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  1. Journal articles
  2. Dissertations / Theses
  3. Books
  4. Book chapters

Academic literature on the topic 'Riemann, Hypothèse de'

Author: Grafiati
Published: 4 June 2021
Last updated: 8 February 2022

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Journal articles on the topic "Riemann, Hypothèse de"

1

Saias, Eric. "Hypothèse de Riemann généralisée et orthonormalisation de $$1/n^s$$ 1 / n s." Annales mathématiques du Québec 38, no. 1 (2014): 95–99. http://dx.doi.org/10.1007/s40316-014-0015-1.

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2

Lautman, Albert. "Rapport sur les travaux philosophiques entrepris par M. Lautman1." Articles 37, no. 1 (2010): 9–15. http://dx.doi.org/10.7202/039709ar.

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Abstract:
Résumé Lautman synthétise dans ce rapport (1935) quelques idées centrales qui seront par la suite développées dans ses Thèses (1935-37). Il s’agit d’un manuscrit inédit, qui semble être le premier texte scientifique du jeune philosophe. Lautman étudie le local et le global suivant Galois, Riemann, Hilbert et Cartan, et propose une hypothèse sur les rapports structurels généraux du local et du global, qui préfigure l’essor de la théorie des faisceaux, laquelle apparaîtra une dizaine d’années après.
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3

Redmond, Timothy. "Proving Polynomial Riemann Hypotheses through Eigenfunctions." Linear and Multilinear Algebra 50, no. 1 (2002): 49–59. http://dx.doi.org/10.1080/03081080290011665.

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4

Navarro, A., and J. Navarro. "On the Riemann-Roch formula without projective hypotheses." Transactions of the American Mathematical Society 374, no. 2 (2020): 755–72. http://dx.doi.org/10.1090/tran/8107.

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5

França, Guilherme, and André LeClair. "Some Riemann Hypotheses from random walks over primes." Communications in Contemporary Mathematics 20, no. 07 (2018): 1750085. http://dx.doi.org/10.1142/s0219199717500857.

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Abstract:
The aim of this paper is to investigate how various Riemann Hypotheses would follow only from properties of the prime numbers. To this end, we consider two classes of [Formula: see text]-functions, namely, non-principal Dirichlet and those based on cusp forms. The simplest example of the latter is based on the Ramanujan tau arithmetic function. For both classes, we prove that if a particular trigonometric series involving sums of multiplicative characters over primes is [Formula: see text], then the Euler product converges in the right half of the critical strip. When this result is combined with the functional equation, the non-trivial zeros are constrained to lie on the critical line. We argue that this [Formula: see text] growth is a consequence of the series behaving like a one-dimensional random walk. Based on these results, we obtain an equation which relates every individual non-trivial zero of the [Formula: see text]-function to a sum involving all the primes. Finally, we briefly mention important differences for principal Dirichlet [Formula: see text]-functions due to the existence of the pole at [Formula: see text], in which the Riemann [Formula: see text]-function is a particular case.
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6

Xie, Wenzhe, Jing Xiao, and Zhiguo Luo. "Existence of Solutions for Riemann-Liouville Fractional Boundary Value Problem." Abstract and Applied Analysis 2014 (2014): 1–9. http://dx.doi.org/10.1155/2014/540351.

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Abstract:
By using the method of upper and lower solutions and fixed point theorems, the existence of solutions for a Riemann-Liouville fractional boundary value problem with the nonlinear term depending on fractional derivative of lower order is obtained under the classical Nagumo conditions. Also, some results concerning Riemann-Liouville fractional derivative at extreme points are established with weaker hypotheses, which improve some works in Al-Refai (2012). As applications, an example is presented to illustrate our main results.
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7

Saha, Biswajyoti, and Ayyadurai Sankaranarayanan. "On estimates of the Mertens function." International Journal of Number Theory 15, no. 02 (2019): 327–37. http://dx.doi.org/10.1142/s1793042119500143.

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Abstract:
Assuming the simplicity of the zeros of the Riemann zeta function [Formula: see text], Gonek and Hejhal studied the sum [Formula: see text] for real number [Formula: see text] and conjectured that [Formula: see text] for any real [Formula: see text]. Assuming Riemann hypothesis and [Formula: see text], Ng [11] proved that the Mertens function [Formula: see text]. He also pointed out that with the additional hypothesis of [Formula: see text] one gets [Formula: see text]. Here we show that [Formula: see text] for any real number [Formula: see text], under similar hypotheses.
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8

Gu, Longfei. "Riemann Boundary Value Problem for Triharmonic Equation in Higher Space." Scientific World Journal 2014 (2014): 1–6. http://dx.doi.org/10.1155/2014/415052.

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Abstract:
We mainly deal with the boundary value problem for triharmonic function with value in a universal Clifford algebra:Δ3[u](x)=0,x∈Rn∖∂Ω,u+(x)=u-(x)G(x)+g(x),x∈∂Ω,(Dju)+(x)=(Dju)-(x)Aj+fj(x),x∈∂Ω,u(∞)=0, where(j=1,…,5) ∂Ωis a Lyapunov surface inRn,D=∑k=1nek(∂/∂xk)is the Dirac operator, andu(x)=∑AeAuA(x)are unknown functions with values in a universal Clifford algebraCl(Vn,n).Under some hypotheses, it is proved that the boundary value problem has a unique solution.
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9

Sinaceur, Mohammed Allal. "Dedekind et le programme de Riemann. Suivi de la traduction de Analytische Untersuchungen zu Bernhard Riemann's Abhandlungen uber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde Liegen par R. Dedekind." Revue d'histoire des sciences 43, no. 2 (1990): 221–96. http://dx.doi.org/10.3406/rhs.1990.4165.

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10

Fazzari, Alessandro. "Weighted value distributions of the Riemann zeta function on the critical line." Forum Mathematicum 33, no. 3 (2021): 579–92. http://dx.doi.org/10.1515/forum-2020-0284.

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Abstract:
Abstract We prove a central limit theorem for log ⁡ | ζ ⁢ ( 1 2 + i ⁢ t ) | {\log\lvert\zeta(\frac{1}{2}+it)\rvert} with respect to the measure | ζ ( m ) ⁢ ( 1 2 + i ⁢ t ) | 2 ⁢ k ⁢ d ⁢ t {\lvert\zeta^{(m)}(\frac{1}{2}+it)\rvert^{2k}\,dt} ( k , m ∈ ℕ {k,m\in\mathbb{N}} ), assuming RH and the asymptotic formula for twisted and shifted integral moments of zeta. Under the same hypotheses, we also study a shifted case, looking at the measure | ζ ⁢ ( 1 2 + i ⁢ t + i ⁢ α ) | 2 ⁢ k ⁢ d ⁢ t {\lvert\zeta(\frac{1}{2}+it+i\alpha)\rvert^{2k}\,dt} , with α ∈ ( - 1 , 1 ) {\alpha\in(-1,1)} . Finally, we prove unconditionally the analogue result in the random matrix theory context.
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Dissertations / Theses on the topic "Riemann, Hypothèse de"

1

Jousse, Nicolas. "Etude d'un problème de continuité lié à l'hypothèse de Riemann." Bordeaux 1, 2004. http://www.theses.fr/2004BOR12812.

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Abstract:
This work is devoted to a problem linked to the Beurling-Nyman's criterion about the Riemann hypothesis. We study the continuity of the projection of the characteristic function of (0,1) on a subspace of the square-integrable functions generated by dilated functions of the fractionnal part function. In the first part of this work, we give a general result about the projection P of a vector belonging to a Hilbert space H on a variable subspace of H. We proove a continuity criterion about P under some weak convergence hypothesis. In the second part, we specify those last results in the case where H is a L2(Y) space. In the third part, we suppose that Y is a commutative, locally compact, sigma-compact and metrisable group, and we project on a subspace of L2(Y) generated by dilated functions of a given function in L2(Y). At last, we apply all our results in the fourth part, in the scope of the Beurling-Nyman criterion as far as zeta is concerned, and more generally, with regard to functions in Selberg's class<br>Cette thèse est consacrée à l'étude d'un problème lié au critère de Beurling Nyman sur l'hypothèse de Riemann. On y étudie la continuité de la projection de la fonction indicatrice de l'intervalle ]0,1] sur un sous-espace vectoriel variable de l'ensemble des fonctions dont le carré est intégrable sur la demi-droite réelle engendré par des fonctions dilatées de la fonction partie fractionnaire. Dans la première partie de la thèse, on établit un résultat général sur la projection P d'un vecteur d'un espace de Hilbert H sur un sous-espace de H dépendant d'une variable. On démontre un critère de continuité sur P à l'aide d'hypothèses de convergence faible. Dans la deuxième partie, on précise ces résultats généraux au cas où H est de la forme L2(Y). Dans la troisième partie, on approfondit encore notre étude lorsque Y est un groupe abélien localement compact, sigma-compact et métrisable, et on projette sur un sous-espace de L2(Y) engendré par des dilatées d'une fonction donnée f dans L2(Y). La dernière partie met en application ce qui précède dans le cadre du critère de Beurling-Nyman pour la fonction zeta, et plus généralement, pour les fonctions de la classe de Selberg
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2

Hiba, Abdallah. "Processus de diffusion sur un flot de variétés riemanniennes." Grenoble, 2010. http://www.theses.fr/2010GRENM057.

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Abstract:
Le but de 1ft thèse est de relier entre les propriétés de ditr1l8ion des variétés riemannietmes et leur géométrie. On veut plonger une fiunille de variétés riemannietmes dont la métrique est dépendante d'un pllfalllètre t dans un espace de Hilbert pftf ces propriétés de diffusion. Plus précisément, à l'aide des fonctions propres du laplacien correspondant ou de son noyau de la chaleur. On démontre qu'on peut construire des plongements par un nombre fini de fonctions propres pour toute famille de variétés riemanniennes (M, g(t» telle que la métrique g(t) est analytique en fonction de t. Dans le cas où g(t) est de volume constant, on peut construire un plongement avec toutes les fonctions propres. Ce dernier s'appelle plongement G. P. S et donne betlUCOUp d'infOrmations sur cette famille de variétés. Ensuite, on construit la solution fondamentale P de l'équation de 1ft chaleur non linéaire sur (M, g(t» telle que g(t) soit de volume constant. Finalemetlt, on émet une conjecture sur ce noyau de la chaleur. Si cette dernière s'ftvémit vraie, on poumrit plonger (M, g(t» dans Wl espftCe de Hilbert à l'aide de P<br>Ln thls theos, we create Dnks between tbe properties of dlffuoon of tbe Riemannlan manifold and 111 geometry. We embedd a faml. Ly of Riemannlan manifolds whose metrle Is time dependent, Into a Hllbel't space wlth Its duffusloo properties. Namely, via tbe elgenfunetions of the eorrespondlng I8plllelan or 111 heat kernel. We prove tbat we ean eonstrud embeddlngs via a flnlte number of elgenfunctions for an familles of Riemannlan manifolds (M, g(t» sneh tllat g(t) Is analytlc ln t. If the volume of (M, g(t» Is constant, we cao eonst. Rud an embeddlng witll a complete elgenfnnetlons basls. This embeddlog will be eaDed the G. P. S embeddiog. Thil embeddlng Is very informative regardlng thls famDy of maolfolds. Tl1en, we eonlt. Rud the fundamentallolutlon P for tl1e non-Dnear lIeat eqnatlon aetlng on (M,g(t», Incll tbat tl1e volume (M, g(t» Is constant. FlnaDy we give Il conjecture on tbe asymptotic formula of P, and we prove tl1at, If tlils conjecture Is true, we can embed (M,g(t» loto a Hilbert space via P
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3

Qu, Yan. "Problèmes de type Linnik pour les fonctions L de formes automorphes." Thesis, Nancy 1, 2008. http://www.theses.fr/2008NAN10070/document.

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Abstract:
Cette thèse est consacrée à l’étude de la répartition des coefficients de fonctions L automorphes de GL(m) avec m = 2. D’une part, nous avons traité le premier changement de signes de ces coefficients, i.e. des problèmes de type Linnik, et obtenu des majorations du type polynômial. D’autre part, nous avons étudié les sommes longues et courtes des coefficients de fonctions L de GL(m) sur les nombres premiers pour tester leur décompensation, respectivement<br>In the thesis we have studied the distribution of the coefficients of automorphic L-functions for GL(m) with m = 2. On the one hand, we have treated the first sign change of these coefficients, i.e. the Linnik-type problems, and obtained the polynomial-type estimates. On the other hand, we studied the long and short summations of coefficients of L-functions for GL(m) on the prime numbers to test their decompensation, respectively
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Landry, Denis. "Le critère de Nyman-Beurling-Báez-Duarte pour l'hypothèse de Riemann." Thesis, Université Laval, 2007. http://www.theses.ulaval.ca/2007/24340/24340.pdf.

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5

Biswas, KIngshook. "Sur la géométrie des hérissons, et des tube-log surfaces de Riemann." Paris 13, 2005. http://www.theses.fr/2005PA132017.

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Abstract:
Nous étudions trois classes d'objets géométriques qui jouent un rôle important en Dynamique Holomorphe : les hérissons et les log-surfaces de Riemann et tube log surfaces de Riemann. Les hérissons, découverts par R. Pérez-Marco, sont des compacts connexes pleins, totalement invariant par la dynamique des difféomorphismes holomorphes aux voisinages des points fixes indifférents irrationels. Nous construisons, utilisant les techniques de Perez-Marco basées dans les tubes-log surfaces de Riemann, des exemples explicites d'hérissons avec des géométries particulières. Nous construisons des hérissons de dimension de Hausdorff 1, et des hérissons contenant des peigneslisses (i. E. Homéomorphes au produit d'un ensemble de Cantor et d'un interval). Les tube-log surfaces de Riemann se construisent par le collage isométriques de plans et cylindres complexes, et la sous-classe des log-surfaces de Riemann par le recollement de plans uniquement. Avec Perz-Marco, on développe une étude générale des tube-log et log-surfaces de Riemann. Nous étudions en détail la classe des log-surfaces Riemann avec un nombre fini de points de ramification infinis. On donne des formules pour leurs uniformisations, et définit pour chaque log-surface un anneau de fonctions spéciales, qui permettent de reconstruire algébriquement tous les points de la surface, y compris les points de ramification infinis. Ceci correspond à la théorie classique de Dedekind-Weber pour les courbes algébriques. Pour une fonction rationelle générique, on construit la tube-log surface de Riemann dont l'uniformisation est donnée par la primitive de cette fonction rationelle.
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Xu, Hong. "Généralisation de la théorie des chirps à divers cadres fonctionnels et applications à leur analyse par ondelette." Paris 9, 1996. https://portail.bu.dauphine.fr/fileviewer/index.php?doc=1996PA090001.

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Abstract:
Cette thèse a pour objet de clarifier une sorte de signal (ou fonction) chirp (un mot anglais, signifiant un pépiement d'oiseaux) en termes de mathématiques. La modélisation de tel signal se fait par l'écrire en un produit de deux fonctions, une fonction joue le rôle de l'amplitude, l'autre mesure la force de l'oscillation. En ce qui concerne cette dernière, on introduit la notion indéfiniment oscillant, on étudiera les propriétés correspondantes, toutes ces études s'appliqueront aux analyses des chirps. Ce travail s'est basé sur celui fait par EL. T. Bouyachi, S. Jaffard, Y. Meyer. Nous généraliserons leurs travaux dans deux directions : 1. Nos études s'effectueront dans les espaces multidimensionnels. 2. L'espace de référence adopté dans notre travail est plus général. Nous généraliserons les espaces deux-micro locaux classiques afin de pouvoir caractériser les chirps plus précisément. Nous appliquerons la technique d'ondelettes aux chirps pour obtenir une description de « l'algorithme de Marseille » en fonction de coefficients d'ondelettes. Cette dernière permet d'établir le lien entre les nouveaux chirps et les espaces deux-micro locaux généralisés. A titre d'une application de la théorie développée ci-dessus, nous nous attaquerons à la fonction de Riemann (généralisée aussi), nous pourrons montrer qu'elle a une structure des chirps aux points réguliers<br>We are concerned with a sort of signal (or function) called “chirp”. Our object is to describe them in terms of mathematics. We build our model for such signals by writing them in two parts: one part plays a role of the amplitude; the other gives the measurement of the oscillations. For the study of the second part, we introduce a notion called «infinitely oscillated”, and many proprieties related to this notion will be shown. This model is based on the works of EL. T Bouyachi, S. JAffard, Y. Meyer. We will generalize their works in two directions: 1. We are going to do our works in the multidimensional spaces. 2. The space of reference adopted in our works is more general. Firstly, a generation for the classical 2-microlocal space will be presented, since it’s helpful to characterize the chirps more precisely. Then we are going to apply the wavelet techniques to the chirps to obtain a characteristic by means of «the Marseille algorithm”. The latter can be used to find the connections between the chirps and the 2-microlocal analysis (all of them are discussed in a general sense). As an application of the theory developed here, we are going to attack the Riemann’s function (in a general form too), we will be able to prove that it has a chirp’s structure on regular points
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7

Kumbaro, Anela. "Modélisation, analyse mathématique et numérique des modèles bi-fluides d'écoulement diphasique." Paris 11, 1992. http://www.theses.fr/1992PA112405.

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Abstract:
Ce travail de thèse est consacré à l'étude des modèles bi-fluides isentropiques d'écoulement diphasique. On montre que ces modèles sont strictement hyperboliques sous quelques conditions. On résout le problème de Riemann. On distingue le cas des modèles qui s'écrivent sous une forme conservative ou sous une forme non conservative. On a choisi de présenter l'approximation numérique des lois de conservations qui régissent l'évolution du fluide diphasique compressible grâce à une approche de Roe. Le solveur approché de Riemann basé sur l'approche de Roe est appliqué au modèle hyperbolique des lois de conservation. On étend l'approche du solveur de Riemann à un système hyperbolique non conservatif d'un modèle bi-fluide. Pour cela, on utilise une formulation généralisée du solveur approché de Riemann basée sur un chemin régulier continu défini dans l'espace des états. Des résultats numériques obtenus sur plusieurs problèmes test montrent que l'approche de Roe permet une discrétisation à la fois robuste et précise des effets non linéaires du modèle comme les propagations des diverses ondes de choc et de détente.
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8

Sabatini, Luca. "Comparaison des volumes des variétés riemanniennes, sans hypothèse de courbure, en présence d'une ε - approximation de Gromov-Hausdorff". Grenoble 1, 2009. http://www.theses.fr/2009GRE10118.

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9

Kadiri, Habiba. "Une région explicite sans zéro pour les fonctions L de Dirichlet." Lille 1, 2002. https://pepite-depot.univ-lille.fr/LIBRE/Th_Num/2002/50376-2002-279-280.pdf.

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Abstract:
Nous étudions la répartition des zéros non triviaux de la fonction Zêta de Riemann. Plus précisément, nous montrons qu'il n'y en a pas dans la région [. . . ]. Les méthodes élaborées dans ce cas se généralisent alors à celui des fonctions de Dirichlet et nous établissons que les fonctions L associées à un module q fixé possèdent une région sans zéro à gauche de l'axe Rs=1 de la forme : [. . . ]. À l'exception d'au plus d'une d'entre elles qui correspondrait alors à un caractère réel et qui aurait au plus un zéro réel dans cette zone. De plus, nous précisons que chaque fonction associée à un caractère donné possède au plus quatre zéros proches de l'axe réel dans la région [. . . ]. Enfin, nous appliquons nos résultats à la répartition des nombres premiers dans une progression arithmétique de la forme {a+nq}.
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10

Lebacque, Philippe [Jean-Georges]. "Sur quelques propriétés asymptotiques des corps globaux." Aix-Marseille 2, 2007. http://theses.univ-amu.fr.lama.univ-amu.fr/2007AIX22020.pdf.

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Abstract:
Dans cette thèse nous étudions certains aspects des corps globaux infinis (CGI). Le premier chapitre est consacré aux propriétés de leurs invariants, à la notion de famille de corps globaux asymptotiquement bonne et à leur composita. Dans le second chapitre, on essaie de contrôler les invariants à travers leur support, montrant qu’on peut imposer une condition d’annulation ou de non annulation sur un ensemble prescrit quelconque d’entre eux. On s’intéresse également au défaut des CGI, montrant entre autre qu’il est croissant pour l’inclusion. Le troisième chapitre est l’étude du théorème de Mertens généralisé et son lien avec le théorème de Brauer-Siegel généralisé. Montrant une version explicite du premier, on en déduit une version explicite du second sous l’hypothèse de Riemann généralisée(GRH), et le retrouvant sans GRH<br>In this thesis we study several aspects of infinite global fields (IGF). The first chapter is devoted to elementary properties of their invariants, to the notion of asymptotically good families of global fields, and to their composita. In the second chapter we try to control the invariants through their support, proving that, given a finite set of invariants, we can construct an IGF having all this invariants equal to zero and another having all this invariants positive. We are also interested in the default of IGF, proving that it is increasing for inclusion of IGF. The third chapter is the study of Mertens theorem and its link to generalised Brauer–Siegel theorem. Proving an explicit version of the first one, we deduce an explicit version of the second one under the Generalised Riemann Hypothesis (GRH), and recover it without GRH
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Books on the topic "Riemann, Hypothèse de"

1

Stalking the Riemann Hypothesis: The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers. Pantheon, 2005.

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2

Riemann, Bernhard. Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-35121-1.

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3

Scrimieri, Giorgio. Fondazione della geometria: Da Bernhard Riemann a Hermann Weyl = Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen. Congedo, 1992.

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4

PISRS 2011 International Conference on Analysis, Fractal Geometry, Dynamical Systems and Economics (2011 Messina, Italy). Fractal geometry and dynamical systems in pure and applied mathematics. Edited by Carfi David 1971-, Lapidus, Michel L. (Michel Laurent), 1956-, Pearse, Erin P. J., 1975-, Van Frankenhuysen Machiel 1967-, and Mandelbrot Benoit B. American Mathematical Society, 2013.

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5

Rockmore, Dan. Stalking the Riemann Hypothesis: The Quest to Find the Hidden Law of Prime Numbers. Vintage, 2006.

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6

Jost, Jürgen, and Bernhard Riemann. Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Springer Spektrum, 2013.

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Book chapters on the topic "Riemann, Hypothèse de"

1

Riemann, Bernhard. "Riemanns Habilitationsvortrag." In Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-35121-1_3.

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2

Riemann, Bernhard. "Einleitung." In Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-35121-1_1.

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3

Riemann, Bernhard. "Historische Einführung." In Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-35121-1_2.

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4

Riemann, Bernhard. "Präsentation des Textes." In Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-35121-1_4.

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5

Riemann, Bernhard. "Rezeptions- und Wirkungsgeschichte." In Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-35121-1_5.

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6

Riemann, Bernhard. "Positionen der Forschung." In Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-35121-1_6.

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7

Riemann, Bernhard. "Kommentierte Auswahlbibliographie." In Bernhard Riemann „Über die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen“. Springer Berlin Heidelberg, 2013. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-642-35121-1_7.

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8

Scholz, Erhard. "Riemann, Bernhard: Ueber die Hypothesen, welche der Geometrie zu Grunde liegen." In Kindlers Literatur Lexikon (KLL). J.B. Metzler, 2020. http://dx.doi.org/10.1007/978-3-476-05728-0_21422-1.

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9

Pesic, Peter. "Riemann and the Sound of Space." In Music and the Making of Modern Science. The MIT Press, 2014. http://dx.doi.org/10.7551/mitpress/9780262027274.003.0016.

Full text
Abstract:
The separate works of Bernhard Riemann and Hermann von Helmholtz reflected their shared concern with hearing in the context of the problem of space and the physical foundations of geometry. Riemann had established a new conception of multidimensional curved space; his final, uncompleted work critiqued Helmholtz’s account of hearing. Helmholtz read Riemann’s work on hearing even before his ideas about space, toward which Helmholtz had been independently working. After Riemann’s death, Helmholtz argued that geometry rested on physical facts rather than hypotheses (as Riemann held). Helmholtz drew these arguments from findings about visual perception, but later extended them to the manifolds of simple tones and of time. Einstein later acknowledged Helmholtz and Riemann’s work as essential sources for general relativity. Einstein considered Helmholtz’s connection of geometric hypotheses with empirical facts absolutely crucial for the general theory of relativity, whose field equations epitomize that connection. To reach that point, Helmholtz connected his work in music and vision, hearing and seeing, whose comparison lay at the grounds of his synthetic understanding. Throughout the book where various sound examples are referenced, please see http://mitpress.mit.edu/musicandmodernscience (please note that the sound examples should be viewed in Chrome or Safari Web browsers).
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10

Ferreirós, José. "Advanced Math." In Mathematical Knowledge and the Interplay of Practices. Princeton University Press, 2015. http://dx.doi.org/10.23943/princeton/9780691167510.003.0006.

Full text
Abstract:
This chapter proposes the idea that advanced mathematics is based on hypotheses—that far from being a priori, it is based on hypothetical assumptions. The concept of quasi-empiricism is often linked with the view that inductive methods are at play when the hypotheses are established. The presence of hypotheses at the very heart of mathematics establishes an important similitude with physical theory and undermines the simple distinction between “formal” and “empirical” sciences. The chapter first elaborates on a hypothetical conception of mathematics before discussing the ideas (and ideals) of certainty and objectivity in mathematics. It then considers the modern problems of the continuum that exist in ancient Greek geometry, along with the so-called methodological platonism of modern mathematics and its focus on mathematical objects. Finally, it describes the Axiom of Completeness and the Riemann Hypothesis.
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