Academic literature on the topic 'Riccati, Équation de – Solutions numériques'

Nous nous intéressons, dans cette thèse, à l'étude des méthodes d'extrapolation polynômiales et à l'application de ces méthodes dans l'accélération de méthodes itératives pour la résolution de l’équation algébrique de Riccati largement utilisée dans la théorie de transport. Pour ce type d’applications, l’extrapolation polynômiales réussit à accélérer la convergence même quand la convergence devient extrêmement lente. L'avantage de ces méthodes d'extrapolation est qu'elles utilisent uniquement une suite de vecteurs qui n'est pas forcément convergente, ou qui converge très lentement pour créer une nouvelle suite pouvant admettre une convergence quadratique. De plus, le développement de méthodes redémarrées (ou cycliques) permet de limiter le coût de calculs et de stockage. Une tâche importante relative à l’analyse du cas critique a été réalisée. une technique de décalage "shift technique" afin d’éliminer le problème lié à la singularité du la matrice Jacobienne ce qui rend la convergence linéaire plutôt que quadratique. En résumé, cette technique de "shift" transforme l’équation NARE à une autre dont la matrice Jacobienne est non singulier au voisinage de la solution. L’avantage de cette transformation est que la nouvelle équation a la même solution que l’équation d’origine. L’efficacité de l’approche proposée est illustrée à travers plusieurs comparaisons et résultats numériques
In this thesis, we are interested in the study of polynomial extrapolation methods and their application as convergence accelerators on iterative methods to solve Algebraic Riccati equations arising in transport theory . In such applications, polynomial extrapolation methods succeed to accelerate the convergence of these iterative methods, even when the convergence turns to be extremely slow.The advantage of these methods of extrapolation is that they use a sequence of vectors which is not necessarily convergent, or which converges very slowly to create a new sequence which can admit a quadratic convergence. Furthermore, the development of restarted (or cyclic) methods allows to limit the cost of computations and storage. An interpretation of the critical case where the Jacobian matrix at the required solution is singular and quadratic convergence turns to linear is made. This problem can be overcome by applying a suitable shift technique. The original equation is transformed into an equivalent Riccati equation where the singularity is removed while the matrix coefficients maintain the same structure as in the original equation. The nice feature of this transformation is that the new equation has the same solution as the original one although the new Jacobian matrix at the solution is nonsingular. Numerical experiments and comparisons which confirm the effectiveness of the new approaches are reported

Cette thèse est consacrée à l'étude de problèmes de stabilisation par retour d'état ou "feedback" des équations de Navier-Stokes autour d'une solution stationnaire instable. Les cas d'un contrôle correspondant à une force exercée dans une partie du domaine et celui d'un contrôle localisé sur la frontière du domaine sont considérés. Le contrôle s'exprime en fonction du champ de vitesse à l'aide d'une loi de feedback linéaire. Celle-ci est fournie par la solution d'une équation de Riccati algébrique, dont la dérivation fait appel à la théorie du contrôle optimal. La question de l'approximation de ces problèmes de contrôle est aussi considérée. Nous nous intéressons d'abord à l'approximation générale du système de Navier-Stokes linéarisé autour d'un état stationnaire (système de Oseen). Nous donnons des estimations d'erreur dans le cas d'une condition de Dirichlet peu régulière et dans le cas d'une condition de divergence peu régulière. Le cas particulier d'un approximation de Galerkin est alors traité. Puis nous montrons un théorème général pour l'approximation non conforme des systèmes linéaires contrôlés obtenus à l'aide de l'opérateur de Riccati. Ce théorème est ensuite appliqué dans le cas du système de Oseen soumis à un contrôle feedback distribué et dans le cas du système de Oseen soumis à un contrôle feedback frontière
This thesis deals with some feedback stabilization problems for the Navier-Stokes equations around an unstable stationary solution. The case of a distributed control localized in a part of the geomatrical domain and the case of a boundary control are considered. The control is expressed in function of the velocity field by a linear feedback law. The feedback law is provided by an algebraic Riccati equation which is obtained with the tools of the optimal control theory. The question of approximating such controlled systems is also considered. We first study the approximation of the linearized Navier-Stokes equations (the so-called Oseen equations) for rough boundary and divergence data. General error estimates are given and Galerkin methods are investigated. We also prove a general nonconform approximation theorem for closed-loop systems obtained from the Riccati theory. We apply this theorem to study the approximation of the Oseen closed-loop system

Un système dynamique est dit hybride (sdh) lorsque des variables discrètes et continues interagissent. Le développement de méthodes spécifiques de représentation, d'analyse et de commande s'impose pour prendre en compte la complexité de ces systèmes. Une classification des sdh est proposée en fonction des types de phénomènes hybrides considérés : commutations de modèle contrôlées ou autonomes, sauts du vecteur d'état contrôles ou autonomes. Des problèmes de commande sont ensuite poses et analyses pour chaque classe présentée. La recherche d'une commande optimale est posée comme un problème de minimisation d'un critère d'écart entre une trajectoire calculée et une trajectoire désirée. Une méthode de descente est appliquée dans chaque cas ; elle fait appel à l'expression du gradient du critère. Ce dernier est calculé à partir de la solution d'un système adjoint. On montre comment calculer ce système adjoint en adaptant aux cas considérés les principes généraux du calcul des variations. C'est ainsi qu'apparaissent des discontinuités sur l'état adjoint, dont on donne les expressions explicites. Ces discontinuités se retrouvent sur la commande calculée. La minimisation du critère est réalisée d'abord sans contraintes puis avec des contraintes de type borne sur la commande et sur sa dérivée, en mettant en œuvre la méthode d'uzawa. Le problème de commande par retour d'état est abordé pour les classes de sdh a commutations de modèle contrôlées et autonomes. Ceci conduit à la résolution d'équations de riccati. Chaque cas étudié est illustre par une mise en œuvre numérique qui permet de juger de l'efficacité de la méthode proposée, en termes de précision et de temps de calcul, et de conclure à la possibilité de commander des sdh par ces méthodes
A dynamic system is said to be hybrid (sdh) when discrete and continuous variables interact. The development of specific representation, analysis and control methods is required to take into account the complexity of these systems. A classification of sdhs is proposed according to the types of hybrid phenomena considered: controlled or autonomous model switching, controlled or autonomous state vector jumps. Control problems are then posed and analysed for each class presented. The search for an optimal control is posed as a problem of minimisation of a criterion of deviation between a calculated trajectory and a desired trajectory. A descent method is applied in each case; it uses the expression of the gradient of the criterion. The latter is calculated from the solution of an adjoint system. We show how to calculate this adjoint system by adapting the general principles of the calculation of variations to the cases considered. This is how discontinuities appear on the adjoint state, for which explicit expressions are given. These discontinuities can be found in the calculated control. The minimization of the criterion is first performed without constraints and then with bound constraints on the control and on its derivative, by implementing the uzawa method. The state feedback control problem is addressed for the classes of sdh with controlled and autonomous model switching. This leads to the solution of riccati equations. Each case studied is illustrated by a numerical implementation which allows to judge the efficiency of the proposed method, in terms of accuracy and computation time, and to conclude that it is possible to control sdhs by these methods

Cette thèse s’intéresse au diagnostic de défauts de réseaux électriques filaires à l'aide de la réflectométrie. Pour concevoir des algorithmes de diagnostic, nous avons étudié le problème direct (simulations numériques des réseaux électriques) et le problème inverse (détermination de certaines propriétés d’un réseau à partir des mesures de réflectométrie). Concernant le problème direct, nous avons développé une méthode de calcul du coefficient de réflexion d’un réseau sous forme d’arbre qui est basée sur la résolution successive d’équations différentielles de Riccati. Nous avons également généralisé l’équation de BLT pour des réseaux électriques composés de branches non uniformes et automatisé la méthode de sa résolution. La thèse a apporté deux nouveaux résultats concernant le problème inverse. Le premier résultat porte sur l’estimation des longueurs et des coefficients de pertes des branches d'un réseau électrique sous forme d’étoiles via une méthode itérative. Le deuxième porte sur l’identification, au moins partiellement, des matrices d’admittance des branches d’un réseau électrique modélisé par l’équation de BLT. Les méthodologies et les formalismes proposés dans la thèse sont validés soit par des simulations numériques, soit par des mesures réelles
This thesis focuses on fault diagnosis of wired electric networks using reflectometry. To develop diagnostic algorithms, we studied the direct problem (numerical simulations of electrical networks) and the inverse problem (determination of certain properties of a network from reflectometry measurements). For the direct problem, we developed a method for the computation of reflection coefficients. This method is based on the successive solving for a Riccati differential equation. We also generalized the BLT equation for the nonuniform electric networks and automated the resolution of this method. The thesis has made two new results concerning the inverse problem. The first result concerns the estimation of lengths and loss coefficients of the branches of a star network via an iterative method. The second focuses on the identification, at least partially, of the branches admittance matrices of a electric network modeled by the equation of BLT. The methodologies and formalisms proposed in this thesis are validated either by numerical simulations or by real measurements

Ce travail porte sur la recherche de l'existence d'une solution d'une équation d'onde quasi-linéaire avec conditions aux bords modélisant la vibration de cisaillement en épaisseur d'un disque de quartz excite par un courant électrique lorsque l'on néglige l'amortissement. La résolution de cette équation se ramène à celle d'un p-système non convexe avec une condition au bord vérifiée de façon exacte par l'une des composantes du système. La difficulté de ce genre de problème provient de l'apparition de chocs au bout d'un temps fini. De ce fait, on se place dans l'espace des fonctions à variation bornées pour obtenir la solution. On commence par construire des solutions approchées à l'aide d'un schéma de Glimm. La mise en œuvre de ce schéma nécessite de résoudre des problèmes de Riemann sur chaque pas de temps. Ces problèmes sont particulièrement compliques dans ce cas du fait que le système est non convexe. On étudie ensuite les différentes interactions d'ondes élémentaires provenant de la résolution de deux problèmes de Riemann consécutifs. Des estimations sur ces interactions sont obtenues dans le plan des invariants de Riemann nous permettant ainsi d'obtenir une estimation uniforme de la variation totale des solutions approchées pour des données initiales non nécessairement petites. On obtient enfin une solution entropique du p-système par passage à la limite sur une suite extraite des solutions approchées.

Cette thèse est un ensemble de contributions visant à développer des procédés rapides de résolution de problèmes de diffraction d'ondes acoustiques ou électromagnétiques en régime harmonique. La technique essentielle consiste à coupler l'approche par équations intégrales à la méthode des conditions de radiation sur le bord (On Surface Radiation Condition ou OSRC) donnant des approximations microlocales de l'opérateur Dirichlet-Neumann en régime de haute-fréquence. Plus précisément, les OSRCs sont utilisées comme des accélérateurs de convergence des algorithmes itératifs considérés pour la résolution des formulations intégrales. Les études se répartissent en deux axes principaux: les surfaces ouvertes et les surfaces fermées. Dans le cas des surfaces ouvertes, les OSRCs constituent de nouvelles classes de préconditionneurs analytiques de type Calderon efficaces. Dans le cas des surfaces fermées, les OSRCs jouent le rôle d'opérateurs régularisants et conduisent à la construction d'équations intégrales de type Fredholm de seconde espèce bien adaptées à une résolution itérative. La construction de ces formulations est basée sur l'obtention d'un bon regroupement des valeurs spectrales des opérateurs associés. Des tests numériques illustrent la théorie et montrent une convergence rapide des solveurs itératifs indépendante du raffinement de maillage et de la montée en fréquence pour divers obstacles en dimension deux et trois
This thesis deals with fast numerical processes to solve scattering problems of acoustic or electromagnetic waves. The essential used technique consists in coupling the integral equations method with the On-Surface Radiation Conditions (OSRC) method deriving microlocal approximations of the Dirichlet-Neumann operator in the high frequency regime. More particularly, we use OSRC to accelerate the convergence of the iterative methods considered to solve integral equations. We develop two studies : open surfaces and closed surfaces. In the case of open surfaces, OSRC represent some efficient analytic Calderon-type preconditioners. In the case of closed surfaces, OSRC designate some regularizing operators and lead to the construction of second-kind Fredholm integral equations. These equations are well-adapted to an iterative solution. Their construction is based on obtaining an excellent eigenvalues clustering of the associated operators. Two-dimensional and three-dimensional numerical tests confirm the theoritical analysis. They show that good convergence rates of the iterative solvers are attained. The convergence is independent of the mesh refinement and of the wave number

This thesis provides a numerical analysis of numerical methods for partial differential equations of Schrödinger type on the d-dimensional torus, namely the linear Schrödinger equation with potential, the inhomogeneous linear Schrödinger equation and the non linear Schrödinger equation. The first part of this thesis deals with symplectic time-splitting methods for the linear Schrödinger equation with potential. Under a non resonance condition, we prove a normal form theorem for the numerical propagator. This theorem allows us to derive properties of preservation of the regularity of the numerical solution for non resonant time steps. The second part of this thesis presents a numerical analysis of exponential Runge-Kutta methods for the inhomogeneous linear Schrödinger equation and for the non linear Schrödinger equation. Over a finite time interval, we give sufficient order conditions for (dollar)s(dollar)-stage collocation methods to be of order s, s+1 and s+2 when applied to any of these two problems. Moreover, we illustrate and explain the effect of the numerical resonances that may occur when solving inhomogeneous linear problems with such methods
Cette thèse consiste en l'analyse numérique de méthodes de résolution d'équations aux dérivées partielles de type Schrödinger : sur le tore de dimension d, on s'intéresse à la résolution numérique de l'équation de Schrödinger linaire avec potentiel multiplicatif, de l'équation de Schrödinger linéaire inhomogène et de l'équation de Schrödinger non linéaire. Dans une première partie, on étudie des méthodes de splitting en temps, symplectiques, pour l'équation de Schrödinger linéaire avec potentiel multiplicatif. Dans l'asymptotique des petits potentiels, on démontre par une méthode perturbative un théorème de forme normale pour le propagateur de ces méthodes. Ce théorème permet ensuite de démontrer des propriétés de conservation en temps long de la régularité de la solution numérique pour des pas de temps non résonnants. La seconde partie est consacrée à l'analyse numérique de méthodes de Runge-Kutta exponentielles pour l'équation de Schrödinger linéaire inhomogène et pour l'équation de Schrödinger non linéaire. Dans une perspective d'ordre élevé et en temps fini, on donne des conditions suffisantes pour que les méthodes de collocation à s points soient d'ordre s, s+1 et s+2 pour les deux types de problèmes envisagés. On illustre, quantifie et explique en outre l'effet des résonnances numériques qui apparaissent lors de la résolution des problèmes linéaires inhomogènes par de telles méthodes

Ce travail de thèse est divisé en deux parties indépendantes. Dans la première partie, on a traité quelques problèmes d'obstacle relatifs à la déformation d'un fil élastique. Au départ, on a étudié la position d'équilibre d'un seul disque et puis de deux disques identiques rigides roulant sur un fil élastique. On a démontré contrairement à ce qu'on s'attendait intuitivement que le minimum de l'énergie dans le cas de deux disques identiques n'est pas toujours atteint quand les deux disques se stabilisent au milieu du fil et au même niveau et cela quand le poids des disques dépassent une valeur critique. Ensuite, on a étudié la position d'équilibre de trois disques identiques dans le cas où ces trois derniers touchent le fil élastique, on a démontré que la position d'équilibre correspond au cas où les trois disques adoptent une position symétrique au milieu du fil. Le dernier problème traité dans cette partie est sur l'étude de la position d'équilibre d'un carré sur un fil élastique, dans ce cas on a démontré que dans l'état d'équilibre le carré peut adopter une position en s'inclinant sur le côté du fil et cela dépend de la valeur de son poids. Dans la deuxième partie on a étudié une équation intégro-différentielle de Voltera de type convolutif relative à la théorie quantique. Au début on a déterminé les conditions pour que la solution de cette équation soit bornée par une certaine valeur. Par la suite, on a donné des exemples en dimensions 2 et 3 et on a vu que ces conditions sont fortes. Sur le fait que la solution ne peut être déterminer explicitement dans tous les cas, ceci nous a conduit à utiliser une méthode numérique en exécutant un programme Maple en dimensions 2 et 3. On a clôturé cette partie en donnant la forme intégrale à notre équation en dimensions 3 qui est d'une grande importance dans la théorie quantique. Enfin, on a donné une série d'exemples de noyau admissibles dont les calculs étaient faits par le programme.

Ce mémoire étudie la résolution numérique des problèmes intérieurs et extérieurs pour l'équation de Helmholtz dans les hypothèses de l'acoustique linéaire. Il examine plus particulièrement le cas des domaines bidimensionnels comportant des coins. Dans ce cas, les solutions présentent des singularités aux coins. Avant d'introduire les formulations en équations intégrales de ces problèmes, ce mémoire étudie soigneusement, dans tous les cas, (problème de Dirichlet, de Neumann et mixte) les singularités développées, aboutissant ainsi aux relations vérifiées par les densités de potentiel de simple et de double couches. Un cas particulier couramment rencontré est celui des jonctions multiples dans les coins. Le résultat essentiel est que, dans ce cas, les densités satisfont une relation de fermeture. Cette relation s'est avérée particulièrement importante pour améliorer substantiellement la précision de la méthode d'élément finis de frontière utilisée.