de los resultados obtenidos de proyecciones reales y de proyecciones simuladas avalan su correcta implementación y la adecuación de las aproximaciones realizadas.

b) FBP: Siempre que el exponente del filtro de Metz sea suficientemente bajo, no se observa dependencia de la calidad de la reconstrucción en función del exponente, pero si del número de iteraciones (imágenes con los mismos valores de las FDM a un número diferente de iteraciones). Cuanto menor es el exponente, mayor número de iteraciones deben realizarse para obtener una imagen de características iguales. En este contexto, el exponente puede ser considerado como un factor de aceleración.

Cuando el exponente sobrepasa un valor máximo la calidad de la reconstrucción es inferior. El rango de valores del exponente con los que se obtienen los mejores resultados depende del ruido sobre las proyecciones: a mayor número de cuentas, mayor puede ser el exponente.

Si el mapa de atenuación es uniforme, se puede escoger el exponente de manera que sea necesaria una sola iteración para alcanzar resultados aceptables, sin que sea preciso implementar el operador proyección, aunque procediendo de esta manera, se prima CON sobre CC, es decir, se obtienen imágenes con mejor contraste y mayor presencia de ruido. El uso de exponentes menores permite optar por imágenes menos ruidosas y peor contraste o imágenes más ruidosas y de mayor contraste. Si el mapa de atenuación es no uniforme, los mejores resultados se obtienen después de más de una iteración.
c) ART: En cuanto al factor de relajación, se observa, para valores altos del parámetro, una notable mejoría de la calidad de la imagen al ir disminuyendo su valor. No obstante, existe un valor a partir del cual la reducción del parámetro de relajación no conlleva un aumento de la calidad de la reconstrucción, siendo necesaria, por otra parte, una mayor cantidad de iteraciones para conseguir imágenes análogas.

d) MLE: CVR es un buen criterio de detención del proceso iterativo para imágenes de propósito general, pues en ningún caso produce imágenes de mala calidad. Además, este criterio no requiere ningún tipo de información a priori de la imagen, siendo una ventaja más del uso de los métodos de reconstrucción estadísticos.

Del estudio del parámetro de sobre-relajación, se concluye que el rango de factores de aceleración utilizables es de l a 2.5. Factores superiores deben desestimarse al deteriorarse las reconstrucciones a las pocas iteraciones.

Del estudio de la dependencia de la calidad de la imagen respecto el número de subconjuntos ordenados en que se divide las proyecciones y el número de iteraciones, se concluye que utilizando un número pequeño de subconjuntos ordenados el método MLEOS acelera el método MLE en un factor igual al número de subconjuntos utilizados. Si el número de subconjuntos empleado es excesivo, la imagen resultante es de calidad inferior a la conseguida con MLE. El número máximo de subconjuntos utilizables depende, entre otros factores, del ruido sobre las proyecciones. Cuanto menor es la presencia de ruido, mayor es el número de subconjuntos ordenados que se puede utilizar sin que se produzca una pérdida de calidad en la reconstrucción.

El criterio CVR de interrupción del proceso iterativo es compatible con la utilización de subconjuntos ordenados y factor de sobre-relajación mientras éstos utilicen parámetros adecuados.

e) Comparación de métodos: Los procesos iterativos mejoran los resultados de FBP. En particular, es notable la corrección de la atenuación.
La convergencia del proceso iterativo es parcial en los tres casos. Tras mejorar en las primeras iteraciones, la imagen empeora si se prolonga el proceso iterativo más allá de un determinado número de iteraciones.

Aunque existen pequeñas diferencias, el comportamiento de las diversas FDM en función de las iteraciones es muy parecido en los tres métodos iterativos. Tanto CC como SNR alcanzan su valor máximo a las pocas iteraciones, mientras que CON mantiene su crecimiento.

En los tres métodos existe un parámetro para regular la velocidad de convergencia. En los tres, sin embargo, existe un valor máximo de ese parámetro, dependiente básicamente de la cantidad de ruido sobre las proyecciones y que puede ser determinado mediante estudios simulados, a partir del cual los resultados obtenidos son peores.

En la aplicación a la cuantificación de la actividad de emisión de un tumor pulmonar se concluye que el método FBP empleado usualmente en este tipo de estudios no recupera el valor de la actividad del tumor mientras que los métodos iterativos si lo recuperan, pero sólo MLE-OS lo hace a un número de iteraciones independiente de la actividad del tumor. En consecuencia, el desconocimiento a priori de esa actividad hace que únicamente pueda utilizarse MLE-OS.
Noise, scattering, attenuation and the Point Spread Function (PSF) produce poor quality images when Filtered Back Projection (FBP), the standard image reconstruction from projection algorithm, is used in SPECT. Iterative reconstruction algorithms allow us to correct these degradations in the reconstruction process. We studied three iterative reconstruction algorithms: IFBP (FBP with Chang's iterative attenuation correction), ART (Algebraic Reconstruction Techniques) and MLE (Maximum Likelihood Estimator). We studied the dependence between image quality and the number of iterations and the following parameters: Metz filter exponent in IFBP, relaxation parameter in ART, over-relaxation parameter and number of ordered subsets (OS) in MLE. We also studied the applicability of Cross Validation Ratio as a