Academic literature on the topic 'Problèmes inverses (équations différentielles)'

Cette thèse est composée de deux parties. La première est consacrée à l'identification de paramètres à partir de mesures bruitées. On propose une formulation originale du problème qui contraint l'écart quadratique de la solution à la mesure à demeurer inférieur à un niveau de bruit toléré. La minimisation porte alors, sous cette contrainte et sous celle d'équilibre, sur un terme régularisant dont on discute le choix. D'une part, on introduit une norme classique pour reconstruire des paramètres réguliers. On obtient alors un résultat d'existence et des conditions d'optimalité à partir de l'expression du Lagrangien. Une discrétisation de type éléments finis est proposée et des tests numériques ainsi qu'une étude de l'erreur sont présentés. D'autre part, on utilise la variation totale pour identifier des coefficients discontinus. Au cours de l'étude théorique de l'approximation numérique, on souligne l'importance de la décomposition du domaine lorsque l'on approche des fonctions à variation bornée par des fonctions constantes par morceaux. Des tests numériques montrent une bonne localisation des discontinuités par la solution estimée. Dans la seconde partie, on s'intéresse à la résolution d'équations elliptiques comprenant des coefficients hétérogènes, sur des maillages raisonnables, non gouvernés par les variations géométriques des paramètres. En 1D, les problèmes d'homogénéisation de ce type peuvent être considérés comme des problèmes d'identification. Malheureusement en 2D ou 3D les résultats dépendent des conditions expérimentales. On présente ici une nouvelle méthode basée sur une formulation mixte primale-duale et qui consiste à imposer la continuité des flux le long des lignes de discontinuité du paramètre.

Les phénomènes de croissance et de fragmentation jouent un rôle central dans de nombreux phénomènes biologiques. La première partie de ce manuscript concerne un modèle de l'activité électrique d'un réseau de neurones. Il s'agit d'une équation de croissance-fragmentation non linéaire. Grâce à une technique introduite par B. Perthame et L. Ryzhik, dans un cas particulier, nous quantifions des régimes dans lequels cette équation se relaxe avec un taux exponentiel. La deuxième et la troisième parties traitent de problèmes inverses. Le premier concerne l'équation de croissance-fragmentation ayant un noyau auto-similaire et le second un modèle de transduction olfactive. Après régularisations adéquates, ces deux problèmes reviennent à inverser des opérateurs intégraux dont les noyaux ont une structure auto-similaire. Grâce à la transformée de Mellin des inégalités de continuité et controlabilité de l'opérateur intégral sont établies. à partir de données expérimentales, ces études permettent d'estimer des paramètres importants des équations pour lesquels aucune mesure expérimentale directe n'est possible. La quatrième partie traite d'un modèle probabiliste de sénescence réplicative d'une lignée aléatoire de levures. En se basant sur des données expérimentales et des simulations numériques, le signal de sénescence est identifié et quantifié, et les sources de l'hétérogénéité des tailles des télomères sont analysées. Le modèle permet de mener une analyse complète de l'évolution des tailles des télomères<br>Growth and fragmentation phenomena play a central role in several biological phenomena. The first part of this thesis introduces a model of the electrical activity of a neural network. The equation involved is a non-linear growth-fragmentation equation. Thanks to a technique introduced by B. Perthame and L. Ryzhik, in a particular case, we are able to quantify regimes in which the equation has an exponential relaxation. The second and third part of this thesis both deal with inverse problems. The first one involves a growth-fragmentation equation with a self-similar kernel and the second one is a model of olfactive transduction. After regularization steps, these two problems come down to invert some integral operators whose kernels have a self-similar structure. Thanks to the use of the Mellin transform, some continuity and controllability inequalities are established. Using experimental data, these studies make it possible to estimate important parameters of the equations for which no direct experimental measurements can be obtained. The fourth part deals with a probabilistic model of replicative senescence of a random yeast lineage. Based on experimental data and numerical simulations, the senescence signal is identified and quantified, and the different sources of heterogeneity in the lengths of the telomeres are analyzed. This model allows us to completely analyze the evolution of the lengths of the telomeres

Les travaux menés dans ce mémoire concernent essentiellement la commande des robots redondants dans l'espace opérationnel. Pour suivre une trajectoire opérationnelle désirée, nous avons utilise la loi de commande par découplage non linéaire qui permet d'améliorer les performances dynamiques du robot. Dans le cas des robots redondants nous avons proposé une nouvelle loi de commande appelée loi de commande mixte fondée sur une correction dans l'espace opérationnel (tache principale) et dans l'espace articulaire (tache secondaire). Nous avons proposé un algorithme complet pour résoudre le modèle géométrique inverse. Différentes méthodes ont été proposées pour résoudre les modèles cinématiques inverses du premier et du second ordres. Ces méthodes sont basées sur l'optimisation d'un critère (évitement des butées articulaires, augmentation de la manipulabilité). L’exploitation des résultats de ces méthodes pour calculer le couple a appliquer aux actionneurs a été également présentée. Pour l'évitement des obstacles, nous avons proposé de transformer le robot redondant avec ses butées et l'environnement avec ses obstacles en un robot avec des butées variables. Nous avons présenté un algorithme complet de traitement de carte de faisabilité qui permet de déterminer un seul profil articulaire. Les vitesses maximales admissibles par le robot ont été également prises en compte dans ce traitement. Sur une configuration singulière, nous avons développé une analyse complète pour déterminer si une trajectoire opérationnelle est faisable ou non selon les directions dégénérées. Dans le cas d'une trajectoire faisable, nous avons proposé une commande avec asservissement dans l'espace opérationnel qui permet au robot de quitter la singularité avec des commandes finies

Le principe de- régularisation permet de choisir une solution stable aux problèmes inverses mal posés, tels que la déconvolution. Le filtrage adaptatif est souvent un cas particulier de régularisation quadratique. II propose, au moyen de paramètres de régularisation, un compromis entre l'adéquation aux données et la stabilité de la solution. Après avoir montré la nécessité de leur régularisation, nous présentons de nouvelles méthodes de choix des paramètres de régularisation basées sur l'estimation de l'erreur de reconstruction, plus performantes que le critère de validation croisée généralisée lorsque le problème est très mal conditionné. Nous proposons des applicatoins de ces estimateurs lors de l'introduction des informations de support et de positivité. Une implémentation sur un hypercube de l'algorithme de FFT est étudiée, celle du Gradient Conjugué est abordée

L'objectif de notre travail est l'application de la méthode des sentinelles pour résoudre deux problèmes inverses. Il s'agit d'estimer les paramètres de deux modèles donnés, à partir de mesures effectuées sur les processus. Le cadre étant non linéaire, l'estimation des paramètres s'effectue de manière itérative à l'aide de la méthode des sentinelles tangentes. Le premier problème abordé concerne l'environnement dont les paramètres à estimer sont les coordonnées de la trajectoire d'une source de pollution dans une rivière. Le phénomène de pollution est modélisé par un système d'équations aux dérivées partielles. Le second problème étudié, entre dans un cadre médical où le but est d'estimer les paramètres cinétiques dans une réaction enzymatique. Le modèle considéré est un système d'équations différentielles. Nous montrons tout d'abord l'existence et l'unicité de la solution de ce système, ensuite, nous étudions la stabilité de la solution à l'aide de la fonction de Lyapounov. Sous certaines hypothèses, nous montrons l'identifiabilité globale des paramètres basée sur l'algèbre différentielle et sur le développement de Taylor. Nous donnons aussi une étude détaillée de la sensibilité de l'observation par rapport aux paramètres du modèle. Afin de vérifier l'efficacité de la méthode des sentinelles, nous la testons sur des données bruitées. Cette méthode est déficiente dès que le bruit sur les mesures devient important. Le problème inverse est dans ce cas mal posé dans le sens où une perturbation de la donnée entraîne une forte variation de la solution. Parmi les techniques employées pour mieux conditionner le problème, la technique de régularisation itérative de Gauss-Newton reste inefficace. Nous proposons alors une nouvelle approche de régularisation, appelée "méthode de régularisation itérative de Tikhonov". Des tests menés sur différents types d'expériences en pharmacocinétique, montrent que cette approche est robuste par rapport au bruit de mesure et permet une bonne identification des paramètres<br>The aim of our work is the application of the sentinels method to salve two inverse problems. It concerns the parameters estimation of two given models using measures undertaken on the process. The framework being nonlinear, the estimation of the parameters is performed in an iterative manner by the tangent sentinels method. The first problem concerns the environment for which the parameters to be estimated are the coordinates of the pollution source trajectory in a river. The pollution phenomenon is governed by a PDE's system. The second problem studied, deals with the medical framework. The aim is to estimate the kinetic parameters in the enzymatic reaction. The model considered here is a differential equations system. First, we show the existence and the uniqueness of the system solution. Then, we study the stability of the solution using the Lyapounov function. Assuming certain hypotheses, the global identifiability of parameters based on the differential algebra and Taylor development is shown. We also give a detailed study of the observation sensitivity with respect to the model parameters. Ln order to check the efficiency of this method, some tests were clone on noised data. This method becomes deficient as the noise on measures becomes important. Ln this case the inverse problem is ill-posed because a perturbation in the data will implies an important change in the solution. Among the techniques employed to improve the conditionement of the problem, the Gauss-Newton iterative regularization technique remains inefficient. Therefore, we propose a new approach of regularization, called "iterative regularized Tichonov method". Some tests were conducted on different types of experiences in pharmacokinetic. They show that this approach is robust with respect to noise measures and allows good parameters identification

L'objet de ce travail est l'etude de quelques problemes inverses en mecanique des milieux deformables a comportement non lineaire. Une structure, dont l'etat initial et la loi de comportement du materiau constitutif sont connus, subit un trajet de chargement inconnu l'amenant dans un etat final donne. Connaissant simultanement les deplacements et les efforts sur une partie de la frontiere dans cet etat final, il s'agit d'estimer les deformations plastiques dans la structure. Cette problematique est associee a un grand nombre de situations pratiques : controle non destructif de canalisations ayant subi un chargement accidentel, detection de defauts par sollicitation mecanique, deux strategies sont envisagees pour resoudre ce probleme. La premiere cherche a reconstruire le trajet de chargement ayant conduit la structure dans l'etat final d'observation. La seconde estime les deformations plastiques directement dans l'etat final. Les principaux outils theoriques utilises dans le cadre de ces deux strategies sont le controle optimal et les methodes de regularisation du probleme de cauchy en elasticite lineaire, en particulier la methode de quasi-reversibilite. Des exemples semi-analytiques et numeriques simples illustrent les deux strategies.

Nous presentons dans ce memoire une methode originale de resolution numerique des problemes inverses, pour l'identification de conditions aux limites sur les contours de systemes diffusifs de geometries complexes (2d,3d). La methode numerique utilisee est celle des elements de frontiere, qui apparait bien adaptee pour le traitement des problemes inverses en diffusion de la chaleur. On donne la formulation elements de frontiere correspondant a la resolution des problemes inverses en stationnaire et instationnaire dans les cas lineaire et non lineaire. On associe a cette methode de resolution des procedures de regularisation (a. Thikonov) ce qui permet de resoudre correctement le probleme mal pose. On donne les resultats d'une etude exhaustive sur un cas test bidimensionnel avec notamment une etude de la sensibilite au bruit de mesure. Les resultats obtenus par elements de frontiere sont compares a ceux obtenus par une methode de reference (j. V. Beck) basee sur le principe de superposition. On presente egalement les resultats d'une application experimentale consistant a estimer la repartition spatiale de densite de flux appliquee sur la face cachee d'un systeme a partir de mesures thermographiques infrarouges sur sa face visible en stationnaire ou transitoire

La thèse est consacrée à l'application d'algorithmes évolutionnaires pour la résolution de problèmes inverses c'est-à-dire d'identification de fonctions de r#n vers r#m pour lesquelles on ne dispose pas de valeurs. On rencontre ce type de situation lors de l'identification de lois de commande, de lois de comportement, de lois d'état. Cette thèse traite de deux exemples de telles situations : l'identification de la fonction isotherme en chromatographie, et la détermination de la commande pour un véhicule mobile. La question essentielle pour résoudre un tel problème est celle du choix de l'espace de recherche pour la fonction à identifier. Le choix d'une forme connue pour la fonction permet de se ramener à un problème d'optimisation paramétrique, éventuellement soluble par des méthodes d'optimisation classiques. Cependant, dans les autres cas, le problème d'optimisation obtenu doit être traité par des techniques d'optimisation non classiques comme les algorithmes évolutionnaires, méthodes d'optimisation stochastiques d'ordre 0 inspirées grossièrement de la théorie darwinienne les plus adapté survivent et se reproduisent. La principale représentation utilisée est celle des réseaux de neurones formels, vus comme outils d'approximation de fonctions de r#n dans r#m : un sous-ensemble de tels réseaux possède la propriété d'approcher toute fonction de l#2 avec une précision arbitraire. Les paramètres décrivant un réseau de neurones sont sa topologie et ses poids. Deux types de réseaux ont été considérés : les réseaux feed-forward et les réseaux récurrents (qui en sont un sur-ensemble). Un autre aspect de cette thèse réside dans la démonstration de l'adaptation d'une méthode de Newton et d'une méthode de continuation pour calculer le point fixe d'un réseau récurrent.