Academic literature on the topic 'Propriétés algébriques'

Résumé Dans plusieurs articles, A. R. Prince développe une représentation d’un plan projectif fini par un anneau commutatif unitaire dont les propriétés algébriques dépendent de la structure géométrique du plan. Dans un autre article, il étend cette représentation aux designs symétriques. Cependant D.-S. Yin fait remarquer que la multiplication définie dans ce cas ne peut être associative que si le design est un plan projectif. Dans cet article on mènera une étude de cette représentation dans le cas des designs symétriques. On y montrera comment on peut faire associer un anneau commutatif unitaire à tout design symétrique; on y précisera certaines de ses propriétés, en particulier, celles qui relèvent de son invariance. On caractérisera aussi les géométries projectives finies de dimension supérieure moyennant cette représentation.

Une conséquence de la classification des théories complètes d'algèbres de Boole par Tarski [5] est que la théorie élémentaire d'une algèbre de Boole A est déterminée par le type d'isomorphisme du treillis de ses idéaux définissables et, pour chacun de ces idéaux, par le nombre d'atomes du quotient de A par cet idéal lorsque ce nombre est fini. Une remarque analogue peut être faite à propos des cas particuliers d'algèbres de Boole munies d'un idéal distingué étudiés par Ershov [1] et par Jurie et Touraille [3]; dans to us ces cas, c'est la simplicité des treillis possibles qui permet la classification des théories complètes. Le résultat principal de cet article est que, dans le cas général d'une algèbre de Boole munie d'une famille quelconque d'idéaux distingués, la théorie d'un modèle peut encore être caractérisée grâce à une structure algébrique sur l'ensemble de ses idéaux définissables. Il s'agit d'une structure d'algèbre de Heyting munie d'une opération unaire sa définie par sa(K) = {a: a/K est sans atome}, et cette structure s'avère être engendrée par les idéaux distingués du modèle. La méthode utilisée est l'élimination directe des quantificateurs, par réductions successives des formules. Elle nécessite des propriétés algébriques et topologiques qui sont données aux §§1 et 2: on introduit au §1 la notion d'algèbre de Heyting étoilée, c'est-à-dire d'algèbre de Heyting munie d'une opération unaire * vérifiant des égalités qui permettent de rendre compte, d'une certaine façon, de la dérivation de Cantor-Bendixon; le §2 est consacré à des propriétés topologiques qui, dans le cas de l'espace de Stone d'une algèbre de Boole A, permettent d'éclaircir les relations possibles entre les atomes des quotients de A par des idéaux différents.

Résumé Dans cet article, on examine d'abord le concept de relation d'appartenance et sa signification théorique. Ensuite, on définit le concept de place et celui de réseau de places, dont on analyse les propriétés algébriques. Les réseaux de places apparaissent comme un instrument adéquat pour la description synchronique des structures sociales. Pour comprendre la dynamique qui génère et transforme les réseaux des places, on explore les processus de production des produits sociaux, ainsi que les conditions de la reproduction des systèmes de processus de production. Il apparaît que l'on peut comprendre ainsi, en plus des mécanismes qui génèrent les réseaux des places, les mécanismes qui produisent les sujets sociaux qui occupent ces places.

Dans cet article, on montre que les orbites sous Galois des invariants modulaires associés à des courbes elliptiques complexes sans multiplication complexe variant dans une même classe d'isogénie s'équidistribuent dans la courbe modulaire vers la probabilité hyperbolique. La démonstration repose sur des arguments de théorie ergodique, notamment le théorème de Ratner (cf. [A. Eskin et H. Oh, Ergodic theoretic proof of equidistribution of Hecke points, Ergodic Theory Dynam. Systems26(1) (2006) 163–167]), ainsi que sur le théorème de l'image ouverte de Serre [J.-P. Serre, Abelian l-Adic Representations and Elliptic Curves (W. A. Benjamin, New York, 1968); Propriétés Galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math.15(4) (1972) 259–331] dans le cas où les invariants modulaires considérés sont algébriques sur Q, et des résultats de G. Shimura dans le cas transcendant [Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Publications of the Mathematical Society of Japan (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994)]. In this article, it is shown that Galois orbits of invariants associated with non-CM and pairwise isogeneous complex elliptic curves equidistribute in the classical modular curve towards the hyperbolic probability measure. The proof is based on arguments from ergodic theory, especially Ratner's theorem on unipotent flows (cf. [A. Eskin and H. Oh, Ergodic theoretic proof of equidistribution of Hecke points, Ergodic Theory Dynam. Systems26(1) (2006) 163–167]), as well as on Serre's open image theorem [J.-P. Serre, Abelian l-Adic Representations and Elliptic Curves (W. A. Benjamin, New York, 1968); Propriétés Galoisiennes des points d'ordre fini des courbes elliptiques, Invent. Math.15(4) (1972) 259–331] in case of algebraic invariants, and on G. Shimura's work in the transcendant case [Introduction to the Arithmetic Theory of Automorphic Functions, Publications of the Mathematical Society of Japan (Princeton University Press, Princeton, NJ, 1994)].

À la suite de plusieurs recherches situées dans le courant de l’Early Algebra (Jacobs, Franke, Carpenter, Levi et Battey, 2007; Schifter, 1997; Squalli, 2002), ce texte propose d’interroger les potentialités de savoirs à enseigner et enseignés sur la multiplication à l’école primaire convoquant la propriété de distributivité, pour favoriser l’entrée dans une pensée algébrique. À travers une réflexion à caractère épistémologique et didactique, nous cherchons à caractériser les spécificités de ces savoirs en appui sur une étude de manuels et de discours de futurs enseignants de primaire. Il s’agit d’explorer ce qui peut ou pourrait rendre visible, voire généraliser, des connaissances et des savoirs numériques liés à la distributivité en amont de l’introduction du langage algébrique.