Academic literature on the topic 'Opérateurs nilpotents'

Soient une fonction mesurable sur r#n, et sa transformee de fourier. Une caracterisation de la transformee de fourier de est donnee par le theoreme de paley-wiener pour r#n. Une version faible de ce theoreme dit que si la fonction est mesurable, bornee et a support compact, sa transformee de fourier se prolonge en une fonction holomorphe sur c#n, ce qui permet de conclure que = 0 si est nulle sur un ensemble dont la mesure de plancherel est strictement positive. On generalise cette version du theoreme de paley-wiener aux groupes de lie nilpotents simplement connexes. Cette propriete est conjecturee par d. Scott et a. Sitaram. On demontre cette conjecture par recurrence sur la dimension de g. Dans le chapitre ii on generalise la propriete ci-dessus aux groupes de lie completement resolubles. La demonstration, egalement par recurrence sur la dimension de g, utilise la mesure de plancherel explicite donnee par b. N. Currey. Dans le chapitre iii on etudie des operateurs differentiels sur un espace homogene nilpotent. Soit = ind#g#k#f une representation induite d'un groupe de lie nilpotent connexe et simplement connexe g, ou #f designe un caractere unitaire d'un sous-groupe connexe k = (exp t) et tel que les multiplicites des irreductibles de g apparaissant dans la decomposition de soient finies. Soit d# l'algebre des operateurs differentiels associee a. On demontre que cette algebre est isomorphe a l'algebre des fonctions polynomiales k-invariantes definies sur o# = f + t# g#*, lorsque t est un ideal de g, algebre de lie de g.

Ce travail se situe dans le cadre de la théorie spectrale des opérateurs bornés dans un espace de Banach. Il comporte deux grandes parties. La première est consacrée à une étude fine de la classe des opérateurs pseudo-Fredholm dans le cas des espaces de Banach, ainsi que le spectre essentiel pseudo-Fredholm défini à partir de cette classe. Plusieurs résultats sont obtenus, notamment la stabilité par des petites perturbations. Dans la deuxième partie, on trouve plusieurs caractérisations, en terme spectral, d'opérateur de Riesz dont le coeur analytique est fermé. On montre que ces opérateurs admettent une décomposition de West. Ce dernier résultat donne une réponse partielle à un problème de relèvement des opérateurs quasi-nilpotents dans l'algèbre de Calkin.

Cette these est une partie de mes travaux du octobre 1995 au decembre 1997, nous nous proposons d'etudier les transformees de riesz dans deux cadres. Donc, cette these est constituee de deux parties. Dans la premiere partie, nous considerons un groupe de lie nilpotent simplement connexe, g, d'algebre de lie g, x = x 1, , x m un systeme de hormander, = m i = 1 x 2 i le sous-laplacien et * l'operateur de gradient associes ; nous etudions la continute dans les espaces l p(g) des operateurs : *( + w) 1 / 2, * 2( + w) 1, w 1 / 2( + w) 1 / 2, w 1 / 2*( + w) 1 et w 1 / 2( + w) 1* ou le facteur non negatif w appartient a la classe de holder inversee b q pour certain q. La deuxieme partie est consacree a etudier la transformation de riesz, *() 1 / 2, sur les varietes coniques de la forme c(n) = r + n, ou n est une variete riemannienne connexe, avec ou sans bord. Dans le cas ou n est compacte de dimension n 1 1, si 1 designe la premiere valeur propre non nulle du laplacien de n, nous notons p o = supp > 1 ; p. (n/2 (n 2/2) 2 + 1) < n. Nous montrons que *() 1 / 2 est de type faible (1,1) et de type fort (p,p) pour tout 1 < p < p o ; nous prouvons aussi que il n'est de type fort (p,p) pour aucun p p o quand 1 < n 1 (nous remarquons que p o = + si 1 n 1). Nous indiquons egalement des idees et des demarches pour etudier la transformation de riesz sur c(n) ou n est complete et non compacte. En particulier, si n est un espace symetrique de type non compact de dimension n 1 2, nous montrons que *() 1 / 2 est borne dans l p(c(n)) pour 1 < p < n ; de plus, si n = r n 1 (n 3), nous prouvons que *() 1 / 2 n'est borne dans l p(c(r n 1)) pour aucun p > n. Nous obtenons aussi des autres resultats partiels dans le cas ou n est complete et non compacte.

Nous nous interessons a l'etude de la forme de jordan des extensions d'operateurs lineaires en dimension finie probleme de carlson par le biais d'une nouvelle approche: la description des sous-espaces reduisants minimaux contenant un sous-espace invariant. Nous decrivons completement les sous-espaces reduisants minimaux contenant un sous-espace invariant cyclique (resp. Contenu dans le noyau), puis nous appliquons les resultats obtenus pour caracteriser la forme de jordan des extensions par un operateur nilpotent cyclique, des extensions d'un operateur nilpotent cyclique et enfin des extensions a image dans le noyau. Dans le dernier chapitre, nous etudions les operateurs nilpotents a images fermees dans un espace de banach et leurs extensions par des operateurs nilpotents definis sur des espaces vectoriels de dimension finie

Nous etudions le treillis des sous-espaces hyperinvariants d'un operateur nilpotent a sur un espace de banach x. Nous utilisons systematiquement les operateurs **(k)sigma ::(i=1) a**(i-1)(x cercle x f)a**(k-i) ou x appartient a x et f appartient a x'. Ceci nous a permis d'etendre au cas ou les images des iteres de a sont fermees, les resultats connus lorsque l'espace x est de dimension finie. Dans le cas d'un operateur nilpotent quelconque, nous avons obtenu des encadrements d'un sous-espace hyperinvariant par des sous-espaces du treillis engendre par les noyaux et les images des iteres de a. Comme application, nous demontrons une conjoncture de d. A. Herrero

Situé dans le cadre de la Théorie des opérateurs bornés sur les espaces de Banach, ce travail s'articule sur deux grands axes. Le premier consiste à aborder le théorème de Weylpour une classe d'opérateurs vérifiant la SVEP. Cependant, le deuxième axe concerne le problème de stabilité du théorème de Weyl sous perturbations. Dans une prémière partie on montre que le théorème de Browder, version affaiblie du théorème de Weyl), est satisfait par tout opérateur jouissant de la SVEP; et on fournie plusieurs conditions nécessaires et suffisantes pour que ces opérateurs vérifient le théorème de Weyl. On introduit aussi une classe d'opérateurs P englobant la plupart des opérateurs étudiés dans la littérature en connexion avec le théorème de Weyl et. On prouve que si T est un opérateur borné et h est une fonction analytique sur un voisinage du spectre de T, non identiquement constante sur chaque composante connexe de son domaine de définition et téls que h(T) [appartient à] P, alors le théorème de Weyl est satisfait par f(T) et f(T*) pour toute fonction f analytique sur un voisinage du spectre de T. Compte tenu du lien fort existant entre le théorème de Weyl et la notion de la déscente, on consacre la seconde partie à l'étude de cette notion. On établit qu'un espace de Banach est de dimension infinie si, et seulement si, le commutant de tout opérateur contient un opérateur non algébrique. En se basant sur ce résultat, on donne une réponse positive à une question conjecturée par M. Kaashoek et D. Lay: Soit F un opérateur borné tel que pour tout opérateur T commutant avec F, la descente de T est finie si, et seulement si, la descente de T + F est finie, alors une puissance de F est de rang finie. Dans la troisième partie de ce travail, on montre la stabilité du théorème de Weyl sous perturbations de Riesz commutatives pour les opérateurs isoloides finis. Cependant, pour la classe P, on généralise ce résultat aux perturbations commutatives par les opérateurs polynomialement de Riesz.

Dans une première partie nous démontrons un théorème de régularité des solutions pour les équations aux dérivées partielles non-linéaires du second ordre : si u est une solution réelle assez régulière, si le symbole principal de l'opérateur linéarisé est positif, et si la condition de Hörmander ou Oleinik-Radkevič est satisfaite, alors […]. De même, si […], est un minimum « très strict » d'une fonctionnelle intégrale […] c'est-à-dire si pour tout x de Ω, il existe un voisinage K de x, et C &gt; 0, Ɛ &gt; 0, tels que […] pour ϕ tout réelle de […], alors u est nécessairement […]. Dans une deuxième partie nous considérons des équations aux dérivées partielles non-linéaires de la forme […] où les X₁,…,Xᵨ sont des champs de vecteur vérifiant la condition de Hörmander. Soit u une solution réelle assez régulière, on suppose que la localisation de l'opérateur linéarisé sur le groupe de Lie associé au système […] est hypoelliptique ; nous démontrons sous ces hypothèses que […]. Dans une troisième partie nous considérons des opérateurs différentiels linéaires du second ordre à coefficients C² qui satisfont la condition géométrique de Feffennan et Phong, on a démontré qu'ils sont sous-elliptiques dans R², on a aussi obtenu un théorème de régularité des solutions non-linéaires<br>In a first part, we prove a regularity theorem for solution of non-linear partial differential equation of second order: if u is a smooth enough real solution, if the principal symbol of the linearized operator is positive, and if the Hörmander's or Oleinik- Radkevič 's condition is satisfied, then […]. With similar methods, we prove that: if […] is a "very strict" minimum of an integral functional […], i. E. If for all x in Ω, there are a neighborhood K of x , C &gt; 0 , Ɛ &gt; 0 , such as […] for all […], then […]. In a second part, we consider partial differential equation of form […] where X₁,…,Xᵨ are vectors fields satisfying Hörmander' s condition. Let us u be of smooth enough solution, we suppose that the localization of the linearized operator on the Lie group associated to the system of the […] is hypoelliptic, we prove with this hypothesis that […]. In a third part, we study some linear differential operators of second order 2 with C² - coefficients, these operators satisfying the Fefferman-Phong geometric condition; we prove they are sub-elliptic on R² and we so obtain a regularity theorem for nonlinear problems

Cette thèse s'intéresse à des familles de fonctions zêta spectrales (séries de Dirichlet) qui peuvent être associées à certaines algèbres d'opérateurs sur des espaces de Hilbert. Dans ce mémoire, la principale question étudiée sur ces fonctions zêta est l'existence d'un prolongement méromorphe à partir d'un demi-plan ouvert du plan complexe au plan complexe tout entier. Généralisant une idée de Nigel Higson, on propose dans la partie I, une méthode pour prouver l'existence de ce prolongement méromorphe pour certains fonction zêta spectrales. Cette méthode s’effectue dans le cadre d'algèbres d'opérateurs différentiels généralisés et elle s'appuie sur une suite de réduction. Le théorème principal donne, sous certaines conditions, l'existence d'un prolongement méromorphe, une localisation des pôles dans les supports de suites arithmétiques et une borne supérieure pour l'ordre de ces pôles. Dans la partie II, on reformule la méthode de la partie I dans le contexte et avec le vocabulaire des triplets spectraux de Connes et Moscovici. Dans la troisième partie, on donne une application pour des fonctions zêta associées à des opérateurs de type Laplace sur des variétés lisses, compactes et sans bord. Cet exemple a été initialement traité par Nigel Higson avec cette approche en 2006. Une deuxième application traite de fonctions zêta associées au tore non commutatif. Dans la partie IV, on utilise le calcul pseudodifférentiel associé à des algèbres de Lie nilpotentes et développé par Dominique Manchon, pour construire de nouveaux triplets spectraux. Dans la partie V se trouve la principale application de la méthode exposée dans ce mémoire. On prouve l'existence du prolongement méromorphe pour des fonctions zêta provenant de représentations de Kirillov d'une classe d'algèbre de Lie nilpotentes<br>The thesis is about a families of zeta functions (Dirichlet series) that may be associated to certain algebras of Hilbert space operators. In this thesis, the main question in studying these zeta functions is to establish their meromorphic continuation from a half-plane in the complex plane to the full plane.Following an idea of Nigel Higson, we develop, in part I, a method for proving the existence of a meromorphic continuation for some spectral zeta functions. The method is based on algebras of generalized differential operators. The more important tool is the reduction sequence. The main theorem states, under some conditions, the existence of a meromorphic continuation, a localization of the poles in supports of arithmetic sequences and an upper bound of their order. A formulation of the method into the framework of Connes and Moscovici, the regular spectral triples, setting in part II. In the third part, we give an application for zeta functions associate to a Laplace-type operator on a smooth, closed manifold. This example was initially treated in this way by Nigel Higson in 2006. We give another application for zeta functions associate to the noncommutative torus. In part IV, using the work of Dominique Manchon on algebras of pseudodifferential operators associated to unitary representations of nilpotent Lie group, we construct new spectral triples. In part V, set the main application of the method. We applicate the reduction method for some algebras of generalized differential operators, arising from a Kirillov representation of a class of nilpotent Lie algebras