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Dissertations / Theses on the topic 'Mouvement brownien fractionnaire'
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Tudor, Ciprian A. "Calcul stochastique anticipant et mouvement brownien fractionnaire." La Rochelle, 2002. http://www.theses.fr/2002LAROS089.
Full textAbstract:
Le thème principal du présent travail est le calcul stochastique anticipant par rapport au processus de Wiener et par rapport au movement brownien fractionnaire. Le premier chapitre de la thèse contient la généralisation du calcul stochastique de type Skorohod pour des intégrateurs plus génér qui ne vérifient aucune propriété de martingale. Dans la deuxième partie nous étudions l'existence et les propriétés du temps local du mouvement brownien fractionnaire. Ensuite nous avons consideré le probleme de la convergence faible vers le mouvement brownien fractionnaire. La dernière partie de cette thèse étudie une classe d'équations stochastiques d'évolution avec un bruit fractionnaireThe main object of this thesis is the anticipating stochastic calculus with respect to the Wiener process and with respect to the fractional Brownian motion. The first chapter of this work contains a generalization of the Skorohod stochasic calculus for more general integrators without any martingale property. In the second part we study the existence and the properties of the local time of the fractional Brownian motion. Next we considered the problem of the weak convergence to the fractional Brownian motion. The last part of the thesis contains the study of a class of stochastic evolution equations with a fractional noise
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Savy, Nicolas. "Mouvement Brownien Fractionnaire, applications aux télécommunications. Calcul Stochastique relativement à des processus fractionnaires." Phd thesis, Université Rennes 1, 2003. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00003407.
Full textAbstract:
Le mouvement Brownien fractionnaire (mBf) est devenu un processus incontournable dès que l'on veut s'affranchir des propriétés de Markov et d'indépendance des accroissements. Nous verrons les principales propriétés de ce processus, nous insisterons sur certains aspects de son utilisation comme modèle de file fluide. On développe ensuite la construction d'une intégrale anticipative relative au mBf à partir de l'intégrale anticipative relative au mouvement Brownien. Fort de cette idée, nous avons introduit une intégrale anticipative relative à des processus de Poissons filtrés (pPf) à partir d'une intégrale anticipative pour des processus de Poissons marqués, intégrale que nous relions à l'intégrale de Stieltjès. L'étude se poursuit par une formule de Itô pour des fonctionnelles cylindriques et par un résultat sur la continuité de Holdër des processus intégrés. Pour finir, un théorème de convergence en loi d'une suite de pPf vers un processus de Volterra est établi.
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Baraka, Driss. "Propriétés fines des trajectoires du mouvement brownien fractionnaire /." [S.l.] : [s.n.], 2008. http://library.epfl.ch/theses/?nr=4252.
Full text
4
Darses, Sébastien. "Dynamique stochastique et contribution à l'étude du mouvement brownien fractionnaire." Besançon, 2006. http://www.theses.fr/2006BESA2060.
Full text
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Drouilhet, Rémy. "Dérivée de mouvement brownien fractionnaire et estimation de densité spectrale." Pau, 1993. http://www.theses.fr/1993PAUU3024.
Full textAbstract:
Les processus à densité spectrale du type L/F sont largement utilisés pour représenter des phénomènes dits à longue mémoire. Mandelbrot et Van Ness ont propose une définition de ces processus, appelés bruits gaussiens fractionnaires, à partir des taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire. Cependant, leur approche reste peu satisfaisante. Dans cette thèse, nous montrons que le bruit gaussien fractionnaire peut être rigoureusement défini comme la dérivée du mouvement brownien fractionnaire au sens des distributions vectorielles de Schwartz. De plus, notre approche permet notamment de mettre en évidence l'équivalence entre le concept de bruit gaussien fractionnaire et l'intégrale stochastique relative au mouvement brownien fractionnaire. La seconde partie de ce travail est consacrée à l'estimation de densité spectrale non nécessairement bornée à l'origine (ce qui est le cas pour les taux d'accroissements du mouvement brownien fractionnaire). Auparavant, de nombreux auteurs (Parzen, Anderson,. . . ) avaient montré que, sous certaines conditions dont l'absolue sommabilité de la fonction d'autocorrélation, certains estimateurs de la densité spectrale, obtenus par lissage de périodogramme, étaient consistants. Dans un but de généralisation, nous montrons que parmi ces estimateurs certains d'entre eux restent consistants lorsque la densité spectrale à estimer n'est pas bornée à l'origine
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Cai, Chunhao. "Analyse statistique de quelques modèles de processus de type fractionnaire." Thesis, Le Mans, 2014. http://www.theses.fr/2014LEMA1030/document.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur l’analyse statistique de quelques modèles de processus stochastiques gouvernés par des bruits de type fractionnaire, en temps discret ou continu.Dans le Chapitre 1, nous étudions le problème d’estimation par maximum de vraisemblance (EMV) des paramètres d’un processus autorégressif d’ordre p (AR(p)) dirigé par un bruit gaussien stationnaire, qui peut être à longue mémoire commele bruit gaussien fractionnaire. Nous donnons une formule explicite pour l’EMV et nous analysons ses propriétés asymptotiques. En fait, dans notre modèle la fonction de covariance du bruit est supposée connue, mais le comportement asymptotique de l’estimateur (vitesse de convergence, information de Fisher) n’en dépend pas.Le Chapitre 2 est consacré à la détermination de l’entrée optimale (d’un point de vue asymptotique) pour l’estimation du paramètre de dérive dans un processus d’Ornstein-Uhlenbeck fractionnaire partiellement observé mais contrôlé. Nous exposons un principe de séparation qui nous permet d’atteindre cet objectif. Les propriétés asymptotiques de l’EMV sont démontrées en utilisant le programme d’Ibragimov-Khasminskii et le calcul de transformées de Laplace d’une fonctionnellequadratique du processus.Dans le Chapitre 3, nous présentons une nouvelle approche pour étudier les propriétés du mouvement brownien fractionnaire mélangé et de modèles connexes, basée sur la théorie du filtrage des processus gaussiens. Les résultats mettent en lumière la structure de semimartingale et mènent à un certain nombre de propriétés d’absolue continuité utiles. Nous établissons l’équivalence des mesures induites par le mouvement brownien fractionnaire mélangé avec une dérive stochastique, et en déduisons l’expression correspondante de la dérivée de Radon-Nikodym. Pour un indice de Hurst H > 3=4, nous obtenons une représentation du mouvement brownien fractionnaire mélangé comme processus de type diffusion dans sa filtration naturelle et en déduisons une formule de la dérivée de Radon-Nikodym par rapport à la mesurede Wiener. Pour H < 1=4, nous montrons l’équivalence de la mesure avec celle la composante fractionnaire et obtenons une formule pour la densité correspondante. Un domaine d’application potentielle est l’analyse statistique des modèles gouvernés par des bruits fractionnaires mélangés. A titre d’exemple, nous considérons le modèle de régression linéaire de base et montrons comment définir l’EMV et étudié son comportement asymptotiqueThis thesis focuses on the statistical analysis of some models of stochastic processes generated by fractional noise in discrete or continuous time.In Chapter 1, we study the problem of parameter estimation by maximum likelihood (MLE) for an autoregressive process of order p (AR (p)) generated by a stationary Gaussian noise, which can have long memory as the fractional Gaussiannoise. We exhibit an explicit formula for the MLE and we analyze its asymptotic properties. Actually in our model the covariance function of the noise is assumed to be known but the asymptotic behavior of the estimator ( rate of convergence, Fisher information) does not depend on it.Chapter 2 is devoted to the determination of the asymptotical optimal input for the estimation of the drift parameter in a partially observed but controlled fractional Ornstein-Uhlenbeck process. We expose a separation principle that allows us toreach this goal. Large sample asymptotical properties of the MLE are deduced using the Ibragimov-Khasminskii program and Laplace transform computations for quadratic functionals of the process.In Chapter 3, we present a new approach to study the properties of mixed fractional Brownian motion (fBm) and related models, based on the filtering theory of Gaussian processes. The results shed light on the semimartingale structure andproperties lead to a number of useful absolute continuity relations. We establish equivalence of the measures, induced by the mixed fBm with stochastic drifts, and derive the corresponding expression for the Radon-Nikodym derivative. For theHurst index H > 3=4 we obtain a representation of the mixed fBm as a diffusion type process in its own filtration and derive a formula for the Radon-Nikodym derivative with respect to the Wiener measure. For H < 1=4, we prove equivalenceto the fractional component and obtain a formula for the corresponding derivative. An area of potential applications is statistical analysis of models, driven by mixed fractional noises. As an example we consider only the basic linear regression setting and show how the MLE can be defined and studied in the large sample asymptotic regime
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Zeineddine, Raghid. "Sur des nouvelles formules d'Itô en loi." Thesis, Université de Lorraine, 2014. http://www.theses.fr/2014LORR0179/document.
Full textAbstract:
Le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z est un processus qui sert de modèle à la diffusion d’un gaz le long d’une fissure. Dans cette thèse, réalisée sous la direction d'Ivan Nourdin, nous prouvons des formules de type Itô pour Z. Nos principaux outils sont le calcul de Malliavin, le calcul stochastique et l'utilisation de théorèmes limites. Une des spécificités des formules de changement de variables que nous avons obtenues est qu’elles ont lieu en loi, avec création d'un nouvel aléa. Ce mémoire est constitué d'un chapitre introductif, suivi de trois autres chapitres qui correspondent chacun à différents résultats obtenus lors de la préparation de cette thèse et rédigés sous forme d'articles de recherche. Plus précisément : 1) Dans un premier article, nous introduisons le processus central de cette thèse, à savoir le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z. Nous étudions ensuite les fluctuations de ses variations d’ordre p, où p est n'importe quel entier supérieur ou égal à 1. 2) Dans un deuxième article, avec mon encadrant Ivan Nourdin nous avons utilisé les résultats du premier article pour construire une formule de type Itô pour Z. Pour ce faire, nous avons étendu à notre cadre une idée due originellement à Khoshnevisan et Lewis, consistant à travailler avec une partition aléatoire du temps au lieu de la partition déterministe classique. 3) Enfin, dans un troisième et dernier article, nous avons prolongé la formule unidimensionnelle décrite en 2) au cadre bidimensionnelFractional Brownian motion in Brownian time Z may serve as a model for the motion of a single gas particle constrained to evolve inside a crack. In this PhD thesis, written under the supervision of Ivan Nourdin, we prove Itô's type formulas for Z. To achieve this goal, our main tools are the Malliavin calculus, the stochastic calculus and the use of limit theorems. One of the specificity of the formula we have obtained is that they hold in law, with creation of a new alea. This manuscript consists in an introductory chapter, followed by three other chapters, each one corresponding to different results obtained along the preparation of this thesis and written is the form of research papers. More precisely: 1) In a first paper, we introduce the central process of this thesis, namely the fractional Brownian motion in Brownian time Z. Then, we study the fluctuations of its power variations of order p, for any integer p greater than or equal to 1. 2) In a second paper, written jointly with my supervisor Ivan Nourdin, we use the results obtained in 1) to build an Itô's type formula for Z. To do so, we need to extend to our setting an approach originally due to Khoshnevisan and Lewis, consisting in rather working with a random partition of time, instead of the classical uniform deterministic partition. 3) Finally, in a third and last paper, we extend to bi-dimension the one- dimensional formula obtained in 2)
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Herbin, Erick. "Processus (multi-)fractionnaires à paramètres multidimensionnels et régularité höldérienne." Paris 11, 2004. http://www.theses.fr/2004PA112170.
Full textAbstract:
Le mouvement brownien multifractionnaire est une generalisation du bien connu mouvement brownien fractionnaire, pour lequel le parametre d'autosimilarite est remplace par une fonction. Cette substitution permet a la regularite locale de varier le long des trajectoires. Dans un premier article, des extensions de ces processus pour des parametres multidimensionnels, sont etudiees. Pour chacun d'eux, deux types d'extension sont definis : l'une est isotrope, l'autre non. Les proprietes fractales des processus a parametre reel, sont etendues : l'autosimilarite et la stationnarite des accroissements dans le cas fractionnaire, et l'autosimilarite asymptotique locale dans le cas multifractionnaire. La construction et l'etude d'un mouvement brownien fractionnaire indexe par des ensembles, est l'objet d'un deuxieme article. Les proprietes fractales sont definies pour un processus indexe par des ensembles et prouvees dans le cas de notre processus. Enfin, son comportement sur les chemins croissants est examine : le processus a parametre reel obtenu par projection sur les flots, est un fbm classique change de temps. Dans un troisieme article, on etend l'analyse 2-microlocale au cadre stochastique des processus gaussiens. Celle-ci permet de predire la regularite des processus obtenus par action d'operateurs integro-differentiels. La valeur presque sure de la frontiere 2-microlocale du mouvement brownien (multi-)fractionnaire est evalueeThe multifractional brownian motion is a generalization of the well-known fractional brownian motion, where the constant index of self-similarity is substituted with a function. This substitution allows the local regularity to vary along the paths. In a first paper, multiparameter extensions of these processes are studied. For each of one, two kinds of extension are defined: one is isotropic, the other is not. The fractal properties of one-parameter processes are extended: self-similarity and increments stationarity in the fractional case, and the locally asymptotic self-similarity in the multifractional case. The definition and study of a set-indexed fractional brownian motion, is the object of a second paper. Fractal properties are defined for a set-indexed process, and proved for our process. Eventually, behavior along increasing paths are examined: the one-parameter process obtained from projection along flows, is a time-changed classical fbm. In a third paper, we extend the 2-microlocal analysis to the stochastic case of gaussian processes. This allows to predict the regularity of processes obtained by action of integro-differential operators. The almost sure value of the 2-microlocal frontier of the (multi-)fractional brownian motion is computed
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Marouby, Matthieu. "Trois études de processus fractionnaires." Toulouse 3, 2010. http://thesesups.ups-tlse.fr/946/.
Full textAbstract:
Une première partie concerne la simulation du processus nommé Local Time Fractional Stable Motion (LTFSM). Ce processus, introduit par Cohen et Samorodnitsky en 2006, est défini comme l'intégrale du temps local d'un mouvement brownien fractionnaire par rapport à une mesure aléatoire stable, les deux aléas étant définis sur deux espaces de probabilité indépendants. La méthode repose sur la représentation en série du processus et on obtient un contrôle de l'approximation. Dans une seconde partie, on étudie des processus obtenus comme limite de sommes de micropulsations. Dans ce cas on étudie en particulier le comportement si les "montées" et les "descentes" ne sont pas égales. Enfin, on généralise ces processus à des index multidimensionnels. Les processus limites obtenus sont variés, du mouvement brownien standard à des draps browniens multifractionnaires selon les cas étudiés. Enfin, on étudie un modèle physique correspondant au champ créé par des particules chargées distribuées dans un hyperplan. Le processus limite est fractionnaire, gaussien, centré et, dans certains cas, connu (notamment le mouvement brownien fractionnaire). On étudie ensuite certaines propriétés, comme le nombre de minimum locaux obtenus. Cette partie soulève de nombreuses questions encore ouvertesThe first part is devoted to the simulation of the Local Time Fractional Stable Motion (LTFSM). This process, which was introduced in 2006 by Cohen and Samorodnitsky, is defined as the integration of the local time of a fractional Brownian motion with respect to a random stable measure, the randomness of both objects being defined on two independent probability spaces. Using a series representation method to simulate it, I obtain a control of the approximation. In the second part, I study processes obtained as limits of sums of micropulses, specifically focusing on behavior when "ups" and "downs" of the micropulses are not equal. Then, I generalize the processes obtained to processes with multidimensional indices. Processes obtained in this work vary from standard Brownian motions to multifractional Brownian sheets. Finally, I study a model from physic theory, a field created by charged particles randomly distributed in a hyperplan. The limit process is fractional, centered, Gaussian and in some cases well-known like fractional Brownian motion. Eventually, I study some of its characteristics, such as the number of local minima. This part raises many questions that have yet to be resolved
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Delorme, Mathieu. "Processus stochastiques et systèmes désordonnés : autour du mouvement Brownien." Thesis, Paris Sciences et Lettres (ComUE), 2016. http://www.theses.fr/2016PSLEE058/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, on étudie des processus stochastiques issus de la physique statistique. Le mouvement Brownien fractionnaire, objet central des premiers chapitres, généralise le mouvement Brownien aux cas où la mémoire est importante pour la dynamique. Ces effets de mémoire apparaissent par exemple dans les systèmes complexes et la diffusion anormale. L’absence de la propriété de Markov rend difficile l’étude probabiliste du processus. On développe une approche perturbative autour du mouvement Brownien pour obtenir de nouveaux résultats, sur des observables liées aux statistiques des extrêmes. En plus de leurs applications physiques, on explore les liens de ces résultats avec des objets mathématiques, comme les lois de Lévy et la constante de PickandsIn this thesis, we study stochastic processes appearing in different areas of statistical physics: Firstly, fractional Brownian motion is a generalization of the well-known Brownian motion to include memory. Memory effects appear for example in complex systems and anomalous diffusion, and are difficult to treat analytically, due to the absence of the Markov property. We develop a perturbative expansion around standard Brownian motion to obtain new results for this case. We focus on observables related to extreme-value statistics, with links to mathematical objects: Levy’s arcsine laws and Pickands’ constant. Secondly, the model of elastic interfaces in disordered media is investigated. We consider the case of a Brownian random disorder force. We study avalanches, i.e. the response of the system to a kick, for which several distributions of observables are calculated analytically. To do so, the initial stochastic equation is solved using a deterministic non-linear instanton equation. Avalanche observables are characterized by power-law distributions at small-scale with universal exponents, for which we give new results
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Zeineddine, Raghid. "Sur des nouvelles formules d'Itô en loi." Electronic Thesis or Diss., Université de Lorraine, 2014. http://www.theses.fr/2014LORR0179.
Full textAbstract:
Le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z est un processus qui sert de modèle à la diffusion d’un gaz le long d’une fissure. Dans cette thèse, réalisée sous la direction d'Ivan Nourdin, nous prouvons des formules de type Itô pour Z. Nos principaux outils sont le calcul de Malliavin, le calcul stochastique et l'utilisation de théorèmes limites. Une des spécificités des formules de changement de variables que nous avons obtenues est qu’elles ont lieu en loi, avec création d'un nouvel aléa. Ce mémoire est constitué d'un chapitre introductif, suivi de trois autres chapitres qui correspondent chacun à différents résultats obtenus lors de la préparation de cette thèse et rédigés sous forme d'articles de recherche. Plus précisément : 1) Dans un premier article, nous introduisons le processus central de cette thèse, à savoir le mouvement brownien fractionnaire en temps brownien Z. Nous étudions ensuite les fluctuations de ses variations d’ordre p, où p est n'importe quel entier supérieur ou égal à 1. 2) Dans un deuxième article, avec mon encadrant Ivan Nourdin nous avons utilisé les résultats du premier article pour construire une formule de type Itô pour Z. Pour ce faire, nous avons étendu à notre cadre une idée due originellement à Khoshnevisan et Lewis, consistant à travailler avec une partition aléatoire du temps au lieu de la partition déterministe classique. 3) Enfin, dans un troisième et dernier article, nous avons prolongé la formule unidimensionnelle décrite en 2) au cadre bidimensionnelFractional Brownian motion in Brownian time Z may serve as a model for the motion of a single gas particle constrained to evolve inside a crack. In this PhD thesis, written under the supervision of Ivan Nourdin, we prove Itô's type formulas for Z. To achieve this goal, our main tools are the Malliavin calculus, the stochastic calculus and the use of limit theorems. One of the specificity of the formula we have obtained is that they hold in law, with creation of a new alea. This manuscript consists in an introductory chapter, followed by three other chapters, each one corresponding to different results obtained along the preparation of this thesis and written is the form of research papers. More precisely: 1) In a first paper, we introduce the central process of this thesis, namely the fractional Brownian motion in Brownian time Z. Then, we study the fluctuations of its power variations of order p, for any integer p greater than or equal to 1. 2) In a second paper, written jointly with my supervisor Ivan Nourdin, we use the results obtained in 1) to build an Itô's type formula for Z. To do so, we need to extend to our setting an approach originally due to Khoshnevisan and Lewis, consisting in rather working with a random partition of time, instead of the classical uniform deterministic partition. 3) Finally, in a third and last paper, we extend to bi-dimension the one- dimensional formula obtained in 2)
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Nourdin, Ivan. "Calcul stochastique généralisé et applications au mouvement brownien fractionnaire : Estimation non paramétrique de la volatilité et test d'adéquation." Phd thesis, Université Henri Poincaré - Nancy I, 2004. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00008600.
Full textAbstract:
Dans la première partie de cette thèse, nous introduisons des intégrales d'ordre m et leur associons des formules d'Ito. Nous nous intéressons plus particulièrement au cas du mouvement brownien fractionnaire. Dans la seconde partie, nous étudions les approximations aux premier et second ordres des intégrales d'ordre m. Nous donnons des résultats de convergences presque-sure et en loi. Dans la troisième partie, nous nous intéressons aux équations différentielles dirigées par une fonction holdérienne. Nous donnons un résultat d'existence et d'unicité et étudions deux approximations de la solution. Dans la quatrième partie, nous étudions l'absolue continuité de la loi de la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un mouvement brownien fractionnaire. Nous proposons un critère simple assurant que la solution au temps t admet une densité. Enfin, la dernière partie s'intéresse à l'estimation du coefficient de volatilité de la solution d'une équation différentielle stochastique classique. Nous construisons également un test d'adéquation.
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Venet, Nil. "Sur l'existence de champs browniens fractionnaires indexés par des variétés." Thesis, Toulouse 3, 2016. http://www.theses.fr/2016TOU30377/document.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur l'existence de champs browniens fractionnaires indexés par des variétés riemanniennes. Ces objets héritent des propriétés qui font le succès du mouvement brownien fractionnaire classique (H-autosimilarité des trajectoires ajustable, accroissements stationnaires), mais autorisent à considérer des applications où les données sont portées par un espace qui peut par exemple être courbé ou troué. L'existence de ces champs n'est assurée que lorsque la quantité 2H est inférieure à l'indice fractionnaire de la variété, qui n'est connu que dans un petit nombre d'exemples. Dans un premier temps nous donnons une condition nécessaire pour l'existence de champ brownien fractionnaire. Dans le cas du champ brownien (correspondant à H=1/2) indexé par des variétés qui ont des géodésiques fermées minimales, cette condition s'avère très contraignante : nous donnons des résultats de non-existence dans ce cadre, et montrons notamment qu'il n'existe pas de champ brownien indexé par une variété compacte non simplement connexe. La condition nécessaire donne également une preuve courte d'un fait attendu qui est la non-dégénérescence du champ brownien indexé par les espaces hyperboliques réels. Dans un second temps nous montrons que l'indice fractionnaire du cylindre est nul, ce qui constitue un exemple totalement dégénéré. Nous en déduisons que l'indice fractionnaire d'un espace métrique n'est pas continu par rapport à la convergence de Gromov-Hausdorff. Nous généralisons ce résultat sur le cylindre à un produit cartésien qui possède une géodésique fermée minimale, et donnons une majoration de l'indice fractionnaire de surfaces asymptotiquement proches du cylindre au voisinage d'une géodésique fermée minimaleThe aim of the thesis is the study of the existence of fractional Brownian fields indexed by Riemannian manifolds. Those fields inherit key properties of the classical fractional Brownian motion (sample paths with self-similarity of adjustable parameter H, stationary increments), while allowing to consider applications with data indexed by a space which can be for example curved or with a hole. The existence of those fields is only insured when the quantity 2H is inferior or equal to the fractional index of the manifold, which is known only in a few cases. In a first part we give a necessary condition for the fractional Brownian field to exist. In the case of the Brownian field (corresponding to H=1/2) indexed by a manifold with minimal closed geodesics this condition happens to be very restrictive. We give several nonexistence results in this situation. In particular we show that there exists no Brownian field indexed by a nonsimply connected compact manifold. Our necessary condition also gives a short proof of an expected result: we prove the nondegeneracy of fractional Brownian fields indexed by the real hyperbolic spaces. In a second part we show that the fractional index of the cylinder is null, which gives a totally degenerate case. We deduce from this result that the fractional index of a metric space is noncontinuous with respect to the Gromov-Hausdorff convergence. We generalise this result about the cylinder to a Cartesian product with a closed minimal geodesic. Furthermore we give a bound of the fractional index of surfaces asymptotically close to the cylinder in the neighbourhood of a closed minimal geodesic
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Perpète, Nicolas. "Construction et étude de quelques processus multifractals." Thesis, Lille 1, 2013. http://www.theses.fr/2013LIL10191/document.
Full textAbstract:
Mis en évidence dans les années 80 dans les domaines de la turbulence et des attracteurs étranges, les multifractals ont rapidement gagné en popularité. On les trouve aujourd'hui en finance, en géophysique, dans l'étude du trafic internet et dans bien d'autres domaines des sciences appliquées. Cet essor s'est accompagné de la nécessité de construire des modèles théoriques adaptés. La Mesure Aléatoire Multifractale de Bacry et Muzy est l'un de ces modèles. Du fait de son caractère très général, de sa grande souplesse et de sa relative simplicité, elle est devenue un outil central du domaine des multifractals depuis dix ans. Après un chapitre introductif, on propose dans cette thèse la construction de deux familles de processus multifractals. Ces constructions reposent sur les travaux de Schmitt et de ses co-auteurs et sur ceux de Bacry et Muzy. Dans le chapitre 2, on construit des processus multifractals à partir de moyennes mobiles alpha-stables, tandis que le chapitre 3 est consacré à la construction des Marches Aléatoires Fractionnaires Multifractales d'indice de Hurst 0Since their emergence in the 80's in the areas of turbulence and of strange attractors, multifractals have gained popularity. They appear now in finance, geophysics, study of network traffic and in many other areas of applied sciences. This development required adapted theoretical models. Bacry and Muzy's Multifractal Random Measure is one of these models. Thanks to its generality, its flexibility and to its relative simplicity, it became central in the domain of multifractals over the past ten years.In this PhD thesis, two families of multifractal processes are proposed. Their construction is based on the works of Schmitt and co-authors and of those of Bacry and Muzy. After the introduction (chapter 1), we use in chapter 2 alpha-stable moving averages to build multifractal processes; whereas chapter 3 is devoted to the construction of Multifractal Fractional Random Walks with Hurst index 0
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Hadouni, Doha. "Détection de rupture hors ligne sur des processus dépendants." Thesis, Université Clermont Auvergne (2017-2020), 2017. http://www.theses.fr/2017CLFAC098.
Full text
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Zintout, Rola. "Sur différents problèmes de convergence en loi dans l'espace de Wiener." Thesis, Université de Lorraine, 2015. http://www.theses.fr/2015LORR0124/document.
Full textAbstract:
La thèse porte sur l'approximation probabiliste dans un contexte fractionnaire, c'est-a-dire dans des modèles reliés d'une manière ou d'une autre au mouvement brownien fractionnaire. Le dénominateur commun de nos résultats est qu'ils proposent des conditions générales sous lesquelles une variable aléatoire de loi compliquée converge, en loi, vers une variable aléatoire de loi plus aisée. Et quand cela a été possible, nous avons aussi cherché à associer des vitesses de convergence. Les outils utilisés sont reliés a un domaine de recherche récent, appelé approche de Malliavin-Stein. En 2005, Nualart et Peccati ont découvert un théorème limite surprenant (qui porte aujourd'hui le nom de théorème du moment quatrième) pour les suites d'intégrales multiples de Wiener-Itô: pour de telles suites et après renormalisation, la convergence en loi vers la gaussienne standard se trouve être équivalente à la convergence du seul moment quatrième. Peu de temps après la publication de ce joli résultat, Peccati et Tudor l'ont étendu au cadre multivarié. Et, depuis, de nombreuses améliorations et nouveaux développements sont apparus dans la littérature, notamment un article de Nourdin et Peccati qui, pour la première fois, a combiné la méthode de Stein avec le calcul de Malliavin, offrant ainsi un cadre dans lequel il est maintenant possible d'associer une vitesse de convergence au théorème du moment quatrième. Nous nous intéressons dans cette thèse à la distance en variation totale entre les lois de deux intégrales doubles de Wiener-Itô. Nous améliorons des résultats antérieurs dus à Davydov et Martinova . Puis on étudie le comportement asymptotique des variations croisées d'un processus bidimensionnel ayant la forme d'une intégrale de Young. Finalement, on établit la convergence multivariée de certains processus de Volterra construits à partir du mouvement brownien fractionnaireThe thesis deals with the probabilistic approximation in a fractional context, which means in models connected in one way or another to the fractional Brownian motion. The common denominator of our results is that they offer general conditions under which a random variable having a complicated law converges in law to a random variable with easier law. And when this was possible, we have also associated convergence rates. The tools are linked to a recent research field, called Malliavin-Stein approach. In 2005, Nualart and Peccati have discovered a surprising limit theorem (known as the fourth moment theorem) for series of multiple Wiener-Itô integrals: for such series and after renormalization, convergence in distribution to standard Gaussian happens to be equivalent to the convergence of the fourth moment only. Shortly after the publication of this nice result, Peccati and Tudor have extended it to the multivariate case. And since many improvements and new developments have appeared in the literature, including an article by Nourdin and Peccati which for the first time combined the method of Stein with the Malliavin calculus, providing a framework in which it is now possible to associate a rate of convergence to the fourth moment theorem. We focus in this thesis on the total variation distance between the laws of two double Wiener-Itô integrals. We improve a previous result of Davydov and Martinova. Then we study the asymptotic behavior of a two-dimensional cross-variation process that has the form of a Young integral. Finally, a multivariate convergence is established of some Volterra processes built from the fractional Brownian motion
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Carvalho, Odile. "Exploitation de la statistique du champ de speckle pour l'aide au diagnostic du syndrome cutané d'irradiation aigüe : confrontation des résultats biophysiques et biologiques." Thesis, Paris Est, 2008. http://www.theses.fr/2008PEST0087.
Full textAbstract:
La surexposition aux rayonnements ionisants est actuellement une préoccupation croissante des cliniciens. Lors d'une exposition externe, la peau est le premier tissu lésé. Or, il n'existe pas d'outil fiable qui permette de diagnostiquer l'atteinte tissulaire. L'objectif de ce travail est donc de montrer la possibilité d'utiliser une méthode non invasive pour l'aide in vivo au diagnostic et au pronostic du syndrome cutané d'irradiation aigüe. La première partie de ce travail concerne le choix de la méthode d'investigation. L'interaction entre une lumière cohérente et un milieu diffusant engendre un phénomène d'interférence appelé speckle. Une analyse fréquentielle classique sur le champ de speckle est complétée par une approche stochastique pour en extraire des paramètres caractérisant les figures de speckle. Dans la deuxième partie le protocole expérimental a été testé afin de mieux comprendre le comportement des paramètres en fonciton de quelques propriétés physiques de milieux diffusants synthétiques. Cette étude a révélé que certains des paramètres du speckle étaient plus influencés par les gros diffuseurs (Mie) alors que d'autres l'étaient par les plus petits (Rayleigh). La troisième partie concerne l'application de cette méthode in vivo au syndrome cutané d'irradiation aigüe chez le porc. L'analyse des résultats acquis lors du suivi de plusieurs animaux montre la possibilité de discriminer les zones irradiées des zones saines plusieurs semaines avant l'apparition des premiers signes cliniques. Enfin, pour comprendre les résultats obtenus sur la brûlure radiologique, nous avons confronté l'ensemble des résultats physiques et ceux obtenus par les analyses histologiquesOverexposure to ionizing radiation is now a growing concern of clinicians. In case of external exposure, the skin is the first tissue exposed. However, there are no tools that can diagnose pathological tissue. The objective of this work is to demonstrate the possibility of using a non-invasive method for in vivo diagnosis and prognosis of acute cutaneous radiation syndrome. The first part of this work concerns the choice of the investigation method. Interaction of coherent light and scattering medium creates a phenomenon called speckle. A classical frequential analysis on the spekle field is supplemented by a stochastic approach to extract parameters characterizing speckle patterns. In the second part, the experimental setup has been tested in order to understand the parameters behavior in function of some physical properties of synthetic scattering media. The study revealed that some of the speckle parameters were more influenced by big scatterers (Mie) while others were by the smallest (Rayleigh). The third part concerns the in vivo application of this method on acute cutaneous radiation syndrome in pigs. Analysis of the results gained during the monitoring of several animals showeb the ability to discriminate between irradiated and healthy zones several weeks before apparition of firsts clinical signs. Finally, in order to understand the results on the radiological burn, we have confronted all physical results and those obtained by histological analyses
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Deya, Aurélien. "Etude de systèmes différentiels fractionnaires." Thesis, Nancy 1, 2010. http://www.theses.fr/2010NAN10070/document.
Full textAbstract:
Ce mémoire de thèse est consacré à l’interprétation et la résolution de différents types de systèmes différentiels, fini ou infini-dimensionnels, dirigés par un processus höldérien. La stratégie mise en œuvre consiste en une adaptation de la théorie des trajectoires rugueuses pour les équations différentielles ordinaires. Sont plus particulièrement considérés le cas de l’équation de Volterra et le cas de l’équation de la chaleur. Le mémoire fait en outre apparaître une réflexion systématique sur les retombées de cette approche en termes d’interprétation de systèmes stochastiques, avec une attention particulière portée au cas du mouvement Brownien fractionnaire. Il propose enfin une analyse détaillée de plusieurs schémas d’approximation numérique des solutionsThis PhD thesis work is devoted to the study of some finite and infinite-dimensional differential systems driven by Hölder processes. The general strategy consists in adapting the rough paths methods, originally designed to handle standard systems only. More specifically, we consider the case of the Volterra systems, as well as the case of heat equations. This work also focuses on the spin-offs of the rough paths approach as far as stochastic systems are concerned, with a special attention to the fractional Brownian motion. Finally, a detailed analysis of several approximation schemes for the solutions is provided
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Bégyn, Arnaud. "Generalized quadratic variations of gaussian processes : limits theorems and applications to fractional processes." Toulouse 3, 2006. http://www.theses.fr/2006TOU30058.
Full textAbstract:
Si X est un processus fractionnaire, il existe un paramètre H(X) pouvant être vectoriel, ou même fonctionnel. Il est relié aux propriétés d'autosimilarité et de régularité des trajectoires du processus. C'est donc un paramètre très pertinent à prendre en compte dans une étude statistique. Le but de notre thèse est de donner des conditions sur un processus gaussien X, qui sont vérifiées dans le cas des processus fractionnaires, et qui permettent de trouver une normalisation rendant sa variation quadratique du second ordre presque sûrement convergente et asymptotiquement normale. Comme dans le cas du mouvement brownien fractionnaire, notre étude permet de construire une "bonne" estimation de certains paramètres des processus fractionnaires considérés. Pour cela nous considérerons la statistique usuelle associée à la variation quadratique du second ordreIf X is a fractional process, there exists a parameter H(X), which may be a vector or a function. This parameter is related to the properties of self-similarity of X and to the regularity of its trajectories. Therefore it is a relevant quantity which must be taken into account in a statistical study. The purpose of our PhD thesis is to yield conditions on a Gaussian processes X, which are satisfied in the case of fractional processes, and which enable to find a normalization returning its second order quadratic variation almost surely convergent and asymptotically normal. As in the case of the fractional Brownian motion, our work enables to construct a “good” estimation of some parameters of the considered fractional processes. For that we consider the usual statistic associated to the second order quadratic variation
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Nourdin, Ivan. "Contributions à l'étude des processus gaussiens." Habilitation à diriger des recherches, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2008. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00287738.
Full textAbstract:
Le chapitre 1 est principalement consacré au comportement asymptotique des variations à poids du mouvement brownien fractionnaire. Tout d'abord, après avoir motivé l'intérêt d'une telle étude et rappelé la situation ``sans poids'', nous voyons que dans certains cas (en fonction de la valeur de l'indice de Hurst H), la situation ``avec poids'' peut être très différente. Ensuite, nous nous intéressons plus particulièrement au cas où H vaut 1/4, et nous faisons le lien avec une conjecture récente par (Burdzy et) Swanson concernant la possibilité d'écrire une formule d'Itô pour la solution de l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un bruit blanc espace-temps. Enfin, nous traitons le cas du mouvement brownien itéré, en faisant apparaître à la limite une version à poids du mouvement brownien en scène aléaoire introduit par Kesten et Spitzer dans les années 70.Le chapitre 2 présente des théorèmes limites abstraits (principalement valables pour une suite (F_n) d'intégrales multiples par rapport à un processus gaussien isonormal X) sous des hypothèses concernant la dérivée de Malliavin de F_n. Nous y exposons notamment une nouvelle méthode donnant (de manière étonnament simple) une estimation de type Berry-Esséen quand la suite (F_n) converge en loi vers une gaussienne. En particulier, cette méthode permet d'estimer la vitesse de convergence dans le classique théorème de Breuer et Major. Notons que les outils présentés dans ce chapitre sont la base des résultats obtenus dans le premier chapitre.
Le chapitre 3 est consacré à mes travaux relatifs à la théorie de l'intégration contre des ``chemins rugueux'' (rough paths en anglais). Tout d'abord, nous faisons un lien avec l'intégration par régularisation à la Russo-Vallois. Ensuite, nous étudions un problème de contrôle optimal. Enfin, nous exploitons l'intégration algébrique récemment introduite par Gubinelli pour calculer le développement asymptotique de la ``loi'' de la solution d'une équation différentielle stochastique dirigée par un brownien fractionnaire d'une part, et pour étudier les équations différentielles avec retard dirigées par un chemin rugueux d'autre part.
Enfin, dans le chapitre 4, nous définissons et étudions un nouvel objet, appelé ``dérivée stochastique''. Puis, nous illustrons certains phénomènes généraux en appliquant cette théorie au cas du mouvement brownien fractionnaire avec dérive.
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Zintout, Rola. "Sur différents problèmes de convergence en loi dans l'espace de Wiener." Electronic Thesis or Diss., Université de Lorraine, 2015. http://www.theses.fr/2015LORR0124.
Full textAbstract:
La thèse porte sur l'approximation probabiliste dans un contexte fractionnaire, c'est-a-dire dans des modèles reliés d'une manière ou d'une autre au mouvement brownien fractionnaire. Le dénominateur commun de nos résultats est qu'ils proposent des conditions générales sous lesquelles une variable aléatoire de loi compliquée converge, en loi, vers une variable aléatoire de loi plus aisée. Et quand cela a été possible, nous avons aussi cherché à associer des vitesses de convergence. Les outils utilisés sont reliés a un domaine de recherche récent, appelé approche de Malliavin-Stein. En 2005, Nualart et Peccati ont découvert un théorème limite surprenant (qui porte aujourd'hui le nom de théorème du moment quatrième) pour les suites d'intégrales multiples de Wiener-Itô: pour de telles suites et après renormalisation, la convergence en loi vers la gaussienne standard se trouve être équivalente à la convergence du seul moment quatrième. Peu de temps après la publication de ce joli résultat, Peccati et Tudor l'ont étendu au cadre multivarié. Et, depuis, de nombreuses améliorations et nouveaux développements sont apparus dans la littérature, notamment un article de Nourdin et Peccati qui, pour la première fois, a combiné la méthode de Stein avec le calcul de Malliavin, offrant ainsi un cadre dans lequel il est maintenant possible d'associer une vitesse de convergence au théorème du moment quatrième. Nous nous intéressons dans cette thèse à la distance en variation totale entre les lois de deux intégrales doubles de Wiener-Itô. Nous améliorons des résultats antérieurs dus à Davydov et Martinova . Puis on étudie le comportement asymptotique des variations croisées d'un processus bidimensionnel ayant la forme d'une intégrale de Young. Finalement, on établit la convergence multivariée de certains processus de Volterra construits à partir du mouvement brownien fractionnaireThe thesis deals with the probabilistic approximation in a fractional context, which means in models connected in one way or another to the fractional Brownian motion. The common denominator of our results is that they offer general conditions under which a random variable having a complicated law converges in law to a random variable with easier law. And when this was possible, we have also associated convergence rates. The tools are linked to a recent research field, called Malliavin-Stein approach. In 2005, Nualart and Peccati have discovered a surprising limit theorem (known as the fourth moment theorem) for series of multiple Wiener-Itô integrals: for such series and after renormalization, convergence in distribution to standard Gaussian happens to be equivalent to the convergence of the fourth moment only. Shortly after the publication of this nice result, Peccati and Tudor have extended it to the multivariate case. And since many improvements and new developments have appeared in the literature, including an article by Nourdin and Peccati which for the first time combined the method of Stein with the Malliavin calculus, providing a framework in which it is now possible to associate a rate of convergence to the fourth moment theorem. We focus in this thesis on the total variation distance between the laws of two double Wiener-Itô integrals. We improve a previous result of Davydov and Martinova. Then we study the asymptotic behavior of a two-dimensional cross-variation process that has the form of a Young integral. Finally, a multivariate convergence is established of some Volterra processes built from the fractional Brownian motion
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Jing, Shuai. "Quelques applications de la théorie d'EDSR : EDDSR fractionnaire et propriétés de régularité des EDP-Intégrales." Phd thesis, Université de Bretagne occidentale - Brest, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00904183.
Full textAbstract:
Dans la première partie de ma thèse, en adaptant l'idée de Jien et Ma (2010), l'objectif principal est étudier les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades, semi-linéaires ou nonlinéaires, régies par un mouvement brownien standard et un mouvement brownien fractionnaire indépendant, ainsi que les équations différentielles partielles stochastiques associées régies par le mouvement brownien fractionnaire. Pour le cas semi-linéaire, dans un papier en collaboration avec Jorge A. Leόn (CINVESTAV, Mexique), nous utilisons le calcul de Malliavin dans le cadre du mouvement brownien fractionnaire et la transformation de Girsanov anticipative. Pour le cas nonlinéaire, nous appliquons la transformation de Doss-Sussmann. Dans la deuxième partie nous étudions la régularité, à savoir la continuité de Lipschitz conjointe et la semiconcavité conjointe, de la solution de viscosité pour une classe générale d'équations aux dérivées partielles-intégrales non locales de type Hamilton-Jacobi-Bellman. Pour cette fin nous employons l'interprétation stochastique par une équation différentielle stochastique rétrograde contrôlée avec sauts, en appliquant du changement de temps pour le mouvement brownien et la transformation de Kulik pour la mesure aléatoire de Poisson. Notre travail est une généralisation des travaux de Buckdahn, Cannarsa et Quincampoix (2010) et Buckdahn, Huang et Li (2011).
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Coeurjolly, Jean-François. "Inférence statistique pour les mouvements browniens fractionnaires et multifractionnaires." Phd thesis, Université Joseph Fourier (Grenoble), 2000. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00006736.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous étudions divers problèmes statistiques liés à deux modèles paramétriques stochastiques que sont le mouvement brownien fractionnaire (mbf) et le mouvement brownien multifractionnaire (mbm). Le mbf a été introduit en statistique à partir de 1968 pour modéliser des phénomènes autosimilaires (i.e. invariants par changements d'échelle) et des séries chronologiques exhibant une structure de dépendance uniforme qui décroî t de manière hyperbolique avec le temps. Le mbm, apparu beaucoup plus récemment, constitue une extension du mbf au sens où la structure de dépendance peut évoluer au cours du temps : l'autosimilarité n'est alors vérifiée qu'asymptotiquement localement. L'objectif initial de ce travail de recherche a été l'identification de ce dernier modèle. Néanmoins, ce travail a nécessité des connaissances théoriques constituées par un traitement approfondi et pertinent du mbf, tant sur la compréhension des résultats obtenus jusqu'alors que sur leurs extensions.
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Deya, Aurélien. "Etude de systèmes différentiels fractionnaires." Electronic Thesis or Diss., Nancy 1, 2010. http://www.theses.fr/2010NAN10070.
Full textAbstract:
Ce mémoire de thèse est consacré à l’interprétation et la résolution de différents types de systèmes différentiels, fini ou infini-dimensionnels, dirigés par un processus höldérien. La stratégie mise en œuvre consiste en une adaptation de la théorie des trajectoires rugueuses pour les équations différentielles ordinaires. Sont plus particulièrement considérés le cas de l’équation de Volterra et le cas de l’équation de la chaleur. Le mémoire fait en outre apparaître une réflexion systématique sur les retombées de cette approche en termes d’interprétation de systèmes stochastiques, avec une attention particulière portée au cas du mouvement Brownien fractionnaire. Il propose enfin une analyse détaillée de plusieurs schémas d’approximation numérique des solutionsThis PhD thesis work is devoted to the study of some finite and infinite-dimensional differential systems driven by Hölder processes. The general strategy consists in adapting the rough paths methods, originally designed to handle standard systems only. More specifically, we consider the case of the Volterra systems, as well as the case of heat equations. This work also focuses on the spin-offs of the rough paths approach as far as stochastic systems are concerned, with a special attention to the fractional Brownian motion. Finally, a detailed analysis of several approximation schemes for the solutions is provided
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Haress, El Mehdi. "Numerical approximation and long-time behaviour of some singular stochastic (partial) differential equations." Electronic Thesis or Diss., université Paris-Saclay, 2024. http://www.theses.fr/2024UPASM038.
Full textAbstract:
On explore l'approximation numérique et le comportement en temps long de certaines équations stochastiques dirigées par des termes de dérive dissipatifs et/ou distributionnels.Premièrement, les équations différentielles stochastiques (EDS) avec un mouvement brownien fractionnaire (mBf) et une dérive distributionnelle sont étudiées. La convergence d'un schéma d'Euler modéré est quantifiée. Des techniques similaires sont appliquées à l'équation de la chaleur stochastique (SHE) avec un bruit blanc spatio-temporel et un terme de réaction distributionnel, et les mêmes résultats sont obtenus pour un schéma d'Euler modéré avec des différences finies.Deuxièmement, l'attention se porte sur les EDS avec un mBf et une dérive dissipative, établissant, dans le régime en temps long, la régularité presque-sûre des solutions et leurs moyennes ergodiques par rapport au temps et au paramètre de Hurst. Ces résultats sont appliqués dans un contexte statistique pour estimer les paramètres des équations à travers une approximation de leurs mesures invariantes.Enfin, on considère des termes de réaction dissipatifs et distributionnels dans SHE, présentant des résultats préliminaires dans le régime en temps long, le caractère bien-posé de l'équation est prouvé et les moments de la solution sont uniformément bornés dans le tempsIn this thesis, we explore the numerical approximation and long-term behavior of certain stochastic equations driven by dissipative and/or distributional drift terms.Firstly, stochastic differential equations (SDEs) with fractional Brownian motion (fBm) and distributional drift are studied. The convergence of a tamed-Euler scheme is quantified. Similar techniques are applied to the stochastic heat equation (SHE) with space-time white noise and a distributional reaction term, and the same results are obtained for a tamed-Euler scheme with finite differences.Secondly, the focus shifts to SDEs with fBm and dissipative drift, establishing, in the long-term regime, the almost-sure regularity of solutions and their ergodic means with respect to time and the Hurst parameter. These results are applied in a statistical context to estimate the parameters of the equations through an approximation of their invariant measures.Finally, we combine dissipative and distributional reaction terms in SHE, presenting preliminary results in the long-term regime, the well-posedness of the equation is proven and the moments of the solution are uniformly bounded over time
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Perpète, N. "Construction et étude de quelques processus multifractals." Phd thesis, Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2013. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00912273.
Full textAbstract:
Mis en évidence dans les années 80 dans les domaines de la turbulence et des attracteurs étranges, les multifractals ont rapidement gagné en popularité. On les trouve aujourd'hui en finance, en géophysique, dans l'étude du trafic internet et dans bien d'autres domaines des sciences appliquées. Cet essor s'est accompagné de la nécessité de construire des modèles théoriques adaptés. La Mesure Aléatoire Multifractale de Bacry et Muzy est l'un de ces modèles. Du fait de son caractère très général, de sa grande souplesse et de sa relative simplicité, elle est devenue un outil central du domaine des multifractals depuis dix ans. Après un chapitre introductif, on propose dans cette thèse la construction de deux familles de processus multifractals. Ces constructions reposent sur les travaux de Schmitt et de ses co-auteurs et sur ceux de Bacry et Muzy. Dans le chapitre 2, on construit des processus multifractals à partir de moyennes mobiles alpha-stables, tandis que le chapitre 3 est consacré à la construction des Marches Aléatoires Fractionnaires Multifractales d'indice de Hurst 0
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Varvenne, Maylis. "Ergodicité des équations différentielles stochastiques fractionnaires et problèmes liés." Thesis, Toulouse 3, 2019. http://www.theses.fr/2019TOU30046.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous nous intéressons à trois problèmes en lien avec l'ergodicité de dynamiques aléa-toires à mémoire (discrètes ou continues) et tout particulièrement des Équations Différentielles Stochas-tiques (EDS) dirigées par un mouvement brownien fractionnaire. Le premier chapitre porte sur l'étude du comportement en temps long pour une classe générale de dynamiques aléatoires discrètes dirigées par un processus gaussien stationnaire ergodique. En s'inspirant des travaux de Hairer (2005), Fontbona-Panloup (2017), Deya-Panloup-Tindel (2019) sur l'ergodicité des EDS fractionnaires, nous construisons une structure markovienne au-dessus de la dynamique considérée, nous démontrons l'existence et l'unicité d'une mesure invariante puis nous donnons une borne sur la vitesse de convergence de la loi du processus vers cette mesure. La vitesse obtenue dépend du comportement asymp-totique de la fonction de covariance du processus gaussien qui dirige la dynamique (ou plus précisément de celui des coefficients intervenant dans sa représentation en moyenne mobile). Le deuxième chapitre expose des résultats sur la concentration en temps long à la fois pour des fonctionnelles de la solution d'une EDS fractionnaire additive sur un intervalle [0,T] et pour des fonctionnelles d'observations discrètes de ce processus. Ce résultat général est ensuite appliqué à des fonctionnelles spécifiques liées aux mesures d'occupations (discrètes ou continues) de la solution de l'EDS. Le dernier chapitre, dont les résultats utilisent ceux du chapitre 2, est un travail effectué en collaboration avec Panloup et Tindel qui porte sur l'estimation paramétrique du drift (non linéaire) pour une EDS fractionnaire additive. Nous utilisons une estimation par minimum de contraste basée sur l'identification de la mesure invariante (dont une approximation est construite à partir d'observations discrètes de l'EDS). Nous démontrons la consistance des estimateurs considérés et obtenons des bornes non asymptotiques sur l'erreur quadratique. Nos résultats sont illustrés par des simulations numériques. Enfin, nous montrons sur une classe d'exemples que l'hypothèse d'identifiabilité relative à ce problème d'estimation (intrinsèquement liée à la mesure invariante) est satisfaiteIn this thesis, we focus on three problems related to the ergodicity of stochastic dynamics with memory (in a discrete-time or continuous-time setting) and especially of Stochastic Differential Equations (SDE) driven by fractional Brownian motion. In the first chapter, we study the long-time behavior of a general class of discrete-time stochastic dynamics driven by an ergodic and stationary Gaussian noise. Following the seminal paper written by Hairer (2005) on the ergodicity of fractional SDE (see also Fontbona-Panloup (2017) and Deya-Panloup-Tindel (2019)), we first build a Markovian structure above the dynamics, we show existence and uniqueness of the invariant distribution and then we exhibit some upper-bounds on the rate of convergence to equilibrium in terms of the asymptotic behavior of the covariance function of the Gaussian noise (or more precisely, of the asymptotic behavior of the coefficients appearing in its moving average representation). The second chapter establishes long-time concentration inequalities both for functionals of the whole solution on an interval [0,T] of an additive fractional SDE and for functionals of discrete-time observations of this process. Then, we apply this general result to specific functionals related to discrete and continuous-time occupation measures of the process. The last chapter, which uses the results developed in Chapter 2, is a joint work with Panloup and Tindel which focuses on the parametric estimation of the (non-linear) drift term in an additive fractional SDE. We use a minimum contrast estimation based on the identification of the invariant distribution (for which we build an approximation from discrete-time observations of the SDE). We provide consistency results as well as non-asymptotic estimates of the corresponding quadratic error. Some of our results are illustrating through numerical discussions. We also give some examples for which the identifiability condition related to our estimation procedure (intrinsically linked to the invariant distribution) is fulfilled
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Hamonier, Julien. "Analyse par ondelettes du mouvement multifractionnaire stable linéaire." Phd thesis, Université des Sciences et Technologie de Lille - Lille I, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00753510.
Full textAbstract:
Le mouvement brownien fractionnaire (mbf) constitue un important outil de modélisation utilisé dans plusieurs domaines (biologie, économie, finance, géologie, hydrologie, télécommunications, etc.) ; toutefois, ce modèle ne parvient pas toujours à donner une description suffisamment fidèle de la réalité, à cause, entre autres, des deux limitations suivantes : d'une part le mbf est un processus gaussien, et d'autre part, sa rugosité locale (mesurée par un exposant de Hölder) reste la même tout le long de sa trajectoire, puisque cette rugosité est partout égale au paramètre de Hurst H qui est une constante. En vue d'y remédier, S. Stoev et M.S. Taqqu (2004 et 2005) ont introduit le mouvement multifractionnaire stable linéaire (mmsl) ; ce processus stochastique strictement α-stable (StαS), désigné par {Y(t)}, est obtenu en remplaçant la mesure brownienne par une mesure StαS et le paramètre de Hurst H par une fonction H(.) dépendant de t. On se place systématiquement dans le cas où cette fonction est continue et à valeurs dans l'intervalle ouvert ]1/α,1[. Il convient aussi de noter que l'on a pour tout t, Y(t)=X(t,H(t)), où {X(u,v)} est le champ stochastique StαS, tel que pour tout v fixé, le processus {X(u,v)} est un mouvement fractionnaire stable linéaire. L'objectif de la thèse est de mener une étude approfondie du mmsl, au moyen de méthodes d'ondelettes ; elle consiste principalement en trois parties. (1) On détermine de fins modules de continuité, globaux et locaux de {Y(t)} ; cela repose essentiellement sur une nouvelle représentation de {X(u,v)}, sous la forme d'une série aléatoire, dont on montre la convergence presque sûre dans certains espaces de Hölder. (2) On introduit, via la base de Haar, une autre représentation de {X(u,v)} en série aléatoire ; cette dernière permet la mise en place d'une méthode de simulation efficace du mmsl, ainsi que de ses parties hautes et basses fréquences. (3) On construit des estimateurs par ondelettes du paramètre fonctionnel H(.) du mmsl, ainsi que de son paramètre de stabilité α.
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Richard, Alexandre. "Régularité locale de certains champs browniens fractionnaires." Thesis, Châtenay-Malabry, Ecole centrale de Paris, 2014. http://www.theses.fr/2014ECAP0048/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, nous examinons les propriétés de régularité locale de certains processus stochastiques multiparamètres définis sur RN + , sur une collection d’ensembles, ou encore sur des fonctions de L2. L’objectif est d’étendre certains outils standards de la théorie des processus stochastiques, en particulier concernant la régularité hölderienne locale, à des ensembles d’indexation qui ne sont pas totalement ordonnés. Le critère de continuité de Kolmogorov donne classiquement une borne inférieure pour la régularité hölderienne d’un processus stochastique indicé par un sous-ensemble de R ou RN . Tirant partie de la structure de treillis des ensembles d’indexations dans la théorie des processus indicés par des ensembles de Ivanoff et Merzbach, nous étendons le critère de Kolmogorov dans ce cadre. Différents accroissements pour les processus indicés par des ensembles sont considérés, et leur sont attachés en conséquence des exposants de Hölder. Pour les processus gaussiens, ces exposants sont, presque surement et uniformément le long des trajectoires, déterministes et calculés en fonction de la loi des accroissements du processus. Ces résultats sont appliqués au mouvement brownien fractionnaire set-indexed, pour lequel la régularité est constante. Afin d’exhiber un processus pour lequel la régularité n’est pas constante, nous utilisons la structure d’espace de Wiener abstrait pour introduire un champ brownien fractionnaire indicé par (0, 1=2]_L2(T,m), relié à une famille de covariances kh, h 2 (0, 1=2]. Ce formalisme permet de décrire un grand nombre de processus gaussiens fractionnaires, suivant le choix de l’espacemétrique (T,m). Il est montré que la loi des accroissements d’un tel champ est majorée par une fonction des accroissements en chacun des deux paramètres. Les techniques développées pour mesurer la régularité locale s’appliquent alors pour prouver qu’il existe dans ce cadre des processus gaussiens indicés par des ensembles ou par L2 ayant une régularité prescrite. La dernière partie est consacrée à l’étude des singularités produites par le processus multiparamètre défini par kh sur L2([0, 1]_,dx). Ce processus est une extension naturelle du mouvement brownien fractionnaire et du drap brownien. Au point origine de RN+, ce mouvement brownien fractionnaire multiparamètre possède une régularité hölderienne différente de celle observée en tout autre point qui ne soit pas sur les axes. Une loi du logarithme itéré de Chung permet d’observer finement cette différenceIn this thesis, local regularity properties of some multiparameter, set-indexed and eventually L2-indexed random fields are investigated. The goal is to extend standard tools of the theory of stochastic processes, in particular local Hölder regularity, to indexing collection which are not totally ordered.The classic Kolmogorov continuity criterion gives a lower estimate of the Hölder regularityof a stochastic process indexed by a subset of R or RN . Using the lattice structure of the indexing collections in the theory of set-indexed processes of Ivanoff and Merzbach, Kolmogorov’scriterion is extended to this framework. Different increments for set-indexed processes are considered,and several Hölder exponents are defined accordingly. For Gaussian processes, these exponents are, almost surely and uniformly along the sample paths, deterministic and related to the law of the increments of the process. This is applied to the set-indexed fractional Brownian motion, for which the regularity is constant. In order to exhibit a process having a variable regularity,we resorted to structures of Abstract Wiener Spaces, and defined a fractional Brownian field indexed by a product space (0, 1=2]_L2(T,m), based on a family of positive definite kernels kh, h 2 (0, 1=2]. This field encompasses a large class of existing multiparameter fractional Brownian processes, which are exhibited by choosing appropriate metric spaces (T,m). It is proven that the law of the increments of such a field is bounded above by a function of the increments in both parameters of the field. Applying the techniques developed to measure the local Hölder regularity, it is proven that this field can lead to a set-indexed, or L2-indexed, Gaussian process with prescribed local regularity.The last part is devoted to the study of the singularities induced by the multiparameter process defined by the covariance kh on L2([0, 1]_,dx). This process is a natural extension of the fractional Brownian motion and of the Brownian sheet. At the origin 0 of RN+, this multiparameter fractional Brownian motion has a different regularity behaviour. A Chung (or lim inf ) law of the iterated logarithm permits to observe this
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Decrouez, Geoffrey. "Génération de signaux multifractals possédant une structure de branchement sous-jacente." Phd thesis, Grenoble INPG, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00353827.
Full textAbstract:
La géométrie fractale, développée par Mandelbrot dans les années 70, a connu un essor considérable ces 20 dernières années. Dans cette thèse, je m'intéresse à la génération de signaux dits fractals et multifractals. J'étudie en particulier 2 modèles, dont leur point commun est leur structure d'arbre de branchement sous jacente.Le premier modèle est une généralisation des Systèmes de fonctions Itérés ou IFS, introduits par Hutchinson dans les années 80. Les IFS constituent un moyen simple et efficace pour produire des ensembles et des processus fractals en itérant un nombre fixed d'opérateurs. L'idée est d'autoriser un nombre aléatoire d'opérateurs aléatoires à chaque itération de l'algorithme. Nous donnons des conditions simples et faciles à vérifier sous lesquelles l'IFS admet un point fixe. Quelques propriétés du point fixe sont également étudiées. Le deuxième modèle, que nous appellons Multifractal Embedded Branching Process (MEBP), s'obtient à l'aide d'un changement de temps multifractal d'un processus à invariance d'échelle discrète, le processus EBP Canonique (CEBP). Nous donnons un algorithm efficace de simulation "on-line" de ces processus, permettant de générer X(n + 1) à partir de X(n) en O(log n) opérations. Nous obtenons également un borne supérieure pour le spectre multifractal du changement de temps et confirmons les résultats théoriques à l'aide de simulations. Les mouvements Browniens en temps multifractal sont des cas particuliers des processus MEBP, ce qui suggère une application potentielle des processus MEBP en finance. Enfin, nous proposons d'imiter un mouvement Brownien fractionnaire à l'aide d'un processus MEBP.
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Gradinaru, Mihai. "Applications du calcul stochastique à l'étude de certains processus." Habilitation à diriger des recherches, Université Henri Poincaré - Nancy I, 2005. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00011826.
Full textAbstract:
Ce document contient la synthèse des travaux de recherche effectués entre 1996 et 2005, après la thèse de doctorat de l'auteur, et concerne l'étude fine de
certains processus stochastiques : mouvement brownien linéaire ou plan, processus de diffusion,
mouvement brownien fractionnaire, solutions d'équations différentielles stochastiques ou
d'équations aux dérivées partielles stochastiques.
La thèse d'habilitation s'articule en six chapitres correspondant aux thèmes
suivants : étude des intégrales par rapport aux temps locaux de certaines diffusions,
grandes déviations pour un processus obtenu par perturbation brownienne d'un système
dynamique dépourvu de la propriété d'unicité des solutions, calcul stochastique
pour le processus gaussien non-markovien non-semimartingale mouvement brownien fractionnaire,
étude des formules de type Itô et Tanaka pour l'équation de la chaleur stochastique,
étude de la durée de vie du mouvement brownien plan réfléchi dans un domaine à
frontière absorbante et enfin, estimation non-paramétrique et construction d'un
test d'adéquation à partir d'observations discrètes pour le coefficient de diffusion d'une
équation différentielle stochastique.
Les approches de tous ces thèmes sont probabilistes et basées sur l'analyse stochastique.
On utilise aussi des outils d'équations différentielles, d'équations aux dérivées partielles
et de l'analyse.
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Slaoui, Meryem. "Analyse stochastique et inférence statistique des solutions d’équations stochastiques dirigées par des bruits fractionnaires gaussiens et non gaussiens." Thesis, Lille 1, 2019. http://www.theses.fr/2019LIL1I079.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l'étude des solutions d'équations différentielles stochastiques dirigées par des bruits fractionnaires gaussiens et non gaussiens. Les bruits fractionnaires considérés sont modélisés par les processus d'Hermite qui forment une famille de processus stochastiques autosimilaires, à accroissements stationnaires et qui sont représentés par des intégrales stochastiques multiples de Wiener-Itô. Dans un premier travail, nous étudions la solution de l'équation stochastique de la chaleur linéaire dirigée par un champ d'Hermite. Nous établissons les différentes propriétés de la solution mild et analysons en particulier sa distribution en probabilité dans le cas non gaussien. La deuxième partie de cette thèse concerne le comportement asymptotique des solutions d'équations stochastiques lorsque l'exposant de Hurst H qui caractérise le bruit fractionnaire converge vers ses valeurs limites. Nous étudions en particulier le comportement en loi de la solution de l'équation de la chaleur stochastique dirigée par un champ d'Hermite et le processus d'Ornstein-Uhlenbeck type Hermite qui est la solution de l'équation de Langevin dirigée par un processus d'Hermite. Dans la dernière partie de ce travail, nous analysons le comportement asymptotique en loi des variations généralisées de la solution de l'équation stochastique des ondes dirigée par un bruit gaussien fractionnaire. Ces résultats ont permis de construire des estimateurs consistants pour l'indice d’autosimilarite HThis doctoral thesis is devoted to the study of the solutions of stochastic differential equations driven by additive Gaussian and non-Gaussian noises. As a non-Gaussian driving noise, we use the Hermite processes. These processes form a family of self-similar stochastic processes with stationary increments and long memory and they can be expressed as multiple Wiener-Itô integrals. The class of Hermite processes includes the well-known fractional Brownian motion which is the only Gaussian Hermite process, and the Rosenblatt process. In a first chapter, we consider the solution to the linear stochastic heat equation driven by a multiparameter Hermite process of any order and with Hurst multi-index H. We study the existence and establish various properties of its mild solution. We discuss also its probability distribution in the non-Gaussian case. The second part deals with the asymptotic behavior in distribution of solutions to stochastic equations when the Hurst parameter converges to the boundary of its interval of definition. We focus on the case of the Hermite Ornstein-Uhlenbeck process, which is the solution of the Langevin equation driven by the Hermite process, and on the case of the solution to the stochastic heat equation with additive Hermite noise. These results show that the obtained limits cover a large class of probability distributions, from Gaussian laws to distribution of random variables in a Wiener chaos of higher order. In the last chapter, we consider the stochastic wave equation driven by an additive Gaussian noise which behaves as a fractional Brownian motion in time and as a Wiener process in space. We show that the sequence of generalized variations satisfies a Central Limit Theorem and we estimate the rate of convergence via the Stein-Malliavin calculus. The results are applied to construct several consistent estimators of the Hurst index
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Coulon, Jérôme. "Mémoire longue, volatilité et gestion de portefeuille." Phd thesis, Université Claude Bernard - Lyon I, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00657711.
Full textAbstract:
Cette thèse porte sur l'étude de la mémoire longue de la volatilité des rendements d'actions. Dans une première partie, nous apportons une interprétation de la mémoire longue en termes de comportement d'agents grâce à un modèle de volatilité à mémoire longue dont les paramètres sont reliés aux comportements hétérogènes des agents pouvant être rationnels ou à rationalité limitée. Nous déterminons de manière théorique les conditions nécessaires à l'obtention de mémoire longue. Puis nous calibrons notre modèle à partir des séries de volatilité réalisée journalière d'actions américaines de moyennes et grandes capitalisations et observons le changement de comportement des agents entre la période précédant l'éclatement de la bulle internet et celle qui la suit. La deuxième partie est consacrée à la prise en compte de la mémoire longue en gestion de portefeuille. Nous commençons par proposer un modèle de choix de portefeuille à volatilité stochastique dans lequel la dynamique de la log-volatilité est caractérisée par un processus d'Ornstein-Uhlenbeck. Nous montrons que l'augmentation du niveau d'incertitude sur la volatilité future induit une révision du plan de consommation et d'investissement. Puis dans un deuxième modèle, nous introduisons la mémoire longue grâce au mouvement brownien fractionnaire. Cela a pour conséquence de transposer le système économique d'un cadre markovien à un cadre non-markovien. Nous fournissons donc une nouvelle méthode de résolution fondée sur la technique de Monte Carlo. Puis, nous montrons toute l'importance de modéliser correctement la volatilité et mettons en garde le gérant de portefeuille contre les erreurs de spécification de modèle.
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Decrouez, Geoffrey. "Génération de signaux multifractals possédant une structure de branchement sous-jacente." Phd thesis, Grenoble INPG, 2009. http://www.theses.fr/2009INPG0002.
Full textAbstract:
La géométrie fractale, développée par Mandelbrot dans les années 70, a connu un essor considérable ces 20 dernières années. Dans cette thèse, je m'intéresse à la génération de signaux dits fractals et multifractals. J'étudie en particulier 2 modèles, dont leur point commun est leur structure d'arbre de branchement sous jacente. Le premier modèle est une généralisation des Systèmes de fonctions Itérés ou IFS, introduits par Hutchinson dans les années 80. Les IFS constituent un moyen simple et efficace pour produire des ensembles et des processus fractals en itérant un nombre fixed d'opérateurs. L'idée est d'autoriser un nombre aléatoire d'opérateurs aléatoires à chaque itération de l'algorithme. Nous donnons des conditions simples et faciles à vérifier sous lesquelles l'IFS admet un point fixe. Quelques propriétés du point fixe sont également étudiées. Le deuxième modèle, que nous appellons Multifractal Embedded Branching Process (MEBP), s'obtient à l'aide d'un changement de temps multifractal d'un processus à invariance d'échelle discrète, le processus EBP Canonique (CEBP). Nous donnons un algorithm efficace de simulation "on-line" de ces processus, permettant de générer X(n + 1) à partir de X(n) en O(log n) opérations. Nous obtenons également un borne supérieure pour le spectre multifractal du changement de temps et confirmons les résultats théoriques à l'aide de simulations. Les mouvements Browniens en temps multifractal sont des cas particuliers des processus MEBP, ce qui suggère une application potentielle des processus MEBP en finance. Enfin, nous proposons d'imiter un mouvement Brownien fractionnaire à l'aide d'un processus MEBPFractal geometry, pioneered by Mandelbrot in the 70s, has been recognized in many areas of science. The novelty of this thesis is the generation of fractal and multifractal processes with underlying construction tree. I study two models in particular. The first one is a generalisation of Iterated Function Systems (IFS), introduced by Hutchinson in the early 80s. IFS are an efficient tool to generate fractal sets and functions, by iterating a given set of operators. The idea here is to allow a random number of random operators at each iteration of the algorithm. We derive simple conditions under which the IFS possesses a fixed point. A few properties of the fixed point are also investigated. The second model, called Multifractal Embedded Branching Process (MEBP), is obtained via a multifractal time change of a discrete self-similar process, the Canonical EBP (CEBP). We give an efficient simulation online algorithm which generates X(n+1) from X(n) in O(log n) steps. We also derive an upper bound of the multifractal spectrum of the time change and we confirm the theoretical results with simulations. Subordinated Brownian motions are particular cases of MEBP processes, which suggests a potential application of MEBP in finance. Finally, we propose to imitate a fractional Brownian motion with an MEBP
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Touibi, Rim. "Sur le comportement qualitatif des solutions de certaines équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique." Thesis, Université de Lorraine, 2018. http://www.theses.fr/2018LORR0263/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique. Dans la première partie nous démontrons de nouveaux résultats concernant l’existence et l’unicité de solutions variationnelles globales et locales à des problèmes avec des conditions aux bords de type Neumann pour une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques non-autonomes. Les équations que nous considérons sont définies sur des domaines non bornés de l’espace euclidien qui satisfont à certaines conditions géométriques, et sont dirigées par un bruit multiplicatif dérivé d’un processus de Wiener fractionnaire infini-dimensionnel caractérisé par une suite de paramètres de Hurst H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). Ces paramètres sont en fait soumis à d’autres contraintes intimement liées à la nature de la non-linéarité dans le terme stochastique des équations, et au choix des espaces fonctionnels dans lesquels le problème à résoudre est bien posé. Notre méthode de preuve repose essentiellement sur des arguments d’injections compactes. Dans la seconde partie, nous étudions la possibilité de l’explosion de solutions d’une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaire avec des conditions aux bords de type Dirichlet, perturbées par un mélange d’un mouvement brownien et d’un mouvement brownien fractionnaire et dirigées par une classe d’opérateurs différentiels non autonomes contenant des processus de diffusions et des processus de Lévy. Notre but est de comprendre l’influence de la partie stochastique et de l’opérateur différentiel sur le comportement d’explosion des solutions. En particulier, nous donnons des expressions explicites pour des bornes inférieures et supérieures du temps de l’explosion de la solution, et des conditions suffisantes pour l’existence d’une solution globale positive. Nous estimons également la probabilité d’une explosion en temps fini et la loi d’une borne supérieur du temps d’explosion de la solutionThis thesis is concerned with stochastic partial differential equations of parabolic type. In the first part we prove new results regarding the existence and the uniqueness of global and local variational solutions to a Neumann initial-boundary value problem for a class of non-autonomous stochastic parabolic partial differential equations. The equations we consider are defined on unbounded open domains in Euclidean space satisfying certain geometric conditions, and are driven by a multiplicative noise derived from an infinite-dimensional fractional Wiener process characterized by a sequence of Hurst parameters H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). These parameters are in fact subject to further constraints that are intimately tied up with the nature of the nonlinearity in the stochastic term of the equations, and with the choice of the functional spaces in which the problem at hand is well-posed. Our method of proof rests on compactness arguments in an essential way. The second part is devoted to the study of the blowup behavior of solutions to semilinear stochastic partial differential equations with Dirichlet boundary conditions driven by a class of differential operators including (not necessarily symmetric) Lévy processes and diffusion processes, and perturbed by a mixture of Brownian and fractional Brownian motions. Our aim is to understand the influence of the stochastic part and that of the differential operator on the blowup behavior of the solutions. In particular we derive explicit expressions for an upper and a lower bound of the blowup time of the solution and provide a sufficient condition for the existence of global positive solutions. Furthermore, we give estimates of the probability of finite time blowup and for the tail probabilities of an upper bound for the blowup time of the solutions
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Hidot, Sullivan. "Un point de vue sur des approches factorielles et probabilistes de la covariance : application à l'analyse locale du mouvement." Phd thesis, Université de La Rochelle, 2007. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00203241.
Full textAbstract:
Cette thèse s'intéresse à des approches factorielles et probabilistes de la covariance qui tient compte d'une connaissance exogène sur les observations. Nous adoptons un modèle qui décompose le signal en une fonction déterministe du temps caractérisant la tendance, et en un terme résiduel. Les méthodes factorielles sont consacrées à l'étude du terme tendanciel. Nous présentons le formalisme général de la covariance relationnelle ainsi que de nouvelles propriétés qui éclairent les interprétations et faisons le lien avec les notions déjà existantes. La covariance relationnelle s'intègre dans l'analyse en composantes principales (ACP), l'analyse factorielle d'opérateurs et l'analyse discriminante d'opérateurs.Nous montrons que l'ACP relationnelle est un cas particulier de l'ACP à noyaux et de l'ACP fonctionnelle, dont nous dressons les schémas de dualité correspondants. L'étude du terme résiduel est menée à l'aide d'approches probabilistes fondées sur la covariance. Dans un premier temps, ce terme est assimilé à un vecteur gaussien et nous introduisons une procédure de classification de matrices de covariance par la distribution de Wishart induite par l'hypothèse de gaussianité. En particulier, l'algorithme EM sur matrices de covariance est proposé. Dans un second temps, on procède à l'analyse fractale du terme résiduel, identifié par une trajectoire d'un processus autosimilaire. L'indice d'autosimilarité est estimé quelque soit l'échantillonnage et nous déterminons dans quelle
mesure cette contrainte temporelle influe sur l'estimation. Nous appliquons les concepts présentés à l'analyse du mouvement : corpus
de mouvements de danse contemporaine (méthodes factorielles et classification par Wishart), et données de biologie marine (segmentation par analyse fractale).
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Touibi, Rim. "Sur le comportement qualitatif des solutions de certaines équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique." Electronic Thesis or Diss., Université de Lorraine, 2018. http://www.theses.fr/2018LORR0263.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l’étude des équations aux dérivées partielles stochastiques de type parabolique. Dans la première partie nous démontrons de nouveaux résultats concernant l’existence et l’unicité de solutions variationnelles globales et locales à des problèmes avec des conditions aux bords de type Neumann pour une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques non-autonomes. Les équations que nous considérons sont définies sur des domaines non bornés de l’espace euclidien qui satisfont à certaines conditions géométriques, et sont dirigées par un bruit multiplicatif dérivé d’un processus de Wiener fractionnaire infini-dimensionnel caractérisé par une suite de paramètres de Hurst H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). Ces paramètres sont en fait soumis à d’autres contraintes intimement liées à la nature de la non-linéarité dans le terme stochastique des équations, et au choix des espaces fonctionnels dans lesquels le problème à résoudre est bien posé. Notre méthode de preuve repose essentiellement sur des arguments d’injections compactes. Dans la seconde partie, nous étudions la possibilité de l’explosion de solutions d’une classe d’équations aux dérivées partielles stochastiques semi-linéaire avec des conditions aux bords de type Dirichlet, perturbées par un mélange d’un mouvement brownien et d’un mouvement brownien fractionnaire et dirigées par une classe d’opérateurs différentiels non autonomes contenant des processus de diffusions et des processus de Lévy. Notre but est de comprendre l’influence de la partie stochastique et de l’opérateur différentiel sur le comportement d’explosion des solutions. En particulier, nous donnons des expressions explicites pour des bornes inférieures et supérieures du temps de l’explosion de la solution, et des conditions suffisantes pour l’existence d’une solution globale positive. Nous estimons également la probabilité d’une explosion en temps fini et la loi d’une borne supérieur du temps d’explosion de la solutionThis thesis is concerned with stochastic partial differential equations of parabolic type. In the first part we prove new results regarding the existence and the uniqueness of global and local variational solutions to a Neumann initial-boundary value problem for a class of non-autonomous stochastic parabolic partial differential equations. The equations we consider are defined on unbounded open domains in Euclidean space satisfying certain geometric conditions, and are driven by a multiplicative noise derived from an infinite-dimensional fractional Wiener process characterized by a sequence of Hurst parameters H = (Hi) i ∈ N+ ⊂ (1/2,1). These parameters are in fact subject to further constraints that are intimately tied up with the nature of the nonlinearity in the stochastic term of the equations, and with the choice of the functional spaces in which the problem at hand is well-posed. Our method of proof rests on compactness arguments in an essential way. The second part is devoted to the study of the blowup behavior of solutions to semilinear stochastic partial differential equations with Dirichlet boundary conditions driven by a class of differential operators including (not necessarily symmetric) Lévy processes and diffusion processes, and perturbed by a mixture of Brownian and fractional Brownian motions. Our aim is to understand the influence of the stochastic part and that of the differential operator on the blowup behavior of the solutions. In particular we derive explicit expressions for an upper and a lower bound of the blowup time of the solution and provide a sufficient condition for the existence of global positive solutions. Furthermore, we give estimates of the probability of finite time blowup and for the tail probabilities of an upper bound for the blowup time of the solutions
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Bernard, Demanze Laurence. "Repondération des informations somesthésiques dans le contrôle postural." Chambéry, 2005. http://www.theses.fr/2005CHAMS001.
Full textAbstract:
Le but de ce travail était 1) d'évaluer la capacité des sujets sains à "repondérer" les informations plantaires somesthésiques dans la contrôle postural suite à une stimulation tactile courte et prolongée des soles plantaires et 2) d'apprécier les capacités d'adaptation posturale des sujets neuropathiques face à un déficit sensoriel tactile. Une méthode d'analyse du comportement postural originale consistant à calculer les déplacements du centre de gravité (CG) à partir du signal du centre des pressions (CP) recueilli par l'intermédiaire d'une plateforme de force a été utilisée. Les résultats montrent chez les sujets sains que la nature et la durée de la stimulation peuvent influencer différemment la stabilité posturale selon la direction et la variable considérée. Enfin, l'adaptation du comportement postural des sujets neuropathiques face à leur déficit sensoriel dépendrait du niveau d'atteinte de leur sensibilité tactileThe aim of this work was 1) to investigate healthy subject' s ability to recalibrate their somesthesic plantar information in the control of undisturbed upright stance maintenance and 2) to evaluate the capacities of postural adaptation in subjects with peripheral neuropathy. An analytical method consisting in estimating the movements of the centre of gravity (CG) from the signal of the centre of pressure recorded through a force platform was used. Results show that the nature and the duration of the stimulation can influence differently the postural stability. Finally, the adaptation of the postural behaviour in subjects with peripheral neuropathy would depend on the level of their tactile sensory deficit
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Di, Girolami Cristina. "Calcul stochastique via régularisation en dimension infinie avec perspectives financières." Phd thesis, Université Paris-Nord - Paris XIII, 2010. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00578521.
Full textAbstract:
Ce document de thèse développe certains aspects du calcul stochastique via régularisation pour des processus X à valeurs dans un espace de Banach général B. Il introduit un concept original de Chi-variation quadratique, où Chi est un sous-espace du dual d'un produit tensioriel B⊗B, muni de la topologie projective. Une attention particulière est dévouée au cas où B est l'espace des fonctions continues sur [-τ,0], τ>0. Une classe de résultats de stabilité de classe C^1 pour des processus ayant une Chi-variation quadratique est établie ainsi que des formules d'Itô pour de tels processus. Un rôle significatif est joué par les processus réels à variation quadratique finie X (par exemple un processus de Dirichlet, faible Dirichlet). Le processus naturel à valeurs dans C[-τ,0] est le dénommé processus fenêtre X_t(•) où X_t(y) = X_{t+y}, y ∈ [-τ,0]. Soit T>0. Si X est un processus dont la variation quadratique vaut [X]_t = t et h = H(X_T(•)) où H:C([-T,0])→ R est une fonction de classe C^3 Fréchet par rapport à L^2([-T,0] ou H dépend d'un numéro fini d' intégrales de Wiener, il est possible de représenter h comme un nombre réel H_0 plus une intégrale progressive du type \int_0^T \xi d^-X où \xi est un processus donné explicitement. Ce résultat de répresentation de la variable aléatoire h sera lié strictement à une fonction u:[0,T] x C([-T,0])→R qui en général est une solution d'une equation au derivées partielles en dimension infinie ayant la proprieté H_0=u(0, X_0(•)), \xi_t=Du(t, X_t(•))({0}). A certains égards, ceci généralise la formule de Clark-Ocone valable lorsque X est un mouvement brownien standard W. Une des motivations vient de la théorie de la couverture d'options lorsque le prix de l'actif soujacent n'est pas une semimartingale.
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Uss, Mykhailo. "Estimation aveugle de l'écart-type du bruit additif, indépendant et/ou dépendant du signal : application aux images texturées multi/hyperspectrales." Rennes 1, 2011. http://www.theses.fr/2011REN1E008.
Full textAbstract:
Cette thèse traite le problème de l'estimation aveugle des paramètres du bruit de capteur, inévitablement présent dans les images multi/hyperspectrales. Un modèle bidimensionnel de mouvement brownien fractionnaire (fBm) est choisi pour décrire localement la texture. L’estimation des paramètres du modèle fBm et de l’écart-type (STD) d’un bruit additif, dépendant, ou indépendant du signal, est obtenue au sens du maximum de vraisemblance, ceci pour des images multicomposantes et hyperspectrales. Les bornes inférieures de Cramer-Rao (CRLB) pour chaque paramètre estimé (fBm, STD) sont calculées et utilisées afin de comprendre l’influence relative de chaque paramètre estimé sur la précision finale de l’estimation de l’écart-type du bruit. Tout d'abord, les zones informatives sur le bruit, sont définies comme celles satisfaisant une Information de Fisher prédéfinie sur l’écart-type du bruit. Nous montrons comment déterminer ces zones à partir des images bruitées. Ensuite, il est démontré que les zones informatives sur le bruit, et celles informatives sur la texture sont conjointement nécessaires pour améliorer la précision de l’estimation de l’écart-type du bruit. Enfin, la précision potentielle des estimations locales de l’écart-type du bruit sont prédites pour une image donnée et fournissent l'intervalle de confiance de ces estimations. Finalement, il est démontré qu’une version multidimensionnelle de l'estimateur proposé peut être avantageusement appliquée pour l'estimation de l’écart-type du bruit (dépendant du signal) des bandes spectrales pour le capteur AVIRIS et, aussi pour les capteurs hyper-spectraux de nouvelle génération. Dans la partie expérimentale de la thèse, les estimateurs de l’état de l’art existants et ceux proposés sont comparés sur une large base d’images à l'aide du critère de l'efficacité statistique, fonction des bornes inférieures de Cramer-Rao.
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Vu, Thi Lan Huong. "Analyse statistique locale de textures browniennes multifractionnaires anisotropes." Thesis, Aix-Marseille, 2019. http://www.theses.fr/2019AIXM0094.
Full textAbstract:
Nous construisons quelques extensions anisotropes des champs browniens multifractionnels qui rendent compte de phénomènes spatiaux dont les propriétés de régularité et de directionnalité peuvent varier dans l’espace. Notre objectif est de mettre en place des tests statistiques pour déterminer si un champ observé de ce type est hétérogène ou non. La méthodologie statistique repose sur une analyse de champ par variations quadratiques, qui sont des moyennes d’incréments de champ au carré. Notre approche, ces variations sont calculées localement dans plusieurs directions. Nous établissons un résultat asymptotique montrant une relation linéaire gaussienne entre ces variations et des paramètres liés à la régularité et aux propriétés directionnelles. En utilisant ce résultat, nous concevons ensuite une procédure de test basée sur les statistiques de Fisher des modèles linéaires gaussiens. Nous évaluons cette procédure sur des données simulées. Enfin, nous concevons des algorithmes pour la segmentation d’une image en régions de textures homogènes. Le premier algorithme est basé sur une procédure K-means qui a estimé les paramètres en entrée et prend en compte les distributions de probabilité théoriques. Le deuxième algorithme est basé sur une algorithme EM qui implique une exécution continue à chaque boucle de 2 processus. Finalement, nous présentons une application de ces algorithmes dans le cadre d’un projet pluridisciplinaire visant à optimiser le déploiement de panneaux photovoltaïques sur le terrain. Nous traitons d’une étape de prétraitement du projet qui concerne la segmentation des images du satellite Sentinel-2 dans des régions où la couverture nuageuse est homogèneWe deal with some anisotropic extensions of the multifractional brownian fields that account for spatial phenomena whose properties of regularity and directionality may both vary in space. Our aim is to set statistical tests to decide whether an observed field of this kind is heterogeneous or not. The statistical methodology relies upon a field analysis by quadratic variations, which are averages of square field increments. Specific to our approach, these variations are computed locally in several directions. We establish an asymptotic result showing a linear gaussian relationship between these variations and parameters related to regularity and directional properties of the model. Using this result, we then design a test procedure based on Fisher statistics of linear gaussian models. Eventually we evaluate this procedure on simulated data. Finally, we design some algorithms for the segmentation of an image into regions of homogeneous textures. The first algorithm is based on a K-means procedure which has estimated parameters as input and takes into account their theoretical probability distributions. The second algorithm is based on an EM algorithm which involves continuous execution ateach 2-process loop (E) and (M). The values found in (E) and (M) at each loop will be used for calculations in the next loop. Eventually, we present an application of these algorithms in the context of a pluridisciplinary project which aims at optimizing the deployment of photo-voltaic panels on the ground. We deal with a preprocessing step of the project which concerns the segmentation of images from the satellite Sentinel-2 into regions where the cloud cover is homogeneous
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Bourguin, Solesne. "Sur les théorèmes limites et les équations différentielles stochastiques rétrogrades par le calcul de Malliavin." Phd thesis, Université Panthéon-Sorbonne - Paris I, 2011. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00668819.
Full textAbstract:
Cette thèse, composée de trois parties, est centrée sur l'application du calcul de \text{Malliavin} à différents domaines de l'analyse stochastique, tels que les théorèmes limites, le calcul stochastique fractionnaire et la régularité des solutions d'équations différentielles stochastiques. La première partie porte sur l'étude asymptotique de modèles de regression fractionnaire et fait appel au calcul stochastique par rapport au mouvement Brownien fractionnaire et au calcul de Malliavin. La deuxième partie est centrée sur la méthode de Stein sur l'espace de Wiener et présente des résultats ayant attrait aux théorèmes limites pour des fonctionnelles de champs Gaussiens (processus moyenne mobile à mémoire longue, sommes autonormalisées) ainsi que des résultats portant sur des propriétés de déconvolution de la loi Gamma. La troisième et dernière partie a pour objet l'étude, par le calcul de Malliavin, des solutions d'équations différentielles stochastiques rétrogrades, et en particulier l'existence de densité ainsi que d'estimées de densité pour ces solutions.
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Chainais, Pierre. "Processus aléatoires invariants d'échelle et analyse multirésolution pour la modélisation d'observations de systèmes physiques." Habilitation à diriger des recherches, Université Blaise Pascal - Clermont-Ferrand II, 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00808965.
Full text
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Rahouli, Sami El. "Modélisation financière avec des processus de Volterra et applications aux options, aux taux d'intérêt et aux risques de crédit." Thesis, Université de Lorraine, 2014. http://www.theses.fr/2014LORR0042/document.
Full textAbstract:
Ce travail étudie des modèles financiers pour les prix d'options, les taux d'intérêts et le risque de crédit, avec des processus stochastiques à mémoire et comportant des discontinuités. Ces modèles sont formulés en termes du mouvement Brownien fractionnaire, du processus de Lévy fractionnaire ou filtré (et doublement stochastique) et de leurs approximations par des semimartingales. Leur calcul stochastique est traité au sens de Malliavin, et des formules d'Itô sont déduites. Nous caractérisons les probabilités risque neutre en termes de ces processus pour des modèles d'évaluation d'options de type de Black-Scholes avec sauts. Nous étudions également des modèles de taux d'intérêts, en particulier les modèles de Vasicek, de Cox-Ingersoll-Ross et de Heath-Jarrow-Morton. Finalement nous étudions la modélisation du risque de créditThis work investigates financial models for option pricing, interest rates and credit risk with stochastic processes that have memory and discontinuities. These models are formulated in terms of the fractional Brownian motion, the fractional or filtered Lévy process (also doubly stochastic) and their approximations by semimartingales. Their stochastic calculus is treated in the sense of Malliavin and Itô formulas are derived. We characterize the risk-neutral probability measures in terms of these processes for options pricing models of Black-Scholes type with jumps. We also study models of interest rates, in particular the models of Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross and Heath-Jarrow-Morton. Finally we study credit risk models
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Rahouli, Sami El. "Modélisation financière avec des processus de Volterra et applications aux options, aux taux d'intérêt et aux risques de crédit." Electronic Thesis or Diss., Université de Lorraine, 2014. http://www.theses.fr/2014LORR0042.
Full textAbstract:
Ce travail étudie des modèles financiers pour les prix d'options, les taux d'intérêts et le risque de crédit, avec des processus stochastiques à mémoire et comportant des discontinuités. Ces modèles sont formulés en termes du mouvement Brownien fractionnaire, du processus de Lévy fractionnaire ou filtré (et doublement stochastique) et de leurs approximations par des semimartingales. Leur calcul stochastique est traité au sens de Malliavin, et des formules d'Itô sont déduites. Nous caractérisons les probabilités risque neutre en termes de ces processus pour des modèles d'évaluation d'options de type de Black-Scholes avec sauts. Nous étudions également des modèles de taux d'intérêts, en particulier les modèles de Vasicek, de Cox-Ingersoll-Ross et de Heath-Jarrow-Morton. Finalement nous étudions la modélisation du risque de créditThis work investigates financial models for option pricing, interest rates and credit risk with stochastic processes that have memory and discontinuities. These models are formulated in terms of the fractional Brownian motion, the fractional or filtered Lévy process (also doubly stochastic) and their approximations by semimartingales. Their stochastic calculus is treated in the sense of Malliavin and Itô formulas are derived. We characterize the risk-neutral probability measures in terms of these processes for options pricing models of Black-Scholes type with jumps. We also study models of interest rates, in particular the models of Vasicek, Cox-Ingersoll-Ross and Heath-Jarrow-Morton. Finally we study credit risk models
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Es-Sebaiy, Khalifa. "Contributions à l'étude des processus de Lévy et des processus fractionnaires via le calcul de Malliavin et applications en statistiques." Paris 1, 2009. http://www.theses.fr/2009PA010010.
Full textAbstract:
Cette thèse se décompose en six chapitres plus ou moins distincts. Cependant, tous font appel au calcul de Malliavin, aux notions de processus gaussien et processus de Lévy, et à leur utilisation en statistique. Chacune des trois parties a fait l’objet de deux articles. Dans la première partie, nous établissons les théorèmes d’Itô et de Tanaka pour le mouvement brownien bi-factionnaire multidimensionnel. Ensuite nous étudions l’existence de la densité d’occupation pour certains processus en relation avec le mouvement brownien fractionnaire. Dans la deuxième partie, nous analysons, dans un premier temps, le comportement asymptotique de la variation cubique pour le processus de Rosenblatt. Dans un deuxième temps, nous construisons d’une part des estimateurs biaisés de type James-stein qui dominent, sous le risque quadratique usuel, l’estimateur du maximum de vraisemblance. La dernière partie présente deux travaux. Dans le premier, nous utilisons une approche menant à un calcul de Malliavin pour les processus de Lévy, qui a été développée récemment par Solé et al. [106], et nous étudions des processus anticipés de type intégrale d’Itô-skorohod (au sens de [111] sur l’espace de Lévy. Dans le deuxième, nous étudions le lien entre les processus stables et les processus auto-similaires, à travers des processus qui sont infiniment divisibles en temps.
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Coviello, Rosanna. "Calcul stochastique via régularisation et applications financières." Phd thesis, Université Paris-Nord - Paris XIII, 2006. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00121525.
Full textAbstract:
Dans la première partie de cette thèse nous appliquons le calcul via régularisation à l'étude d'un marché où le processus des prix d'un actif risqué n'est pas une semimartingale mais simplement à variation quadratique finie. Cette condition est réalisée lorsque le prix de l'actif est admis dans la classe A de toutes les stratégies admissibles, et devient réaliste si la condition de non-arbitrage sur l'ensemble de toutes les stratégies simples prévisibles n'est pas plausible. Cette situation est vérifiée, par exemple, lorsque l'agent est un initié ou si A est restreinte.Nous fournissons des exemples de portefeuilles autofinancés et introduisons une notion de A-martingale. Un calcul relatif à celle-ci est développé. La condition de non-arbitrage parmi toutes les stratégies dans A est récupérée si le processus des prix de l'actif risqué est une A-martingale.
Nous abordons le problème de la viabilité du marché, de la couverture et de la maximisation de l'utilité de la richesse terminale.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une équation différentielle stochastique unidimensionnelle dirigée par une semimartingale mélangée à un processus à variation cubique finie.
Nous proposons une méthode qui repose sur une transformation réduisant le coefficient de diffusion à 1.
Le développement de la méthode utilisée nous conduit à des résultats significatifs dans l'analyse du calcul via régularisation.
En particulier, une formule de type Ito-Wentzell relative aux processus à variation cubique finie est
établie et la structure des processus weak-Dirichlet par rapport à la filtration brownienne est clarifiée.
Nous démontrons, par une approche similaire, l'existence et l'unicité d'une équation dirigée par un processus hölder-continu dans l'espace. En utilisant une formule d'Ito pour les semimartingales réversibles nous prouvons l'existence d'une solution lorsque le processus dirigeant l'équation est le mouvement brownien et le coefficient de diffusion est juste continu
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Coviello, Rosanna. "Calcul stochastique via régularisation et applications financières." Phd thesis, Paris 13, 2006. http://www.theses.fr/2006PA132027.
Full textAbstract:
Dans la première partie de cette thèse nous appliquons le calcul via régularisation à l'étude d'un marché où le processus des prix d'un actif risqué n'est pas une semimartingale mais simplement à variation quadratique finie. Cette condition est réalisée lorsque le prix de l'actif est admis dans la classe A de toutes les stratégies admissibles, et devient réaliste si la condition de non-arbitrage sur l'ensemble de toutes les stratégies simples prévisibles n'est pas plausible. Cette situation est vérifiée, par exemple, lorsque l'agent est un initié ou si A est restreinte.Nous fournissons des exemples de portefeuilles autofinancés et introduisons une notion de A-martingale. Un calcul relatif à celle-ci est développé. La condition de non-arbitrage parmi toutes les stratégies dans A est récupérée si le processus des prix de l'actif risqué est une A-martingale.
Nous abordons le problème de la viabilité du marché, de la couverture et de la maximisation de l'utilité de la richesse terminale.
La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'une équation différentielle stochastique unidimensionnelle dirigée par une semimartingale mélangée à un processus à variation cubique finie.
Nous proposons une méthode qui repose sur une transformation réduisant le coefficient de diffusion à 1.
Le développement de la méthode utilisée nous conduit à des résultats significatifs dans l'analyse du calcul via régularisation.
En particulier, une formule de type Ito-Wentzell relative aux processus à variation cubique finie est
établie et la structure des processus weak-Dirichlet par rapport à la filtration brownienne est clarifiée.
Nous démontrons, par une approche similaire, l'existence et l'unicité d'une équation dirigée par un processus hölder-continu dans l'espace. En utilisant une formule d'Ito pour les semimartingales réversibles nous prouvons l'existence d'une solution lorsque le processus dirigeant l'équation est le mouvement brownien et le coefficient de diffusion est juste continu
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Esstafa, Youssef. "Modèles de séries temporelles à mémoire longue avec innovations dépendantes." Thesis, Bourgogne Franche-Comté, 2019. http://www.theses.fr/2019UBFCD021.
Full textAbstract:
Dans cette thèse nous considérons, dans un premier temps, le problème de l'analyse statistique des modèles FARIMA (Fractionally AutoRegressive Integrated Moving-Average) induits par un bruit blanc non corrélé mais qui peut contenir des dépendances non linéaires très générales. Ces modèles sont appelés FARIMA faibles et permettent de modéliser des processus à mémoire longue présentant des dynamiques non linéaires, de structures souvent non-identifiées, très générales. Relâcher l'hypothèse d'indépendance sur le terme d'erreur, une hypothèse habituellement imposée dans la littérature, permet aux modèles FARIMA faibles d'élargir considérablement leurs champs d'application en couvrant une large classe de processus à mémoire longue non linéaires. Les modèles FARIMA faibles sont denses dans l'ensemble des processus stationnaires purement non déterministes, la classe formée par ces modèles englobe donc celle des processus FARIMA avec un bruit indépendant et identiquement distribué (iid). Nous appelons par la suite FARIMA forts les modèles dans lesquels le terme d'erreur est supposé être un bruit iid.Nous établissons les procédures d'estimation et de validation des modèles FARIMA faibles. Nous montrons, sous des hypothèses faibles de régularités sur le bruit, que l'estimateur des moindres carrés des paramètres des modèles FARIMA(p,d,q) faibles est fortement convergent et asymptotiquement normal. La matrice de variance asymptotique de l'estimateur des moindres carrés des modèles FARIMA(p,d,q) faibles est de la forme "sandwich". Cette matrice peut être très différente de la variance asymptotique obtenue dans le cas fort (i.e. dans le cas où le bruit est supposé iid). Nous proposons, par deux méthodes différentes, un estimateur convergent de cette matrice. Une méthode alternative basée sur une approche d'auto-normalisation est également proposée pour construire des intervalles de confiance des paramètres des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Cette technique nous permet de contourner le problème de l'estimation de la matrice de variance asymptotique de l'estimateur des moindres carrés.Nous accordons ensuite une attention particulière au problème de la validation des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Nous montrons que les autocorrélations résiduelles ont une distribution asymptotique normale de matrice de covariance différente de celle obtenue dans le cadre des FARIMA forts. Cela nous permet de déduire la loi asymptotique exacte des statistiques portmanteau et de proposer ainsi des versions modifiées des tests portmanteau standards de Box-Pierce et Ljung-Box. Il est connu que la distribution asymptotique des tests portmanteau est correctement approximée par un khi-deux lorsque le terme d'erreur est supposé iid. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d'une somme pondérée de khi-deux. Elle peut être très différente de l'approximation khi-deux usuelle du cas fort. Nous adoptons la même approche d'auto-normalisation utilisée pour la construction des intervalles de confiance des paramètres des modèles FARIMA faibles pour tester l'adéquation des modèles FARIMA(p,d,q) faibles. Cette méthode a l'avantage de contourner le problème de l'estimation de la matrice de variance asymptotique du vecteur joint de l'estimateur des moindres carrés et des autocovariances empiriques du bruit.Dans un second temps, nous traitons dans cette thèse le problème de l'estimation des modèles autorégressifs d'ordre 1 induits par un bruit gaussien fractionnaire d'indice de Hurst H supposé connu. Nous étudions, plus précisément, la convergence et la normalité asymptotique de l'estimateur des moindres carrés généralisés du paramètre autorégressif de ces modèlesWe first consider, in this thesis, the problem of statistical analysis of FARIMA (Fractionally AutoRegressive Integrated Moving-Average) models endowed with uncorrelated but non-independent error terms. These models are called weak FARIMA and can be used to fit long-memory processes with general nonlinear dynamics. Relaxing the independence assumption on the noise, which is a standard assumption usually imposed in the literature, allows weak FARIMA models to cover a large class of nonlinear long-memory processes. The weak FARIMA models are dense in the set of purely non-deterministic stationary processes, the class of these models encompasses that of FARIMA processes with an independent and identically distributed noise (iid). We call thereafter strong FARIMA models the models in which the error term is assumed to be an iid innovations.We establish procedures for estimating and validating weak FARIMA models. We show, under weak assumptions on the noise, that the least squares estimator of the parameters of weak FARIMA(p,d,q) models is strongly consistent and asymptotically normal. The asymptotic variance matrix of the least squares estimator of weak FARIMA(p,d,q) models has the "sandwich" form. This matrix can be very different from the asymptotic variance obtained in the strong case (i.e. in the case where the noise is assumed to be iid). We propose, by two different methods, a convergent estimator of this matrix. An alternative method based on a self-normalization approach is also proposed to construct confidence intervals for the parameters of weak FARIMA(p,d,q) models.We then pay particular attention to the problem of validation of weak FARIMA(p,d,q) models. We show that the residual autocorrelations have a normal asymptotic distribution with a covariance matrix different from that one obtained in the strong FARIMA case. This allows us to deduce the exact asymptotic distribution of portmanteau statistics and thus to propose modified versions of portmanteau tests. It is well known that the asymptotic distribution of portmanteau tests is correctly approximated by a chi-squared distribution when the error term is assumed to be iid. In the general case, we show that this asymptotic distribution is a mixture of chi-squared distributions. It can be very different from the usual chi-squared approximation of the strong case. We adopt the same self-normalization approach used for constructing the confidence intervals of weak FARIMA model parameters to test the adequacy of weak FARIMA(p,d,q) models. This method has the advantage of avoiding the problem of estimating the asymptotic variance matrix of the joint vector of the least squares estimator and the empirical autocovariances of the noise.Secondly, we deal in this thesis with the problem of estimating autoregressive models of order 1 endowed with fractional Gaussian noise when the Hurst parameter H is assumed to be known. We study, more precisely, the convergence and the asymptotic normality of the generalized least squares estimator of the autoregressive parameter of these models
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Leos, Zamorategui Arturo. "On the interface between physical systems and mathematical models : study of first-passage properties of fractional interfaces and large deviations in kinetically constrained models." Thesis, Sorbonne Paris Cité, 2017. http://www.theses.fr/2017USPCC183/document.
Full textAbstract:
La thèse décrit les propriétés d’équilibre et hors d’équilibre de modèles mathématiques stochastiques de systèmes physiques. À l’aide de simulations numériques, on étudie les fluctuations des différentes quantités mais on s’interesse aussi aux grands déviations dans certains systèmes. La première partie de la thèse se concentre sur l’étude des interfaces rugueuses observées dans des processus de croissance. Ces interfaces sont simulées avec des nouvelles techniques de programmation en parallèle qui nous permettent d’accéder à des systèmes de très grande taille. D’une part, on discute le cas diffusif, représenté par l’équation d’Edward-Wilkinson dans des interfaces périodiques, pour lequel on obtient une solution exacte de l’équation discrète dans l’espace de Fourier. Avec cette solution on déduit le facteur de structure associé aux amplitudes des modes et l’expression exacte est comparée avec les valeurs numériques. De plus, on fait le lien entre les propriétés de premier passage des interfaces et le mouvement Brownien. On mesure la distribution des longueurs des intervalles et on compare les résultats avec une version modifiée du théorème de Sparre-Andersen. D’autre part, on étudie le cas général qui inclut les cas sous-diffusif et superdiffusif avec des conditions de bord périodiques. On étudie pour ces interfaces fractionnaires des propriétés de premier passage liées aux zéros des interfaces. Dans l’état stationnaire, on étudie également les premiers cumulants et propriétés d’échellement de la longueur des intervalles et de la densité de zéros. De plus, on mesure la largeur typique de l’interface et ses propriétés d’échellement. Finalement, on analyse le comportement de ces observables dans les interfaces hors d’équilibre et on discute leur dépendance en la taille du système. On discute également les conditions de stabilité des solutions del’équation discrète, importantes pour les simulations des interfaces. Dans une deuxième partie, on étude la transition de phase dynamique dans des modèles cinétiquement contraints afin d’étudier la transition vitreuse observée dans des verres structuraux. Pour un modèle en dimension un, on étudie la géométrie spatio-temporelle des bulles d’inactivité qui caractérisent les hétérogénéités dynamiques observées dans les verres. On trouve que les directions spatiales et temporelles des bulles ne sont pas liées par un comportement diffusif. En contraste, on confirme l’échellement de l’aire et d’autres quantités attendues pour un système, a priori diffusif. De plus, grâce à la théorie des grandes déviations et l’algorithme de clonage, on identifie la transition de phase dynamique dans des systèmes en deux dimensions spatiales. D’abord on mesure l’énergie libre dynamique pour différentes valeurs du paramètre λ. Après, on conjecture des valeurs critiques λ c = Σ/K, avec Σ la tension surface d’une ı̂le de sites actifs entourée par des sites inactifs dans un modèle effectif et K l’activité moyenne du système, pour laquelle la transition de phase a lieu dans la limite de taille infinie. En mesurant l’activité du système et le nombre d’occupation, on observe la dépendance de ces observables avec la taille des systèmes étudiés loin de la transition. Finalement, on mesure la propagation du front des sites actifs dans tout les systèmes. Pour l’un des systèmes étudiés, on identifie une vitesse balistique du front qui nous permet d’observer la transition de phase d’un point de vue dynamiqueThis thesis investigates both equilibrium and nonequilibrium properties of mathematical stochastic models that as a representation of physical systems. By means of extensive numerical simulations we study mean quantities and their fluctuations. Nonetheless, in some systems we are interested also in large deviations. The first part of the thesis focuses on the study of rough interfaces observed in growth processes. These interfaces are simulated with state-of-the-art simulations based on parallel computing which allow us to study very large systems. On the one hand, we discuss the diffusive case given by the Edward-Wilkinson equation in periodic interfaces. For the discrete version of such an equation, we obtain an analytic solution in Fourier space. Fur-ther, we derive an exact expression of the structure factor related with the modes amplitudes describing the interface and compare it with the numerical values. Moreover, using a mapping between stationary interfaces and the Brownian motion, we relate the distribution of the intervals generated by the zeros of the interface with the first-passage distribution given by a the Sparre-Andersen theorem in the case of the Brownian motion. As a generalization of the results obtained in the diffusive case, we study a linear Langevin equation with a Riesz-Feller fractional Laplacian of order z used to simulate sub- and super-diffusive interfaces. In this general case, we identify three regimes based on the scaling behaviour of the cumulants of the intervallengths, the density of zeros and the width of the interface. Finally, we study the evolution in time of some of the observables introduced before. In the second part of the thesis, we study the dynamical phase transition in kinetically constrained models (KCMs) in order to get some insight on the glass transition observed in structural glasses. In a one-dimensional KCM we study the geometry of the bubbles of inactivity in space-time for systems at different temperatures. We find that the spatial length of the bubbles does not scale diffusively with its temporal duration. In contrast, we confirm a vidiffusive behaviour for other quantities studied. Further, by means of large deviation theory and cloning algorithms, we identify the dynamical phase transition in two-dimensional systems. To start with, we measure numerically the dynamical free energy both by measuring the largest eigenvalue of the evolution operator,for small systems, and via the cloning algorithm, for larger systems. We conjecture a value λ c = Σ/K, with Σ the surface tensionof a bubble of activity surrounded by a sea of inactive sites in an effective interfacial model and K the mean activity of the system, for each of the systems studied. For the activity of the system and the occupation number we discuss their scaling properties far from the phase transition. Starting from an empty system subject to different boundary conditions, we investigate the front propagation of active sites. We argue that the phase transition in this case can be identified by the abrupt slowing-down of the front. This is done by measuring the ballistic speed of the front in the simplest case studied. Finally, we propose an effective model following the Feynman-Kac formula for a moving front.-proprietés de premier passage, interface rugueuse, diffusion fractionnaire , système hors d'équilibre, transition de phase dynamique, modèle cinétiquement contraint, grandes déviations.-first-passage properties, rough interface, fractional diffusion, out-of-equilibrium system, dynamical phase transition, kinetically constrained model, large deviations