Academic literature on the topic 'Nombres transfinis'

RÉSUMÉ : Cet article propose que l’équivalence postulée entre la descente infinie et l’induction transfinie dans les fondements de l’arithmétique fait intervenir le principe du tiers exclu par la double négation sur l’ensemble infini des nombres naturels et ne saurait donc être admissible du point de vue de la logique et des mathématiques intuitionnistes. Si, par ailleurs, on adopte le point de vue de la logique classique, les principes de l’induction complète, de l’induction transfinie, du plus petit nombre et de la descente infinie sont tous équivalents; pourtant, la descente infinie en jeu dans l’arithmétique ensembliste de Dedekind-Peano ne correspond pas à la descente infinie de Fermat en théorie des nombres et en arithmétique classique de Gauss jusqu’à nos jours. C’est là le point d’ancrage d’une critique fondationnelle qui cherche à mieux définir les options philosophiques dans les fondements de la logique et des mathématiques.

G. Cantor, fondateur de la théorie des ensembles et des nombres transfinis, assignait à ses découvertes une portée philosophique. S'affirmant " aristotélo-platonicien ", il considérait la nature des nombres à la fois comme objet d'une création libre et d'une nécessité issue d'une réalité ontologique, redécouvrant une thèse néo-scolastique ; comparant les transfinis à l'idée platonicienne, il envisageait la possibilité pour son arithmétique transfinie de redonner à l'ontologie, arrêtée à Spinoza et Leibniz selon lui, un nouvel élan susceptible de dépasser le kantisme, voire d'étayer une ontologie formelle. Sur ces trois questions : nature des nombres, à retour à l'ontologie métaphysique, arithmétique transfinie, l'essai tente de montrer l'importance de l'intuition cantorienne quant à l'existence d'un noyau onto-logique au fondement de la connaissance, dans le fil d'une philosophia perennis, mais aussi les limites des transfinis eu égard à l'ambition formaliste en philosophie en raison du caractère apparemment virtuel des nombres transfinis<br>Set and transfinite theory has been founded by Georg Cantor who gave a philosophical purpose to his creation. Presenting his own conception as a plato-aritstotelian epistemology, he considered the actual nature of numbers as a free creation of mind but simultaneously as a necessary result from reality, finding out a thesis defended by scholastic philosophers. Identifying transfinite concept with the "Idea" as defined in Plato, he call for a transfinite algebra, which could give a new start to ontology, interrupted, as he noticed, with Spinoza and Leibniz, so as to tide over kantian metaphysical criticism, and possibly building a formal ontology. On these three questions : the nature of transfinite numbers, the turn back to ontology and the viability of a transfinite calculus, this essay shows the importance of cantorian vision concerning a paradoxal kern at the basis of knowledge, following here a perennial philosophy, but also the problems of formalism in philosophy related to the fact that transfinite numbers are proabably virtual entities