Academic literature on the topic 'Représentations de groupes de Lie'

Nous nous intéressons à un cas particulier d'homomorphismes maximaux depuis un groupe de surface dans un groupe de Lie Hermitien de type tube, que nous appelons maximaux entiers.Dans la première partie, nous étudions le cas où le groupe de Lie est localement isomorphe au groupe des isométries directes du plan hyperbolique. Dans ce cas, les homomorphismes maximaux entiers induisent une hyperbolisation de la surface de départ et nous les relions avec les surfaces de Riemann spinorielles, c'est-à-dire les surfaces de Riemann équipées d'un fibré en droite dont une certaine puissance tensorielle est isomorphe au produit tensoriel du fibré canonique et d'un diviseur donné. Si notre surface est fermée, nous associons un entier modulo un autre entier fixé à chaque géodésique, son nombre de translation. Nous comptons asymptotiquement le nombre de géodésiques plus petites qu'une longueur donnée et de nombre de translation donné.Dans la deuxième partie, nous nous intéressons au cas d'un groupe de Lie Hermitien de type tube quelconque. Nous lui associons un certain revêtement fini et dans ce dernier, nommons les représentations : représentationsspinorielles. Nous montrons alors que l'espace des représentations maximales entières spinorielles s'identifie au produit cartésiende l'espace des représentations maximales entières dans le groupe de Lie initial et d'un sous espace explicite de l'ensemble des homomorphismes du premier groupe d’homologie à coefficients entiers du fibré unitaire tangent de notre surface de départ dans un groupe cyclique fini. L’homéomorphisme construit entre ces deux espaces est de plus équivariant sous l’action du groupe modulaire. Nous sommes donc amenés à expliciter l’action du groupe modulaire sur l’espace des homomorphismes du premier groupe d’homologie du fibré unitaire tangent de notre surface dans un groupe cyclique fini.Pour terminer, ces résultats appliqués à un cas particulier permettront de calculer le nombre de composantes connexes de représentations diagonales dans certains groupes de Lie localement isomorphes au groupe symplectique<br>We study a particular case of maximal homomorphisms from a surface group into a Hermitian Lie group of tube type, which we call integral maximal.In the first part, we deal with the case when the Lie group is locally isomorphic to the group of isometries of the hyperbolic plane. In this case, integral maximal homomorphisms induce hyperbolizations of the initial surface and we relate them to spin structures on Riemann surfaces, that is to line bundles whose tensor power is isomorphic to the tensor product of the canonical bundle and a given divisor. Fixing such an integral maximal representation, we associate to each geodesic an integer modulo a fixed integer, its translation number. We then give, when the surface is closed, the asymptotic growth of the number of geodesics with given translation number.In the second part, we study the general case of an arbitrary Hermitian Lie group of tube type. Fixing a specific finite cover of such a Lie group, we call the representations into the cover spin representations and we show that the space of integral maximal spin representations is homeomorphic to the product of the space of maximal representations into the initial Lie group and an explicit subspace of homomorphisms from the first homology group with integer coefficient of the unit tangent bundle of the surface into a finite cyclic group.The homeomorphism we construct is moreover mapping class group equivariant so that we naturally study the action of the mapping class group on the space of homomorphisms from the first homology group of the unit tangent bundle of the surface into a finite cyclic group.Finally we apply these results to count the number of connected components of diagonal representations into some Lie groups locally isomorphic to the symplectic group