Academic literature on the topic 'Modèles de Néron'

Dans cette thèse, on aborde plusieurs questions autour des modèles de Néron de variétés abéliennes sur un corps de valuation discrète. On dit qu’une variété abélienne a réduction scindée si la suite exacte définissant le groupe des composantes de la fibre spéciale est scindée. On donne un exemple de variété abélienne modérément ramifiée qui n’a pas réduction scindée. Pour les variétés jacobiennes,on montre que l’on obtient réduction scindée après toute extension modérément ramifiée de degré plus grand qu’une constante ne dépendant que de la dimension.On considère aussi le lien avec le conducteur de Swan. Ensuite, on s’intéresse aux groupes formels des variétés abéliennes. Pour les courbes elliptiques, on détermine le rayon du plus grand voisinage de 0 qui est isomorphe à un polydisque muni de sa structure de groupe usuelle. On s’intéresse aussi aux groupes des composantes de modèles lisses, de type fini et séparés du groupe additif ou multiplicatif ainsi qu’à leurs sous-groupes des points rationnels. Enfin, on montre que le conducteur efficace d’une courbe algébrique ne peut pas s’exprimer uniquement en fonction deson conducteur d’Artin<br>In this thesis, we tackle several questions about Néron models of abelian varieties on a discrete valuation field. We say that an abelian variety has split reduction if the exact sequence defining the group of components of the special fiber is split. We give an example of a tamely ramified abelian variety which does not have split reduction. For Jacobian varieties, we show that one gets split reduction after any tamely ramified extension of degree greater than aconstant depending on the dimension only. We also consider the link with theSwan conductor. Then, we deal with formal groups of abelian varieties. For elliptic curves, we compute the radius of the largest neighbourhood of 0 which is isomorphic to a polydisk equipped with its usual group law. We also deal with groups of components of smooth and separated models of finite type of the additive or multiplicative group as well as their subgroups of rational points. Finally, we show that the efficient conductor of an algebraic curve cannot be expressed interms of its Artin conductor only

Cette thèse est divisée en deux parties. Dans la première partie, nous introduisons une nouvelle condition, appelée additivité torique, sur une famille de variétés abéliennes qui dégénèrent en un schéma semi-abelien au-dessus d’un diviseur à croisements normaux. La condition ne dépend que du module de Tate T l A(K sep ) de la fibre générique. Nous montrons que l’additivité torique est une condition suffisante pour l’existence d’un modèle de Néron, si la base est un schéma de caractéristique nulle. Dans le cas de la jacobienne d’une courbe lisse à réduction semi-stable, on obtient le même résultat sans aucune hypothèse sur la caractéristique de base; et nous montrons que l’additivité torique est aussi nécessaire pour l’existence d’un modèle de Néron, si la base est un schéma de caractéristique nulle. Dans la deuxième partie, on considère le cas d’une famille de courbes nodales sur un anneau de valuation discrète. On donne une condition combinatoire sur le graphe dual de la fibre spéciale, appelée semi-factorialité, qui équivaut au fait que tous les faisceaux inversibles sur la fibre générique s’étendent en des faisceaux inversibles sur l’espace total de la courbe. Il est démontré par la suite que cette condition est automatiquement satisfaite après un éclatement centré aux points fermés non-réguliers de la famille de courbes. On applique le résultat ci-dessus pour généraliser un théorème de Raynaud sur le modèle de Néron des jacobiennes de courbes lisses, au cas des courbes nodales<br>This thesis is subdivided in two parts. In the first part, we introduce a new condition, called toric-additivity, on a family of abelian varieties degenerating to a semi-abelian scheme over a normal crossing divisor. The condition depends only on the Tate module TlA(Ksep) of the generic fibre, for a prime l invertible on the base. We show that toric-additivity is a sufficient condition for the existence of a Néron model if the base is a Q-scheme. In the case of the jacobian of a smooth curve with semi-stable reduction, we obtain the same result without assumptions on the base characteristic; and we show that toric-additivity is also necessary for the existence of a Néron model, when the base is a Q-scheme. In the second part, we consider the case of a family of nodal curves over a discrete valuation ring, having split singularities. We say that such a family is semi factorial if every line bundle on the generic fibre extends to a line bundle on the total space. We give a necessary and sufficient condition for semi- factoriality, in terms of combinatorics of the dual graph of the special fibre. In particular, we show that performing one blow-up with center the non regular closed points yields a semi-factorial model of the generic fibre. As an application, we extend the result of Raynaud relating Néron models of smooth curves and Picard functors of their regular models to the case of nodal curves having a semi-factorial model

Dans de nombreux domaines des mathématiques, il arrive de rencontrer des familles d'objets (groupes, graphes, variétés, schémas, champs algébriques...) paramétrisées par une ou plusieurs variables, qui admettent une définition simple et se comportent bien seulement en dehors de certaines valeurs exceptionnelles de ces variables. Par exemple, étant donné une courbe elliptique sur Q, on peut en trouver une équation à coefficients entiers, dont la réduction modulo p sera une courbe elliptique pour tout nombre premier p à l'exception d'un nombre fini d'entre eux. On a alors une "famille continue" de courbes elliptiques paramétrée par l'ensemble des nombres premiers, privé d'un sous-ensemble fini. Il est naturel de souhaiter construire des modèles de ces familles incomplètes, i.e. de les étendre en familles définies sur toutes les valeurs possibles des paramètres. Les familles incomplètes de schémas (ou même champs algébriques) ont parfois un "meilleur modèle lisse", le modèle de Néron. Cette thèse traite de questions d'existence et de construction explicite de modèles de Néron. Elle comporte trois parties.Dans la première partie, nous nous intéressons à des familles de courbes nodales génériquement lisses paramétrisées par un schéma régulier. Nous introduisons certains éclatements birationnels de telles familles, les raffinements. Nous montrons que, localement sur la base dans la topologie étale, les raffinements existent toujours. Nous définissons certains invariants mesurant la complexité des singularités d'une courbe nodale relative, et nous montrons que les raffinements permettent, partant d'une courbe lisse avec un modèle nodal, d'en trouver les modèles nodaux avec les singularités les plus simples.Dans la deuxième partie, nous nous intéressons à l'existence de modèles de Néron pour des familles de Jacobiennes, puis pour des familles de courbes, sur une base régulière sans restriction de dimension. D'abord, nous introduisons une condition appelée alignement strict sur la structure locale d'une courbe nodale génériquement lisse X/S autour de ses singularités. Nous montrons que la Jacobienne générique de X/S a un modèle de Néron si et seulement si X/S est strictement alignée. Ensuite, nous prouvons que si une courbe lisse a un modèle de Néron, alors le lieu singulier de tout modèle nodal de cette courbe est localement irréductible pour la topologie étale. Nous utilisons les morphismes de contraction des champs M(g,n) pour en déduire une condition nécessaire plus forte (équivalente à la clôture de cette irréductibilité locale du lieu singulier sous les morphismes de contraction et les changements de base lisses), et nous montrons que cette nouvelle condition est également suffisante sous quelques hypothèses techniques.Dans la troisième partie, nous étudions le comportement des modèles de Néron sous des changements de base S'/S finis et modérément ramifiés entre schémas réguliers. Nous verrons qu'une variété abélienne définie génériquement au-dessus de S, si elle admet un modèle de Néron N'/S' après un tel changement de base, doit aussi avoir un modèle de Néron N/S. Dans ce cas, nous expliciterons les quotients successifs d'une certaine filtration de N en termes de N'<br>In several areas of mathematics, one encounters families of objects (groups, varieties, schemes, graphs...) parametrized by one or several unknowns, that are well-behaved and easy to define except for a few specific values of these unknowns. Think, for example, of an elliptic curve over the field of rational numbers: starting with an equation with rational coefficients, one can clear denominators and get an equation with integer coefficients, and this equation reduces to the equation of an elliptic curve modulo p for all but a finite number of primes p. Even then, it is often convenient to be able to extend our family into a global, compact one, or at least satisfying some good continuity properties with respect to the parameters. A model of a family of objects defined for all but certain values of the parameters is a way of extending it to all possible values. Incomplete smooth families of schemes (or, more generally, of stacks) sometimes admit a "best possible smooth model", the emph{N'eron model}. This thesis deals with questions of existence and explicit construction of N'eron models. It is divided in three parts.In the first part, we study generically smooth families of nodal curves (i.e. curves with at worst ordinary double points) over a regular base scheme. We define certain birational modifications of such nodal (relative) curves, which we call refinements. We prove that refinements always exist étale-locally on the base. We define invariants measuring the complexity of the singularities of a nodal curve, and explain how refinements can be used to find the nodal models of a generic smooth curve with the simplest singularities.In the second part, we are interested in the existence of Néron models for (families of) Jacobians and curves, over a regular base with no restriction of dimension. First, we introduce a condition on nodal curves called strict alignment. Strict alignment can be read on the dual graph, a simple combinatorial invariant summarizing information about the global structure of the curve and how its singularities vary in families. We show that the generic Jacobian of a generically smooth nodal curve has a Néron model if and only if the curve is strictly aligned. Then, we prove that for a smooth curve to have a Néron model, it is necessary that the singular locus of any nodal model be locally irreducible for the étale topology. Using the contraction morphisms of M(g,n) stacks, we deduce an even stronger necessary condition in terms of dual graphs (equivalent to the closure of this local irreducibility of the singular locus under étale base change and contraction), and we show that this new necessary condition is also sufficient under some technical hypotheses.In the third part, we study the base change behavior of Néron models under finite, tamely ramified morphisms S'/S between regular schemes. We show that if an abelian variety defined generically over S has a N'eron model N'/S' after such a base change, then it admits a Néron model N/S, and we make explicit the successive quotients of a certain filtration of N in terms of N'

Dans ce travail, on décrit les réseaux de Néron-Severi et transcendant des surfaces de Kummer généralisées déduites d'une g-surface abélienne qui provient soit d'un système de racines irréductible de rang deux et d'une courbe elliptique, soit de la jacobienne d'une courbe de genre deux possédant un automorphisme d'ordre trois ou quatre. Ceci est une extension d'un résultat de Piatetsky-Shapiro et Safarevich sur les surfaces de Kummer classiques

Soit R un anneau de valuation discrète de corps de fractions K. Soit X_K un K- schéma propre géométriquement normal. On montre que X_K possède des modèles X sur R, propres, plats, normaux et tels que tout faisceau inversible sur X_K se prolonge en un faisceau inversible sur X. On peut alors reconstruire le modèle de Néron de la variété de Picard de X_K, à partir du foncteur de Picard de X/R.Lorsque R est hensélien à corps résiduel algébriquement clos, on en tire des informations sur le prolongement de l’équivalence algébrique de X_K à X. En particulier, on peut décrire le symbole de Néron entre 0-cycles de degré zéro et diviseurs algébriquement équivalents à zéro sur X_K, en termes de multiplicités d’intersection sur le modèle X. Ceci nous permet de reformuler la conjecture de dualité de Grothendieck pour les modèles de Néron des variétés abéliennes, en termes d’équivalence algébrique relative<br>Let R be a discrete valuation ring with fraction field K. Let X_K be proper geometrically normal scheme over K. One shows that X_K admits models X over R which are proper, flat, normal an such that any invertible sheaf on X_K can be extended to an invertible sheaf on X. Then, one can recover the Néron model of the Picard variety of X_K from the Picard functor of X/R.When R is henselian with algebraically closed residue field, one obtains some consequences about the extension of algebraic equivalence from X_K to X. In particular, one can describe the Néron symbol between 0-cycles of degree zero and divisors which are algebraically equivalent to zero on X_K, in terms of intersection multiplicities on the model X. This allows us to reformulate Grothendieck’s duality conjecture for Néron models of abelian varieties, in terms of relative algebraic equivalence

Soit E une surface elliptique définie sur un corps de nombres k de rang générique r. Un corollaire d'un théorème de spécialisation (Néron, Silverman) garantit que le rang de presque toutes les fibres est au moins égal à r. L'objectif principal de cette thèse est d'améliorer la borne inférieure pour une infinité de fibres. Pour les surfaces elliptiques rationnelles, on démontre moyennant certaines conditions sur leurs modèles minimaux, que l'ensemble de fibres dont le rang est supérieur ou égal à r + 2 est infini. Dans le cas des surfaces elliptiques K3 on obtient, modulo conditions, une infinité de fibres dont le rang supérieur ou égal à r -h 1. La technique principale est géométrique et consiste à produire des changements de base qui satisfont des conditions suffisantes pour garantir que la nouvelle surface possède au moins deux nouvelles sections indépendantes et a comme base une courbe avec une infinité des points rationnels. On étudie aussi d'autres aspects arithmétiques et géométriques des surfaces elliptiques comme le rapport entre les mauvaises fibres et les points éclatés pour obtenir une surface rationnelle, la construction des surfaces elliptiques rationnelles de rang cinq et enfin le signe de l'équation fonctionnelle dans une famille de courbes elliptiques<br>Let E be an elliptic surface defined over a number field k of generic rank r. A corollary of a specialization theorem (Neron, Silverman) assures that the rank of almost all fibres is at least equal to r. The main goal of this thesis is to improve the lower bound of the rank for infinitely many fibres. For a rational elliptic surface we show, subject to conditions on the fc-minimal model, that the set of fibres whose rank is at least r + 2 is infinite. In the case of K3 elliptic surfaces we obtain, modulo conditions, infinitely many fibres whose rank is at least r-f 1. The main technique is geometric and consists in producing base changes that satisfy sufficient conditions to assure that the base changed surface has two independant new sections and a base with infinitely many rational points. We also study other arithmetic and geometric aspects of elliptic surfaces such as the connection between the bad fibres and the points blown up to obtain a rational elliptic surface, the construction of rational elliptic surfaces of rank five and finally the sign of the functional equation in a family of elliptic curves

Ce travail comporte essentiellement deux conclusions. D'une part nous déterminons une minoration de la hauteur de Faltings d'une variété abélienne quelconque sur un corps de nombres faisant intervenir de nouveaux invariants non archimédiens. Il s'agit de la première partie de ce travail dans lequel nous introduisons systématiquement ces invariants. Ils sont liés à la géométrie non archimédienne aux places de mauvaise réduction des variétés abéliennes.Dans une deuxième partie nous donnons une évaluation approximative de ces invariants nous permettant d'établir une minoration de la hauteur de Faltings faisant intervenir le nombre de composantes de la fibre spéciale du modèle de Néron des variétés abéliennes aux places de mauvaise réduction.On déduit de ces estimations un corollaire qui fournit une borne sur le cardinal du groupe des points rationnels de torsion des variétés abéliennes faisant essentiellement intervenir la hauteur de Faltings. Cette borne est jusqu'à présent la meilleure connue<br>This thesis leads essentially to two conclusions. On the one hand we determine a lower bound for the Faltings height of abelian varieties over number fields in which enter new non-archimedean invariants. It consists in the first part of this work in which we introduce systematically this invariants. They are directly linked to the non-archimedean geometry of abelian varities at places of bad reduction.In a second part we provides an approximative evaluation of this invariants which leads to a lower bound on the Faltings heights in terms of the number of components of the special fiber of the Néron model of abelian varieties at places of bad reduction.We deduce from this estimates a corollary that provides an upper bound on the cardinality of the group of rational torsion points of abelian varieties essentially in terms of the Falting height. This bound is the best bound known till now

Ce travail est composé de deux parties indépendantes dans la première partie, on se donne une courbe elliptique e définie sur un corps local k de caractéristique 0 par une équation de Weierstrass. On calcule les valeurs possibles des valuations de c#4, c#6 et le discriminant pour chaque type de réduction possible. On traite en particulier les cas ou la caractéristique résiduelle de k est 2 ou 3. Notre théorème 1c) permet entre autres de résoudre une question posée récemment par J. Silverman: Quel est le plus grand exposant du conducteur lorsque la caractéristique résiduelle est 2. Dans la deuxième partie, on répond à la question suivante posée par B. Mazur: fixons une courbe elliptique e sur les rationnels et regardons e#6 le groupe des points de 6-torsion de e comme un module galoisien muni d'une forme symplectique, l'accouplement de Weil. On considère les courbes elliptiques e sur les rationnels dont la 6-torsion est galoisiennement et symplectiquement isomorphe à celle de e. Existe-t-il un nombre fini de telles e ou une infinité? nous donnons une réponse complète à cette question

Cette thèse est consacrée à l'étude de l'arithmétique des courbes elliptiques E sur les corps de fonctions K en caractéristique p&gt;0. Plus particulièrement, nous étudions le comportement asymptotique de leur ratio de Brauer-Siegel BS(E/K). Cet invariant compare à la hauteur différentielle exponentielle de E/K, le produit de son régulateur de Néron-Tate par l'ordre de son groupe de Tate-Shafarevich (que l'on suppose fini). Le ratio BS(E/K) est défini par analogie avec la quantité apparaissant dans le théorème éponyme pour les corps de nombres. Nous démontrons que BS(E/K) tend (inconditionnellement) vers 1 lorsque E/K parcourt une de cinq familles explicites. En d'autres termes, ces familles vérifient un analogue "complet" du théorème de Brauer-Siegel. Pour prouver cet analogue, nous exprimons les fonctions L des courbes elliptiques concernées en termes de sommes de caractères sur les corps fmis. Puis, via la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer, nous relions le ratio de Brauer-Siegel à la "valeur spéciale" L*(E/K, 1) de la fonction L en s=1 (pour les cinq familles étudiées, cette conjecture a été montrée par D. Ulmer, T. Shioda,. . . ). Reste alors à encadrer la taille de L*(E/K, 1) : la majoration est aisée, mais la minoration requiert des estimations plus délicates. Nous développons donc quelques outils adaptés : nous exprimons la valuation q-adique d'un produit de nombres algébriques (associés aux sommes de Jacobi) et démontrons un résultat d'équidistribution en moyenne des sous-groupes de (Z/dZ)*. Nous obtenons également quelques résultats auxiliaires sur le rang de Mordell-Weil, la torsion et le nombre de Tamagawa des courbes étudiées<br>This thesis is devoted to the study of the arithmetic of elliptic curves E over function fields K in characteristic p&gt;0 More precisely, we study the asymptotic behavious of their Brauer-Siegel ratio, denoted by BS(E/K). This invariant compares the product of its Néron-Tate regulator by the order of its Tate-Shafarevich group (assumed to be finite), to the differential height of E/K. The ratio BS(E/K) is defined in analogy with the quantity appearing in the classical Brauer-Siegel theorem for number fields. We prove that BS(E/K) has limit 1 (unconditionally) when E/K runs through one of five explicit families of elliptic curves. In other terms, those families satisfy a complete analogue of the Brauer-Siegel theorem. To prove such an analogue, we start by expressing the L-function of the relevant elliptic curves in terms of character sums over finite fields. Then, via the Birch and Swinnerton-Dyer conjecture, we link BS(E/K) to the "special value" L*(E/K, 1) of the L-function at s=1 (for the five families we study, this conjecture has been proved by D. Ulmer, T. Shioda,. . . ). It then remains to bound the size of L*(E/K, 1) : a good upper bound is easily proved, but the lower bound we require is more subtle. We thus develop tools to prove it : we express the q-adic valuation of a product of algebraic numbers (associated to Jacobi sums) and we prove an average equidistribution result for subgroups of (Z/dZ)*. We also obtain several auxiliary results on the Mordell-Weil rank, the torsion and the Tamagawa number of the elliptic curves we consider

This work aims to provide a better understanding of the low pressure discharge lamps. We will interest particularly in low pressure discharge filled with pure rare gas only : neon, argon and xenon. We have developed a collisionnal radiative model based mainly on the system formed by the balance equations of particles densities and the balance equation of energy. By solving this system we can then calculates the basic parameters that describe the positive column. In this model, we choose a simplified atomic structure for the emitting atom. That means, we describe the atom with the first fourteen energy levels. Another hypothesis is that we have supposed an infinite positive column in order to avoid electrodes phenoma&rsquo;s problems. The different parameters describing the plasma are shown when changing dimensions of the tube, the nature of the filling gas and the electrical input parameters. We can then deduce the optimal operating conditions for the low pressure mercury less discharge lamps