Academic literature on the topic 'Quantification semi-classique'

Witten, Reshetikhin et Turaev ont défini des invariants des variétés topologiques de dimension 3, dits "quantiques" qui s'étendent en une structure de TQFT, c'est-à-dire un foncteur monoïdal d'une catégorie de cobordismes vers la catégorie des espaces vectoriels complexes. Nous étudions ici leur asymptotique. Dans ce cadre, les courbes sur une surface induisent des endomorphismes des espaces de TQFT, appelés opérateurs courbes, qui sont l'un des objets centraux du mémoire. Tous ces invariants dépendant d'un paramètre entier r, on s'intéresse à leur comportement quand r tend vers l'infini. On s'aperçoit alors que les invariants quantiques sont liés à des objets plus géométriques, comme les espaces des modules des représentations dans SU2 du groupe fondamental d'une surface. La première partie de la thèse introduit la notion de TQFT et les invariants de Witten-Reshetikhin-Turaev, puis donne des rudiments de géométrie de l'espace des modules SU2 d'une surface et de quantification géométrique. La deuxième partie présente un résultat sur l'asymptotique des coefficients de matrices des opérateurs courbes en TQFT. A partir de calcul d'écheveau et d'un théorème de Bullock, on relie les deux premiers termes de leur développement aux fonctions traces associées aux multicourbes. Cette thèse aboutit dans la troisième partie à un résultat asymptotique pour les coefficients de matrices des représentations quantiques. Un modèle géométrique est proposé pour les espaces de TQFT associés aux surfaces, et il est montré que les opérateurs courbes s'identifient alors à des opérateurs de Toeplitz. Des méthodes standards d'analyse semi-classiques permettent d'en déduire le résultat
In this thesis we study the asymptotics of some invariants of 3-manifolds, known as "quantum invariants" which were defined by Witten, Reshetikhin and Turaev. These invariants are part of a TQFT structure, that is a monoidal functor for a category of cobordism to the category of complex vector spaces. In this setting, curves on surfaces induce endomorphisms of TQFT vector spaces, called curve operators, which are one of the main object in our study. All these invariants depend of an integer parameter r, and we are interested in their behavior when r tends to infinity. We can then see that quantum invariants are related to more geometric objects, like the moduli space of conjugacy classes of SU2 representations of the fundamental group of a surface. The thesis is divided in 3 parts: in the first one we introduce the notion of TQFT and the Witten-Reshetikhin-Turaev invariants, then we give basic properties of the SU2-moduli spaces and explain the general approach of geometric quantification. In the second one we present a result on the asymptotics of matrix coefficients of curve operators. Using skein calculus and a theorem of Bullock, we express the first two terms of their expansion in terms of trace functions on the SU2-moduli space associated to multicurves. The final part gives an asymptotic expansion of matrix coefficents of quantum representations. A geometric model for TQFT vector spaces is defined, and we show that curve operators can be seen as Toeplitz operators in this model. Standard tools of semi-classical analysis allow us to deduce the result from this

On étudie les résonances semi-excitées pour un Opérateur h-Pseudo-différentiel (h-PDO)H(x, hDx) sur L2(M) induites par une orbite périodique de type hyperbolique à l’énergie E = 0. Par exemple M = Rn et H(x, hDx; h) est l’opérateur de Schrödinger avec effet Stark, ouH(x, hDx; h) est le flot géodesique sur une variété axi-symétrique M, généralisant l’exemplede Poincaré de systèmes Lagrangiens à 2 degrés de liberté. On étend le formalisme de Gérard and Sjöstrand, au sens où on autorise des valeurs propres hyperboliques et elliptiques del’application de Poincaré, et où l’on considère des résonances dont la partie imaginaire est del’ordre de hs, pour 0 < s < 1.On établit une règle de quantification de type Bohr-Sommerfeld au premier ordre en fonction des nombres quantiques longitudinaux (réels) et transverses (complexes), incluantl’intégrale d’action le long de l’orbite, la 1-forme sous-principale, et l’indice de Conley-Zehnder
In this Thesis we consider semi-excited resonances for a h-Pseudo-Differential Operator (h-PDO for short) H(x, hDx; h) on L2(M) induced by a periodic orbit of hyperbolic type at energy E = 0, as arises when M = Rn and H(x, hDx; h) is Schrödinger operator withAC Stark effect, or H(x, hDx; h) is the geodesic flow on an axially symmetric manifold M,extending Poincaré example of Lagrangian systems with 2 degree of freedom. We generalizethe framework of Gérard and Sjöstrand, in the sense that we allow for hyperbolic and ellipticeigenvalues of Poincaré map, and look for (excited) resonances with imaginary part of magnitude hs, with 0 < s < 1,It is known that these resonances are given by the zeroes of a determinant associatedwith Poincaré map. We make here this result more precise, in providing a first order asymptoticsof Bohr-Sommerfeld quantization rule in terms of the (real) longitudinal and (complex)transverse quantum numbers, including the action integral, the sub-principal 1-form and Gelfand-Lidskii index

Cette thèse introduit une nouvelle méthode d'analyse de signaux, appelée SCSA, basée sur une quantification semi-classique. L'idée principale de la SCSA consiste à interpréter un signal en forme d'impulsions comme un puits de potentiel pour une particule semi-classique et à le représenter par les niveaux d'énergie discrets associés donnés par le spectre discret d'un opérateur de Schrödinger. La SCSA est une première étape vers une approximation par solitons (potentiels sans réflexion), qui définit une représentation parcimonieuse du signal, intéressante pour des applications en traitement du signal, par exemple la compression de données. Ce travail propose aussi un algorithme numérique pour l'estimation de signaux par la SCSA et présente les résultats de l'analyse des signaux de pression artérielle par cette méthode. En plus de la reconstruction satisfaisante de ces signaux, la SCSA introduit de nouveaux indices qui semblent véhiculer des informations physiologiques importantes.

This thesis introduces a new signal analysis method called SCSA, based on a semi-classical quantification. The main idea in the SCSA consists in interpreting a pulse-shaped signal as a potential well for a semi-classical particle and to represent this signal with the associated discrete energy levels given by the discrete spectrum of a Schrödinger operator. The SCSA is in fact a first step to an approximation by solitons (reflectionless potentials), which introduces a parsimonious representation of a signal, interesting in signal analysis applications for example for data compression. This work proposes also a numerical algorithm for signals estimation using the SCSA and presents the results obtained for the analysis of the arterial blood pressure with this method. More than a satisfactory estimation of the pressure signals, the SCSA introduces new indices that seem to contain important physiological information
Cette thèse introduit une nouvelle méthode d'analyse de signaux, appelée SCSA, basée sur une quantification semi-classique. L'idée principale de la SCSA consiste à interpréter un signal en forme d’impulsions comme un puits de potentiel pour une particule semi-classique et à le représenter par les niveaux d’énergie discrets associés donnés par le spectre discret d’un opérateur de Schrödinger. La SCSA est une première étape vers une approximation par solitons (potentiels sans réflexion), qui définit une représentation parcimonieuse du signal, intéressante pour des applications en traitement du signal, par exemple la compression de données. Ce travail propose aussi un algorithme numérique pour l’estimation de signaux par la SCSA et présente les résultats de l’analyse des signaux de pression artérielle par cette méthode. En plus de la reconstruction satisfaisante de ces signaux, la SCSA introduit de nouveaux indices qui semblent véhiculer des informations physiologiques importantes

Dans cette thèse, nous étudions les opérateurs de Berezin-Toeplitz sur les variétés kähleriennes et leur généralisation aux variétés symplectiques compactes. Le premier chapitre porte sur l'intégrale de Feynman : nous exprimons le noyau du propagateur quantique à l'aide d'une intégrale de Wiener en fonction de l'action classique. Dans le second chapitre, nous proposons un ansatz pour le noyau des opérateurs de Berezin-Toeplitz, grâce auquel on donne une preuve directe des résultats connus sur ces opérateurs et l'on décrit le calcul des symboles covariants et contravariants en fonction de la métrique kählerienne. Ceci mène à la définition de plusieurs star-produits sur les variétés kähleriennes par une formule universelle. Dans le troisième chapitre, nous généralisons l'ansatz précédent afin de quantifier les sous-variétés lagrangiennes des variétés kähleriennes. Nous appliquons ceci de diverses manières : construction de quasi-modes, énoncé des conditions de Bohr-Sommerfeld, quantification des symplectomorphismes, réalisation d'équivalence microlocale. En comparaison avec la théorie des opérateurs pseudodifférentiels, les invariants de la géométrie des cotangents sont remplacés par des invariants de la géométrie kählerienne. Dans le dernier chapitre, nous entreprenons la généralisation des résultats précédents aux variétés symplectiques compactes, notamment nous quantifions les sous-variétés lagrangiennes et décrivons le calcul symbolique des opérateurs de Berezin-Toeplitz.

Dans cette thèse l'intégrabilité dans AdS/CFT est passée en revue. La technique de l'ansatz de Bethe est presentée et les équations de Bethe à toutes les boucles sont discutées. Du coté de la théorie des cordes, la méthode classique des bandes-finies est revisitée et une attention particulière est accordée à la quantification semi-classique de la supercorde. Les méthodes basées sur la courbe algébrique sont très générales et fournissent des contraintes fortes sur les équations quantiques. De telles contraintes sont explorées en detail pour la dualité AdS5/CFT4 bien qu'elles soient générales et valables, entre autres, pour le système AdS4/CFT3. Ces techniques permettent aussi d'étudier le système au delà de la limite de volume infini quand l'ansatz de Bethe asymptotique n'est plus valable
In this thesis Integrability in AdS/CFT is reviewed. Bethe ansatz techniques are presented and the all loop Bethe equations are discussed. From the string side of the correspondence, the classical finite-gap method is revisited and special emphasis is given to the super-string semi-classical quantization. The algebraic curve methods are quite general and provide very important constraints on the full quantum equations. The formalism is extremely versatile and can be applied to the AdS5/CFT4 duality the most studied case in this work -- as well as to other integrable systems like e. G. The AdS4/CFT3 correspondence. Furthermore, these techniques yield valuable information about the spectrum of finite charge states when the asymptotic Bethe ansatz is no longer valid

On s'intéresse à la théorie spectrale d'opérateurs semi-classiques non auto-adjoints en dimension un et plus précisément aux développements asymptotiques des valeurs propres. Ces derniers font intervenir des objets géométriques issus de la mécanique classique dans l'espace des phases complexifié et correspondent à une généralisation des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld au cadre non auto-adjoint. Plus précisément, dans un premier temps, on étudie le spectre de perturbations non auto-adjointes d'opérateurs pseudo-différentiels auto-adjoints en dimension un à l'aide de techniques d'analyse microlocale analytique et en corollaire, on établit que pour des perturbations PT-symétriques d'opérateurs auto-adjoints, le spectre est réel. Ensuite, on présente des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld pour des perturbations non auto-adjointes d'opérateurs de Berezin-Toeplitz du plan complexe auto-adjoints. Dans un second temps, on s'intéresse aux différentes quantifications du tore et plus précisément à la quantification de Berezin-Toeplitz du tore, à la quantification de Weyl classique du tore et à la quantification de Weyl complexe du tore. On établit des liens entre ces différentes quantifications notamment grâce à la transformée de Bargmann, puis à l'aide de simulations numériques, on met en évidence une conjecture sur des conditions de quantification de Bohr-Sommerfeld pour des perturbations non auto-adjointes d'opérateurs de Berezin-Toeplitz du tore auto-adjoints
We interest ourselves in the spectral theory of non self-adjoint semi-classical operators in dimension one and in asymptotic expansions of eigenvalues. These expansions are written in terms of geometrical objects in a complex phase space coming from classical mechanics and correspond to a generalization of Bohr-Sommerfeld quantization conditions in the non self-adjoint case. First, we study non self-adjoint perturbations of self-adjoint pseudo-differential operators in dimension one by using techniques of analytic microlocal analysis. As a corollary, we establish for PT-symmetric perturbations of self-adjoint operators, that the spectrum is real. Then we show Bohr-Sommerfeld quantization conditions for non self-adjoint perturbations of self-adjoint Berezin-Toeplitz operators of the complex plane. In the second part, we look into quantizations of the torus, namely the Berezin-Toeplitz, the classical Weyl and the complex Weyl quantizations of the torus. We establish links between these different quantizations using Bargmann transform. We propose a conjecture, supported by numerical simulations, on Bohr-Sommerfeld quantization conditions for non self-adjoint perturbations of self-adjoint Berezin-Toeplitz operators of the torus

Dans cette thèse, nous étudions certains aspects de la limite semi-classique en géométrie complexe. Soit M une variété complexe munie d'un fibré en droites holomorphe L et d'un fibré complexe E. Nous donnons les propriétés asymptotiques d'objets associés aux grandes puissances tensorielles de L tordues par E. Dans le premier chapitre, M est compacte, L positif et E pas nécessairement holomorphe. Nous montrons l'annulation des 2j premiers termes du développement asymptotique diagonal du noyau de Bergman restreint aux (0,2j)-formes puis nous donnons une formule locale pour les coefficients dominants. Dans le deuxième chapitre, M est compacte, E holomorphe et un groupe de Lie compact connexe agit sur M, L et E de façon compatible. Nous établissons des inégalités de Morse holomorphes analogues à celles de Demailly pour la partie invariante de la cohomologie de Dolbeault. Pour cela, nous définissons, sous une hypothèse naturelle, la réduction de M et nous donnons nos inégalités en termes de la courbure du fibré induit par L sur cette réduction. Dans le troisième chapitre, E est holomorphe et M est l'espace total d'une fibration holomorphe de fibre compacte. On peut alors définir les formes de torsion analytique holomorphe associées à cette fibration et aux puissances de L tordues par E. Nous donnons d'abord une formule asymptotique pour ces formes, que nous généralisons ensuite dans le cas où les puissances de L sont remplacées par l'image directe des puissances d'un fibré en droites sur une variété plus grosse. Dans les deux cas, nous devons faire des hypothèses de positivité sur le fibré en droites. Ces résultats sont les versions en famille des résultats de Bismut-Vasserot
In this thesis, we study some aspects of the semi-classical lirait in complex geometry. Let M be a complex manifold, endowed with a holomorphic line bundle L and a complex bundle E. We give here the asymptotic properties of several objects associated with the high tensor powers of L, twisted by E. In the first chapter, M is compact, L positive and E non necessarily holomorphic. We prove the cancellation of the first 2j terms in the diagonal asymptotic expansion of the restriction to the (0, 2j)-forms of the Bergman kernel. Then, we give a local formula for the leading coefficients. In the second chapter, M is compact, E holomorphic and a connected compact Lie group acts on M, L and E in a compatible way. We establish asymptotic holomorphic Morse inequalities à la Demailly for the invariant part of the Dolbeault cohomology. To do so, we define the reduction of M under natural hypothesis and give our inequalities in terms of the curvature of the bundle induced by L on this reduction. In the third chapter, E is holomorphic and Mis the total space of a holomorphic fibration with compact fibers. We can then define the holomorphic analytic torsion forms associated with this fibration and the tensor powers of L, twisted by E. We first give an asymptotic formula for these forms. Secondly, we generalize this formula in the case where the powers of L are replaced by the direct image of powers of a line bundle on a bigger manifold. In both cases we have to make positivity assumptions on the line bundle. These results are the family versions of the results of Bismut-Vasserot

Ce travail porte sur l'etude des interactions entre deux atomes ultra froids. Pour cela nous utilisons le lien entre la longueur de diffusion (parametre critique de la condensation de bose-einstein) et le dephasage asymptotique induit par le potentiel interatomique. Nous etablissons une expression asymptotique de la fonction d'onde dans le formalisme phase-amplitude, qui permet de prolonger analytiquement l'approximation semi-classique dans la zone energetique du seuil quantique. Nous montrons qu'il est possible d'utiliser cette expression avec des potentiels modeles pour la simulation numerique d'une experience de photoassociation grace a l'approximation de la reflexion et nous testons la validite de cette approximation qui se revele excellente dans de nombreux cas. Nous avons d'autre part etendu la notion de seuil quantique aux niveaux vibrationnels de tres faible energie de liaison. En effet, comme pour les etats du continuum, ils apparaissent dans un domaine energetique caracterise par une limitation de la validite de l'approximation semi-classique. Grace a un code de calcul que nous avons developpe pour determiner precisement la position energetique de ces niveaux, nous montrons que la condition de quantification wkb doit etre corrigee par un terme de phase supplementaire dans cette zone energetique. Nous decrivons ensuite analytiquement ce terme dans le cas d'etats lies extremement proches de la limite de dissociation. L'ensemble de ces resultats a demande un gros travail de programmation numerique pour le calcul des fonctions d'onde dans des domaines inhabituels en physique moleculaire (tres basses energies, tres grandes distances internucleaire). Enfin, dans le cadre des reseaux optiques, nous etudions l'interaction entre deux atomes en presence d'un champ laser. L'anisotropie de cette interaction est mise en evidence. Le resultat le plus important est que la presence simultanee des deux atomes dans un meme micro-piege detruit l'effet de piegeage.

Dans cette thèse, nous prouvons des résultats de théorie spectrale, directe et inverse, dans la limite semi-classique, pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces. Pour les opérateurs pseudo-différentiels, les résultats en question sont déjà connus, et il est naturel de vouloir les étendre aux opérateurs de Toeplitz. Les conditions de Bohr-Sommerfeld usuelles, qui caractérisent les valeurs propres proches d'une valeur régulière du symbole principal, ont été obtenues il y a quelques années seulement pour les opérateurs de Toeplitz. Notre contribution consiste en l'extension de ces conditions près de valeurs critiques non dégénérées. Nous traitons le cas d'une valeur critique elliptique à l'aide d'une technique de forme normale ; l'opérateur modèle est la réalisation de l'oscillateur harmonique sur l'espace de Bargmann, dont le spectre est bien connu. Dans le cas d'une valeur critique hyperbolique, la forme normale ne suffit plus et nous complétons l'étude en faisant appel à des arguments dus à Colin de Verdière et Parisse, à qui l'on doit le résultat analogue dans le cas pseudo-différentiel. Enfin, nous établissons un résultat de théorie spectrale inverse pour les opérateurs de Toeplitz autoadjoints sur les surfaces ; plus précisément, nous montrons que sous certaines hypothèses génériques, la connaissance du spectre à l'ordre deux dans la limite semi-classique permet de retrouver le symbole principal à symplectomorphisme près. Ce résultat s'appuie en grande partie sur l'écriture des règles de Bohr-Sommerfeld.