Academic literature on the topic 'Multiplicateurs de Lagrange'

Ce travail porte sur quelques méthodes numériques d'approximation de solution d'équations aux dérivées partielles. Il s'articule en deux parties principales : d'une part, l'analyse numérique d'une classe de méthodes de décomposition de domaines, d'autre part, l'étude de la méthode des domaines fictifs avec multiplicateur de Lagrange.

Ce travail presente l'etude de la methode des domaines fictifs avec multiplicateur de lagrange. Cette methode, qui peut etre consideree comme une methode generale pour resoudre une equation ou un systeme d'equations aux derivees partielles, consiste a remplacer le probleme initial par un autre pose sur un domaine de geometrie plus simple dont l'avantage est de permettre de travailler sur des maillages reguliers. La difficulte est de satisfaire les conditions aux limites prescrites sur le domaine initial. On traite, respectivement, les deux problemes de poisson et de stokes, en se basant sur la theorie des formulations mixtes pour verifier la condition de brezzi et babuska pour chacun de ces problemes. Les resultats d'existance et d'unicite de la solution de chacun des problemes sont etablis. La methode de multiplicateur de lagrange est connue d'etre en general stable et convergente sous certaine condition. Son principe est de choisir deux sous espaces, un a l'interieur du domaine et un autre sur une courbe fermee situee a l'interieur de ce domaine, puis essayer de combiner ces deux espaces avec le principe variationnel du point selle. La stabilite et l'ordre de convergence sont assures par une condition qui lie les pas de discretisation des deux sous espaces

Ce memoire est consacre a la presentation d'une methode originale de generation des equations du mouvement de systemes mecaniques polyarticules (chaines). L'idee principale est de tenir compte de la rigidite des solides par des multiplicateurs de lagrange. Plutot que de reperer les elements des chaines par des parametres articulaires, nous utilisons des vecteurs translation et des matrices rotation. Ces dernieres sont regardees comme des matrices ordinaires, afin de conserver la linearite des modeles geometriques : cela facilite beaucoup la generation formelle des equations de la dynamique, que les chaines soient ouvertes ou fermees. Nous tenons compte des caracteristiques des matrices rotation par l'introduction d'equations de liaison et de multiplicateurs de lagrange : cela equivaut a tenir compte de la rigidite des elements des chaines. Les equations de la dynamique obtenues forment un systeme algebro-differentiel. Nous presentons, evaluons et comparons plusieures methodes afin de resoudre ce type de systeme, toutes basees sur le schema de runge-kutta. Afin de pouvoir generer des trajectoires optimales de robots-manipulateurs, le principe du maximum de pontriaguine est modifie afin de pouvoir tenir compte d'equations de liaison. Finalement, nous montrons que la parametrisation que nous avons introduite est parfaitement adaptee pour la visualisation de trajectoires de systemes polyarticules dans un environnement de realite virtuelle.

Dans cette these, on resout les equations de maxwell issues de problemes de diffraction d'une onde harmonique par un obstacle. Pour des raisons de simplicite de mise en uvre, on veut utiliser des elements finis conformes (de type p#1). Pour ce faire, il faut pouvoir prendre en compte la condition aux limites de type conducteur parfait qui intervient dans ces equations, ce qui n'est pas immediat avec ce type d'elements. On traitera donc cette condition grace a l'introduction d'un multiplicateur de lagrange. On resout ensuite le systeme lineaire (complexe, creux, indefini, symetrique mais non hermitien) issu de ce probleme de point-selle, apres l'avoir preconditionne, par une methode iterative performante (gmres ou bicgstab). On presente plusieurs preconditionnements et une comparaison des deux methodes iteratives, utilisees pour resoudre un tel systeme. Afin de ne pas s'attaquer immediatement un probleme repute difficile, on teste les differents algorithmes mis au point sur un probleme elliptique modele simple, puis sur un probleme plus complique (mais plus proche de celui que l'on veut resoudre puisqu'il s'agit de l'equation de helmholtz), pour enfin s'interesser aux equations de maxwell. On presente les formulations variationnelles des differents problemes ainsi que l'ensemble des experiences numeriques effectuees validant la methode

Nous avons étudié une nouvelle méthode de décomposition de domaine qui consiste a introduire les multiplicateurs de Lagrange des conditions de continuité aux interfaces entre les sous-structures, et qui conduit a une formulation hybride par sous-domaines des équations. Par ailleurs, nous avons envisage différents préconditionneurs adaptes a cette méthode, et nous l'avons comparée a celle, plus classique, du complément de Schur, aussi bien du point de vue de l'analyse numérique que de celui de l'implémentation sur machines parallèles. Enfin, des tests ont été réalisés pour la résolution de problèmes d'élasticité linéaire tridimensionnels. Ces tests ont démontre la capacité de l'algorithme a résoudre, a moindre cout, des problèmes de grande taille, mal conditionnes, ainsi que l'efficacité de son implémentation sur des supercalculateurs parallèles

Le thème central de cette thèse est l'étude des problèmes d'optimisation multicritère avec ou sans dynamique ainsi que le problème général de Bolza et ses applications. Après avoir rappelé quelques concepts d'analyse non lisse, on étudie dans la première partie de cette thèse l'existence des multiplicateurs de Lagrange pour des problèmes d'optimisation multicritère en dimension infinie en termes d'une préférence générale. En introduisant la notion de la régularité d'une préférence et en utilisant la condition de qualification calme, on établit l'existence des multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker. Ceci nous permet d'exhiber des multiplicateurs de Fritz-John en termes du sous-différentiel approché au sens de Ioffe. En conséquence on obtient des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou bien par une fonction d'utilité. On établit dans la deuxième partie des conditions nécessaires d'optimalité pour le problème général de Bolza en termes du sous différentiel Fréchet limite sans aucune hypothèse de convexité. Ce résultat nous permet de retrouver les résultats de Vinter-Zheng, Ioffe-Rockafellar et d'établir le principe du maximum avec une nouvelle inclusion d'Euler-Lagrange. On applique ce dernier aux problèmes isopérimetriques, au modèle général de croissance économique de Ramsey et à un problème de génie chimique. En utilisant la notion de préférence de la première partie et les résultats de la deuxième, on établit dans la troisième partie des conditions nécessaires d'optimalité et des conditions Hamiltoniennes d'un problème d'optimisation multicritère dynamique. Enfin on donne des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou une fonction d'utilité
The aim of this work is to study multiobjective optimization problems with or without dynamics and the generalized Bolza problem and its applications. After having pointed out some concepts of nonsmooth analysis, we begin the first part of this thesis with the existence of Lagrange multipliers for multiobjective optimization problems in infinite dimension with a general preference. We introduce the regularity of preference and use calmness qualification condition we establish the existence of Karush-Kuhn-Tucker multipliers. This allows us to obtain Fritz-John multipliers in terms of the approximate subdifferential by Ioffe. Then we derive similar results when the preference is defined by a convex cone or by an utility function. The second part deals with generalized Bolza problem. We establish necessary optimality conditions in terms of limiting Fréchet subdifferential without convexity assumptions. This result enables us to obtain the results by Vinter-Zheng and Ioffe-Rockafellar and to establish maximum principle including a new Euler-Lagrange inclusion. We apply this last one to isoperimetric problems, to the general Ramsey model of economic growth and to a chemical engineering problem. Using the notion of preference of the first part and the results of the second part we establish in the third part necessary optimality conditions and Hamiltonian conditions to multiobjective dynamic optimization. We give similar results in the case of a preference defined by a convex cone or an utility function

La FWI (Full Waveform Inversion) est un problème d'optimisation sous contraintes dédié à l'estimation des paramètres constitutifs du sous-sol à partir de mesures parcimonieuses des champs d'ondes sismiques. La FWI est fondée sur des approches locales d'optimisation et sur un espace de recherche réduit obtenu par projection de variables. La non linéarité et le caractère mal posé de la FWI sont deux difficultés majeures. Une source de non linéarité est liée au repliement de la phase, qui conduit à un minimum local dès que le modèle initial n'est pas suffisamment précis. Le caractère mal posé résulte de l'éclairage incomplet du sous-sol depuis la surface, le bruit et les couplages inter-paramètres. L'objectif de cette thèse est de réduire ces deux pathologies par de nouvelles approches d'optimisation et de régularisation. J'améliore tout d'abord la méthode d'inversion par reconstruction des champs d'onde (WRI : Wavefield Reconstruction Inversion). WRI étend l'espace de recherche en calculant les champs d'onde avec une relaxation de l'équation d'onde afin d'ajuster les données avec des modèles imprécis avant d'estimer les paramètres en minimisant les erreurs générées par cette relaxation. Quand ces deux estimations sont effectuées de manière alternée, WRI décompose l'inversion non linéaire en deux sous-problèmes linéaires en vertu de la bilinéarité de l'équation d'onde. WRI a été implémentée avec une méthode de pénalité, nécessitant une adaptation du paramètre de pénalité lors des itérations. Je remédie à cela avec ADMM (Alternating-Direction Method of Multipliers), qui concilie l'extension de l'espace de recherche et la précision de la solution au point de convergence avec un paramètre de pénalité fixe grâce à la mise à jour itérative des multiplicateurs de Lagrange. Une seconde contribution est l'implémentation de contraintes de bornes et de régularisation par variation totale (TV) dans WRI. Suivant la méthode de Split Bregman, des variables auxiliaires permettent de découpler les termes impliquant des normes ℓ2 et ℓ1 et de traiter les seconds efficacement avec des opérateurs de proximité. Ensuite, j'ai combiné une régularisation de Tikhonov et de TV par convolution infimale pour prendre en compte les différentes propriétés statistiques du milieu (constantes par morceau et lisses). Ma thèse aborde ensuite des reconstructions multi-paramètres. Je montre dans un premier temps que la bilinéarité de l'équation d'onde est vérifiée pour les équations de l'elastodynamique. Ensuite, je traite le cas de milieux acoustique VTI où je reconstruis conjointement la vitesse verticale et epsilon pour un modèle synthétique représentatif d'un champ pétrolier en mer du Nord. Je m'intéresse ensuite à l'imagerie de l'atténuation qui est introduite en domaine harmonique sous forme d'une vitesse complexe. J'étends WRI à la reconstruction de paramètres complexes tout en développant une régularisation adaptable à la vitesse réelle et au facteur de qualité. Durant les premières itérations, les champs d'onde reconstruits sont précis uniquement au voisinage des récepteurs. Les imprécisions de la phase pourraient avoir un rôle préjudiciable sur la solution de l'inversion. Afin de réduire cette empreinte, j'estime les paramètres par "phase retrieval", un processus qui vise la reconstruction d'un signal complexe à partir de l'amplitude de sa mesure linéaire. Une fois un premier modèle obtenu, je réinjecte l'information de la phase pour converger vers la solution finale. Je montre la pertinence de cette stratégie lorsque le modèle initial est homogène. WRI a été initialement développée dans le domaine fréquentiel car la reconstruction des champs d'onde y est raisonnablement aisée avec des méthodes d'algèbre linéaire. En domaine temporel, une approche fondée sur un schéma explicite d'intégration temporelle a été proposée mais repose sur une linéarisation autour des sources supposées connues
Full Waveform Inversion (FWI) is a PDE-constrained optimization which reconstructs subsurface parameters from sparse measurements of seismic wavefields. FWI generally relies on local optimization techniques and a reduced-space approach where the wavefields are eliminated from the variables. In this setting, two bottlenecks of FWI are nonlinearity and ill-posedness. One source of nonlinearity is cycle skipping, which drives the inversion to spurious minima when the starting subsurface model is not kinematically accurate enough. Ill-posedness can result from incomplete subsurface illumination, noise and parameter cross-talks. This thesis aims to mitigate these pathologies with new optimization and regularization strategies. I first improve the wavefield reconstruction method (WRI). WRI extends the FWI search space by computing wavefields with a relaxation of the wave equation to match the data from inaccurate parameters. Then, the parameters are updated by minimizing wave equation errors with either alternating optimization or variable projection. In the former case, WRI breaks down FWI into to linear subproblems thanks to wave equation bilinearity. WRI was initially implemented with a penalty method, which requires a tedious adaptation of the penalty parameter in iterations. Here, I replace the penalty method by the alternating-direction method of multipliers (ADMM). I show with numerical examples how ADMM conciliates the search space extension and the accuracy of the solution at the convergence point with fixed penalty parameters thanks to the dual ascent update of the Lagrange multipliers. The second contribution is the implementation of bound constraints and non smooth Total Variation (TV) regularization in ADMM-based WRI. Following the Split Bregman method, suitable auxiliary variables allow for the de-coupling of the ℓ1 and ℓ2 subproblems, the former being solved efficiently with proximity operators. Then, I combine Tikhonov and TV regularizations by infimal convolution to account for the different statistical properties of the subsurface (smoothness and blockiness). At the next step, I show the ability of sparse promoting regularization in reconstruction the model when ultralong offset sparse fixed-spread acquisition such as those carried out with OBN are used. This thesis continues with the extension of the ADMM-based WRI to multiparameter reconstruction in vertical transversely isotropic (VTI) acoustic media. I first show that the bilinearity of the wave equation is satisfied for the elastodynamic equations. I discuss the joint reconstruction of the vertical wavespeed and epsilon in VTI media. Second, I develop ADMM-based WRI for attenuation imaging, where I update wavefield, squared-slowness, and attenuation in an alternating mode since viscoacoustic wave equation can be approximated, with a high degree of accuracy, as a multilinear equation. This alternating solving provides the necessary flexibility to taylor the regularization to each parameter class and invert large data sets. Then, I overcome some limitations of ADMM-based WRI when a crude initial model is used. In this case, the reconstructed wavefields are accurate only near the receivers. The inaccuracy of phase of the wavefields may be the leading factor which drives the inversion towards spurious minimizers. To mitigate the role of the phase during the early iterations, I update the parameters with phase retrieval, a process which reconstructs a signal from magnitude of linear mesurements. This approach combined with efficient regularizations leads to more accurate reconstruction of the shallow structure, which is decisive to drive ADMM-based WRI toward good solutions at higher frequencies. The last part of this PhD is devoted to time-domain WRI, where a challenge is to perform accurate wavefield reconstruction with acceptable computational cost

La méthode des éléments finis est une méthode de modélisation des systèmes, utilisée dans l’ensemble des domaines de la physique ainsi que dans l’ingénierie. Elle permet d’obtenir des résultats précis. Cependant la nécessité de modéliser des systèmes de plus en plus complexes, avec une précision de plus en plus grande, demande une puissance de calcul qui n’est pas toujours disponible. Il est ainsi nécessaire, afin de résoudre ces problèmes, de trouver des méthodes de calcul permettant de conserver cette précision, mais de réduire le temps de calcul.Une solution pour tenter de palier à ce défaut est de décomposer le problème complexe initial en plusieurs sous-problèmes, maillés indépendamment, et entre lesquels il est nécessaire de coupler les solutions. Quelques méthodes permettant de recoller ces maillages sont étudiées dans ce présent mémoire. Elles sont présentées ainsi que quelques outils liés, tels que des méthodes de résolution, et des fonctions de formes plus adaptées à leur utilisation. Il est montré, à travers ces travaux, qu’il est tout à fait possible de recoller les maillages en électrotechnique, et par là d’obtenir des résultats intéressants en terme de précision, et de qualité de solution. Cependant, les méthodes de résolution utilisées ici n’ont pas permis d’obtenir des temps de calculs satisfaisants pour les cas étudiés
The finite element method is used to model complex systems in all the physics and engineering. This method has a good accuracy. Because of the complexity of the systems, and the require precision, this method need a very large computing capacity, which is not always available. Consequently it is necessary to find calculation methods which allow preserving the accuracy, and reducing the computation time.One way to solve this situation is to decompose the complex problem in several sub-problems, with non-connecting meshes, and reconnect them. Some methods used to reconnect are developed in this work, with some tools, like resolution methods, and new shape functions necessary for this configuration of non-connecting meshes. This work shows the possibility of those methods: they reconnect the different meshes, conserve the accuracy and the quality of the solution. But the solving methods used here do not reduce consequently the computation time

Cette thèse est motivée par la modélisation et la simulation numérique des phénomènes d’interaction fluide-structure autour de valves cardiaques. L’interaction avec la paroi des vaisseaux est traitée avec une formulation Arbitraire Lagrange Euler (ALE), tandis que l’interaction avec les valves est traitée à l’aide de multiplicateurs de Lagrange, dans une formulation de type Domaines Fictifs (FD). Après une présentation de synthèse des di- verses méthodes utilisées en interaction fluide-structure dans les écoulements sanguins, nous décrivons une méthode permettant de simuler la dynamique d’une valve immergée dans un écoulement visqueux incompressible. L’algori- thme de couplage est partionné, ce qui permet de conserver des solveurs fluides et structures indépendants. Le maillage du fluide est mobile pour suivre la paroi des vaisseaux, mais indépendant du maillage des valves. Ceci autorise des très grands déplacements sans nécessiter de remaillage. Nous proposons une stratégie pour gérer le contact entre plusieurs valves. L’algorithme est totalement indépendant des solveurs de structures et est bien adapté au couplage fluide-structure partionné. Enfin, nous proposons un schéma de couplage semi-implicite permettant de méler efficacement les formulations ALE et FD. Toutes les méthodes considérées sont accom- pagnées de nombreux tests numériques en 2D et 3D
This thesis is motivated by the modelling and the simulation of fluid-structure interaction phenomena in the vicinity of heart valves. On the one hand, the interaction of the vessel wall is dealt with an Arbitrary Lagrangian Eule- rian (ALE) formulation. On the other hand the interaction of the valves is treated with the help of Lagrange multipliers in a Fictitious Domains-like (FD) formulation. After a synthetic presentation of the several methods available for the fluid-structure interaction in blood flows, we describe a method that permits capture the dynamics of a valve immersed in an in- compressible fluid. The coupling algorithm is partitioned which allows the fluid and structure solvers to remain independent. In order to follow the ves- sel walls, the fluid mesh is mobile, but it remains none the less independent of the valve mesh. In this way we allow large displacements without the need to perform remeshing. We propose a strategy to manage contact between several immersed structures. The algorithm is completely independent of the structure solver and is well adapted to the partitioned fluid-structure coupling. Lastly we propose a semi-implicit coupling scheme allowing to mix, effectively, the ALE and FD formulations. The methods considered are followed with several numerical tests in 2D and 3D