Academic literature on the topic 'Polymère dirigé en milieu aléatoire'

Dans la première partie, nous avons étudié l'effet du bruit sur la vitesse d'un front décrit par une équation de type Fisher-Kolmogorov. Ces équations interviennent souvent comme la limite d'un modèle aléatoire faisant intervenir N particules quand N devient grand. Elles ont beaucoup de solutions, mais c'est la vitesse marginalement stable v^* qui est sélectionnée pour une condition initiale localisée. Nous avons montré que si l'on prend en compte l'aspect discret du modèle microscopique en ajoutant un cut-off d'ordre 1/N dans la queue du front, alors, quelles que soient les conditions initiales, la vitesse de propagation v_N est proche de v^* et la différence v^* - v_N est d'ordre (log N)^(-2). Ces résultats peuvent s'appliquer au modèle aléatoire: grâce à des simulations faisant intervenir jusqu'à 10^14 particules, nous avons observé une correction de la vitesse compatible avec celle obtenue dans le modèle avec \textit{cut-off}. La méthode que nous avons employée permet également de retrouver les résultats de Bramson sur l'influence des conditions initiales sur la vitesse d'un front. La seconde partie est consacrée aux polymères dirigés dans un milieu aléatoire de largeur finie. La méthode des répliques permet de ramener le calcul des fluctuations de l'énergie libre d'un tel polymère à un problème de mécanique quantique avec n particules en interaction. Ce modèle peut être résolu grâce à l'Ansatz de Bethe, mais il faut extrapoler les solutions à des n non-entiers pour faire le lien avec l'énergie libre d'un polymère. Nous avons présenté une méthode qui nous a permis de calculer exactement les premiers cumulants de cette énergie libre. De plus, pour une dimension transversale périodique, on peut calculer tous ces cumulants dans la limite où la largeur du système devient grande et déterminer ainsi la distribution de l'énergie libre. Cette distribution est la même que celle obtenue dans le modèle ASEP et semble donc être une propriété universelle de l'équation KPZ.

Une interface est une zone de l'espace qui sépare deux régions possédant des propriétés physiques différentes. La plupart des interfaces de la nature résultent d'un processus de croissance, mêlant une composante aléatoire et une dynamique déterministe régie par les symétries du problème. Le résultat du processus de croissance est un objet présentant des corrélations à longue portée. Dans cette thèse, nous nous proposons d'étudier la statistique d'extrême de différents types d'interfaces. Une première motivation est de raffiner la compréhension géométrique de tels objets, via leur maximum. Une seconde motivation s'inscrit dans la démarche plus générale de la statistique d'extrême de variables aléatoires fortement corrélées. A l'aide de méthodes analytiques d'intégrales de chemin nous analysons la distribution du maximum d'interfaces à l'équilibre, dont l'énergie es t purement élastique à courte portée. Nous attaquons ensuite le problème d'interfaces élastiques en milieu désordonné, principalement à l'aide de simulations numériques. Enfin nous étudierons une interface hors-équilibre dans son régime de croissance. L'équivalence de ce type d'interface avec le polymère dirigé en milieu aléatoire, un des paradigmes de la physique statistique des systèmes désordonnés, donne une portée étendue aux résultats concernant la statistique du maximum de l'interface. Nous exposerons les résultats que nous avons obtenus sur un modèle de mouvements browniens qui ne se croisent pas, tout en explicitant le lien entre ce modèle, l'interface en croissance et le polymère dirigé.

Nous étudions plusieurs modèles de polymères dirigés en milieux aléatoires. Pour le modèle classique sur Z^d, nous étudions la convergence de l'environnement vu par la particule dans la région de faible désordre. Nous donnons des résultats très forts pour de très hautes valeurs de la température. Nous donnons ensuite un traitement complet de la fonction de partition pour un modèle de polymères dirigés en milieux aléatoires sur le réseau hiérarchique en diamant. Finalement, nous étudions l'énergie libre des polymères dirigés en milieux aléatoires sur Z^d dans des boites très asymétriques. Nous parvenons à prouver que, dans un régime approprié, elle coïncide avec l'énergie libre d'un modèle en temps continu dans un environnement Brownien. En dimension 1, la valeur exacte de cette énergie libre est connue. Nous étudions également des polymères dirigés en dimension 1 avec un drift qui tend vers l'infini. Nous donnons la valeur exacte de l'énergie libre et l'ordre des fluctuations de la fonction de partition
We study several models of directed polymers in random environments. For the classical model on Z^d, we study the convergence of the environments seen by the particle in the weak disorder region. We prove strong results for very high values of the temperature. We then give a complete treatment of the partition function of directed polymers on the diamond hierarchical lattice. Finally, we study the free energy of directed polymers in random environments on Z^d in very asymmetric boxes. We prove that, in a particular regime, it coincides with the free energy of a continuous time model in a Brownian environment. For d=l, the exact value of this free energy is known. We also study one- dimensional directed polymers with a huge drift. We give the exact value of the free energy and compute the order of fluctuations of the partition function

Dans cette thèse, on étudie certaines propriétés asymptotiques d'un modèle de polymère dirigé en milieu aléatoire. Plus précisément, on étudie les liens entre la fonction de partition et la mesure de polymère lorsque la taille du système tend vers l'infini. On construit également des champs multifractaux qui vérifient certaines propriétés statistiques du champ de vitesse d'un écoulement turbulent.

Cette thèse est consacrée à l'étude de polymère dirigé en milieu aléatoire. Le polymère dirigé en milieu aléatoire modélise une longue chaine de molécules qui interagit avec un environnement inhomogène, il est considéré depuis longtemps dans la littérature de la physique statistique. Une de questions importantes est de comprendre le comportement du polymère dans un environnement typique : la localisation des trajectoires autour un tube typique. Une question fortement liée s'agit d'étudier la fluctuation de l'énergie libre. On considère dans cette thèse le modèle polymère dirigé avec Log-Gamma distribution proposé par Seppallainen. Dans ce modèle, l'énergie libre est calculable en fonction des paramètres et les fluctuations présentent des exposants non-standard. Jusqu'à maintenant, c'est encore toujours une question ouvert to calculer les corrélations entre les fonctions partitions et aussi établir la distribution asymptotique du end-point du polymère. Cette thèse, parmi autre travaux, présente une approche à ces questions
The thesis focuses on (mostly 1 + 1 dimensional) directed polymers in random media. These are classical and celebrated models in the statistical mechanics of disordered systems and describe a one dimensional interface interacting with a d + 1-dimensional random environment where it is immersed. A very important question is to understand, in the limit where the polymer's length tends to infinity and for a typical realization of the environment, the geometric properties of the polymer: typical transversal displacement of the endpoint and its fluctuations, polymer localization at strong disorder around typical tubes determined by disorder. . . A strictly related problem of great interest is to study the fluctuations of the free energy. The main focus is on the so-called log-gamma polymer. This model, introduced by Seppalainen, is obtained by making a specific choice for the disorder law: the random variables are inverse Gamma variables. For this specific disorder choice, he proved that the variance of the log of the partition function is of order N"2/3, as expected by KPZ theory. This was refined into a full limit theorem Tracy -Widom type fluctuations) by Corwin, O'Connell, Seppalainen and Zygouras, via an explicit formula for the Laplace transform of a single partition function. It was until now an open problem to compute correlations between partition functions with different end-points and to study the asymptotic distribution of the polymer's endpoint. The present thesis addresses, among others, these two very challenging problems. On the other hand, we consider applications of stochastic orders on the study of directed polymer and disordered systems

Nous étudions plusieurs modèles de polymères dirigés en milieux aléatoires. Pour le modèle classique sur Z^d, nous étudions la convergence de l'environnement vu par la particule dans la région de faible désordre. Nous donnons des résultats très forts pour de très hautes valeurs de la température. Nous donnons ensuite un traitement complet de la fonction de partition pour un modèle de polymères dirigés en milieux aléatoires sur le réseau hiérarchique en diamant. Finalement, nous étudions l'énergie libre des polymères dirigés en milieux aléatoires sur Z^d dans des boites très asymétriques. Nous parvenons à prouver que, dans un régime approprié, elle coïncide avec l'énergie libre d'un modèle en temps continu dans un environnement Brownien. En dimension 1, la valeur exacte de cette énergie libre est connue. Nous étudions également des polymères dirigés en dimension 1 avec un drift qui tend vers l'infini. Nous donnons la valeur exacte de l'énergie libre et l'ordre des fluctuations de la fonction de partition.

Cette thèse porte sur l'étude de modèles de polymère en milieu aléatoire: on se concentre sur le cas d'un polymère dirigé en dimension d+1 qui interagit avec un défaut unidimensionnel. Les interactions sont possiblement non-homogènes, et sont représentées par des variables aléatoires. Une question importante est celle de l'influence du désordre sur le phénomène de localisation: on veut déterminer si la présence d'inhomogénéités modifie les propriétés critiques du système, et notamment les caractéristiques de la transition de phase (auquel cas le désodre est dit pertinent). En particulier, nous prouvons que dans le cas où le défaut est une marche aléatoire, le désordre est pertinent en dimension d≥3. Ensuite, nous étudions le modèle d'accrochage sur une ligne de défauts possédant des inhomogénéités corrélées spatialement. Il existe un critère non rigoureux (dû à Weinrib et Halperin), que l'on applique à notre modèle, et qui prédit si le désordre est pertinent ou non en fonction de l'exposant critique du système homogène, noté νpur, et de l'exposant de décroissance des corrélations. Si le désordre est gaussien et les corrélations sommables, nous montrons la validité du critère de Weinrib-Halperin: nous le prouvons dans la version hiérarchique du modèle, et aussi, de manière partielle, dans le cadre (standard) non-hiérarchique. Nous avons de plus obtenu un résultat surprenant: lorsque les corrélations sont suffisamment fortes, et en particulier si elles sont non-sommables (dans le cadre gaussien), il apparaît un régime où le désordre devient toujours pertinent, l'ordre de la transition de phase étant toujours plus grand que νpur. La prédiction de Weinrib-Halperin ne s'applique alors pas à notre modèle.