Dissertations / Theses on the topic 'Multiplicateurs de Lagrange'

Ce travail porte sur quelques méthodes numériques d'approximation de solution d'équations aux dérivées partielles. Il s'articule en deux parties principales : d'une part, l'analyse numérique d'une classe de méthodes de décomposition de domaines, d'autre part, l'étude de la méthode des domaines fictifs avec multiplicateur de Lagrange.

Ce travail presente l'etude de la methode des domaines fictifs avec multiplicateur de lagrange. Cette methode, qui peut etre consideree comme une methode generale pour resoudre une equation ou un systeme d'equations aux derivees partielles, consiste a remplacer le probleme initial par un autre pose sur un domaine de geometrie plus simple dont l'avantage est de permettre de travailler sur des maillages reguliers. La difficulte est de satisfaire les conditions aux limites prescrites sur le domaine initial. On traite, respectivement, les deux problemes de poisson et de stokes, en se basant sur la theorie des formulations mixtes pour verifier la condition de brezzi et babuska pour chacun de ces problemes. Les resultats d'existance et d'unicite de la solution de chacun des problemes sont etablis. La methode de multiplicateur de lagrange est connue d'etre en general stable et convergente sous certaine condition. Son principe est de choisir deux sous espaces, un a l'interieur du domaine et un autre sur une courbe fermee situee a l'interieur de ce domaine, puis essayer de combiner ces deux espaces avec le principe variationnel du point selle. La stabilite et l'ordre de convergence sont assures par une condition qui lie les pas de discretisation des deux sous espaces

Ce memoire est consacre a la presentation d'une methode originale de generation des equations du mouvement de systemes mecaniques polyarticules (chaines). L'idee principale est de tenir compte de la rigidite des solides par des multiplicateurs de lagrange. Plutot que de reperer les elements des chaines par des parametres articulaires, nous utilisons des vecteurs translation et des matrices rotation. Ces dernieres sont regardees comme des matrices ordinaires, afin de conserver la linearite des modeles geometriques : cela facilite beaucoup la generation formelle des equations de la dynamique, que les chaines soient ouvertes ou fermees. Nous tenons compte des caracteristiques des matrices rotation par l'introduction d'equations de liaison et de multiplicateurs de lagrange : cela equivaut a tenir compte de la rigidite des elements des chaines. Les equations de la dynamique obtenues forment un systeme algebro-differentiel. Nous presentons, evaluons et comparons plusieures methodes afin de resoudre ce type de systeme, toutes basees sur le schema de runge-kutta. Afin de pouvoir generer des trajectoires optimales de robots-manipulateurs, le principe du maximum de pontriaguine est modifie afin de pouvoir tenir compte d'equations de liaison. Finalement, nous montrons que la parametrisation que nous avons introduite est parfaitement adaptee pour la visualisation de trajectoires de systemes polyarticules dans un environnement de realite virtuelle.

Dans cette these, on resout les equations de maxwell issues de problemes de diffraction d'une onde harmonique par un obstacle. Pour des raisons de simplicite de mise en uvre, on veut utiliser des elements finis conformes (de type p#1). Pour ce faire, il faut pouvoir prendre en compte la condition aux limites de type conducteur parfait qui intervient dans ces equations, ce qui n'est pas immediat avec ce type d'elements. On traitera donc cette condition grace a l'introduction d'un multiplicateur de lagrange. On resout ensuite le systeme lineaire (complexe, creux, indefini, symetrique mais non hermitien) issu de ce probleme de point-selle, apres l'avoir preconditionne, par une methode iterative performante (gmres ou bicgstab). On presente plusieurs preconditionnements et une comparaison des deux methodes iteratives, utilisees pour resoudre un tel systeme. Afin de ne pas s'attaquer immediatement un probleme repute difficile, on teste les differents algorithmes mis au point sur un probleme elliptique modele simple, puis sur un probleme plus complique (mais plus proche de celui que l'on veut resoudre puisqu'il s'agit de l'equation de helmholtz), pour enfin s'interesser aux equations de maxwell. On presente les formulations variationnelles des differents problemes ainsi que l'ensemble des experiences numeriques effectuees validant la methode

Nous avons étudié une nouvelle méthode de décomposition de domaine qui consiste a introduire les multiplicateurs de Lagrange des conditions de continuité aux interfaces entre les sous-structures, et qui conduit a une formulation hybride par sous-domaines des équations. Par ailleurs, nous avons envisage différents préconditionneurs adaptes a cette méthode, et nous l'avons comparée a celle, plus classique, du complément de Schur, aussi bien du point de vue de l'analyse numérique que de celui de l'implémentation sur machines parallèles. Enfin, des tests ont été réalisés pour la résolution de problèmes d'élasticité linéaire tridimensionnels. Ces tests ont démontre la capacité de l'algorithme a résoudre, a moindre cout, des problèmes de grande taille, mal conditionnes, ainsi que l'efficacité de son implémentation sur des supercalculateurs parallèles

Le thème central de cette thèse est l'étude des problèmes d'optimisation multicritère avec ou sans dynamique ainsi que le problème général de Bolza et ses applications. Après avoir rappelé quelques concepts d'analyse non lisse, on étudie dans la première partie de cette thèse l'existence des multiplicateurs de Lagrange pour des problèmes d'optimisation multicritère en dimension infinie en termes d'une préférence générale. En introduisant la notion de la régularité d'une préférence et en utilisant la condition de qualification calme, on établit l'existence des multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker. Ceci nous permet d'exhiber des multiplicateurs de Fritz-John en termes du sous-différentiel approché au sens de Ioffe. En conséquence on obtient des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou bien par une fonction d'utilité. On établit dans la deuxième partie des conditions nécessaires d'optimalité pour le problème général de Bolza en termes du sous différentiel Fréchet limite sans aucune hypothèse de convexité. Ce résultat nous permet de retrouver les résultats de Vinter-Zheng, Ioffe-Rockafellar et d'établir le principe du maximum avec une nouvelle inclusion d'Euler-Lagrange. On applique ce dernier aux problèmes isopérimetriques, au modèle général de croissance économique de Ramsey et à un problème de génie chimique. En utilisant la notion de préférence de la première partie et les résultats de la deuxième, on établit dans la troisième partie des conditions nécessaires d'optimalité et des conditions Hamiltoniennes d'un problème d'optimisation multicritère dynamique. Enfin on donne des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou une fonction d'utilité
The aim of this work is to study multiobjective optimization problems with or without dynamics and the generalized Bolza problem and its applications. After having pointed out some concepts of nonsmooth analysis, we begin the first part of this thesis with the existence of Lagrange multipliers for multiobjective optimization problems in infinite dimension with a general preference. We introduce the regularity of preference and use calmness qualification condition we establish the existence of Karush-Kuhn-Tucker multipliers. This allows us to obtain Fritz-John multipliers in terms of the approximate subdifferential by Ioffe. Then we derive similar results when the preference is defined by a convex cone or by an utility function. The second part deals with generalized Bolza problem. We establish necessary optimality conditions in terms of limiting Fréchet subdifferential without convexity assumptions. This result enables us to obtain the results by Vinter-Zheng and Ioffe-Rockafellar and to establish maximum principle including a new Euler-Lagrange inclusion. We apply this last one to isoperimetric problems, to the general Ramsey model of economic growth and to a chemical engineering problem. Using the notion of preference of the first part and the results of the second part we establish in the third part necessary optimality conditions and Hamiltonian conditions to multiobjective dynamic optimization. We give similar results in the case of a preference defined by a convex cone or an utility function

La FWI (Full Waveform Inversion) est un problème d'optimisation sous contraintes dédié à l'estimation des paramètres constitutifs du sous-sol à partir de mesures parcimonieuses des champs d'ondes sismiques. La FWI est fondée sur des approches locales d'optimisation et sur un espace de recherche réduit obtenu par projection de variables. La non linéarité et le caractère mal posé de la FWI sont deux difficultés majeures. Une source de non linéarité est liée au repliement de la phase, qui conduit à un minimum local dès que le modèle initial n'est pas suffisamment précis. Le caractère mal posé résulte de l'éclairage incomplet du sous-sol depuis la surface, le bruit et les couplages inter-paramètres. L'objectif de cette thèse est de réduire ces deux pathologies par de nouvelles approches d'optimisation et de régularisation. J'améliore tout d'abord la méthode d'inversion par reconstruction des champs d'onde (WRI : Wavefield Reconstruction Inversion). WRI étend l'espace de recherche en calculant les champs d'onde avec une relaxation de l'équation d'onde afin d'ajuster les données avec des modèles imprécis avant d'estimer les paramètres en minimisant les erreurs générées par cette relaxation. Quand ces deux estimations sont effectuées de manière alternée, WRI décompose l'inversion non linéaire en deux sous-problèmes linéaires en vertu de la bilinéarité de l'équation d'onde. WRI a été implémentée avec une méthode de pénalité, nécessitant une adaptation du paramètre de pénalité lors des itérations. Je remédie à cela avec ADMM (Alternating-Direction Method of Multipliers), qui concilie l'extension de l'espace de recherche et la précision de la solution au point de convergence avec un paramètre de pénalité fixe grâce à la mise à jour itérative des multiplicateurs de Lagrange. Une seconde contribution est l'implémentation de contraintes de bornes et de régularisation par variation totale (TV) dans WRI. Suivant la méthode de Split Bregman, des variables auxiliaires permettent de découpler les termes impliquant des normes ℓ2 et ℓ1 et de traiter les seconds efficacement avec des opérateurs de proximité. Ensuite, j'ai combiné une régularisation de Tikhonov et de TV par convolution infimale pour prendre en compte les différentes propriétés statistiques du milieu (constantes par morceau et lisses). Ma thèse aborde ensuite des reconstructions multi-paramètres. Je montre dans un premier temps que la bilinéarité de l'équation d'onde est vérifiée pour les équations de l'elastodynamique. Ensuite, je traite le cas de milieux acoustique VTI où je reconstruis conjointement la vitesse verticale et epsilon pour un modèle synthétique représentatif d'un champ pétrolier en mer du Nord. Je m'intéresse ensuite à l'imagerie de l'atténuation qui est introduite en domaine harmonique sous forme d'une vitesse complexe. J'étends WRI à la reconstruction de paramètres complexes tout en développant une régularisation adaptable à la vitesse réelle et au facteur de qualité. Durant les premières itérations, les champs d'onde reconstruits sont précis uniquement au voisinage des récepteurs. Les imprécisions de la phase pourraient avoir un rôle préjudiciable sur la solution de l'inversion. Afin de réduire cette empreinte, j'estime les paramètres par "phase retrieval", un processus qui vise la reconstruction d'un signal complexe à partir de l'amplitude de sa mesure linéaire. Une fois un premier modèle obtenu, je réinjecte l'information de la phase pour converger vers la solution finale. Je montre la pertinence de cette stratégie lorsque le modèle initial est homogène. WRI a été initialement développée dans le domaine fréquentiel car la reconstruction des champs d'onde y est raisonnablement aisée avec des méthodes d'algèbre linéaire. En domaine temporel, une approche fondée sur un schéma explicite d'intégration temporelle a été proposée mais repose sur une linéarisation autour des sources supposées connues
Full Waveform Inversion (FWI) is a PDE-constrained optimization which reconstructs subsurface parameters from sparse measurements of seismic wavefields. FWI generally relies on local optimization techniques and a reduced-space approach where the wavefields are eliminated from the variables. In this setting, two bottlenecks of FWI are nonlinearity and ill-posedness. One source of nonlinearity is cycle skipping, which drives the inversion to spurious minima when the starting subsurface model is not kinematically accurate enough. Ill-posedness can result from incomplete subsurface illumination, noise and parameter cross-talks. This thesis aims to mitigate these pathologies with new optimization and regularization strategies. I first improve the wavefield reconstruction method (WRI). WRI extends the FWI search space by computing wavefields with a relaxation of the wave equation to match the data from inaccurate parameters. Then, the parameters are updated by minimizing wave equation errors with either alternating optimization or variable projection. In the former case, WRI breaks down FWI into to linear subproblems thanks to wave equation bilinearity. WRI was initially implemented with a penalty method, which requires a tedious adaptation of the penalty parameter in iterations. Here, I replace the penalty method by the alternating-direction method of multipliers (ADMM). I show with numerical examples how ADMM conciliates the search space extension and the accuracy of the solution at the convergence point with fixed penalty parameters thanks to the dual ascent update of the Lagrange multipliers. The second contribution is the implementation of bound constraints and non smooth Total Variation (TV) regularization in ADMM-based WRI. Following the Split Bregman method, suitable auxiliary variables allow for the de-coupling of the ℓ1 and ℓ2 subproblems, the former being solved efficiently with proximity operators. Then, I combine Tikhonov and TV regularizations by infimal convolution to account for the different statistical properties of the subsurface (smoothness and blockiness). At the next step, I show the ability of sparse promoting regularization in reconstruction the model when ultralong offset sparse fixed-spread acquisition such as those carried out with OBN are used. This thesis continues with the extension of the ADMM-based WRI to multiparameter reconstruction in vertical transversely isotropic (VTI) acoustic media. I first show that the bilinearity of the wave equation is satisfied for the elastodynamic equations. I discuss the joint reconstruction of the vertical wavespeed and epsilon in VTI media. Second, I develop ADMM-based WRI for attenuation imaging, where I update wavefield, squared-slowness, and attenuation in an alternating mode since viscoacoustic wave equation can be approximated, with a high degree of accuracy, as a multilinear equation. This alternating solving provides the necessary flexibility to taylor the regularization to each parameter class and invert large data sets. Then, I overcome some limitations of ADMM-based WRI when a crude initial model is used. In this case, the reconstructed wavefields are accurate only near the receivers. The inaccuracy of phase of the wavefields may be the leading factor which drives the inversion towards spurious minimizers. To mitigate the role of the phase during the early iterations, I update the parameters with phase retrieval, a process which reconstructs a signal from magnitude of linear mesurements. This approach combined with efficient regularizations leads to more accurate reconstruction of the shallow structure, which is decisive to drive ADMM-based WRI toward good solutions at higher frequencies. The last part of this PhD is devoted to time-domain WRI, where a challenge is to perform accurate wavefield reconstruction with acceptable computational cost

La méthode des éléments finis est une méthode de modélisation des systèmes, utilisée dans l’ensemble des domaines de la physique ainsi que dans l’ingénierie. Elle permet d’obtenir des résultats précis. Cependant la nécessité de modéliser des systèmes de plus en plus complexes, avec une précision de plus en plus grande, demande une puissance de calcul qui n’est pas toujours disponible. Il est ainsi nécessaire, afin de résoudre ces problèmes, de trouver des méthodes de calcul permettant de conserver cette précision, mais de réduire le temps de calcul.Une solution pour tenter de palier à ce défaut est de décomposer le problème complexe initial en plusieurs sous-problèmes, maillés indépendamment, et entre lesquels il est nécessaire de coupler les solutions. Quelques méthodes permettant de recoller ces maillages sont étudiées dans ce présent mémoire. Elles sont présentées ainsi que quelques outils liés, tels que des méthodes de résolution, et des fonctions de formes plus adaptées à leur utilisation. Il est montré, à travers ces travaux, qu’il est tout à fait possible de recoller les maillages en électrotechnique, et par là d’obtenir des résultats intéressants en terme de précision, et de qualité de solution. Cependant, les méthodes de résolution utilisées ici n’ont pas permis d’obtenir des temps de calculs satisfaisants pour les cas étudiés
The finite element method is used to model complex systems in all the physics and engineering. This method has a good accuracy. Because of the complexity of the systems, and the require precision, this method need a very large computing capacity, which is not always available. Consequently it is necessary to find calculation methods which allow preserving the accuracy, and reducing the computation time.One way to solve this situation is to decompose the complex problem in several sub-problems, with non-connecting meshes, and reconnect them. Some methods used to reconnect are developed in this work, with some tools, like resolution methods, and new shape functions necessary for this configuration of non-connecting meshes. This work shows the possibility of those methods: they reconnect the different meshes, conserve the accuracy and the quality of the solution. But the solving methods used here do not reduce consequently the computation time

Cette thèse est motivée par la modélisation et la simulation numérique des phénomènes d’interaction fluide-structure autour de valves cardiaques. L’interaction avec la paroi des vaisseaux est traitée avec une formulation Arbitraire Lagrange Euler (ALE), tandis que l’interaction avec les valves est traitée à l’aide de multiplicateurs de Lagrange, dans une formulation de type Domaines Fictifs (FD). Après une présentation de synthèse des di- verses méthodes utilisées en interaction fluide-structure dans les écoulements sanguins, nous décrivons une méthode permettant de simuler la dynamique d’une valve immergée dans un écoulement visqueux incompressible. L’algori- thme de couplage est partionné, ce qui permet de conserver des solveurs fluides et structures indépendants. Le maillage du fluide est mobile pour suivre la paroi des vaisseaux, mais indépendant du maillage des valves. Ceci autorise des très grands déplacements sans nécessiter de remaillage. Nous proposons une stratégie pour gérer le contact entre plusieurs valves. L’algorithme est totalement indépendant des solveurs de structures et est bien adapté au couplage fluide-structure partionné. Enfin, nous proposons un schéma de couplage semi-implicite permettant de méler efficacement les formulations ALE et FD. Toutes les méthodes considérées sont accom- pagnées de nombreux tests numériques en 2D et 3D
This thesis is motivated by the modelling and the simulation of fluid-structure interaction phenomena in the vicinity of heart valves. On the one hand, the interaction of the vessel wall is dealt with an Arbitrary Lagrangian Eule- rian (ALE) formulation. On the other hand the interaction of the valves is treated with the help of Lagrange multipliers in a Fictitious Domains-like (FD) formulation. After a synthetic presentation of the several methods available for the fluid-structure interaction in blood flows, we describe a method that permits capture the dynamics of a valve immersed in an in- compressible fluid. The coupling algorithm is partitioned which allows the fluid and structure solvers to remain independent. In order to follow the ves- sel walls, the fluid mesh is mobile, but it remains none the less independent of the valve mesh. In this way we allow large displacements without the need to perform remeshing. We propose a strategy to manage contact between several immersed structures. The algorithm is completely independent of the structure solver and is well adapted to the partitioned fluid-structure coupling. Lastly we propose a semi-implicit coupling scheme allowing to mix, effectively, the ALE and FD formulations. The methods considered are followed with several numerical tests in 2D and 3D

Cette thèse est motivée par la modélisation et la simulation numérique des phénomènes d'interaction fluide-structure autour de valves cardiaques. L'interaction avec la paroi des vaisseaux est traitée avec une formulation Arbitraire Lagrange Euler (ALE), tandis que l'interaction avec les valves est traitée à l'aide de multiplicateurs de Lagrange, dans une formulation de type Domaines Fictifs (FD). Après une présentation de synthèse des diverses méthodes utilisées en interaction fluide-structure dans les écoulements sanguins, nous décrivons une méthode permettant de simuler la dynamique d'une valve immergée dans un écoulement visqueux incompressible. L'algorithme de couplage est partionné, ce qui permet de conserver des solveurs fluides et structures indépendants. Le maillage du fluide est mobile pour suivre la paroi des vaisseaux, mais indépendant du maillage des valves. Ceci autorise des très grands déplacements sans nécessiter de remaillage. Nous proposons une stratégie pour gérer le contact entre plusieurs valves. L'algorithme est totalement indépendant des solveurs de structures et est bien adapté au couplage fluide-structure partionné. Enfin, nous proposons un schéma de couplage semi-implicite permettant de mêler efficacement les formulations ALE et FD. Toutes les méthodes considérées sont accompagnées de nombreux tests numériques en 2D et 3D.

Nous proposons une modélisation dynamique des systèmes articulés qui paramétre la position de chaque solide par les 3 composantes de son vecteur translation et les 9 coefficients de sa matrice rotation. On tient compte des rigidités de chaque solide et des articulations entre solides par des multiplicateurs de Lagrange. Le mouvement est régi par un système algébro-différentiel ayant comme partie différentielle les équations de Lagrange et comme partie algébrique les équations de liaison. Nous construisons un code de calcul orienté objet en C++ qui résout le système algébro-différentiel par un algorithme de projection. Ce code est validé par la simulation du mouvement d'une plate-forme. Dans le cas d'Euler-Lagrange du solide à point fixe, la matrice 3x3 symétrique des 6 multiplicateurs de Lagrange associés à la rigidité du solide est négative, de plus ses valeurs propres se révèlent constantes. Cette matrice représente la moyenne volumique du tenseur des contraintes
Our proposal for dynamical modelling of articulated systems consists in parameterising the position of each solid by the 3 components of its translation vector and the 9 components of its rotation matrix. The rigidities of each solid and the articulations between solids are taken into account by Lagrange multipliers. The motion is governed by an algebra-differential system bringing together constraint equations and Lagrange equations. We have created an oriented object C++ program solving the algebra-differential system by a projection algorithm. This program is validated by simulating the motion of a platform. For the Euler-Lagrange solid, the Lagrange multipliers associated to the solid rigidity are grouped together in a 3x3 symmetrical matrix turning out to be negative. Moreover the eigenvalues of this matrix are constant. The Lagrange multipliers matrix is directly related to the stress tensor volume average

Cette these presente une methode performante pour le calcul des capacites parasites dues aux interconnexions des circuits integres. Il s'agit de calculer la charge des conducteurs, comme la derivee normale a la surface de ces conducteurs, du potentiel solution de l'equation de laplace sur des couches horizontales, la valeur du potentiel etant fixee constante sur chaque conducteur. La difficulte de la resolution numerique provient de la complexite des structures : sur une portion de circuit d'une surface d'un centimetre carre et d'une hauteur de quelques microns, il peut y avoir plus d'un kilometre d'interconnexions, c'est-a-dire de fils conducteurs enchevetres. Une methode de domaines fictifs avec multiplicateurs de lagrange surfaciques est utilisee. Elle donne une formulation mixte du probleme, couplant le potentiel sur un domaine parallelepipedique contenant le circuit, et la charge a la surface des conducteurs. Nous en proposons une approximation, qui tient compte du saut du gradient du potentiel a travers la surface des conducteurs dans la discretisation du potentiel, tout en menant a un systeme que l'on peut resoudre par une methode rapide. Cette approximation garantit une bonne convergence du calcul de la charge vers la valeur reelle, sans condition de compatibilite contraignante entre les maillages de volume et de surface. Une implementation efficace en dimension 3, avec laquelle nous avons effectue des tests numeriques sur des structures reelles, permet de montrer l'interet de la methode, en temps de calcul et en place memoire.

Objectif: Lors de l’ablation de tumeurs cérébrales, la navigation chirurgicale est basée sur les examens IRM pré-opératoires. Or, la déformation per-opératoire du cerveau, appelée brain-shift, affecte cette navigation. Dans cette thèse, une méthode de compensation du brain-shift intégrable dans un processus clinique est présentée.Méthode: Avant la chirurgie, un modèle biomécanique patient-spécifique est construit à partir des images pré-opératoires. Il intègre la géométrie des tissus mous mais également des vaisseaux. Pendant l’opération, des acquisitions échographiques localisées sont réalisées directement en contact avec le cerveau. Les modalités mode B et Doppler sont enregistrées simultanément, permettant respectivement l’extraction des vaisseaux et de l’empreinte de la sonde. Une simulation biomécanique est ensuite jouée pour compenser le brain-shift. Différentes contraintes sont appliquées au modèle de cerveau afin de modéliser les contacts avec la dure-mère, recaler les vaisseaux pré- et per-opératoires et contraindre la surface corticale avec l’empreinte de la sonde. Lors de la résection de tumeurs profondes, la trajectoire chirurgicale est également contrainte au sein de la cavité réséquée afin de retrouver les déformations latérales induites par l’écartement des tissus. Les images IRM pré-opératoires ont finalement mises à jour suivant le champ de déformation du modèle biomécanique.Résultats: La méthode a été évaluée quantitativement à partir de données synthétiques et cliniques de cinq patients. De plus, l’alignement des images a également été apprécié qualitativement, au regard des attentes des neurochirurgiens. Des résultats très satisfaisants, de l’ordre de 2 mm d’erreur, sont obtenus à l’ouverture de la dure-mère et dans le cas de résection de tumeurs en surface. Lors de la résection de tumeurs profondes, si la trajectoire chirurgicale permet de retrouver une grande partie des déformations induites par l’écartement des tissus, plusieurs limitations dues au fait que cette rétraction ne soit pas effectivement simulée sont montrées.Conclusion: Cette thèse propose une nouvelle méthode de compensation du brain-shit efficace et intégrable au bloc opératoire. Elle aborde de plus le sujet peu traité de la résection, en particulier de tumeurs profondes. Elle présente ainsi une étape supplémentaire vers un système optimal en neurochirurgie assistée par ordinateur
Purpose: During brain tumor surgery, planning and guidance are based on preoperative MR exams. The intraoperative deformation of the brain, called brain-shift, however affect the accuracy of the procedure. In this thesis, a brain-shift compensation method integrable in a surgical workflow is presented.Method: Prior to surgery, a patient-specific biomechanical model is built frompreoperative images. The geometry of the tissues and blood vessels is integrated. Intraoperatively, navigated ultrasound images are performed directly in contact with the brain. B-mode and Doppler modalities are recorded simultaneously, enabling the extraction of the blood vessels and probe footprint, respectively. A biomechanical simulation is then executed in order to compensate for brain-shift. Several constraints are imposed to the biomechanical model in order to simulate the contacts with the dura mater, register the pre- and intraoperative vascular trees and constrain the cortical surface with the probe footprint. During deep tumors resection, the surgical trajectory is also constrained to remain inside the cavity induced by the resected tissues in order to capture the lateral deformations issued from tissues retraction. Preoperative MR images are finally updated following the deformation field of the biomechanical model.Results: The method was evaluated quantitatively using synthetic and clinical data. In addition, the alignment of the images was qualitatively assessed with respect to surgeons expectations. Satisfactory results, with errors in the magnitude of 2 mm, are obtained after the opening of the dura mater and for the resection of tumors close to the cortical surface. During the resection of deep tumors, while the surgical trajectory enable to capture most of the deformations induced by tissues retraction, several limitations reflects the fact that this retraction is not actually simulated.Conclusion: A new efficient brain-shift compensation method that is integrable in an operating room is proposed in this thesis. The few studied topic of the resection, and more specifically of deep tumors, is also addressed. This manuscript thus present an additional step towards an optimal system in computer assisted neurosurgery

Les méthodes barrières proposent de résoudre le problème non linéaire en résolvant une suite de problèmes pénalisés. Le lien entre la suite, dite externe, des solutions des fonctions pénalisées et la solution du problème initial a été établie dans les années soixante.

Dans cette thèse, nous avons utilisé une fonction barrière logarithmique. A chaque itération externe, la technique SQP se charge de produire une série de sous-problèmes quadratiques dont les solutions forment une suite, dite interne, de directions de descente pour résoudre le problème non linéaire pénalisé.

Nous avons introduit un changement de variable sur le pas de déplacement ce qui a permis d'obtenir des conditions d'optimalité plus stable numériquement.

Nous avons réalisé des simulations numériques pour comparer les performances de la méthode des gradients conjugués à celle de la méthode D.C., appliquées pour résoudre des problèmes quadratiques de région de confiance.

Nous avons adapté la méthode D.C. pour résoudre les sous-problèmes verticaux, ce qui nous a permis de ramener leurs dimensions de $n+m$ à $m+p$ ($ p < n $).

L'évolution de l'algorithme est contrôlée par la fonction de mérite. Des tests numériques permettent de comparer les avantages de différentes formes de la fonction de mérite. Nous avons introduit de nouvelles règles pour améliorer cette évolution.

Les expériences numériques montrent un gain concernant le nombre de problèmes résolus. L'étude de la convergence de notre méthode SDC, clôt ce travail.

Notre travail est consacré à la définition, l'analyse et l'implémentation de nouveaux algorithmes numériques pour l'approximation de la solution de problèmes à 2 dimensions du type problème de Stefan. Dans ce type de problèmes une équation aux dérivée partielle parabolique posée sur un ouvert omega quelconque est couplée avec une autre équation qui contrôle la frontière gamma du domaine lui même. Les difficultés classiquement associés à ce type de problèmes sont: la formulation en particulier de l'équation pour le bord du domaine, l'approximation de la solution liées à la forme quelconque du domaine, les difficultés associées à l'implication des opérateurs de trace (approximation, conditionnement), les difficultés liées aux de régularité fonds du domaine.De plus, de nombreuse situations d'intérêt physique par exemple demandent des approximations de haut degré. Notre travail s'appuie sur une formulation de type espaces de niveaux (level set) pour l'équation du domaine, et une formulation de type domaine fictif (Omega) pour l'équation initiale.Le contrôle des conditions aux limites est effectué à partir de multiplicateurs de Lagrange agissant sur une frontière (Gamma) dite de contrôle différente de frontière(gamma) du domaine (omega). L'approximation est faite à partir d'un schéma aux différences finies pour les dérivées temporelle et une discrétisation à l'aide d'ondelettes bi-dimensionelles pour l'équation initiale et une dimensionnelle pour les multiplicateurs de Lagrange. Des opérateurs de prolongement de omega à Omega sont également construits à partir d'analyse multiéchelle sur l'intervalle. Nous obtenons aussi: une formulation pour laquelle existence de la solution est démontrées, un algorithme convergent pour laquelle une estimation globale d'erreur (sur Omega) est établie, une estimation intérieure prouvant sur l'erreur à un domaine omega, overline omega subset Xi, des estimations sur les conditionnement associés a l'opérateur de trace, des algorithmes de prolongement régulier. Différentes expériences numériques en 1D ou 2D sont effectuées. Le manuscrit est organisé comme suit: Le premier chapitre rappelle la construction des analyses multirésolutions, les propriétés importantes des ondelettes et des algorithmes numériques liées à l'application d'opérateurs aux dérivées partielles. Le second chapitre donne un aperçu des méthodes de domaine fictif classiques, approchées par la méthode de Galerkin ou de Petrov-Galerkin. Nous y découvrons les limites de ces méthodes ce qui donne la direction de notre travail. Le chapitre trois présente notre nouvelle méthode de domaine fictif que l'on appelle méthode de domaine fictif lisse.L'approximation est grâce à une méthode d'ondelettes de type Petrov-Galerkin. Cette section contient l'analyse théorique et décrit la mise en œuvre numérique. Différents avantages de cette méthode sont démontrés. Le chapitre quatre introduit une technique de prolongement régulier. Nous l'appliquons à des problèmes elliptiques en 1D ou 2D.\par Le cinquième chapitre décrit quelques simulations numériques de problème de Stefan. Nous testons l'efficacité de notre méthode sur différents exemples dont le problème de Stefan à 2 phases avec conditions aux limites de Gibbs-Thomson
Our work is devoted to the definition, analysis and implementation of a new algorithms for numerical approximation of the solution of 2 dimensional Stefan problem. In this type of problem a parabolic partial differential equation defined on an openset Omega is coupled with another equation which controls the boundary gamma of the domain itself. The difficulties traditionally associated with this type of problems are: the particular formulation of equation on the boundary of domain, the approximation of the solution defined on general domain, the difficulties associated with the involvement of trace operation (approximation, conditioning), the difficulties associated with the regularity of domain. Addition, many situations of physical interest, for example,require approximations of high degree. Our work is based on aformulation of type level set for the equation on the domain, and aformulation of type fictitious domain (Omega) for the initialequation. The control of boundary conditions is carried out throughLagrange multipliers on boundary (Gamma), called control boundary, which is different with boundary (gamma) of the domain (omega). The approximation is done by a finite difference scheme for time derivative and the discretization by bi-dimensional wave letfor the initial equation and one-dimensional wave let for the Lagrange multipliers. The extension operators from omega to Omega are also constructed from multiresolution analysis on theinterval. We also obtain: a formulation for which the existence of solution is demonstrated, a convergent algorithm for which a global estimate error (on Omega) is established, interior error estimate on domain omega, overline omega subset estimates on the conditioning related to the trace operator, algorithms of smooth extension. Different numerical experiments in 1D or 2D are implemented. The work is organized as follows:The first chapter recalls theconstruction of multiresolution analysis, important properties of wavelet and numerical algorithms. The second chapter gives an outline of classical fictitious domain method, using Galerkin or Petrov-Galerkin method. We also describe the limitation of this method and point out the direction of our work.\par The third chapter presents a smooth fictitious domain method. It is coupled with Petrov-Galerkin wavelet method for elliptic equations. This section contains the theoretical analysis and numerical implementation to embody the advantages of this new method. The fourth chapter introduces a smooth extension technique. We apply it to elliptic problem with smooth fictitious domain method in 1D and 2D. The fifth chapter is the numerical simulation of the Stefan problem. The property of B-spline render us to exactly calculate the curvature on the moving boundary. We use two examples to test the efficiency of our new method. Then it is used to resolve the two-phase Stefan problem with Gibbs-Thomson boundary condition as an experimental case

Le but de ce travail est de développer des outils par éléments finis permettant de calculer des structures sandwich sans ajouter aucune autre hypothèse que celle, très générale, de l'élasticité linéaire. Deux voies ont été suivies dans ce travail. Tout d'abord, nous exposons comment développer des éléments finis hybrides, dans lesquels les contraintes aux interfaces entre les différentes couches sont obtenues par l'intermédiaire de multiplicateurs de Lagrange. Des éléments 2D et 3D, basés sur le principe du travail virtuel et sur la fonctionnelle de Pian et Tong sont développés et validés. Ensuite, après avoir examiné les possibilités offertes par le code de calcul Ansys 5.3, nous proposons une méthode de post-traitement, basée sur la fonctionnelle de Reissner, permettant de recouvrer les contraintes d'interfaces à partir des déplacements nodaux obtenus à partir des éléments en déplacements. Finalement ces deux approches sont confrontées entre elles, tant sur le plan de la qualité des résultats numériques que sur la facilité d'utilisation, de programmation et d'implémentation dans des codes de calculs existants.

Dans ce travail, nous étudions le raffinement de maillage pour des méthodes d'éléments finis mixtes duales pour deux types de problèmes : le premier concerne le problème de l'élasticité linéaire et le second problème celui de l'élastodynamique.

Pour ces deux types de problèmes et dans des domaines non réguliers, les méthodes d'éléments finis mixtes analysées jusqu'à présent, sont celles qui concernent des méthodes mixtes "classiques". Ici, nous analysons la formulation mixte duale pour les deux problèmes de l'élasticité linéaire et de l'élastodynamique.
Pour le problème d'élasticité, nous sommes concernés premièrement par une analyse a priori d'erreur en utilisant l'approximation par l'élément fini $BDM_1$ stabilisé. Afin de dériver une estimation a priori optimales d'erreur, nous établissons des règles de raffinement de maillage.
Ensuite, nous faisons une analyse d'erreur à posteriori sur un domaine simplement ou multiplement connexe. En fait nous établissons un estimateur résiduel fiable et efficace. Cet estimateur est alors utilisé dans un algorithme adaptatif pour le raffinement automatique de maillage. Pour le problème de l'élastodynamique, nous faisons une analyse a priori d'erreur en utilisant le même élément fini que pour le problème d'élasticité, en utilisant une formulation mixte duale pour la discrétisation des variables spatiales.
Pour la discrétisation en temps nous étudions les deux schémas de Newmark explicite et implicite. Par des règles de raffinement de maillage appropriées, nous dérivons des estimées d'erreur optimales pour les deux schémas numérique.

Chaque année, plus de 5 millions de personne à travers le monde deviennent hémiplégiques suite à un accident vasculaire cérébral. Ce soudain déficit neurologique conduit bien souvent à une perte partielle ou totale de la station debout et/ou à la perte de la capacité de déambulation. Dans l’optique de proposer de nouvelles solutions d’assistance situées entre le fauteuil roulant et le déambulateur, cette thèse s’inscrit dans le cadre du projet ANR TECSAN VHIPOD « véhicule individuel de transport en station debout auto-équilibrée pour personnes handicapées avec aide à la verticalisation ». Dans ce contexte, ces travaux de recherche apportent des éléments de réponse à deux problématiques fondamentales du projet : l’assistance au passage assis-debout (PAD) des personnes hémiplégiques et le déplacement à l’aide d’un véhicule auto-équilibré à deux roues. Ces problématiques sont abordées du point de vue de la robotique avec comme question centrale : peut-on utiliser l’approche Takagi-Sugeno (TS) pour la synthèse d’une commande ? Dans un premier temps, la problématique de mobilité des personnes handicapées a été traitée sur la base d’une solution de type gyropode. Des lois de commande basées sur les approches TS standard et descripteur ont été proposées afin d’étudier la stabilisation des gyropodes dans des situations particulières telles que le déplacement sur un terrain en pente ou le franchissement de petites marches. Les résultats obtenus ont non seulement permis d’aboutir à un concept potentiellement capable de franchir des obstacles, mais ils ont également permis de souligner la principale difficulté liée à l’applicabilité de l’approche TS en raison du conservatisme des conditions LMIs (inégalités matricielles linéaires). Dans un second temps, un banc d’assistance au PAD à architecture parallèle a été conçu. Ce type de manipulateur constitué de multiples boucles cinématiques présente un modèle dynamique très complexe (habituellement donné sous forme d’équations différentielles ordinaires). L’application de lois de commande basées sur l’approche TS est souvent vouée à l’échec compte tenu du grand nombre de non-linéarités dans le modèle. Afin de remédier à ce problème, une nouvelle approche de modélisation a été proposée. À partir d’un jeu de coordonnées bien particulier, le principe des puissances virtuelles est utilisé pour générer un modèle dynamique sous forme d’équations algébro-différentielles (DAEs). Cette approche permet d’aboutir à un modèle quasi-LPV où les seuls paramètres variants représentent les multiplicateurs de Lagrange issus de la modélisation DAE. Les résultats obtenus ont été validés en simulation sur un robot parallèle à 2 degrés de liberté (ddl) puis sur un robot parallèle à 3 ddl développé pour l’assistance au PAD
Every year more than 5 million people worldwide become hemiplegic as a direct consequence of stroke. This neurological deficiency, often leads to a partial or a total loss of standing up abilities and /or ambulation skills. In order to propose new supporting solutions lying between the wheelchair and the walker, this thesis comes within the ANR TECSAN project named VHIPOD “self-balanced transporter for disabled persons with sit-to-stand function”. In this context, this research provides some answers for two key issues of the project : the sit-to-stand assistance (STS) of hemiplegic people and their mobility through a two wheeled self-balanced solution. These issues are addressed from a robotic point of view while focusing on a key question : are we able to extend the use of Takagi-Sugeno approach (TS) to the control of complex systems ? Firstly, the issue of mobility of disabled persons was treated on the basis of a self-balanced solution. Control laws based on the standard and descriptor TS approaches have been proposed for the stabilization of gyropod in particular situations such as moving along a slope or crossing small steps. The results have led to the design a two-wheeled transporter which is potentially able to deal with the steps. On the other hand, these results have also highlighted the main challenge related to the use of TS approach such as the conservatisms of the LMIs constraints (Linear Matrix Inequalities). In a second time, a test bench for the STS assistance based on parallel kinematic manipulator (PKM) was designed. This kind of manipulator characterized by several closed kinematic chains often presents a complex dynamical model (given as a set of ordinary differential equations, ODEs). The application of control laws based on the TS approach is often doomed to failure given the large number of non-linear terms in the model. To overcome this problem, a new modeling approach was proposed. From a particular set of coordinates, the principle of virtual power was used to generate a dynamical model based on the differential algebraic equations (DAEs). This approach leads to a quasi-LPV model where the only varying parameters are the Lagrange multipliers derived from the constraint equations of the DAE model. The results were validated on simulation through a 2-DOF (degrees of freedom) parallel robot (Biglide) and a 3-DOF manipulator (Triglide) designed for the STS assistance

Ce travail a consisté essentiellement en l’élaboration d'un nouveau solveur, pour la résolution des équations de Maxwell tridimensionnelles dans le domaine temporel, répondant aux critères suivants : une méthode de maillage non structure, une méthode d’éléments finis linéaires conformes, un schéma explicite en temps, un contrôle numérique optimal de la contrainte sur la divergence. On sait qu'on peut découpler les équations de maxwell en deux systèmes d’équations, de type équations des ondes. A partir de là, nous avons développé trois formulations différentes, toutes basées sur une régularisation de l’équation d'origine. Après, dans la seconde et la troisième formulation la contrainte de divergence est traitée en un sens faible a l'aide d'un multiplicateur de Lagrange. Dans ces deux cas, le schéma explicite est obtenu, respectivement, par l'utilisation de la méthode de compressibilité artificielle et par pénalisation de la contrainte. La stabilité du problème discret est garantie a l'aide d'une technique de stabilisation. D'après les divers tests numériques de validation effectues, nous avons conclu que la troisième formulation révèle une meilleur précision et robustesse. Par conséquent, elle a fait l'objet d'une étude théorique et numérique. La discretisation temporelle est assurée par un schéma aux différences finies. Le code du calcul mi3d a été développé en c++. De nombreux cas tests numériques ont été effectués pour les géométries (conducteur parfait) suivantes : sphère, ogive, cavité cylindrique, avion de chasse et voiture ; et ceci dans le cas d'une source harmonique en temps et d'une impulsion. Finalement, nous avons applique la troisième formulation sur la résolution du problème de diffraction d'ondes électromagnétiques par une structure fine (antenne).

Dans cette thèse, nous nous intéressons à des problèmes de segmentation d'images sous contraintes géométriques. Cette problématique a émergé suite à l'analyse de plusieurs méthodes classiques de détection de contours qui a été faite. En effet, ces méthodes classiques (Modèles déformables, contours actifs géodésiques, 'fast marching', etc...) se révèlent caduques quand des données de l'image sont manquantes ou de mauvaise qualité. En imagerie médicale par exemple, des phénomènes d'occlusion peuvent se produire : des organes peuvent se masquer en partie l'un l'autre (ex du foie). Par ailleurs, deux objets qui se jouxtent peuvent posséder des textures intrinsèques homogènes si bien qu'il est difficile d'identifier clairement l'interface entre ces deux objets. La définition classique d'un contour qui est caractérisé comme étant le lieu des points connexes présentant une forte transition de luminosité ne s'applique donc plus. Enfin, dans certains contextes d'étude, comme en géophysique, on peut disposer en plus des doneées d'imagerie, de données géométriques à intégrer au processus de segmentation.

Pour pallier ces difficultés, nous proposons ici des modèles de segmentation intégrant des contraintes géométriques et satisfaisant les critères classiques de détection avec en particulier la régularité sur le contour que cela implique.

Dans cette thèse, nous nous sommes intéressés à des problèmes de segmentation d'images sous contraintes géométriques. Cette problématique a émergé suite à l'analyse de plusieurs méthodes classiques de détection de contours qui a été faite. En effet, ces méthodes classiques (Modèles déformables, contours actifs géodésiques, "fast marching", etc. . . ) se révèlent caduques quand des données de l'image sont manquantes ou de mauvaise qualité. En imagerie médicale par exemple, des phénomènes d'occlusion peuvent se produire : des organes peuvent se masquer en partie l'un l'autre (ex. Du foie). Par ailleurs, deux objets qui se jouxtent peuvent posséder des textures intrinsèques homogènes si bien qu'il est difficile d'identifier clairement l'interface entre ces deux objets. La définition classique d'un contour qui est caractérisé comme étant le lieu des points connexes présentant une forte transition de luminosité ne s'applique donc plus. Enfin, dans certains contextes d'étude, comme en géophysique, on peut disposer en plus des données d'imagerie, de données géométriques à intégrer au processus de segmentation. Pour pallier ces difficultés, nous avons développé des modèles de segmentation intégrant des contraintes géométriques et satisfaisant les critères classiques de détection avec en particulier la régularité sur le contour que cela implique. Deux méthodes ont été développées. Dans la première (qui permet d'établir un problème d'interpolation), on s'attache à définir un problème de minimisation de fonctionnelle sur un espace de Hilbert. L'introduction des contraintes géométriques conduit à résoudre ce problème sur un sous-espace vectoriel fermé d'un espace de Hilbert. L'utilisation des multiplicateurs de Lagrange nous permet d'établir la formulation variationnelle du problème qui est ensuite discrétisé à l'aide d'une méthode différences finies pour la discrétisation temporelle et via une méthode e��léments finis pour la discrétisation spatiale. Des applications numériques viennent se greffer sur cette première partie. Un second modèle a été élaboré et s'appuie sur la recherche d'une courbe géodésique dans un espace de Riemann dont la métrique est liée à la fois au contenu de l'image et aux contraintes géométriques. Il s'agit ici d'un problème d'approximation et non plus d'interpolation. Un problème parabolique avec conditions au bord de type Neumann homogènes est établi. L'existence et l'unicité de la solution au sens de la viscosité est démontrée. La discrétisation est réalisée via un schéma AOS qui présente l'intérêt d'être inconditionnellement stable. Des applications sur des données réelles attestent de la bonne efficacité de l'algorithme.

Le problème de satisfaisabilité booléenne 3-SAT est connu pour présenter un phénomène de seuil en fonction du quotient entre le nombre de clauses et le nombre de variables. Nous donnons des estimations de la valeur de ce seuil au moyen de méthodes combinatoires et probabilistes: la méthode du premier moment et la méthode du second moment. Ces méthodes mettent en jeu des problèmes d'optimisation sous contraintes et nous amènent à employer de façon intensive la méthode des multiplicateurs de Lagrange. Nous mettons en œuvre une forme pondérée de la méthode du premier moment sur les affectations partielles valides de Maneva ainsi que des variantes. Cela nous conduit à élaborer une pondération générale pour les problèmes de satisfaction de contraintes qui soit compatible avec la méthode du premier moment. Cette pondération est constituée d'une graine et d'un répartiteur, et nous permet d'obtenir une pondération des affectations partielles valides meilleure que celle de Maneva. Nous comparons aussi dans certains cas les performances de la pondération et de l'orientation de l'espace des solutions des problèmes de satisfaction de contraintes relativement à la méthode du premier moment. Nous développons la première sélection non uniforme de solutions pour majorer le seuil de 3-SAT et nous montrons sa supériorité sur ses prédécesseurs. Nous construisons un cadre général pour appliquer la méthode du second moment à k-SAT et nous discutons des conditions qui la font fonctionner. Nous faisons notamment fonctionner la méthode du second moment sur les solutions booléennes et sur les impliquants. Nous étendons cela au modèle distributionnel de k-SAT.

L'objectif de ce travail est de développer une méthode de sous-domaines acoustiques avec la perspective de l'appliquer à un problème vibro-acoustique. Ce travail trouve une application naturelle dans le domaine des transports à cause de la configuration de ses espaces : de grands domaines et une certaine répétition des cellules. L'utilisation d'une méthode modale permet de réduire la taille des systèmes et d'étendre la méthode à des maillages incompatibles aux interfaces. Un multiplicateur de Lagrange assure la continuité entre les sous-domaines. Il est projeté sur une base spécifique calculée sur l'interface ; cela permet d'imposer une condition de type Neuman sur l'interface pour le calcul des modes locaux des sous-domaines. Une méthode de discrétisation par éléments finis classiques est utilisée pour la résolution numérique des équations. Les programmes ont été développés dans l'environnement ideas-vibroacoustic utilisant le solveur rayon. Les principales étapes de résolution sont : - préparation de la base de données : les différents maillages et connectivités, - calcul des opérateurs pour le calcul des modes locaux et des modes d'interface, - projection des opérateurs sur les bases locales et d'interface, - calcul des modes du domaine global, - projection des opérateurs sur la base globale, - calcul de la réponse dynamique du système, - restitution de la solution physique. Les résultats numériques obtenus montrent une bonne convergence de la méthode. Ils sont comparés par rapport à l'analytique et par rapport à un calcul numérique direct effectué sur le domaine global. Pour finir une méthode pour les sous-domaines vibro-acoustiques est présentée. Pour les structures sèches, l'introduction de deux multiplicateurs de Lagrange assure les continuités à l'interface. La stratégie de résolution adoptée pour le problème vibro-acoustique consiste à résoudre le problème de couplage fluide/structure local dans chacun des sous-domaines, avant de procéder à l'assemblage des cellules.

La modélisation des problèmes de contact pose de sérieuses difficultés qu'elles soient conceptuelles, mathématiques ou informatiques. Motivés par le rôle fondamental que jouent les phénomènes de contact, nous nous intéressons à la modélisation, l'analyse et la simulation de problèmes de contact intervenant en mécanique des solides et des fluides. Dans une première partie théorique, on étudie le comportement asymptotique de solutions de problèmes variationnels dépendant du temps issus de la mécanique du contact frottant. La deuxième partie est consacrée au contrôle de la qualité des calculs en mécanique des solides. Guidés par la recherche de la formulation et l'étude du contact dans la méthode des éléments finis étendus (XFEM), nous étudions notamment les estimateurs d'erreur par résidu pour la méthode XFEM dans le cas linéaire, ceux pour le problème de contact unilatéral avec frottement de Coulomb approchés par une méthode d'éléments finis standard et l'extension au cas de méthodes mixtes stabilisées (i.e., ne nécessitant pas de condition inf-sup). Cette partie s'achève par la définition du problème de contact avec XFEM suivie d'une estimation a priori de l'erreur. La troisième partie concerne la simulation numérique en mécanique des fluides, plus précisément du problème de contact de la dynamique des globules rouges évoluant dans un fluide régi par les équations de Navier-Stokes en dimension deux.

Dans ce travail, nous développons une méthode numérique adaptée aux problèmes acoustiques de grandes dimensions et à fréquences élevées : la méthode de décomposition de domaine, avant discrétisation, le domaine interne de propagation est divisé en sous-domaines séparés par des surfaces fictives. La méthode des éléments finis est utilisée pour résoudre le problème interne. Le calcul du rayonnement externe est effectué par l'utilisation d'éléments finis de frontière sur l'ouverture de la cavité, supposée bafflée. La continuité de la pression aux niveaux des interfaces de séparation des sous-domaines est assurée par l'introduction d'un multiplicateur de Lagrange et l'écriture d'une formulation variationnelle faible sur les interfaces. La fonction de transfert et la directivité acoustique d'une entrée d'air de moteur d'hélicoptère de forme quelconque excitée par une onde plane est mesurée, Nous modélisons l'expérience en utilisant la méthode de décomposition de domaine. Les comparaisons des cartographies des fonctions de transfert en bande fine ont été uniquement qualitatives. Les résultats numériques sont en accord avec l'expérience lorsque la variation spatiale du champ de pression s'effectue suivant la plus grande dimension. Les comparaisons sans recalage ont été faites sur les spectres en 1/3 d'octave obtenus au centre de l'ouverture. Les niveaux de pression mesurés et calculés coïncident jusqu'à 5000 Hz avec un écart minimal de 3. 5 dB.

Dans cette thèse, une formulation stable mixte de déplacement–multiplicateur de Lagrange est développée pour modéliser la fissuration dans les matériaux cohésifs à grains dans le cadre de la méthode des éléments finis etendus (CutFEM). Le champ de déplacement est discrétisé sur chaque grain individuellement, et la continuité des champs de déplacement et de traction aux interfaces entre grains est assurée par des multiplicateurs de Lagrange. La construction de l'espace discret des multiplicateurs de Lagrange est détaillée pour les éléments quadrangulaires bilinéaires avec la présence d’interfaces multiples dans un élément. Des preuves numériques sont données que cet espace de multiplicateurs de Lagrange est stable, et des exemples démontrant la robustesse de la méthode sont fournis. Avec cette discrétisation stable, une formulation de zone cohésive permet de modéliser la propagation de fissures multiples aux interfaces entre grains. Pour éviter des interpénétrations aux faces des fissures pendant le déchargement, une condition de contact est imposée. Les solutions pour les champs mécaniques et le champ d’endommagement sont obtenues séparément et un algorithme explicite permet d'utiliser une approche non itérative. La formulation de l’endommagement associe les modes de rupture normal et tangentiel, tient compte de différents comportements de tension et de compression et prend en compte une énergie de rupture dépendante de la compression en mode mixte. La méthode est appliquée à des problèmes 2D complexes inspirés par des tests de tension indirecte et des tests de compression sur des matériaux hétérogènes ressemblant à de la roche
In this thesis a flexible and general stable displacement–Lagrange multiplier mixed formulation is developed to model distributed cracking in cohesive grain-based materials in the framework of the cut finite element method. The displacement field is discretized on each grain separately, and the continuity of the displacement and traction fields across the interfaces between grains is enforced by Lagrange multipliers. The design of the discrete Lagrange multiplier space is detailed for bilinear quadrangular elements with the potential presence of multiple interfaces/discontinuities within an element. We give numerical evidence that the designed Lagrange multiplier space is stable and provide examples demonstrating the robustness of the method. Relying on the stable discretization, a cohesive zone formulation equipped with a damage constitutive model expressed in terms of the traction is used to model the propagation of multiple cracks at the interfaces between grains. To prevent the crack faces from self-penetrating during unloading, a contact condition is enforced. The solutions for the mechanical fields and the damage field are separately obtained and an explicit damage update algorithm allows using a non-iterative approach. The damage formulation couples the normal and tangential failure modes, accounts for different tension and compression behaviours and takes into account a compression-dependent fracture energy in mixed mode. The framework is applied to complex 2D problems inspired by indirect tension tests and compression tests on heterogeneous rock-like materials

Le travail présenté ici traite de l'interaction évolutive en temps entre un fluide incompressible et une structure élastique et s'attache à construire une modélisation mathématique rigoureuse qui conduit à une mise en oeuvre numérique efficace même dans le cas tridimensionnel. Le fluide est modélisé par l'équation évolutive de Stokes et la structure est supposée linéairement élastique. Deux modèles mathématiques pour la résolution découplée du problème fluide structure sont présentés. Ces modèles sont bien posés et par l'intermédiaire des éléments finis mixtes pour la discrétisation en espace et des différences finies pour la discrétisation en temps permettent l'écriture d'un algorithme de résolution d'implémentation relativement aisée fournissant le déplacement et la vitesse de la structure, la vitesse d'écoulement, la pression du fluide et les forces d'interface. Les résultats numériques sont très satisfaisants.

Le thème central de cette thèse est l'étude des problèmes d'optimisation multicritère avec ou sans dynamique ainsi que le problème général de Bolza et ses applications. Après avoir rappelé quelques concepts d'analyse non lisse, on étudie dans la première partie de cette thèse l'existence des multiplicateurs de Lagrange pour des problèmes d'optimisation multicritère en dimension infinie en termes d'une préférence générale. En introduisant la notion de la régularité d'une préférence et en utilisant la condition de qualification calme, on établit l'existence des multiplicateurs de Karush-Kuhn-Tucker. Ceci nous permet d'exhiber des multiplicateurs de Fritz-John en termes du sous-différentiel approché au sens de Ioffe. En conséquence on obtient des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou bien par une fonction d'utilité. On établit dans la deuxième partie des conditions nécessaires d'optimalité pour le problème général de Bolza en termes du sous différentiel Fréchet limite sans aucune hypothèse de convexité. Ce résultat nous permet de retrouver les résultats de Vinter-Zheng, Ioffe-Rockafellar et d'établir le principe du maximum avec une nouvelle inclusion d'Euler-Lagrange. On applique ce dernier aux problèmes isopérimetriques, au modèle général de croissance économique de Ramsey et à un problème de génie chimique. En utilisant la notion de préférence de la première partie et les résultats de la deuxième, on établit dans la troisième partie des conditions nécessaires d'optimalité et des conditions Hamiltoniennes d'un problème d'optimisation multicritère dynamique. Enfin on donne des résultats similaires pour le cas d'une préférence définie par un cône convexe ou une fonction d'utilité.

Cette thèse de doctorat composée de trois chapitres contribue au développement de la problématique sur la sélection de modèle de volatilité de type GARCH. Le premier chapitre propose une étude de simulation sur la sélection de modèles dans le cadre spécifique des modèles à changement de régimes. On propose des expériences de simulation permettant de mettre en évidence l'inefficacité des critères de sélection usuels dans des cas particuliers, ce qui peut conduire à des erreurs de spécification lors du choix de modèle. Le deuxième chapitre propose un test du multiplicateur de Lagrange de mauvaise spécification dans les modèles GARCH univariés. L'hypothèse nulle admet que le processus générateur des données est un modèle GARCH linéaire tandis que sous l'hypothèse alternative il correspond à une forme fonctionnelle inconnue qui est linéarisée à l’aide d’un développement de Taylor. On illustre le test dans une application empirique sur les taux de change. Le dernier chapitre étudie l'impact du prix du pétrole sur les spreads de Credit Default Swaps souverains de deux pays exportateurs de pétrole: le Vénézuela et la Russie. Utilisant des données récentes, nous trouvons que les rendements du prix du pétrole impactent les spread de CDS souverains du Vénézuela directement alors que cela passe par le canal du taux de change pour la Russie. Ce chapitre emploie des méthodes statistiques avancées, notamment l'utilisation de modèles à changement de régimes Markoviens. Finalement, l'appendice propose le manuel de la toolbox MSGtool (Matlab) qui propose une collection de fonctions pour l'étude des modèles à changement de régimes Markoviens. La toolbox est très user-friendly
This Ph.D. thesis composed by three chapters contributes to the development of model selection in GARCH-type models.The first chapter investigates whether the most common selection criteria lead to choose the right specification in a regime switching framework. We propose simulation experiments which reveal the inefficiency of some selection criteria in particular cases which lead to misspecification. Depending on the Data Generating Process used in the experiments, great care is needed when choosing a criterion.In the second chapter, a misspecication test for GARCH-type models is presented. We propose a Lagrange Multiplier type test based on a Taylor expansion to distinguish between (G)ARCH models and unknown nonlinear GARCH-type models. This test can be seen as a general misspecication test. We investigate the size and the power of this test through Monte Carlo experiments. We show the usefulness of our test with an illustrative empirical example based on daily exchange rate returns.In the third chapter, we study the impact of oil price returns on sovereign Credit Default Swaps (CDS) spreads for two major oil producers, Russia and Venezuela. Using daily spreads from 2008 to 2015, we find that crude oil price returns are a critical determinant of Venezuela CDS spreads changes, but does not explain significantly Russian CDS spreads. Indeed, oil prices seem to impact Russian CDS spreads through the exchange rates canal. Finally, we propose as an appendix the manual of the MSGtool, a MATLAB toolbox, which provides a collection of functions for the simulation and estimation of a large variety of Markov Switching GARCH (MSG) models

Dans ce travail, nous proposons une méthode mixte en fonction de courant-tourbillon pour résoudre le problème de Stokes dans des domaines bornes réguliers de r. Nous établissons par la suite des estimations d'erreur dans le cadre des formulations mixtes classiques. Du point de vue numérique, nous mettons en oeuvre une méthode basée sur l'approximation d'une base harmonique pour résoudre le problème de Stokes. Par ailleurs nous étendons cette méthode au cas du problème de Navier-Stokes et afin de combattre la convection dominante nous faisons appel à la technique de Petrov-Galerkin

Ce mémoire de thèse à été réalisée dans le cadre d'une collaboration scientifique avec "La Manufacture Française des Pneumatiques Michelin". Il porte sur l'analyse mathématique et numérique de la convergence et de la stabilité de formulations mixtes ou hybrides de problèmes d'optimisation sous contrainte avec la méthode des multiplicateurs de Lagrange et dans le cadre de la méthode éléments finis étendus (XFEM). Tout d'abord, nous essayons de démontrer la stabilité de la discrétisation X-FEM pour le problème d'élasticité linéaire incompressible en statique. Le deuxième axe, qui représente le contenu principal de la thèse est dédié à l'étude de certaines méthodes de multiplicateur de Lagrange stabilisées. La particularité de ces méthodes est que la stabilité du multiplicateur est assurée par l'ajout de termes supplémentaires dans la formulation faible. Dans ce contexte, nous commençons par l'étude de la méthode de stabilisation de Barbosa-Hughes appliquée au problème de contact unilatéral sans frottement avec XFEM cut-off. Ensuite, nous construisons une nouvelle méthode basée sur des techniques de projections locales pour stabiliser un problème de Dirichlet dans le cadre de X-FEM et une approche de type domaine fictif. Nous faisons aussi une étude comparative entre la stabilisation avec la technique de projection locale et la stabilisation de Barbosa-Hughes. Enfin, nous appliquons cette nouvelle méthode de stabilisation aux problèmes de contact unilatéral en élastostatique avec frottement de Tresca dans le cadre de X-FEM
This Ph.D. thesis was done in collaboration with "La Manufacture Française des Pneumatiques Michelin". It concerns the mathematical and numerical analysis of convergence and stability of mixed or hybrid formulation of constrained optimization problem with Lagrange multiplier method in the framework of the eXtended Finite Element Method (XFEM). First we try to prove the stability of the X-FEM discretization for incompressible elastostatic problem by ensured a LBB condition. The second axis, which present the main content of the thesis, is dedicated to the use of some stabilized Lagrange multiplier methods. The particularity of these stabilized methods is that the stability of the multiplier is provided by adding supplementary terms in the weak formulation. In this context, we study the Barbosa-Hughes stabilization technique applied to the frictionless unilateral contact problem with XFEM-cut-off. Then we present a new consistent method based on local projections for the stabilization of a Dirichlet condition in the framework of extended finite element method with a fictitious domain approach. Moreover we make comparative study between the local projection stabilization and the Barbosa-Hughes stabilization. Finally we use the local projection stabilization to approximate the two-dimensional linear elastostatics unilateral contact problem with Tresca frictional in the framework of the eXtended Finite Element Method X-FEM

Les travaux présentés dans cette thèse sont divisés en quatre parties. La première est consacrée à la présentation du modèle de reconstruction tomographique. Dans la deuxième partie, nous traitons une approche variationnelle qui consiste en un problème de minimisation non-différentiable avec une contrainte non convexe, d'intérieur vide pour les topologies usuelles. L'étude numérique de l'approche précédente est faite dans la troisième partie. Elle est basée sur le système d'optimalité, la méthode d'Uzawa et une méthode de gradient à pas optimal pour écrire un schéma numérique. Dans la quatrième partie, nous nous intéressons à l'approche par lignes de niveaux pour résoudre des problèmes de propagation de fronts. Cette méthode fait apparaître des équations de type Hamilton-Jacobi du second ordre avec un terme non-local. Nous prouvons l'existence et l'unicité d'une solution de viscosité pour ces équations dans deux cas: celui des fronts compacts et celui des fronts non compacts
The thesis at hand is composed of four parts. The first of which is devoted to present our model of tomographic reconstruction. The second part treats a non-differentiable variational problem with a non-convex constraint the interior of which is empty for usual topologies. A numerical study of the above approach is elaborated in the third part. A numerical scheme is derived based upon our optimal system, the method of Uzawa and a gradient descent method. In the last part, we use a level-set approach to solve the front propagation problem. A second order Hamilton-Jacobi type equation with a non-local term comes into play. We prove the existence and uniqueness of a viscosity solution in both compact and non-compact fronts cases

Cette thèse de doctorat composée de trois chapitres contribue au développement de tests statistiques et à analyser la transmission financière dans un cadre multivarié hétéroscédastique. Le premier chapitre propose deux tests du multiplicateur de Lagrange de constance des corrélations conditionnelles dans les modèles GARCH multivariés. Si l'hypothèse nulle repose sur des corrélations conditionnelles constantes, l'hypothèse alternative propose une première spécification basée sur des réseaux de neurones artificiels et une seconde représentée par une forme fonctionnelle inconnue qui est linéarisée à l'aide d'un développement de Taylor.Dans le deuxième chapitre, un nouveau modèle est introduit dans le but de tester la non-linéarité des (co)variances conditionnelles. Si l'hypothèse nulle repose sur une fonction linéaire des innovations retardées au carré et des (co)variances conditionnelles, l'hypothèse alternative se caractérise quant à elle par une fonction de transition non-linéaire : exponentielle ou logistique ; une configuration avec effets de levier est également proposée. Dans les deux premiers chapitres, les expériences de simulations et les illustrations empiriques montrent les bonnes performances de nos tests de mauvaise spécification.Le dernier chapitre étudie la transmission d'information en séance et hors séance de cotation en termes de rendements et de volatilités entre la Chine, l'Amérique et l'Europe. Le problème d'asynchronicité est considéré avec soin dans la modélisation bivariée avec la Chine comme référence
This Ph.D. thesis composed by three chapters contributes to the development of test statistics and to analyse financial transmission in a multivariate heteroskedastic framework.The first chapter proposes two Lagrange multiplier tests of constancy of conditional correlations in multivariate GARCH models. Whether the null hypothesis is based on constant conditional correlations, the alternative hypothesis proposes a first specification based on artificial neural networks, and a second specification based on an unknown functional form linearised by a Taylor expansion.In the second chapter, a new model is introduced in order to test for nonlinearity in conditional (co)variances. Whether the null hypothesis is based on a linear function of the lagged squared innovations and the conditional (co)variances, the alternative hypothesis is characterised by a nonlinear exponential or logistic transition function; a configuration with leverage effects is also proposed.In the two first chapters, simulation experiments and empirical illustrations show the good performances of our misspecification tests.The last chapter studies daytime and overnight information transmission in terms of returns and volatilities between China, America and Europe. The asynchronicity issue is carefully considered in the bivariate modelling with China as benchmark

Dans cette thèse nous élargissons le champ d'application des modèles ARMA (AutoRegressive Moving-Average) vectoriels en considérant des termes d'erreur non corrélés mais qui peuvent contenir des dépendances non linéaires. Ces modèles sont appelés des ARMA faibles vectoriels et permettent de traiter des processus qui peuvent avoir des dynamiques non linéaires très générales. Par opposition, nous appelons ARMA forts les modèles utilisés habituellement dans la littérature dans lesquels le terme d'erreur est supposé être un bruit iid. Les modèles ARMA faibles étant en particulier denses dans l'ensemble des processus stationnaires réguliers, ils sont bien plus généraux que les modèles ARMA forts. Le problème qui nous préoccupera sera l'analyse statistique des modèles ARMA faibles vectoriels. Plus précisément, nous étudions les problèmes d'estimation et de validation. Dans un premier temps, nous étudions les propriétés asymptotiques de l'estimateur du quasi-maximum de vraisemblance et de l'estimateur des moindres carrés. La matrice de variance asymptotique de ces estimateurs est d'une forme "sandwich", et peut être très différente de la variance asymptotique obtenue dans le cas fort. Ensuite, nous accordons une attention particulière aux problèmes de validation. Dans un premier temps, en proposant des versions modifiées des tests de Wald, du multiplicateur de Lagrange et du rapport de vraisemblance pour tester des restrictions linéaires sur les paramètres de modèles ARMA faibles vectoriels. En second, nous nous intéressons aux tests fondés sur les résidus, qui ont pour objet de vérifier que les résidus des modèles estimés sont bien des estimations de bruits blancs. Plus particulièrement, nous nous intéressons aux tests portmanteau, aussi appelés tests d'autocorrélation. Nous montrons que la distribution asymptotique des autocorrelations résiduelles est normalement distribuée avec une matrice de covariance différente du cas fort (c'est-à-dire sous les hypothèses iid sur le bruit). Nous en déduisons le comportement asymptotique des statistiques portmanteau. Dans le cadre standard d'un ARMA fort, il est connu que la distribution asymptotique des tests portmanteau est correctement approximée par un chi-deux. Dans le cas général, nous montrons que cette distribution asymptotique est celle d'une somme pondérée de chi-deux. Cette distribution peut être très différente de l'approximation chi-deux usuelle du cas fort. Nous proposons donc des tests portmanteau modifiés pour tester l'adéquation de modèles ARMA faibles vectoriels. Enfin, nous nous sommes intéressés aux choix des modèles ARMA faibles vectoriels fondé sur la minimisation d'un critère d'information, notamment celui introduit par Akaike (AIC). Avec ce critère, on tente de donner une approximation de la distance (souvent appelée information de Kullback-Leibler) entre la vraie loi des observations (inconnue) et la loi du modèle estimé. Nous verrons que le critère corrigé (AICc) dans le cadre des modèles ARMA faibles vectoriels peut, là aussi, être très différent du cas fort.

Cette thèse présente une méthode performante pour le calcul des capacités parasites dues aux interconnexions des circuits intégrés. Il s'agit de calculer la charge des conducteurs, comme la dérivée normale à la surface de ces conducteurs, du potentiel solution de l'équation de Laplace sur des couches horizontales, la valeur du potentiel étant fixée constante sur chaque conducteur. La difficulté de la résolution numérique provient de la complexité des structures : sur une portion de circuit d'une surface d'un centimètre carré et d'une hauteur de quelques microns, il peut y avoir plus d'un kilomètre d'interconnexions, c'est-à-dire de fils conducteurs enchevêtrés. Une méthode de domaines fictifs avec multiplicateurs de Lagrange surfaciques est utilisée. Elle donne une formulation mixte du problème, couplant le potentiel sur un domaine parallélépipédique contenant le circuit, et la charge à la surface des conducteurs. Nous en proposons une approximation, qui tient compte du saut du gradient du potentiel à travers la surface des conducteurs dans la discrétisation du potentiel, tout en menant à un système que l'on peut résoudre par une méthode rapide. Cette approximation garantit une bonne convergence du calcul de la charge vers la valeur réelle, sans condition de compatibilité contraignante entre les maillages de volume et de surface. Une implémentation efficace en dimension 3, avec laquelle nous avons effectué des tests numériques sur des structures réelles, permet de montrer l'intérêt de la méthode, en temps de calcul et en place mémoire.