Academic literature on the topic 'Probabilità catene di Markov processi stocastici'

La probabilità è un concetto che insegna l’avvenire o meno degli eventi, o meglio delle situazioni d’incertezza. Per evitare di commettere errori è necessario stabilire delle regole, in modo logico e rigoroso ed è qui che la Matematica interviene con il Calcolo delle Probabilità. Possiamo definire il Calcolo delle Probabilità come la teoria matematica dell’incertezza. La teoria ci dice come si deve formulare un modello probabilistico in maniera corretta e che rappresenta un’astrazione della realtà e ne riporta solo alcuni aspetti che però devono condurre a risultati utili.

Le catene di Markov sono un particolare tipo di processo stocastico discreto dove la transizione allo stato successivo dipende esclusivamente dallo stato attuale, per questo motivo possono essere chiamate processo stocastico senza memoria. Questi processi portano il nome del matematico russo Andrej Andreevič Markov (Rjazan, 14 Giugno 1856 - San Pietroburgo, 20 Luglio 1922), e trovano applicazione in tanti campi: ad esempio in informatica o in statistica. In questa tesi si presentano in maniera sintetica i processi stocastici discreti in generale e, una volta fatte alcune ipotesi, li si utilizza per risolvere il 'problema della rovina del giocatore'; tale risoluzione richiederà l'uso delle equazioni alle differenze di cui sono riportati i risultati principali nel primo capitolo. In seguito si catalogano le catene di Markov finite come un particolare processo stocastico e sono presentati una serie di risultati generali. Nella parte finale del terzo capitolo si classificheranno le catene di Markov regolari per le quali si dimostra il Teorema di Markov che garantisce la convergenza della catena verso una distribuzione invariante. Questo risultato è di rilevanza notevole perché permette di stabilire con quale probabilità ci si troverà in ciascuno degli stati dopo un certo tempo. Nell'ultimo capitolo si presenta un ulteriore esempio di applicazione delle catene di Markov discutendo il 'paradosso dell'ispezione'; in questo caso le catene di Markov saranno utilizzate per determinare la legge di una variabile aleatoria che rappresenta la vita di un oggetto.

In questa trattazione si introduce il concetto di catena di Markov nascosta: una coppia di processi stocastici (X,O), dove X è una catena di Markov non osservabile direttamente e O è il processo stocastico delle osservazioni, dipendente istante per istante solo dallo stato corrente della catena X. In prima istanza si illustrano i metodi per la soluzione di tre problemi classici, dato un modello di Markov nascosto e una sequenza di segnali osservati: valutare la probabilità della osservazione nel modello, trovare la sequenza nascosta di stati più probabile e aggiornare il modello per rendere più probabile l'osservazione. In secondo luogo si applica il modello ai giochi stocastici, nel caso in cui solo uno dei giocatori non è a conoscenza del gioco in ogni turno, ma può cercare di ottenere informazioni utili osservando le mosse dell'avversario informato. In particolare si cercano strategie basate sul concetto di catena di Markov nascoste e si analizzano i risultati ottenuti per valutare l'efficienza dell'approccio.

Il testo contiene nozioni base di probabilità necessarie per introdurre i processi stocastici. Sono trattati infatti nel secondo capitolo i processi Gaussiani, di Markov e di Wiener, l'integrazione stocastica alla Ito, e le equazioni differenziali stocastiche. Nel terzo capitolo viene introdotto il rapporto tra la genetica e la matematica, dove si introduce l'evoluzione la selezione naturale, e altri fattori che portano al cambiamento di una popolazione; vengono anche formulate le leggi basilari per una modellizzazione dell’evoluzione fenotipica. Successivamente si entra più nel dettaglio, e si determina un modello stocastico per le mutazioni, cioè un modello che riesca ad approssimare gli effetti dei fattori di fluttuazione all'interno del processo evolutivo.