Academic literature on the topic 'Schémas volumes finis'

Ce manuscrit de thèse porte sur l'analyse numérique de schémas volumes finis pour la discrétisation de deux systèmes particuliers d'équations. Dans un premier temps nous étudions l'équation de Cahn-Hilliard associée à des conditions aux limites dynamiques dont l'une des principales difficultés est que cette condition aux limites est une équation parabolique, non linéaire, posée sur le bord et couplée avec l'intérieur du domaine. Nous proposons une discrétisation de type volumes finis en espace qui permet de coupler naturellement l'équation dans le domaine et celle sur sa frontière par un terme de flux et qui s'adapte facilement à la géométrie courbe du domaine. Nous montrons l'existence et la convergence des solutions discrètes vers une solution faible du système. Dans un second temps nous étudions la stabilité Inf-Sup du problème de Stokes pour un schéma volumes finis de type dualité discrète (DDFV). Nous donnons une analyse complète de la stabilité Inf-Sup inconditionnelle dans certains cas et de la stabilité de codimension 1 dans le cas de maillages cartésiens. Nous mettons également en place une méthode numérique permettant de calculer la constante Inf-Sup associée à ce schéma pour un maillage donné. On peut ainsi observer le comportement stable ou instable selon les cas en fonction de la géométrie des maillages. Dans une dernière partie nous proposons un schéma DDFV pour un modèle couplé Cahn-Hilliard/Stokes ce qui nécessite l'introduction de nouveaux opérateurs discrets. Nous démontrons la décroissance de l'énergie au niveau discret ainsi que l'existence d'une solution au problème discret. L'ensemble de ces travaux est validé par de nombreux résultats numériques
This manuscript is devoted to the numerical analysis of finite-volume schemes for the discretization of two particular equations. First, we study the Cahn-Hilliard equation with dynamic boundary conditions whose one of the main difficulties is that this boundary condition is a non-linear parabolic equation on the boundary coupled with the interior of the domain. We propose a spatial finite-volume discretization which is well adapted to the coupling of the dynamics in the domain and those on the boundary by the flux term. Moreover this kind of scheme accounts naturally for the non-flat geometry of the boundary. We prove the existence and the convergence of the discrete solutions towards a weak solution of the system. Second, we study the Inf-Sup stability of the discrete duality finite volume (DDFV) scheme for the Stokes problem. We give a complete analysis of the unconditional Inf-Sup stability in some cases and of codimension 1 Inf-Sup stability for Cartesian meshes. We also implement a numerical method which allows us to compute the Inf-Sup constant associated with this scheme for a given mesh. Thus, we can observe the stable or unstable behaviour that can occur depending on the geometry of the meshes. In a last part we propose a DDFV scheme for a Cahn-Hilliard/Stokes phase field model that required the introduction of new discrete operators. We prove the dissipation of the energy in the discrete case and the existence of a solution to the discrete problem. All these research results are validated by extensive numerical results

Le travail de thèse exposé dans ce manuscrit porte sur le développement et l'analyse numérique de schémas volumes finis de type dualité discrète (DDFV) pour la discrétisation des équations de Darcy et des équations de Stokes. Un point commun à ces problèmes, qui motive l'emploi des schémas DDFV, est que leur résolution par volumes finis nécessite d'approcher toutes les composantes du gradient de la solution. On étudie tout d'abord la discrétisation du problème de diffusion scalaire anisotrope pour des conditions aux bords mixtes de type Dirichlet/Fourier. Le schéma que nous proposons permet de construire un algorithme de Schwarz discret associé à une décomposition de domaine sans recouvrement qui converge vers la solution obtenue sans décomposition. Des expériences numériques illustrent les résultats théoriques d'estimation d'erreur et de convergence des algorithmes de Schwarz DDFV. On se propose ensuite de discrétiser des problèmes de Stokes avec une viscosité variable. Les schémas DDFV correspondant sont en général mal posés. Pour y remédier, on stabilise le bilan de masse par différents termes en pression. Dans un second temps, on considère le cas où la viscosité est discontinue. Ces discontinuités doivent être prise en compte par le schéma pour surmonter la perte de consistance des contraintes à l'interface. Ensuite une première étude de l'extension des schémas DDFV aux équations de Navier-Stokes est présentée aussi qu'une généralisation des résultats pour le problème de Stokes avec une viscosité régulière dans le cas tridimensionnel.

Le travail de thèse exposé dans ce manuscrit porte sur le développement et l’analyse numérique de schémas volumes finis de type dualité discrète (DDFV) pour la discrétisation des équations de Darcy en milieu poreux hétérogène anisotrope et celle des équations de Stokes avec viscosité variable. Un point commun à ces problèmes, qui motive l’emploi des schémas DDFV, est que leur résolution par volumes finis nécessite d’approcher toutes les composantes du gradient de la solution. Les schémas DDFV consistent à discrétiser la solution de l’équation simultanément aux centres des volumes de contrôle et aux sommets du maillage. Ce double jeu d’inconnues permet de définir naturellement un gradient discret sur des maillages très généraux, ne vérifiant en particulier pas nécessairement la condition d’orthogonalité classique des maillages volumes finis. On étudie tout d’abord la discrétisation du problème de diffusion scalaire anisotrope pour des conditions aux bords mixtes de type Dirichlet/Fourier. Le schéma que nous proposons permet de construire un algorithme de Schwarz discret associé à une décomposition de domaine sans recouvrement avec des conditions de transmission de type Fourier qui converge vers la solution obtenue sans décomposition. Des expériences numériques illustrent les résultats théoriques d’estimation d’erreur et de convergence des algorithmes de Schwarz DDFV. On se propose ensuite de discrétiser des problèmes de Stokes avec une viscosité variable. Les schémas DDFV correspondant sont en général mal posés. Pour y remédier, on stabilise le bilan de masse par différents termes en pression. Dans un premier temps, on suppose la viscosité régulière. L’analyse du schéma, qui conduit à une estimation d’erreur optimale, repose sur une inégalité de Korn discrète et sur une condition inf-sup discrète utilisant le terme de stabilisation en pression. Dans un second temps, on considère le cas où la viscosité est discontinue. Ces discontinuités doivent être prise en compte par le schéma pour surmonter la perte de consistance des contraintes à l’interface. Ceci nécessite la construction de nouveaux opérateurs discrets définis à l’aide des inconnues artificielles. L’étude théorique devient plus compliquée. Dans tous les cas, l’existence et l’unicité de solutions discrètes sont démontrées, ainsi que des estimations d’erreur optimales. Une première étude de l’extension des schémas DDFV des équations de Stokes aux équations de Navier-Stokes est également présentée. Une généralisation des résultats pour le problème de Stokes avec une viscosité variable et régulière est donnée dans le cas tridimensionnel. Des tests numériques illustrent les différentes estimations d’erreur
This manuscript deals with the development and numerical analysis of finite volume schemes of type discrete duality (DDFV) for the discretization of the Darcy equations in porous heterogeneous anisotropic media and the Stokes equations with variable viscosity. A common feature of these problems, which motivates the use of DDFV schemes, is that their finite volume resolution requires to approximate all the components of the gradient of the solution. The DDFV method consists in discretizing the solution of equations simultaneously on the centers of the control volumes and on the vertices of the mesh. These two sets of unknowns allow to reconstitute a two-dimensional discrete gradient on a large class of 2D meshes, without assuming the “orthogonality” condition required for classical finite volume methods. We first study the discretization of anisotropic elliptic problems with mixed Dirichlet/Fourier boundary conditions. The scheme we propose allows to build the corresponding discrete non-overlapping Schwarz algorithm associated to a decomposition of the domain with Fourier interface conditions, which converges to the solution of the DDFV scheme on the initial domain. Numerical experiments illustrate the theoretical results of error estimates and of the DDFV Schwarz algorithm convergence. We then propose to discretize Stokes equations with a variable viscosity. The corresponding DDFV schemes are generally illposed. To overcome this difficulty, we stabilize the mass conservation equation with different pressure terms. First, we assume that the viscosity is smooth enough. The analysis of the scheme, which gives optimal error estimates, relies on a Korn inequality and on a uniform discrete inf-sup condition using the stabilization term. Secondly, we consider the case where the viscosity is discontinuous. The discontinuities must be taken into account in the scheme to overcome the consistency defect of the numerical fluxes. We need to build new operators with artificial unknowns. The theoretical study becomes more tricky. In all cases, the existence and uniqueness of the discrete solution are proved, as well as optimal error estimates. A first study of the extension of the DDFV schemes to Navier-Stokes equations is presented. A generalization in 3D of the results is given in the case of the Stokes problem with smooth variable viscosity. Numerical experiments illustrate the different error estimates

Un des ingrédients principaux pour la simulation numérique des écoulements des fluides (hydrocarbures, gaz naturel) en milieux poreux est la discrétisation des termes elliptiques anisotropes et hétérogènes. Dans l’industrie pétrolière, la nécessité d’améliorer la précision des simulations dans les régions proches des puits a suscité l’utilisation de maillages non structurés généraux et des tenseurs de perméabilité pleins. Notre défi a été de trouver des discrétisations consistantes et robustes des termes elliptiques anisotropes, hétérogènes sur maillages généraux. Notre recherche s’est focalisée sur des méthodes volumes finis qui soient consistantes, stables sur maillages polyédriques généraux, robustes par rapport à l’anisotropie et l’hétérogénéité du tenseur de perméabilité, qui mènent à des systèmes linéaires bien conditionnés pour lesquels des stratégies de préconditionnement optimales peuvent être conçues et qui donnent un stencil compact pour réduire les communications dans les implémentations parallèles. Pour répondre à cette recherche, nous avons proposé plusieurs schémas tels que MPFA O généralisé, G scheme, CG method, VFSYM, DIOPTRE. Nous avons prouvé également que toutes ces méthodes convergent sous des hypothèses adéquates à la fois sur le tenseur de perméabilité et le maillage
One of the key ingredients for the numerical simulation of Darcy flow in heterogeneous porous media is the discretization of anisotropic heterogeneous elliptic terms. In the oil industry, the need to improve accuracy in near wellbore regions has prompted the use of general unstructured meshes and full permeability tensors. Our effort has therefore been devoted to find consistent and robust finite volume discretizations of anisotropic, heterogeneous elliptic terms on general meshes. Our research was focused on finite volume methods which are consistent and coercive on general polyhedral meshes as well as robust with respect to the anisotropy and heterogeneity of the permeability tensor ; yield well-conditioned linear systems for which optimal preconditioning strategies can be devised ; have a narrow stencil to reduce the communications in parallel implementations. To answer to this search, we have proposed several scemes such that generalized MPFA O, G scheme, CG method, VFSYM, DIOPTRE. We proved also the convergence of all these methods under suitable assumptions on both the permeability tensor and the mesh

Cette thèse s'intéresse à l'étude de schémas de volumes finis pour la résolution de problèmes issus des mathématiques de la finance. Nous prouvons tout d'abord la convergence d'un schéma implicite et la stabilité de schémas explicites approximant la solution d'une inéquation variationnelle caractérisant les prix d'options américaines pour des modèles à volatilité constante. Puis, nous vérifions dans un cas simplifié, l'équivalence entre ce problème et celui de Stefan. La seconde partie se consacre à l'illustration numérique de la convergence de nos schémas sur des maillages réguliers et raffinés à l'aide d'estimateurs a postériori empiriques pour l'évaluation de prix d'options dans le cadre du modèle de Black-Scholes. Dans la troisième partie, nous prouvons la convergence d'un schéma implicite approximant les solutions d'inéquations variationnelles correspondant à des modèles à volatilité variable. La dernière partie, illustre la convergence numérique de nos schémas pour l'évaluation de prix d'options suivant un modèle à volatilité stochastique et un modèle portant sur des zéros coupons

L'objet de ce travail est l'etude theorique de schemas volumes finis pour certains problemes hyperboliques. Dans les trois premiers chapitres, nous nous interessons a une equation hyperbolique non lineaire et, dans le dernier chapitre, nous etudions le cas d'un systeme hyperbolique lineaire avec conditions aux limites. Dans tous les cas, nous cherchons a etablir la convergence des schemas consideres et a evaluer leur precision en demontrant des estimations d'erreur. Pour le probleme hyperbolique scalaire, nous developpons tout d'abord des schemas d'ordre un en espace. Nous demontrons l'existence et l'unicite de la solution entropique tout en etablissant la convergence des schemas vers celle-ci. Nous obtenons egalement des estimations d'erreur (en norme l 1 espace-temps) entre solution approchee et solution entropique de l'ordre de h 1 / 4 (h est la taille du maillage). Ensuite, nous etendons ces resultats a des schemas d'ordre deux en espace de type muscl. Enfin, dans une derniere partie, nous nous interessons a un systeme constitue de deux equations lineaires couplees par les conditions aux limites. Nous prouvons l'existence et l'unicite de la solution faible puis la convergence de schemas vers cette solution. Nous presentons ensuite des tests numeriques qui montrent une estimation d'erreur de l'ordre de h 1 / 2.

Cette thèse porte sur le développement de schémas Volumes Finis peu dissipatifs et peu dispersifs pour maillages structurés de géométries complexes. Les schémas numériques proposés sont basés sur le calcul des flux aux interfaces au moyen de formules d'interpolation implicite dans le plan physique. Pour réduire les coûts de calcul, les schémas sont rendus explicites aux frontières de blocs. Les formulations choisies préservent la précision, la faible dispersion, la faible dissipation et la stabilité du schéma global. Ces développements sont intégrés dans le code industriel elsA pour réaliser l'aéroacoustique numérique de jets subsoniques. L'approche choisie combine une simulation aux grandes échelles des jets pour le calcul des sources acoustiques et une analogie FWH pour le calcul acoustique en champ lointain. Le code elsA est doté de schémas temporels peu dissipatifs et peu dispersifs, et de conditions limites non-réfléchissantes. La modélisation de sous-maille est implicite, le transfert d'énergie des grandes vers les petites échelles étant assuré par dissipation artificielle sélective. L'ensemble de ces outils est appliqué à l'étude de deux jets subsoniques. Le premier jet à nombre de Mach 0. 9 et Reynolds 4e5 et le second à nombre de Mach 0. 3 et Reynolds 3e5. Ces deux configurations permettent d'identifier l'apport et les points à améliorer des outils développés

L'objectif de cette thèse est de développer un nouveau schéma numérique du type volumes finis pour la dynamique des gaz. Dans deux articles, F.Berthelin, T.Goudon et S.Minjeaud proposent de résoudre le système des équations d'Euler barotrope en dimension 1 d'espace, avec un schéma d'ordre 1 fonctionnant sur grilles décalées et dont la conception des flux est inspirée des schémas cinétiques. Nous proposons d'enrichir ce schéma afin qu'il puisse résoudre le système des équations d'Euler barotrope ou complet, en dimension 2 d'espace sur maillage cartésien ou non structuré, possiblement à l'ordre 2 et le cas échéant à bas nombres de Mach. Nous commencerons par développer une version 2D du schéma sur grilles cartésiennes (ou MAC) à l’ordre 2 via une méthode de type MUSCL, d'abord pour les équations barotropes puis pour les équations complètes. Ces dernières demandent de traiter une équation d’énergie supplémentaire et l’un des problèmes -résolu- est de trouver une définition discrète convenable de l’énergie totale telle qu'elle satisfasse une équation conservative locale. Dans un troisième chapitre nous étudierons le passage à la limite du compressible vers l'incompressible et nous verrons comment utiliser les atouts de notre schéma afin de le modifier et d'en faire un schéma Asymptotic Preserving pour des écoulements à bas nombres de Mach. Dans un quatrième temps nous proposerons une adaptation du schéma sur des maillages non structurés. Notre approche sera fortement inspirée des méthodes DDFV et pourra présenter des avantages dans les régimes à faibles nombres de Mach. Cette thèse se termine par un cinquième chapitre issu d’une collaboration lors du CEMRACS 2017, où le point de vue considéré n’est plus macroscopique mais microscopique. Nous commencerons par étudier un modèle micro/macro idéalisé auquel un processus stochastique a été ajouté puis nous tenterons d'en déduire un modèle à grande échelle pour un système fortement couplé, qui soit consistant avec la description micro/macro sous-jacente du problème physique
The objective of this thesis is to develop a new numerical scheme of finite volume type for gas dynamics. In two articles, F.Berthelin, T.Goudon and S.Minjeaud propose to solve the barotropic Euler system in dimension 1 of space, with a first order scheme that works on staggered grids and of which fluxes are inspired by kinetic schemes. We propose to enhance this scheme so that it can solve the barotropic or complete Euler systems, in dimension 2 of space on Cartesian or unstructured grids, possibly at order 2 and at Low Mach numbers where appropriate. We begin with the development of a 2D version of the scheme on Cartesian (or MAC) grids, at order 2 via a MUSCL type method, for the barotropic equations at first and then for the complete equations. The latter require to handle with an additional energy equation and one of the -solved- problems is to find a suitable discrete definition of the total energy such that it satisfies a local conservative equation. In a third chapter we study the transition from the compressible case to the incompressible limit and we shall see how to use the advantages of our initial scheme in order to make it an Asymptotic Preserving scheme at low Mach numbers. In a fourth chapter we propose an adaptation of the scheme on unstructured meshes. Our approach is strongly inspired by the DDFV methods and may have advantages in low-Mach regimes.This thesis ends with a fifth chapter issued from a collaboration during CEMRACS 2017, where the considered point of view is no longer macroscopic but microscopic. We begin by studying a simplified micro/macro model with an added stochastic process and then we attempt to deduce a large-scale model for a strongly coupled system which has to be consistent with the underlying micro / macro description of the physical problem

Le travail présenté dans cette thèse porte sur l'étude théorique de la convergence de schémas numériques utilisés pour la résolution d'équations hyperboliques linéaires et non linéaires. Les méthodes d'approximation sont de type volumes finis sur des maillages irréguliers en espace. On considère des schémas décentrés amont et de type Van Leer (quasi d'ordre 1 en espace). Pour chaque schéma, on établit une estimation en norme infinie sur la solution approchée. Dans le cas de rectangles, le schéma est à variation totale décroissante et à l'aide de théorèmes de compacité, on montre la convergence de la solution approchée vers la solution faible (entropique) du problème dans l'espace des fonctions localement intégrables. Cette propriété sur le schéma n'est plus vérifiée dans le cas de triangles. Il est cependant possible d'obtenir une estimation faible sur une variation totale pondérée, suffisante pour obtenir la convergence dans le cas linéaire. Dans le cas non linéaire, on utilise la théorie des solutions mesures introduites par Di Perna. On démontre un théorème général sur les solutions mesures qui permet d'établir la convergence de la solution approchée dans l'espace des fonctions de puissance Pieme localement intégrable, pour tout P supérieur ou égal à 1, vers la solution faible entropique