Dissertations / Theses on the topic 'Opérateurs de Fredholm'

Dans cette these, on s'interesse, dans le cas des espaces de hilbert, au probleme d'approximation d'un operateur fixe par des classes d'operateurs liees aux operateurs semi-fredholm, a l'etude de la structure interne des composantes connexes semi-fredholm et a l'etude des operateurs -semi-fredholm qui sont des generalisations naturelles des operateurs semi-fredholm. On y distingue deux parties relativement independantes. La premiere partie est composee de trois themes correspondant a trois publications. Dans toute cette partie on se place dans le cas des espaces de hilbert separables. Le point de depart pour le premier theme est un resultat de m. Mbekhta (1992) sur les composantes connexes semi-fredholm dans b(h). Nous generalisons ce resultat pour toute reunion de composantes connexes semi-fredholm et nous le montrons pour les fermetures des composantes connexes semi-inversibles. Le deuxieme theme concerne la structure interne des composantes connexes semi-fredholm. Pour cela, nous etablissons des proprietes liees par exemple a la connexite et la densite sur l'ensemble f#n#m des operateurs semi-fredholm d'indice n , z = z -, + et de nullite m n = n + (n m). Dans le dernier theme de cette partie, on evoque le probleme d'approximation par les isometries partielles essentielles et les isometries partielles maximales essentielles. Dans la deuxieme partie, on se place dans le cas des espaces de hilbert non separables<br>Le premier theme de cette partie est consacre aux operateurs -semi-fredholm. Nous montrons un theoreme qui etend a cette classe d'operateurs le theoreme de kato sur la stabilite des operateurs semi-fredholm par les petites perturbations. Nous nous interessons aussi aux points de continuite de la conorme de poids. Le second theme est consacre aux operateurs semi-fredholm. Nous calculons plusieurs formmules de distance liees aux operateurs semi-fredholm. Nous etudions la structure des composantes connexes semi-fredholm en utilisant d'autres moyens que ceux employees dans la premiere partie. Enfin, nous terminons par un exemple simplifie qui montre que certains resultats obtenus dans la premiere partie sont uniquement valables dans le cas separable

Ce travail se situe dans le cadre de la théorie spectrale des opérateurs bornés dans un espace de Banach. Il comporte deux grandes parties. La première est consacrée à une étude fine de la classe des opérateurs pseudo-Fredholm dans le cas des espaces de Banach, ainsi que le spectre essentiel pseudo-Fredholm défini à partir de cette classe. Plusieurs résultats sont obtenus, notamment la stabilité par des petites perturbations. Dans la deuxième partie, on trouve plusieurs caractérisations, en terme spectral, d'opérateur de Riesz dont le coeur analytique est fermé. On montre que ces opérateurs admettent une décomposition de West. Ce dernier résultat donne une réponse partielle à un problème de relèvement des opérateurs quasi-nilpotents dans l'algèbre de Calkin.

Dans l'étude des différents aspects de la théorie des opérateurs interviennent souvent certaines classes de " petites " perturbations, dans le sens normique ou dans le sens de la compacité. Le but de la thèse est l'étude des perturbations par des opérateurs compacts de certaines classes d'opérateurs linéaires et bornés, notamment les isométries, les contractions et les opérateurs bornés inférieurement. Les principaux résultats obtenus sont des théorèmes généraux de caractérisation et de factorisation pour les perturbations des différentes classes mentionnées par des opérateurs de rang fini et des opérateurs compacts. Une deuxième catégorie de résultats concerne la structure géométrique et les propriétes de certaines perturbations compactes d'isométries et des contractions

Cette these est consacree a l'etude de la conorme essentielle qui est la generalisation de la conorme classique dans l'algebre de calkin. Dans la premiere partie, des resultats classiques sur les operateurs fredholm et semi-fredholm dans les espaces de banach seront rappeles. Nous definirons egalement la conorme et enoncerons ses principales proprietes. Puis nous introduirons l'algebre de calkin et releverons des elements particuliers de cette algebre. Ensuite, nous etendrons la notion de conorme aux c* algebres et etudierons les inverses generalises dans cette algebre. Dans une deuxieme partie, nous definirons la conorme essentielle et l'etudierons. Le resultat principal sera le relevement de la conorme essentielle, objet de deux theoremes. Nous en tirerons ensuite quelques applications, une nouvelle formule de calcul de la conorme et des precisions dans certains cas particuliers (operateurs quasi-normaux). Des exemples d'operateurs avec differentes valeurs de conorme et conorme essentielle seront ensuite donnes. Puis, nous nous interesserons aux resultats concernant les operateurs semi-fredholm a partir de l'etude de la conorme essentielle. Nous etudierons egalement le comportement asymtotique de la conorme. Enfin, nous determinerons les points de continuite de la conorme essentielle.

Le contexte général de cette thèse est celui de l'extension de la théorie des opérateurs elliptiques, bien connue dans le cadre lisse, à des domaines dits singuliers. Les méthodes utilisées reposent d'une part sur l'emploi d'algèbres d'opérateurs et d'outils issus de la géométrie non commutative, d'autre part sur l'introduction de calculs pseudodifférentiels adaptés à la géométrie du domaine, souvent via un groupoïde qui résout les singularités. La première partie de la thèse s'intéresse à l'étude d'une classe particulière de ces groupoïdes, dits Fredholm, qui donnent un cadre très favorable à l'analyse des opérateurs elliptiques. Un des résultats majeurs obtenu est que cette propriété de Fredholm est locale, au sens où elle ne dépend que des restrictions du groupoïde à un nombre suffisant d'ouverts. Dans le même esprit, nous considérons avec C. Carvalho et Y. Qiao des groupoïdes obtenus comme recollements d'actions de groupes, et étudions en particulier un groupoïde adapté à l'étude des opérateurs potentiels de couche. Je conclus cette partie avec la résolution d'un problème aux limites pour un domaine à singularité de type cusp rotationnel. La seconde partie s'intéresse aux opérateurs équivariants sur des variétés compactes, sous l'action d'un groupe fini. On répond à la question suivante : étant donnée une représentation irréductible du groupe, à quelle condition un opérateur différentiel est-il Fredholm entre les composantes isotypiques correspondantes des espaces de Sobolev ? Dans un travail commun avec A. Baldare, M. Lesch et V. Nistor, nous définissons une notion correspondante d'ellipticité associée à une représentation irréductible fixée et montrons qu'elle caractérise les opérateurs de Fredholm<br>This thesis is set in the general context of extending the theory of elliptic operators, well-understood in the smooth setting, to so-called singular domains. The methods used rely on operator algebras and tools coming from non commutative geometry, together with suitable pseudodifferential calculi that are often built from a groupoid adapted to the particular geometry of the problem. The first part of the thesis deals with the general investigation of a particular class of such groupoids, called Fredholm, that provide a very good setting for the study of elliptic operators. One of the major results proved here is that this Fredholm property is local, in the sense that it only depends on the restrictions of the groupoid to sufficiently many open subsets. In the same spirit, we study with C. Carvalho and Y. Qiao groupoids whose local structure is given by gluing group actions, and consider in particular a groupoid suited to the study of layer potential operators. This part concludes with a well-posedness result for a boundary value problem on a domain with a rotational cusp. The second part deals with equivariant operators on a compact manifold, acted upon by a finite group. We answer the following question: given an irreducible representation of the group, under which condition is a differential operator Fredholm between the corresponding isotypical components of the Sobolev spaces? In a joint work with A. Baldare, M. Lesch and V. Nistor, we introduce a corresponding notion of ellipticity associated with some fixed irreducible representation, and show that it characterizes Fredholm operators

Soit B un espace de Banach et soit L(B) l'espace des opérateurs linéaires continus définis sur B et à valeurs dans B. Soit A dans L(B), notons par M(A) l'ensemble des nombres complexes Z tels qu’A-ZI est surjectif ou injectif à image fermée. Dans ce travail nous établissons un résultat proche d'une généralisation commune d'un résultat de Laffey-West d'un côté et d'Apostol d'un autre. Plus précisément, nous montrons que : soit H un espace de Hilbert et A dans L(H), quel que soit l'entier naturel N et le compact K inclus dans la région semi-Fredholm de A, il existe un opérateur de rang fini F dans L(H) tel que : I) K est inclus dans M(A+F), II) quel que soit l'entier naturel J plus petit ou égal à N, (AFFA)A#J (AFFA)=0. En outre, toujours dans le cadre hilbertien, nous avons traité le problème analogue pour les opérateurs fermés (non bornés). Dans ce cas nous sommes amenés à introduire des hypothèses supplémentaires. Nous avons spécialement examiné le cas des opérateurs quasi normaux car dans ce cadre la restriction (J plus petit ou égal à N) dans II) peut être éliminée. Enfin, en utilisant une technique différente, nous avons traité le cas le plus général des opérateurs fermés définis dans un espace de Banach, sous la restriction importante, toutefois, que K soit un ensemble fini

La thèse est consacrée à la stabilité structurelle de solutions d'équations différentielles invariantes par translation. On s'interesse en particulier aux ondes de réaction-diffusion et aux solutions homocliniques de systèmes différentiels ordinaires. La théorie des opérateurs de Fredholm est utilisée pour prouver l'existence d'ondes de réaction-diffusion avec convection, lesquelles sont aussi étudiées numériquement et comparées à des expérience sur la photopolymérisation avec convection. Dans le problème d'explosion thermique avec convection, la dynamique complexe liée aux bifurcations successives et l'explosion thermique oscillante sont étudiées numériquement. Pour ce problème, on propose un modèle simplifié que l'on utilise pour étudier les bifurcations des solutions périodiques à partir des orbites homocliniques.

Le présent travail est une contribution à la K-théorie bivariante des C*-algèbres au sens de Kasparov, et en particulier à sa version équivariante. Un rôle clé dans cette théorie est joué par l'élément"gamma" de Kasparov, une sorte de classe fondamentale équivariante d'un groupe localement compact. On s'intéresse à la représenter par desK-cycles (modules de Fredholm) possédant de bonnes propriétés.Dans cette thèse on donne une nouvelle construction de tels K-cyclespour les groupes hyperboliques au sens de Gromov. Les modules de Fredholm obtenus sont finiment sommables, i.e. ils possèdent une propriété de régularité particulièrement forte. On donne aussi une majoration de leur degré minimal de sommabilité.On s'inspire des travaux de V. Lafforgue: les K-cycles considérés sontsimilaires à ceux utilisés par Lafforgue dans sa démonstration de la Conjecture de Baum-Connes à coefficients pour les groupes hyperboliques. Leur construction est basée sur les idées de Mineyev sur les "bicombings homologiques" des groupes hyperboliques et procède par récurrence sur les squelettes d'un complexe de Rips associé au groupe.Une preuve non-constructive de la sommabilité finie d'un élément "gamma"a été obtenue par Emerson et Nica pour les groupes hyperboliques decaractéristique d'Euler-Poincaré zéro. Des constructions explicites deK-cycles représentant l'élément "gamma" d'un groupe hyperbolique ont étédonnées par Kasparov-Skandalis et V. Lafforgue, mais on ne sait passi leurs modules sont finiment sommables. En général, on ne peut pasespérer trouver des éléments "gamma" finiment sommables pour d'autresclasses de groupes discrets<br>This work is a contribution to the bivariant K-theory of C*-algebras in the sense of Kasparov and in particular to its equivariant version. In this theory, a key role is played by Kasparov’s “gamma”-element, a kind of equivariant fundamental equivariant class for a locally compact group. It is of interest to find particularly well behaved K-cycles (Fredholm modules) representing this class.We present a new construction of K-cycles representing a "gamma"-element for hyperbolic groups in the sens of Gromov. The Fredholm modules obtained are finitely summable i.e. they possess particularly strong regularity properties. We also obtain an upper bound of their minimal degree of summability.Our approach is inspired by the work of V. Lafforgue: the K-cycles under consideration are similar to those used by Lafforgue in his demonstration of Baum-Connes conjecture with coefficients for hyperbolic groups. Their construction is based on Mineyev’s ideas on homological bicombings and proceeds by induction over the skeleta of a Rips complex associated to the group.A non-constructive proof of the finite summablity of a “gamma” element was obtained by Emerson and Nica for the hyperbolic groups of Euler-Poincaré characteristic zero. Explicit constructions of K-cycles representing the “gamma”-element of hyperbolic groups were given by Kasparov-Skandalis and V. Lafforgue, but it is not known whether their modules are finitely summable. In general one cannot hope to find finitely summable “gamma” elements for other classes of discrete groups

Dans cette thèse on prouve des résultats analytiques sur la théorie cohomotopique de Seiberg-Witten pour des 4-variétes Riemanniennes Spinc(4) a bouts périodiques, (X,g,τ). Nos résultats montrent, que sur certaines conditions techniques en (X, g, τ ),, cette nouvelle version est cohérente et mène a des invariants de Seiberg-Witten.Premièrement, en utilisant le critère de Taubes pour des operateurs périodiques dans des variétes a bouts périodiques, on montre que pour une 4-varieté Riemmanienne a bouts périodiques (X, g) vérifiant certaines conditions topologiques, le Laplacian ∆+ : L2(Λ2+) → L2(Λ2+) est un opérateur de Fredholm. On prouve une décomposition de type Hodge pour des 1-formes de X, a poids positif.Ensuite on prouve, en assumant certaines conditions topologiques et courbure scalaire non-negative sur les bouts, que l'opérateur de Dirac associé a une connection périodique (ASD a l'infini) est Fredholm.Dans la deuxième partie de la thèse on démontre un isomorphisme entre le groupe de cohomologie de de Rham Hd1R(X,iR), et le groupe harmonique intervenant dans la decomposition de Hodge des 1-formes de X a poids positif. On prouve l'existence de deux séquences exactes courtes liant le groupe de jauge de l'espace de modules de Seiberg-Witten et le groupe de cohomologie H1(X, 2πiZ).Dans la troisième partie on prouve les principaux résultats: la coercitivité de l'application de Seiberg-Witten et la compacité de l'espace de moduli pour une 4-varieté a bouts périodiques (X, g, τ ), vérifiant les conditions mentionnées plus haut.Finalment, utilisant la coercivité, on montre l'existence d'un invariant cohomotopique de type Seiberg- Witten type associé a (X, g, τ )<br>In this thesis we prove analytic results about a cohomotopical Seiberg-Witten theory for a Riemannian, Spinc(4) 4-manifold with periodic ends, (X,g,τ) . Our results show that, under certain technical assumptions on (X, g, τ ), this new version is coher- ent and leads to Seiberg-Witten type invariants for this new class of 4-manifolds.First, using Taubes criteria for end-periodic operators on manifolds with periodic ends, we show that, for a Riemannian 4-manifold with periodic ends (X, g), verifying certain topological conditions, the Laplacian ∆+ : L2(Λ2+) → L2(Λ2+) is a Fredholm operator. This allows us to prove an important Hodge type decomposition for positively weighted Sobolev 1-forms on X.We prove, assuming non-negative scalar curvature on each end and certain technical topological conditions, that the associated Dirac operator associated with an end-periodic connection (which is ASD at infinity) is Fredholm.In the second part of the thesis we establish an isomorphism between be- tween the de Rham cohomology group, Hd1R(X,iR) (which is a topological in- variant of X) and the harmonic group intervening in the above Hodge type decomposition of the space of positively weighted 1-forms on X. We also prove two short exact sequences relating the gauge group of our Seiberg-Witten moduli problem and the cohomology group H1(X, 2πiZ).In the third part, we prove our main results: the coercivity of the Seiberg-Witten map and compactness of the moduli space for a 4-manifold with periodic ends (X,g,τ) verifying the above conditions.Finally, using our coercitivity property, we show that a Seiberg-Witten type cohomotopy invariant associated to (X, g, τ ) can be defined

Ce travail de these se consacre a deux aspects des problemes de reaction diffusions. Le premier theme s'interesse au degre topologique et le second a des problemes d'explosion thermique. Dans la premiere partie de cette these, nous nous sommes interesses a l'existence et a la construction du degre topologique - via la theorie des operateurs de fredholm propres - pour une classe d'operateurs elliptiques semi-lineaires dans des domaines non-bornes, c'est a dire ne pouvant etre traitee par le degre de leray-schauder. Dans la seconde partie, les systemes que nous considerons dans nos modeles d'explosion thermique sont aussi, a premiere vue, pathologiques en ce qui concerne l'utilisation du degre. Il s'agit de systemes couples d'equations elliptiques et d'equations algebriques. Ils modelisent l'explosion thermique dans un milieu a deux phases. Neanmoins, des estimations pour les solutions stationnaires de ce probleme, nous permettent d'utiliser des arguments du type degre topologique pour demontrer la convergence vers le modele d'explosion en milieu homogene. Nous obtenons pour le modele du milieu diphasique des conditions critiques d'existence de solutions. Nous montrons aussi l'existence de branches continues, et enfin etudions leur stabilite. Par ailleurs, une serie d'experiences numeriques a ete menee afin d'observer l'influence de la convection sur ce phenomene.

Dans ce travail, nous étudions théoriquement et numériquèment des problèmes de réaction-diffusion et de réaction-diffusion-convection. La partie théorique s'intéresse à l'existence d'ondes progressives multi-dimensionnelles pour des systèmes de réaction-diffusion dont les termes de réactions sont linéairement dépendants. Nous développons une nouvelle approche pour considérer ces systèmes pour lesquels l'opérateur différentiel associé ne satisfait pas la propiété de Fredholm. Cette approche, essentiellement basée sur une reformulation de type intégro-différentielle des équations, nous permet d'obtenir certains résultats d'existences de solutions. La partie numérique du travail s'intéresse à l'influence de la convection naturelle sur l'ignition d'un front de réaction. Nous proposons une étude numérique de deux modèles basés sur des systèmes de réaction-diffusion-convection. Cette étude nous montre en particulier que la convection naturelle peut changer la position d'un front de polymérisation, ainsi que les conditions critiques d'ignition<br>In this work we theorically and numerically study reaction-diffusion and reactiondiffusion-convection problems. The theorical part is interested in multi-dimensional travelling waves solutions for reaction-diffuion systems with linearly dependant reaction terms. We develop new approach to study such systems with non Fredholm operators. This approach essentially concists in a reformulation of the equations with an integro-differential operator. It allows us to derive sorne existence results. The numerical part is interested in the influence of natural convection on the ignition of a reaction front. We study numerically study two models based on reaction-diffusionconvection systems. It is shown that natural convection can influence the place where a frontal polymerization starts together with critical conditions of ignition

Dans ce travail nous étudions un problème de relèvement dans l'algèbre de Calkin. Plus précisement, nous donnons une réponse complète à la question suivante : Soit T un opérateur borné défini sur un espace de Hilbert séparable tel que zéro soit un pôle d'ordre d de la résolvante de π(T) dans l'algèbre de Calkin, existe-t-il un opérateur compact K tel que zéro soit un pôle d'ordre d de la résolvante de T + K ? Dans le but de répondre à cette question, nous avons eu besoin d'étudier et de developper la notion de l'ascente essentielle et celle de la descente essentielle d'un opérateur. D'autre part, nous définissons les spectres associés à ces deux notions. Nous montrons que ces spectres sont eux aussi doué de certaines propriétés du spectre classique. Enfin, nous montrons que ces spectres sont stables sous certaines perturbations.

Nous étudions des systèmes dynamiques quantiques discrets décrits par un opérateur unitaire U agissant sur l'espace des fonctions à carré sommables défini sur les sommets d'un graphe infini. Les orbites du système sont définies par les itérations U^n x, où x est la condition initiale et n parcoure les entiers. Nous considérons certaines classes d'opérateurs U dépendants de paramètres du système. Nous sommes en particulier intéressés par des propriétés spectrales qui sont topologiques, donc caractérisé par un entier qui dépend continuellement des paramètres du système.Les questions auxquelles nous répondons sont basées sur des observations des applications récentes dans les sciences physiques et informatiques ; nous fournissons des définitions et des résultats mathématiques précises et pertinentes pour certaines de ces applications. Dans cette thèse nous avons obtenu quatre résultats : en une dimension, nous avons démontré l'existence de valeurs propres, stable par des petites ou compactes perturbations, pour une classe de marche quantique. En dimension deux, nous avons obtenu trois résultats concernant la stabilité du spectre absolument continu de U couvrant tout le cercle unité.Nous avons utilisé plusieurs outils mathématiques : La théorie des opérateurs fibrés du quelle nous nous sommes servis pour donner un aperçu des propriétés spectrales de U, dans le cas où ses paramètres sont invariants par translation. Pour les considérations topologiques, nous avons utilisé la théorie de l'ensemble des opérateurs de Fredholm, en particulier la caractérisation complète de ses composantes connexes par l'indice. Pour le cas des valeurs propres stables nous avons démontré une borne inférieure non triviale et explicite sur leur nombre en faisant appel au théorème d'indice pour les opérateurs de Toeplitz. Pour nos trois résultats qui concernent la stabilité du spectre absolument continu nous avons exploité l'indice relatif d'une paire de projecteurs orthogonales. Pour chaque cas et pour une paire définie par U nous avons pu démontrer sa non-trivialité. Ceci nous a permis d'utiliser des résultats récents concernant des implications spectrales pour les opérateurs U<br>We study certain discrete quantum dynamical systems which are described by unitary operators U acting on the space of square integrable functions defined on the vertices of a countably infinite graph. For initial conditions x the orbits of the system are defined by the iterations Unx for integer n. We consider classes of operators U which depend on parameters. We are interested in topological spectral properties meaning that they are characterized by integers which depend continuously on the parameters of the system. We answer questions which are based on recent observations and applications in physical and information sciences. We state and prove proper mathematical results which apply to some of these observations. In this the sis we present four results: in one spatial dimension and for a class of quantum walks we proved the existence of eigenvalues which are constant with respect to continuous and compact perturbations. In two dimensions we have obtained results on occurrence of stable absolutely continuous spectrum covering the whole unit circle for three different lattice models. We employed several mathematical tools: We used the theory of fibered operators to exhibit systematically the spectral properties of translation invariant operators U. For our operator topological considerations, we put to use the class of Fredholm operators and in particular the complete characterization of its connected components by the index. For the case of the constant eigenvalues we proved a non-trivial and explicit lower bound on their number using the index theorem for Toeplitz operators. We employed the theory of the relative index of a pair of orthogonal projections for our study of the full absolutely continuous spectrum. For each of the three cases we established its non-triviality for a pair involvingU, and then made use of recently proved results concerning the implications on the spectrum of U

A partir d'une formule de quadrature conçue pour le calcul approché d'intégrales de fonctions singulières, on propose une approximation uniforme d'opérateurs intégraux de Fredholm à noyau faiblement singulier qui est utilisée dans la construction d'une famille de nouvelles approximations ayant une application numérique directe ainsi que des propriétés de convergence suffisantes pour assurer celle qui est dite fortement stable. On développe, de cette façon, des outils numériques qui permettent la résolution approchée de l'équation de Fredholm de seconde espèce et du problème spectral dans des cas où les techniques classiques ne peuvent pas être appliquées. On conclut cette thèse par des nombreux exemples numériques qui montrent la performance de nos méthodes

Nous étudions mathématiquement et numériquement des problèmes de réaction-diffusion avec convection. Dans la première partie, nous montrons sous certaines conditions que les opérateurs considérés ont la propriété de Fredholm, sont propres, et nous construisons un degré topologique pour ces opérateurs. Nous utilisons le degré pour étudier les bifurcations pour un problème d'ondes progressives de réaction-diffusion-convection, et nous montrons l'existence de fronts de réaction modifiés par la convection naturelle. Nous nous intéressons également aux instabilités convectives pour ces solutions. Nous étudions dans la deuxième partie l'influence de la tension de surface sur la stabilité des fronts. Dans le cas de liquides non miscibles, nous montrons que l'interaction de la tension de surface et de la réaction chimique peut conduire à une instabilité nouvelle. Dans le cas de liquides miscibles, nous modélisons la tension transitoire par une contrainte supplémentaire dans les équations de Navier-Stokes. Nous montrons que le problème mathématique correspondant a une solution unique, et nous observons numériquement que les gradients de concentration peuvent engendrer des courants convectifs. Nous simulons l'évolution d'une goutte miscible sous l'influence de ces courants~: elle est comparable à celle d'une goutte non miscible sous l'action de la tension de surface, avec une tendance à s'arrondir ou à se scinder en gouttelettes. Nous montrons numé\-ri\-quement que la tension transitoire peut amplifier de petites déformations de fronts plans.

Dans le contexte des graphes infinis, localement finis et pondérés, nous nous intéressons à l’étude des propriétés de l’opérateur discret de Gauss-Bonnet qui est un opérateur de type Dirac (son carré est l’opérateur Laplacien). Plus précisément, nous donnons une version discrète de la notion importante de non-parabolicité à l’infini introduite par Gilles Carron pour les variétés Riemanniennes non-compactes. De plus, grâce à cette condition notre opérateur est Semi-Fredholm ce qui est utile dans la décomposition de Hodge pour résoudre des problèmes tel que le problème de Kirchhoff. Une autre partie de cette thèse consiste à étudier les propriétés spectrales de l’opérateur Laplacien. En fait, nous distinguons deux types d’opérateurs Laplaciens le premier défini sur l’espace des fonctions sur les sommets et le deuxième défini sur l’espace des fonctions sur les arêtes. C’est une question naturelle de voir le lien entre leur spectres respectifs. En utilisant, le critère de Weyl, nous montrons que le spectre de ces deux Laplaciens coïncident en dehors de la valeur 0. De plus, nous étendons le résultat de John Lott qui affirme que la valeur spectrale 0 est dans le spectre de l’un de ces deux Laplacien<br>In the context of an infinite locally finite weighted graph, we are interested in the study of discrete Gauss-Bonnet operator which is a Dirac type operator ( its square is the Laplacian operator ). In particular, we are focused on the conditions to have semi-Fredholmness operator needed to approach the Hodge decomposition theorem, which is important for solving problems such that Kirchhoff’s problem. In fact, we present a discrete version of the work of Gilles Carron which defines a new concept non-parabolicity at infinity to have the Gauss-Bonnet operator with closed range. Another part of this thesis consist to study the spectral properties of the Laplacian operator. We define two Laplacians one as an operator acting on functions on vertices and the other one acting on functions on edges. So, it is a natural question to characterize the relation between their spectrum in terms of a certain geometric property of the graph and properties of the operators. In fact, we show that the nonzero spectrum of the two laplacians are the same, by using Weyl criterion. In addition, we give an extension of the work of John Lott such that with suitable weight conditions, we prove that the spectral value 0 in the spectrum of one of these two Laplacians

Notre travail est motivé par le problème de l'évaluation du déterminant de Fredholm d'un opérateur intégral. Cet opérateur apparait dans l'expression de la probabilité pour qu'un intervalle [?s, s] (s > 0) ne contienne aucune valeur propre d'une matrice aléatoire hermitienne gaussienne. Cet opérateur commute avec un opérateur différentiel de second ordre dont les fonctions propres sont les fonctions d'ondes sphéroïdales de l'ellipsoïde alongé. Plus généralement nous considérons l'opérateur de Legendre perturbé. Nous montrons qu'il existe un opérateur de translation généralisée associé à cet opérateur. En?n, par une méthode d'approximation des solutions de certaines équations différentielles, dite méthode WKB, nous avons obtenu le comportement asymptotique des fonctions d'ondes sphéroïdales de l'ellipsoïde alongé Il s'exprime à l'aide des fonctions de Bessel et d'Airy. Par la même méthode nous avons obtenu le comportement asymptotique des fonctions propres de l'opérateur dfférentiel d'Airy.