Dissertations / Theses on the topic 'Regularity properties'

This thesis consists of four papers which are all related to the regularity properties of free boundary problems. The problems considered have in common that they have some sort of two-phase behaviour.In papers I-III we study the interior regularity of different two-phase free boundary problems. Paper I is mainly concerned with the regularity properties of the free boundary, while in papers II and III we devote our study to the regularity of the function, but as a by-product we obtain some partial regularity of the free boundary.The problem considered in paper IV has a somewhat different nature. Here we are interested in certain approximations of the obstacle problem. Two major differences are that we study regularity properties close to the fixed boundary and that the problem converges to a one-phase free boundary problem.
QC 20100728

Regularity properties lie at the core of variational analysis because of their importance for stability analysis of optimization and variational problems, constraint qualications, qualication conditions in coderivative and subdierential calculus and convergence analysis of numerical algorithms. The thesis is devoted to investigation of several research questions related to regularity properties in variational analysis and their applications in convergence analysis and optimization. Following the works by Kruger, we examine several useful regularity properties of collections of sets in both linear and Holder-type settings and establish their characterizations and relationships to regularity properties of set-valued mappings. Following the recent publications by Lewis, Luke, Malick (2009), Drusvyatskiy, Ioe, Lewis (2014) and some others, we study application of the uniform regularity and related properties of collections of sets to alternating projections for solving nonconvex feasibility problems and compare existing results on this topic. Motivated by Ioe (2000) and his subsequent publications, we use the classical iteration scheme going back to Banach, Schauder, Lyusternik and Graves to establish criteria for regularity properties of set-valued mappings and compare this approach with the one based on the Ekeland variational principle. Finally, following the recent works by Khanh et al. on stability analysis for optimization related problems, we investigate calmness of set-valued solution mappings of variational problems.
Doctor of Philosophy

Dans cette thèse on aborde deux problèmes. Dans la première partie on considère des diffusions hypoelliptiques, à la fois sur une condition d'Hormander forte et faible. On trouve des estimations gaussiennes pour la densité de la loi de la solution à un temps court fixé. Un outil fondamental pour prouver ces estimations est le calcul de Malliavin, et en particulier on utilise des techniques développées récemment pour faire face à des problèmes de dégénérescence. Ensuite, grâce à ces estimations en temps court, on trouve des bornes inférieures et supérieures exponentielles sur la probabilité que la diffusion reste dans un petit tube autour d'une trajectoire déterministe jusqu'à un moment fixé. Dans ce cadre hypoelliptique, la forme du tube doit tenir compte du fait que la diffusion se déplace avec une vitesse différente dans les directions du coefficient de diffusion et dans les directions des crochets de Lie. Pour cette raison, on introduit une norme qui prend en compte ce comportement anisotrope, qui peut être adaptée aux cas d'Hormander fort et faible. Dans le cas Hormander fort on établit un lien entre cette norme et la distance de contrôle classique. Dans le cas Hormander faible on introduit une distance de contrôle équivalente appropriée. Dans la deuxième partie de la thèse, on travaille avec des modèles à volatilité stochastique avec retour à la moyenne, oú la volatilité est dirigée par un processus de saut. On suppose d'abord que les sauts suivent un processus de Poisson, et on considère la décroissance des corrélations croisées, théoriquement et empiriquement. Ceci nous amène à étudier un algorithme pour la détection de sauts de la volatilité. On considère ensuite un phénomène plus subtil largement observé dans les indices financiers: le "multiscaling" des moments, c'est-à-dire le fait que les moments d'ordre q des log-incréments du prix sur un temps h, ont une amplitude d'ordre h à une certaine puissance, qui est non linéaire dans q. On travaille avec des modèles oú la volatilité suit une EDS avec retour à la moyenne dirigée par un subordinateur de Lévy. On montre que le multiscaling se produit si la mesure caractéristique du Lévy a des queues de loi de puissance et le retour à la moyenne est superlinéaire à l'infini. Dans ce cas l'exposant de scaling est linéaire par morceaux
In this thesis we address two problems. In the first part we consider hypoelliptic diffusions, under both strong and weak Hormander condition. We find Gaussian estimates for the density of the law of the solution at a fixed, short time. A main tool to prove these estimates is Malliavin Calculus, in particular some techniques recently developed to deal with degenerate problems. We then use these short-time estimates to show exponential two-sided bounds for the probability that the diffusion remains in a small tube around a deterministic path up to a given time. In our hypoelliptic framework, the shape of the tube must reflect the fact the diffusion moves with a different speed in the direction of the diffusion coefficient and in the direction of the Lie brackets. For this reason we introduce a norm accounting of this anisotropic behavior, which can be adapted to both the strong and weak Hormander framework. We establish a connection between this norm and the standard control distance in the strong Hormander case. In the weak Hormander case, we introduce a suitable equivalent control distance. In the second part of the thesis we work with mean reverting stochastic volatility models, with a volatility driven by a jump process. We first suppose that the jumps follow a Poisson process, and consider the decay of cross asset correlations, both theoretically and empirically. This leads us to study an algorithm for the detection of jumps in the volatility profile. We then consider a more subtle phenomenon widely observed in financial indices: the multiscaling of moments, i.e. the fact that the q-moment of the log-increment of the price on a time lag of length h scales as h to a certain power of q, which is non-linear in q. We work with models where the volatility follows a mean reverting SDE driven by a Lévy subordinator. We show that multiscaling occurs if the characteristic measure of the Lévy has power law tails and the mean reversion is super-linear at infinity. In this case the scaling function is piecewise linear

With the given information that dendrimers have precisely controlled their sizes and spherical structures in the molecular level, the aim of this study is to show that dendrimer particles can become ordered into a self-assembled regular structure due to the nature of their regular sizes and shapes. For this project, melamine based generation 3 dendrimer was used for solution cast of thin films from the dendrimer-chloroform solutions with different casting conditions, i.e. various solution concentrations, casting temperatures, and substrates. As a result of these experiments, unique phenomena of highly ordered uniform 2-D contraction separations were observed during the solvent evaporation from the dendrimer films. The cast films from the concentration of 0.8 wt% and higher exhibit regular 2-D separation contraction patterns and make well-developed regularly arrayed structures due to the interaction between the contraction stresses and adhesion strength between films and substrates. From the DSC tests, both powder and cast film samples of a dendrimer show similar melting behaviors with different areas under the melting peaks. The results of these tests show that dendrimers, when they are in a descent environment that provides dendrimers with molecular mobility due to surface ionic bonding strength, can make a structural order and regularity in their macroscopic structures.

We look at the algebraic properties of Gevrey, analytic and ultraanalytic function spaces, namely their closure under composition, division and inversion. We show that both Gevrey and ultra-analytic spaces, G s with 1 ≤ s < ∞ and 0 < s < 1 respectively, form algebras. Closure under composition, division and inversion is shown to hold for the Gevrey case. For the ultra-analytic case we show it is not closed under composition. We also show that if a function is in G s , with 0 < s < 1 on a compact set, then it is in G s everywhere.

We prove that a smooth generic embedded CR submanifold of C^n obeys the maximum principle for continuous CR functions if and only if it is weakly 1-concave. The proof of the maximum principle in the original manuscript has later been generalized to embedded weakly q-concave CR submanifolds of certain complex manifolds. We give a generalization of a known result regarding automatic smoothness of solutions to the homogeneous problem for the tangential CR vector fields given local holomorphic extension. This generalization ensures that a given locally integrable structure is hypocomplex at the origin if and only if it does not allow solutions near the origin which cannot be represented by a smooth function near the origin. We give a sufficient condition under which it holds true that if a smooth CR function f on a smooth generic embedded CR submanifold, M, of C^n, vanishes to infinite order along a C^infty-smooth curve  \gamma in M, then f vanishes on an M-neighborhood of \gamma. We prove a local maximum principle for certain locally integrable structures.

Funding  by FMB, based at Uppsala University.

Dans la première partie de ma thèse, en adaptant l’idée de Jien et Ma (2010), l’objectif principal est étudier les équations différentielles doublement stochastiques rétrogrades, semi-linéaires ou nonlinéaires, régies par un mouvement brownien standard et un mouvement brownien fractionnaire indépendant, ainsi que les équations différentielles partielles stochastiques associées régies par le mouvement brownien fractionnaire. Pour le cas semi-linéaire, dans un papier en collaboration avec Jorge A. Leόn (CINVESTAV, Mexique), nous utilisons le calcul de Malliavin dans le cadre du mouvement brownien fractionnaire et la transformation de Girsanov anticipative. Pour le cas nonlinéaire, nous appliquons la transformation de Doss-Sussmann. Dans la deuxième partie nous étudions la régularité, à savoir la continuité de Lipschitz conjointe et la semiconcavité conjointe, de la solution de viscosité pour une classe générale d’équations aux dérivées partielles-intégrales non locales de type Hamilton-Jacobi-Bellman. Pour cette fin nous employons l’interprétation stochastique par une équation différentielle stochastique rétrograde contrôlée avec sauts, en appliquant du changement de temps pour le mouvement brownien et la transformation de Kulik pour la mesure aléatoire de Poisson. Notre travail est une généralisation des travaux de Buckdahn, Cannarsa et Quincampoix (2010) et Buckdahn, Huang et Li (2011)
In the first part of my thesis, by adapting the idea of Jien and Ma (2010), the main objective is to study the (semilinear or linear) doubly stochastic differential equations driven by a standard Brownian motion and an independent fractional Brownian motion, as well as the associated stochastic partial differential equations driven by the fractional Brownian motion. For the semilinear case, which is composed by a paper in collaboration with Jorge A. Leόn (CINVESTAV, Mexico), we use the Malliavin calculus in the frame of fractional Brownian motion and the anticipative Girsanov transformation. For the nonlinear case, we apply the Doss-Sussmann transformation. In the second part we study the regularity properties, i. E. , the joint Lipschitz continuity and the joint semiconcavity, of the viscosity solution of a general class of non local integro-partial differential equations of the type of Hamilton Jacobi-Bellman. For this end we employ the stochastic interpretation by a controlled backward stochastic differential equation with jumps, by applying the time change for the Brownian motion and Kulik’s transformation for the Poisson random measure. Our work is the generalization of the works by Buckdahn, Cannarsa and Quincampoix (2010) as well as Buckdahn, Huang and Li (2011)

CoordenaÃÃo de AperfeÃoamento de Pessoal de NÃvel Superior
Conselho Nacional de Desenvolvimento CientÃfico e TecnolÃgico
In this work we establish local regularity estimates for at solutions to non-convex fully nonlinear elliptic equations and we study cavitation type equations modeled within coef- icients bounded and measurable.
Neste trabalho estabelecemos estimativas de regularidade local para soluÃÃes "flat" de equaÃÃes elÃpticas totalmente nÃo-lineares nÃo-convexas e estudamos equations do tipo cavidade com coeficientes meramente mensurÃveis.

Багато різних процесів природи підкоряються однаковим закономірностям. Одні з них задає числовий ряд Фібоначчі, який ще в XIII ст. помітив італійський математик Леонардо Пізанський (більш відомий як Фібоначчі).

Le manuscrit est constitué de deux parties indépendantes.Propriétés des Solutions de Viscosité des Equations Integro-Différentielles.Nous considérons des équations intégro-différentielles elliptiques et paraboliques non-linéaires (EID), où les termes non-locaux sont associés à des processus de Lévy. Ce travail est motivé par l'étude du Comportement en temps long des solutions de viscosité des EID, dans le cas périodique. Le résultat classique nous dit que la solution u(¢, t ) du problème de Dirichlet pour EID se comporte comme ?t Åv(x)Åo(1) quand t !1, où v est la solution du problème ergodique stationaire qui correspond à une unique constante ergodique ?.En général, l'étude du comportement asymptotique est basé sur deux arguments: la régularité de solutions et le principe de maximumfort.Dans un premier temps, nous étudions le Principe de Maximum Fort pour les solutions de viscosité semicontinues des équations intégro-différentielles non-linéaires. Nous l'utilisons ensuite pour déduire un résultat de comparaison fort entre sous et sur-solutions des équations intégro-différentielles, qui va assurer l'unicité des solutions du problème ergodique à une constante additive près. De plus, pour des équationssuper-quadratiques le principe de maximum fort et en conséquence le comportement en temps grand exige la régularité Lipschitzienne.Dans une deuxième partie, nous établissons de nouvelles estimations Hölderiennes et Lipschitziennes pour les solutions de viscosité d'une large classe d'équations intégro-différentielles non-linéaires, par la méthode classique de Ishii-Lions. Les résultats de régularité aident de plus à la résolution du problème ergodique et sont utilisés pour fournir existence des solutions périodiques des EID.Nos résultats s'appliquent à une nouvelle classe d'équations non-locales que nous appelons équations intégro-différentielles mixtes. Ces équations sont particulièrement intéressantes, car elles sont dégénérées à la fois dans le terme local et non-local, mais leur comportement global est conduit par l'interaction locale - non-locale, par exemple la diffusion fractionnaire peut donner l'ellipticité dans une direction et la diffusion classique dans la direction orthogonale.Visualisation et Restauration d'Images par Mouvements de CourbureLe rôle de la courbure dans la perception visuelle remonte à 1954, et on le doit à Attneave. Des arguments neurologiques expliquent que le cerveau humain ne pourrait pas possiblement utiliser toutes les informations fournies par des états de simulation. Mais en réalité on enregistre des régions où la couleur change brusquement (des contours) et en outre les angles et les extremas de courbure. Pourtant, un calcul direct de courbures sur une image est impossible. Nous montrons comment les courbures peuvent être précisément évaluées, à résolution sous-pixelique par un calcul sur les lignes de niveau après leur lissage indépendant.Pour cela, nous construisons un algorithme que nous appelons Level Lines (Affine) Shortening, simulant une évolution sous-pixelique d'une image par mouvement de courbure moyenne ou affine. Aussi bien dans le cadre analytique que numérique, LLS (respectivement LLAS) extrait toutes les lignes de niveau d'une image, lisse indépendamment et simultanément toutes ces lignes de niveau par Curve Shortening(CS) (respectivement Affine Shortening (AS)) et reconstruit une nouvelle image. Nousmontrons que LL(A)S calcule explicitement une solution de viscosité pour le le Mouvement de Courbure Moyenne (respectivement Mouvement par Courbure Affine), ce qui donne une équivalence avec le mouvement géométrique.Basé sur le raccourcissement de lignes de niveau simultané, nous fournissons un outil de visualisation précis des courbures d'une image, que nous appelons un Microscope de Courbure d'Image. En tant que application, nous donnons quelques exemples explicatifs de visualisation et restauration d'image : du bruit, des artefacts JPEG, de l'aliasing seront atténués par un mouvement de courbure sous-pixelique

We consider tail empirical processes for long memory stochastic volatility models with heavy tails and leverage. We show a dichotomous behaviour for the tail empirical process with fixed levels, according to the interplay between the long memory parameter and the tail index; leverage does not play a role. On the other hand, the tail empirical process with random levels is not affected by either long memory or leverage. The tail empirical process with random levels is used to construct a family of estimators of the tail index, including the famous Hill estimator and harmonic moment estimators. The limiting behaviour of these estimators is not affected by either long memory or leverage. Furthermore, we consider estimators of risk measures such as Value-at-Risk and Expected Shortfall. In these cases, the limiting behaviour is affected by long memory, but it is not affected by leverage. The theoretical results are illustrated by simulation studies.

La régularité de Castelnuovo-Mumford est l'un des principaux invariants numériques permettant de mesurer la complexité de la structure des modules gradués de type fini sur des anneaux polynomiaux. Il mesure le degré maximal des générateurs des modules de syzygies. Dans cette thèse, nous étudions la régularité de Castelnuovo-Mumford avec différents points de vue et, dans certaines parties, nous nous concentrons principalement sur les syzygies linéaires. Dans le chapitre 2, nous étudions la régularité des homologies de Koszul et des cycles de Koszul de quotients unidimensionnels. Dans le chapitre 3, nous étudions les propriétés de Lefschetz faibles et fortes d'une classe d'idéaux monomiaux artiniens. Nous donnons, dans certains cas, une réponse affirmative à une conjecture d'Eisenbud, Huneke et Ulrich. Dans les chapitres 4 et 5, nous étudions deux comportements asymptotiques différents de la régularité de Castelnuovo-Mumford. Dans le chapitre 4, nous travaillons sur un quotient d'une algèbre noethérienne standard par suite régulière homogène. Au chapitre 5, nous étudions la régularité des puissances des idéaux monomiaux associés aux graphes en haltère. Dans le chapitre 6, nous travaillons sur des espaces projectifs. Au début de ce chapitre, nous présentons un package pour le logiciel informatique Macaulay2. De plus, nous étudions les cohomologies des "intersections complètes" dans Pnx Pm
Castelnuovo-Mumford regularity is one of the main numerical invariants that measure the complexity of the structure of homogeneous finitely generated modules over polynomial rings. It measures the maximum degrees of generators of the syzygies. In this thesis we study the Castelnuovo-Mumford regularity with different points of view and, in some parts, we mainly focus on linear syzygies. In Chapter 2 we study the regularity of Koszul homologies and Koszul cycles of one dimensional quotients. In Chapter 3 we study the weak and strong Lefschetz properties of a class of artinain monomial ideals. We show how the structure of the minimal free resolution could force weak or strong Lefschetz properties. In Chapter 4 and 5we study two different asymptotic behavior of Castelnuovo-Mumford regularity. In Chapter 4 we work on a quotient of a standard graded Noetherian algebra by homogeneous regular sequence. It is a celebrated result that the regularity of powers of an ideal in a polynomial ring becomes a linear function. In Chapter 5, we study the regularity of powers of dumbbell graphs. In Chapter 6, we work on product of projective spaces. In the begining of this chapter, we present a package for the computer software Macaulay2. Furthermore, we study the cohomologies of the “complete intersections'' in Pn x Pm

Dissertação de Mestrado em Matemática, área de Especialização em Matemática Pura, apresentada à Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade de Coimbra.
The theory of degenerate/singular nonlinear partial differential equations has gained a great importance over the last decades. In this work, we study a famous equation with these characteristics, the porous medium equation, ut - Δum = 0. m > 1. (PME) We study regularity results for this equation, more especifically we prove the Hölder continuity of nonnegative weak solutions. Our main goal is to describe the method used to achieve this result, the intrinsic scaling method. This method can be used for a great number of degenerate and singular equations, which makes it a strong tool in this area.
A teoria das equações com derivadas parciais degeneradas/singulares ganhou uma grande importância ao longo das últimas décadas. Neste trabalho, estudamos uma famosa equação com estas características, a equação dos meios porosos, ut - Δum = 0. m > 1. (PME) Estudamos resultados de regularidade para esta equação, mais concretamente, provamos a continuidade à Hölder das suas soluções fracas não negativas. O principal objetivo deste trabalho é descrever o método usado para obter este resultado. Este método pode ser usado para tratar um vasto número de equações degeneradas e singulares, o que faz dele uma ferramenta essencial nesta área.