Academic literature on the topic 'Opérateurs de Fredholm'

Dans cette these, on s'interesse, dans le cas des espaces de hilbert, au probleme d'approximation d'un operateur fixe par des classes d'operateurs liees aux operateurs semi-fredholm, a l'etude de la structure interne des composantes connexes semi-fredholm et a l'etude des operateurs -semi-fredholm qui sont des generalisations naturelles des operateurs semi-fredholm. On y distingue deux parties relativement independantes. La premiere partie est composee de trois themes correspondant a trois publications. Dans toute cette partie on se place dans le cas des espaces de hilbert separables. Le point de depart pour le premier theme est un resultat de m. Mbekhta (1992) sur les composantes connexes semi-fredholm dans b(h). Nous generalisons ce resultat pour toute reunion de composantes connexes semi-fredholm et nous le montrons pour les fermetures des composantes connexes semi-inversibles. Le deuxieme theme concerne la structure interne des composantes connexes semi-fredholm. Pour cela, nous etablissons des proprietes liees par exemple a la connexite et la densite sur l'ensemble f#n#m des operateurs semi-fredholm d'indice n , z = z -, + et de nullite m n = n + (n m). Dans le dernier theme de cette partie, on evoque le probleme d'approximation par les isometries partielles essentielles et les isometries partielles maximales essentielles. Dans la deuxieme partie, on se place dans le cas des espaces de hilbert non separables<br>Le premier theme de cette partie est consacre aux operateurs -semi-fredholm. Nous montrons un theoreme qui etend a cette classe d'operateurs le theoreme de kato sur la stabilite des operateurs semi-fredholm par les petites perturbations. Nous nous interessons aussi aux points de continuite de la conorme de poids. Le second theme est consacre aux operateurs semi-fredholm. Nous calculons plusieurs formmules de distance liees aux operateurs semi-fredholm. Nous etudions la structure des composantes connexes semi-fredholm en utilisant d'autres moyens que ceux employees dans la premiere partie. Enfin, nous terminons par un exemple simplifie qui montre que certains resultats obtenus dans la premiere partie sont uniquement valables dans le cas separable

Ce travail se situe dans le cadre de la théorie spectrale des opérateurs bornés dans un espace de Banach. Il comporte deux grandes parties. La première est consacrée à une étude fine de la classe des opérateurs pseudo-Fredholm dans le cas des espaces de Banach, ainsi que le spectre essentiel pseudo-Fredholm défini à partir de cette classe. Plusieurs résultats sont obtenus, notamment la stabilité par des petites perturbations. Dans la deuxième partie, on trouve plusieurs caractérisations, en terme spectral, d'opérateur de Riesz dont le coeur analytique est fermé. On montre que ces opérateurs admettent une décomposition de West. Ce dernier résultat donne une réponse partielle à un problème de relèvement des opérateurs quasi-nilpotents dans l'algèbre de Calkin.

Dans l'étude des différents aspects de la théorie des opérateurs interviennent souvent certaines classes de " petites " perturbations, dans le sens normique ou dans le sens de la compacité. Le but de la thèse est l'étude des perturbations par des opérateurs compacts de certaines classes d'opérateurs linéaires et bornés, notamment les isométries, les contractions et les opérateurs bornés inférieurement. Les principaux résultats obtenus sont des théorèmes généraux de caractérisation et de factorisation pour les perturbations des différentes classes mentionnées par des opérateurs de rang fini et des opérateurs compacts. Une deuxième catégorie de résultats concerne la structure géométrique et les propriétes de certaines perturbations compactes d'isométries et des contractions

Cette these est consacree a l'etude de la conorme essentielle qui est la generalisation de la conorme classique dans l'algebre de calkin. Dans la premiere partie, des resultats classiques sur les operateurs fredholm et semi-fredholm dans les espaces de banach seront rappeles. Nous definirons egalement la conorme et enoncerons ses principales proprietes. Puis nous introduirons l'algebre de calkin et releverons des elements particuliers de cette algebre. Ensuite, nous etendrons la notion de conorme aux c* algebres et etudierons les inverses generalises dans cette algebre. Dans une deuxieme partie, nous definirons la conorme essentielle et l'etudierons. Le resultat principal sera le relevement de la conorme essentielle, objet de deux theoremes. Nous en tirerons ensuite quelques applications, une nouvelle formule de calcul de la conorme et des precisions dans certains cas particuliers (operateurs quasi-normaux). Des exemples d'operateurs avec differentes valeurs de conorme et conorme essentielle seront ensuite donnes. Puis, nous nous interesserons aux resultats concernant les operateurs semi-fredholm a partir de l'etude de la conorme essentielle. Nous etudierons egalement le comportement asymtotique de la conorme. Enfin, nous determinerons les points de continuite de la conorme essentielle.

Le contexte général de cette thèse est celui de l'extension de la théorie des opérateurs elliptiques, bien connue dans le cadre lisse, à des domaines dits singuliers. Les méthodes utilisées reposent d'une part sur l'emploi d'algèbres d'opérateurs et d'outils issus de la géométrie non commutative, d'autre part sur l'introduction de calculs pseudodifférentiels adaptés à la géométrie du domaine, souvent via un groupoïde qui résout les singularités. La première partie de la thèse s'intéresse à l'étude d'une classe particulière de ces groupoïdes, dits Fredholm, qui donnent un cadre très favorable à l'analyse des opérateurs elliptiques. Un des résultats majeurs obtenu est que cette propriété de Fredholm est locale, au sens où elle ne dépend que des restrictions du groupoïde à un nombre suffisant d'ouverts. Dans le même esprit, nous considérons avec C. Carvalho et Y. Qiao des groupoïdes obtenus comme recollements d'actions de groupes, et étudions en particulier un groupoïde adapté à l'étude des opérateurs potentiels de couche. Je conclus cette partie avec la résolution d'un problème aux limites pour un domaine à singularité de type cusp rotationnel. La seconde partie s'intéresse aux opérateurs équivariants sur des variétés compactes, sous l'action d'un groupe fini. On répond à la question suivante : étant donnée une représentation irréductible du groupe, à quelle condition un opérateur différentiel est-il Fredholm entre les composantes isotypiques correspondantes des espaces de Sobolev ? Dans un travail commun avec A. Baldare, M. Lesch et V. Nistor, nous définissons une notion correspondante d'ellipticité associée à une représentation irréductible fixée et montrons qu'elle caractérise les opérateurs de Fredholm<br>This thesis is set in the general context of extending the theory of elliptic operators, well-understood in the smooth setting, to so-called singular domains. The methods used rely on operator algebras and tools coming from non commutative geometry, together with suitable pseudodifferential calculi that are often built from a groupoid adapted to the particular geometry of the problem. The first part of the thesis deals with the general investigation of a particular class of such groupoids, called Fredholm, that provide a very good setting for the study of elliptic operators. One of the major results proved here is that this Fredholm property is local, in the sense that it only depends on the restrictions of the groupoid to sufficiently many open subsets. In the same spirit, we study with C. Carvalho and Y. Qiao groupoids whose local structure is given by gluing group actions, and consider in particular a groupoid suited to the study of layer potential operators. This part concludes with a well-posedness result for a boundary value problem on a domain with a rotational cusp. The second part deals with equivariant operators on a compact manifold, acted upon by a finite group. We answer the following question: given an irreducible representation of the group, under which condition is a differential operator Fredholm between the corresponding isotypical components of the Sobolev spaces? In a joint work with A. Baldare, M. Lesch and V. Nistor, we introduce a corresponding notion of ellipticity associated with some fixed irreducible representation, and show that it characterizes Fredholm operators

Soit B un espace de Banach et soit L(B) l'espace des opérateurs linéaires continus définis sur B et à valeurs dans B. Soit A dans L(B), notons par M(A) l'ensemble des nombres complexes Z tels qu’A-ZI est surjectif ou injectif à image fermée. Dans ce travail nous établissons un résultat proche d'une généralisation commune d'un résultat de Laffey-West d'un côté et d'Apostol d'un autre. Plus précisément, nous montrons que : soit H un espace de Hilbert et A dans L(H), quel que soit l'entier naturel N et le compact K inclus dans la région semi-Fredholm de A, il existe un opérateur de rang fini F dans L(H) tel que : I) K est inclus dans M(A+F), II) quel que soit l'entier naturel J plus petit ou égal à N, (AFFA)A#J (AFFA)=0. En outre, toujours dans le cadre hilbertien, nous avons traité le problème analogue pour les opérateurs fermés (non bornés). Dans ce cas nous sommes amenés à introduire des hypothèses supplémentaires. Nous avons spécialement examiné le cas des opérateurs quasi normaux car dans ce cadre la restriction (J plus petit ou égal à N) dans II) peut être éliminée. Enfin, en utilisant une technique différente, nous avons traité le cas le plus général des opérateurs fermés définis dans un espace de Banach, sous la restriction importante, toutefois, que K soit un ensemble fini

La thèse est consacrée à la stabilité structurelle de solutions d'équations différentielles invariantes par translation. On s'interesse en particulier aux ondes de réaction-diffusion et aux solutions homocliniques de systèmes différentiels ordinaires. La théorie des opérateurs de Fredholm est utilisée pour prouver l'existence d'ondes de réaction-diffusion avec convection, lesquelles sont aussi étudiées numériquement et comparées à des expérience sur la photopolymérisation avec convection. Dans le problème d'explosion thermique avec convection, la dynamique complexe liée aux bifurcations successives et l'explosion thermique oscillante sont étudiées numériquement. Pour ce problème, on propose un modèle simplifié que l'on utilise pour étudier les bifurcations des solutions périodiques à partir des orbites homocliniques.

Le présent travail est une contribution à la K-théorie bivariante des C*-algèbres au sens de Kasparov, et en particulier à sa version équivariante. Un rôle clé dans cette théorie est joué par l'élément"gamma" de Kasparov, une sorte de classe fondamentale équivariante d'un groupe localement compact. On s'intéresse à la représenter par desK-cycles (modules de Fredholm) possédant de bonnes propriétés.Dans cette thèse on donne une nouvelle construction de tels K-cyclespour les groupes hyperboliques au sens de Gromov. Les modules de Fredholm obtenus sont finiment sommables, i.e. ils possèdent une propriété de régularité particulièrement forte. On donne aussi une majoration de leur degré minimal de sommabilité.On s'inspire des travaux de V. Lafforgue: les K-cycles considérés sontsimilaires à ceux utilisés par Lafforgue dans sa démonstration de la Conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques. Leur construction est basée sur les idées de Mineyev sur les "bicombings homologiques" des groupes hyperboliques et procède par récurrence sur les squelettes d'un complexe de Rips associé au groupe.Une preuve non-constructive de la sommabilité finie d'un élément "gamma"a été obtenue par Emerson et Nica pour les groupes hyperboliques decaractéristique d'Euler-Poincaré zéro. Des constructions explicites deK-cycles représentant l'élément "gamma" d'un groupe hyperbolique ont étédonnées par Kasparov-Skandalis et V. Lafforgue, mais on ne sait passi leurs modules sont finiment sommables. En général, on ne peut pasespérer trouver des éléments "gamma" finiment sommables pour d'autresclasses de groupes discrets<br>This work is a contribution to the bivariant K-theory of C*-algebras in the sense of Kasparov and in particular to its equivariant version. In this theory, a key role is played by Kasparov’s “gamma”-element, a kind of equivariant fundamental equivariant class for a locally compact group. It is of interest to find particularly well behaved K-cycles (Fredholm modules) representing this class.We present a new construction of K-cycles representing a "gamma"-element for hyperbolic groups in the sens of Gromov. The Fredholm modules obtained are finitely summable i.e. they possess particularly strong regularity properties. We also obtain an upper bound of their minimal degree of summability.Our approach is inspired by the work of V. Lafforgue: the K-cycles under consideration are similar to those used by Lafforgue in his demonstration of Baum-Connes conjecture with coefficients for hyperbolic groups. Their construction is based on Mineyev’s ideas on homological bicombings and proceeds by induction over the skeleta of a Rips complex associated to the group.A non-constructive proof of the finite summablity of a “gamma” element was obtained by Emerson and Nica for the hyperbolic groups of Euler-Poincaré characteristic zero. Explicit constructions of K-cycles representing the “gamma”-element of hyperbolic groups were given by Kasparov-Skandalis and V. Lafforgue, but it is not known whether their modules are finitely summable. In general one cannot hope to find finitely summable “gamma” elements for other classes of discrete groups

Dans cette thèse on prouve des résultats analytiques sur la théorie cohomotopique de Seiberg-Witten pour des 4-variétes Riemanniennes Spinc(4) a bouts périodiques, (X,g,τ). Nos résultats montrent, que sur certaines conditions techniques en (X, g, τ ),, cette nouvelle version est cohérente et mène a des invariants de Seiberg-Witten.Premièrement, en utilisant le critère de Taubes pour des operateurs périodiques dans des variétes a bouts périodiques, on montre que pour une 4-varieté Riemmanienne a bouts périodiques (X, g) vérifiant certaines conditions topologiques, le Laplacian ∆+ : L2(Λ2+) → L2(Λ2+) est un opérateur de Fredholm. On prouve une décomposition de type Hodge pour des 1-formes de X, a poids positif.Ensuite on prouve, en assumant certaines conditions topologiques et courbure scalaire non-negative sur les bouts, que l'opérateur de Dirac associé a une connection périodique (ASD a l'infini) est Fredholm.Dans la deuxième partie de la thèse on démontre un isomorphisme entre le groupe de cohomologie de de Rham Hd1R(X,iR), et le groupe harmonique intervenant dans la decomposition de Hodge des 1-formes de X a poids positif. On prouve l'existence de deux séquences exactes courtes liant le groupe de jauge de l'espace de modules de Seiberg-Witten et le groupe de cohomologie H1(X, 2πiZ).Dans la troisième partie on prouve les principaux résultats: la coercitivité de l'application de Seiberg-Witten et la compacité de l'espace de moduli pour une 4-varieté a bouts périodiques (X, g, τ ), vérifiant les conditions mentionnées plus haut.Finalment, utilisant la coercivité, on montre l'existence d'un invariant cohomotopique de type Seiberg- Witten type associé a (X, g, τ )<br>In this thesis we prove analytic results about a cohomotopical Seiberg-Witten theory for a Riemannian, Spinc(4) 4-manifold with periodic ends, (X,g,τ) . Our results show that, under certain technical assumptions on (X, g, τ ), this new version is coher- ent and leads to Seiberg-Witten type invariants for this new class of 4-manifolds.First, using Taubes criteria for end-periodic operators on manifolds with periodic ends, we show that, for a Riemannian 4-manifold with periodic ends (X, g), verifying certain topological conditions, the Laplacian ∆+ : L2(Λ2+) → L2(Λ2+) is a Fredholm operator. This allows us to prove an important Hodge type decomposition for positively weighted Sobolev 1-forms on X.We prove, assuming non-negative scalar curvature on each end and certain technical topological conditions, that the associated Dirac operator associated with an end-periodic connection (which is ASD at infinity) is Fredholm.In the second part of the thesis we establish an isomorphism between be- tween the de Rham cohomology group, Hd1R(X,iR) (which is a topological in- variant of X) and the harmonic group intervening in the above Hodge type decomposition of the space of positively weighted 1-forms on X. We also prove two short exact sequences relating the gauge group of our Seiberg-Witten moduli problem and the cohomology group H1(X, 2πiZ).In the third part, we prove our main results: the coercivity of the Seiberg-Witten map and compactness of the moduli space for a 4-manifold with periodic ends (X,g,τ) verifying the above conditions.Finally, using our coercitivity property, we show that a Seiberg-Witten type cohomotopy invariant associated to (X, g, τ ) can be defined

Ce travail de these se consacre a deux aspects des problemes de reaction diffusions. Le premier theme s'interesse au degre topologique et le second a des problemes d'explosion thermique. Dans la premiere partie de cette these, nous nous sommes interesses a l'existence et a la construction du degre topologique - via la theorie des operateurs de fredholm propres - pour une classe d'operateurs elliptiques semi-lineaires dans des domaines non-bornes, c'est a dire ne pouvant etre traitee par le degre de leray-schauder. Dans la seconde partie, les systemes que nous considerons dans nos modeles d'explosion thermique sont aussi, a premiere vue, pathologiques en ce qui concerne l'utilisation du degre. Il s'agit de systemes couples d'equations elliptiques et d'equations algebriques. Ils modelisent l'explosion thermique dans un milieu a deux phases. Neanmoins, des estimations pour les solutions stationnaires de ce probleme, nous permettent d'utiliser des arguments du type degre topologique pour demontrer la convergence vers le modele d'explosion en milieu homogene. Nous obtenons pour le modele du milieu diphasique des conditions critiques d'existence de solutions. Nous montrons aussi l'existence de branches continues, et enfin etudions leur stabilite. Par ailleurs, une serie d'experiences numeriques a ete menee afin d'observer l'influence de la convection sur ce phenomene.