Academic literature on the topic 'Multiplikation och division'

Litteraturstudien grundar sig i det faktum att vägen till förståelse för innebörden och funktionen av operationer med multiplikation och division är besvärligt för en del elever och lärare. De svenska elevernas låga resultat inom matematik från undersökningarna PISA och TIMSS är även oroande och därför är det av yttersta vikt att forska inom vilka strategier och metoder som faktiskt används i undervisningen om multiplikation, division och dess samband. Syftet med denna studie är att undersöka vad forskning beskriver om multiplikation, division och dess samband, och mer specifikt, att besvara frågeställningarna: vilka strategier och metoder beskriver forskning används i undervisning om multiplikation och division? Samt vilka strategier och metoder beskriver forskning används i undervisning om sambandet mellan multiplikation och division? För att besvara frågeställningarna och uppnå studiens syfte har vi systematiskt tagit fram, analyserat och sammanställt vetenskapliga studier som berör det valda området. Resultatet visar att den strategi som används och upphöjs mest är arrays, dock visar de olika studierna att det finns många olika metoder som lärare kan använda när de arbetar med strategin. Inom vilka strategier och metoder som används för att förklara sambandet mellan räknesätten nämns även arrays som en effektiv metod. Resultatet visar även att forskarna helst ser att man undervisar multiplikation och division tillsammans istället för isär och på så sätt visar sambandet mellan dem. Problematiseringen av resultatet i denna studie är att majoriteten av studier som använts är internationella och därför kan inte resultaten representera hur lärare i Sverige arbetar med det valda området. Vidare forskning inom området kan vara att titta på hur ett fåtal svenska lärare undervisar om sambandet. Slutsatsen för studien är att lärare är i behov av djupare kunskap inom sambandet mellan multiplikation och division och för att få det måste fler strategier och metoder inom ämnet synliggöras.

Studien fokuserar på multiplikativt tänkande hos elever i årskurs 3. Multiplikativt tänkande är abstrakt (Clark & Kamii, 1996) och innebär användning av strategier för lösningar av multiplikations- och divisionsuppgifter. Syftet med studien är att undersöka hur elever använder sig av olika strategier inom multiplikativt tänkande vid multiplikation och division. Studien har inspirerats av Grounded Theory. Utifrån teorierna gjordes en semistrukturerad intervju, observationer samt en analys av data. I studien deltog åtta elever i intervjuerna och en pilotstudie inledde undersökningen. Materialet som samlades in bestod av elevernas lösningar av multiplikations- och divisionsuppgifter, anteckningar från observationer av elevernas lösningar samt ljudinspelade intervjuer. Resultatet visar att nästan alla elever använde sig av en additiv strategi i lösningar av multiplikations- och divisionsuppgifter. Det visade även att det endast var fyra av åtta elever som kunde uppvisa förståelse av ett samband mellan de två räknesätten. Resultatet visar att eleverna har olika strategier och lösningar inom multiplikativt tänkande även om de har haft samma matematikundervisning.
This study focuses on multiplicative thinking among pupils in grade 3. Multiplicative thinking is abstract (Clark & Kamii, 1996), involving applying strategies to solve multiplication and division tasks. The purpose of this study is to examine how pupils use different strategies within multiplicative thinking for multiplication and division. This study was inspired by Grounded Theory. From this theory, a number of semi-structured interviews, observations and analysis of data were made. Eight pupils participated in the interviews, after an initial pilot study. The collected material was based on the pupils' solutions of tasks in multiplication and division, notes from observations of the pupils' solutions and audiotaped interviews. The results show that almost every pupil uses an additive strategy in their solutions of multiplication and division tasks. It also show that only four out of eight pupils could show understanding 0f the connection between the two basic arithmetic operations. From the results, the pupils showed different strategies and solutions within multiplicative thinking, even though they have had the same mathematic education.

Studiens syfte är framtaget med bakgrund av att de fyra räknesätten och deras samband har visat sig viktiga för elevernas djupare förståelse inom matematik. Svenska elever i årskurs 4 visar att taluppfattning är det svåraste matematiska området i TIMSS 2015 trots att eleverna redan i årskurs 3 enligt den nuvarande läroplanen (Skolverket, 2011) ska ha arbetat med de fyra räknesätten och deras samband. Fokus i den här studien är multiplikations och divisions samband. Utifrån detta fanns ett behov att bidra med kunskap om elevernas uppfattningar om sambandet mellan räknesätten samt de missuppfattningar och svårigheter som kan uppstå när elevernas räknar med tal som fokuserar sambandet mellan multiplikation och division. Den här studiens syfte är att bidra med förståelse om elevernas uppfattningar och de kritiska aspekter för lärande som kan finnas i elevers förståelse av sambandet mellan division och multiplikation. Studien genomfördes med 8 elevintervjuer som metod, eleverna gick i årskurs 4. Studiens resultat visar att elevernas uppfattning om sambandet mellan multiplikation och division är tydliga när de berättar om sambandet men att det blir mer komplext när de ska lösa uppgifter. Resultatet visa även att 4 kritiska aspekter inom fenomenet sambandet mellan multiplikation och division har identifierats. De fyra kritiska aspekterna är skutträkning, att illustrera multiplikation och division med andra representationsformer än siffror, att skilja multiplikation från addition samt att dividera med 0,5.

Syftet med mitt examensarbete var att få mer kunskap om konkreta material som behandlar multiplikation och division. För att få veta vilka konkreta material som finns att tillgå gjorde jag intervjuer med två lärare som fick beskriva vilka material de använder sig av. Jag valde att observera två elever enskilt då de löste de multiplikations- och divisionsproblem som jag hade designat för studien. Det jag fick ut av undersökning var att det finns många olika material som elever kan arbeta med samt att det är viktigt att de får möjligheten att arbeta med dessa material. Jag kom fram till att lärare bör vara medveten om i vilket område som materialet är bäst tillämpad och att elever behöver använda sig av konkreta material för att lättare förstå uppgiften. De behöver få övningarna i konkreta situationer för att i slutändan kunna lära sig tänka abstrakt.

Tidigare forskning visar att bråk är ett område där många elever har problem. Syftet med den här studien är att studera gymnasieelevers matematiska kunskaper i multiplikation och division av bråk. Elevernas kunskaper studerades utifrån en konstruktivistisk syn på kunskap och med procedurell och konceptuell kunskap som analysverktyg. 61 elever från kursen Matematik A har löst totalt 10 uppgifter med multiplikation och division av bråk. 7 av eleverna intervjuades dessutom för att få en bättre uppfattning om deras kunskaper. Elevernas kunskaper kategoriserades sedan utifrån procedurella- och konceptuella kvaliteter. Resultatet visar att eleverna främst använder algoritmer för att lösa uppgifterna men även andra strategier som till exempel att skriva bråken som decimaler förekommer. Elevernas kunskap i multiplikation och division av bråk är av procedurell karaktär med fokus på att komma ihåg algoritmer för att lösa uppgifterna. Elevernas konceptuella kunskaper i bråkräkning är överlag inte lika utvecklade. Det framkommer genom att eleverna visar på svårigheter att lösa uppgifter i vissa sammanhang, bristande förståelse för betydelsen av beräkningarna och för varför de olika algoritmerna fungerar.
Earlier researches show that fraction is an area where many students have problems. The aim with this essay is to study upper secondary school students’ mathematical knowledge in multiplication and division of fraction. The students’ knowledge will be studied from a constructivistic perspective of knowledge and with procedural and conceptual knowledge as an instrument for the analysis. 61 students from the course Matematik A have solved totally 10 mathematical problems with multiplication and division of fraction. 7 of the students were furthermore interviewed to get a better understanding of their knowledge. The students’ knowledge were then categorized from procedurally and conceptually qualities. The result shows that the students primarily use algorithms to solve the problems but also other strategies as example to write the fraction as decimals occur. The students’ knowledge in multiplication and division of fraction is of procedural character with focus on remembering the algorithms for the different types of problems. The students conceptually knowledge in fraction arithmetic is overall not fully developed. It comes out by the students difficulties to solve problems in certain context, deficient understanding of the meaning of the calculations and why the different algorithms work.

Syftet med denna studie är att undersöka hur och varför olika uttrycksformer kan användas inom matematikundervisningen i lågstadiet för att skapa förståelse och motivera alla elever. Studien genomfördes med ett lärarperspektiv och fokuserar på multiplikation och division. För att undersöka valt område användes lärarintervjuer samt observation.   Resultatet visar på att olika uttrycksformer med fördel kan användas för att öka elevers motivation samt förståelse i de fall där undervisningen individanpassats. För optimalt användande utav olika uttrycksformer framkommer även att kommunikation har en stor betydelse.

Undersökningar har visat att många elever har bristfälliga kunskaper i bråkräkning när de lämnar grundskolan. Eleverna har särskilt stora problem med att kunna utföra korrekta multiplikationer och divisioner med bråk inblandat. Med bakgrund av detta har jag intresserat mig för hur läroböckerna hanterar dessa frågor. Jag har därför genomfört en läromedelsanalys av två olika läroboksserier som är aktuella i undervisningen på två högstadieskolor i Karlstad. Dessa två läroboksserier är Matte Direkt år 7-9 och Matematikboken XYZ. Jag har beskrivit och analyserat de relevanta avsnitten ur instrumentella och relationella aspekter, samt även gjort en jämförelse med Margareta Löwings förslag på metod att arbeta med bråk. Löwings metodförslag syftar till att inte arbeta med bråk procedurellt, utan att arbeta på ett sätt med mål att eleverna ska förstå de matematiska operationernas verkliga innebörd. Vad jag har upptäckt är att båda läroboksserierna gör en väldigt kortfattad behandling av Multiplikation och division av bråk, och det finns dessutom indikationer på att dessa avsnitt räknas som överkurs. Upplägget av förklaringsmodellerna skiljer sig en hel del åt i de två läroboksserierna. Matematikboken Y röd har en inledande ”diskussion” med ett bra innehåll, men då det är mycket text missgynnar det troligen lässvaga elever. Matte Direkt går mer rakt på sak och visar i de numeriska exemplen hur man ska skriva och ställa upp, vilket kan ge mig en känsla av lotsning, men har i gengäld goda konkretiserande illustrationer. Beträffande division av bråk tycker jag att Matematikboken Y röd får fram den bakomliggande idén med ”att multiplicera med inverterade värdet”, något som jag inte tycker att Matte Direkt lyckas med. Vad jag saknar hos båda läroboksserierna är en presentation av alternativa sätt att räkna och tänka, som t ex enligt Löwings modell. Den kortfattade presentationen av avsnitten, frånvaron av alternativa lösningsmetoder, den vaga kopplingen mellan de olika uppgiftstyperna och övningsuppgifternas karaktär ger mig ett intryck av att proceduren går före förståelsen. Detta intryck växer sig starkare hos presentationen av Division av bråk där inte en enda konkretiserande illustration finns i någon av läroböckerna. Här tycker jag definitivt att läroböckerna arbetar ur en mer instrumentell - än ur en relationell synvinkel. Nyckelord: division av bråk, multiplikation av bråk, högstadiet, läromedelsanalys.
Investigations have shown that many students have a deficiency in their knowledge of fractions, when they leave secondary school. Students do in particular have problems to perform correct multiplications and divisions of fractions. In the light of those earlier studies, I am interested in finding out how textbooks deal with those questions. I have carried out an analysis of textbooks. The textbooks are used in two secondary schools in Karlstad. The analysis is compared with a method of working with fractions, suggested by Margareta Löwing. The aim of her method is to make the students understand the real meaning of the mathematical operations. The result of my investigation shows that booth textbooks gives only a short introduction of multiplication and division of fractions. The disposition of the explanations differs in the two textbooks. The first book has an introducing discussion with a relevant content. But, because of the great amount of text, it will probably be unfavourable to students with problems in reading. The second book shows more directly how to solve the numerical examples, in a way that might conduct the students too much. Though, the book has nice and concrete illustrations. The first book explains well the underlying idea of “multiplication of inverse number”, which the second book does not manage to do. What I miss in booth textbooks, is a presentation of alternative ways of calculating and thinking when solving problems, like for example the method suggested by Löwing. The short introduction of the chapters, the lack of alternative ways of solving problems and the undefined connection between the exercises, gives me the impression that procedure is given priority to understanding. Keywords: division of fractions, multiplication of fractions, secondary school, analysis of textbooks.

Syftet med studien är att undersöka hur verksamma lärare arbetar med division och vilka räknemetoder de väljer att använda i undervisningen. Syftet är även att få kunskap om vilka räknemetoder elever väljer att tillämpa. Studiens resultat har framkommit genom observationer, intervjuer med lärare och elever samt elevers lösningar av divisionsuppgifter.   Studiens resultat visar att lärare väljer att tillämpa laborativt material i undervisningen för att konkretisera matematikundervisningen om division. De påpekar vikten av att arbeta praktiskt för att elever ska få bättre förståelse för räknesättet. Lärarna anser att diskussion och samtal, både enskilt, i grupp och i helklass, gynnar elevers förståelse för division. De räknemetoder lärare väljer att tillämpa i sin undervisning är upprepad addition, sambandet mellan division och multiplikation samt kort division.   Studien visar att elever väljer att använda de metoder som de får ta del av i undervisningen. Detta syns tydligt då varken upprepad subtraktion, trappan eller liggande stolen tillämpas av lärare eller elever i årskurs 3. Elever tänker för det mesta division som delningsdivision, vilket även lärare väljer att lägga fokus på i sin undervisning. Lärare anser att både innehållsdivision och delningsdivision ska finnas i undervisningen, dock namnger de inte de olika tankesätten av den orsaken att det kan förvirra eleverna och försvåra förståelsen.

Det är viktigt att redan i unga år skapa sig en förståelse för hur de fyra räknesätten hänger samman, men även vilka kognitiva utmaningar sambandet mellan räknesätten multiplikation och division framställs i matematikböcker för yngre åldrar. Idag finns det ingen statlig granskning av läromedel, utan vem som helst kan skriva ett läromedel. För att kunna skapa förutsättningar för att elever i de yngre åldrarna ska kunna tillskansa sig förståelse och kunskap om sambandet mellan multiplikation och division, behövs ett läromedel där elever får möta uppgifter som är kognitivt utmanande. Syftet med studien är således att bidra med kunskap om hur sambandet mellan multiplikation och division framställs i två matematikböcker för årskurs 3 och specifikt svara på frågeställningen. Vilka kognitiva utmaningar möter elever vid arbete med sambandet mellan multiplikation och division i två matematikböcker för årskurs 3? För att besvara frågeställningen har två läroböcker inom matematematik analyserats utifrån två aspekter och fyra kategorier. Resultatet som framkom var att majoriteten av de analyserade uppgifterna som berör sambandet mellan multiplikation och division i de valda läroböckerna avser en låg kognitiv utmaning för elever. Detta innebär att uppgifterna inte gynnar eller hjälper elever att skapa en förståelse för sambandet mellan multiplikation och division. Viljan att inspirera yrkesgruppen och att forska vidare inom området är stort. För den skull, kan yrkesgruppen utvecklas genom att exempelvis föra diskussioner gällande vikten av vilka matematikböcker som väljs och vilka kognitiva utmaningar som elever får möta. Det skulle även vara intressant att följa upp om hur lärare arbetar/kompletterar redan befintliga uppgifter som innehåller sambandet mellan multiplikation och division för att elever ska beröras av högre kognitiva utmaningar.