Academic literature on the topic 'Semi-groupes de Markov'

En utilisant l'operateur carre du champ itere pour le semi-groupe ultraspherique, on obtient une inegalite de sobolev pour toutes les dimensions n0, qui entraine l'inegalite de sobolev logarithmique du a mueller et weissler, et une generalisation de l'inegalite d'onofri dans le cas du cercle et de la sphere de dimension 2. Nous generalisons le developpement de la moyenne de c. Houdre et a. Kanoan aux cas des mesures ultraspheriques. Les techniques utilisees permettent aussi de degager des proprietes spectrales remarquables

La thèse est constituée de trois parties indépendantes. Dans la première partie, nous déterminons la vitesse de convergence de certains semi-groupes associés à des processus de diffusion vers leur probabilité invariante. La deuxième partie est consacrée à la loi de l'amplitude pour des chaînes de Markov ultrasphériques ainsi que pour les processus de Bessel. Après avoir établi que les chaînes ultrasphériques, convenablement renormalisées, convergent en loi vers les processus de Bessel, nous explicitons la transformée de Laplace ainsi que le premier moment de l'inverse de l'amplitude ( i. E. Premier instant où l'amplitude dépasse un niveau donne) pour ces deux classes de processus. Les calculs sont développés dans le cas particulier des processus de Bessel de dimension 1 et 3. Enfin, dans la troisième partie, nous considérons deux classes de martingales : 1 - La classe des martingales càdlàg, uniformément intégrables, (Mt)t≥0, dont la loi du couple (M0, M∞) est fixée. 2 - La classe des martingales càdlàg, uniformément intégrables, (Mt)t≥0, dont les lois de M0 et de M∞ sont données. Pour chacun des ces deux problèmes de types Skorokhod, nous construisons des solutions browniennes explicites qui jouent un rôle essentiel dans les inégalités maximales
This thesis is divided in three independant parts. In first part is estimated the convergence rate of sorne semi-groups associated to diffusion processes to their invariant probability. Second part deals with the law of the range process for ultraspherical Markov chains and Bessel processes. Convergence of ultraspherical Markov chains to Bessel processes is first established. Then are evaluated Laplace transform and firts moment for the range inverse (firt passage time for the range process to a given level). Calculations are developped in the case of Bessel processes of dimension one and three. In third part are considered two classes of martingale: 1 - The class of right continuous left limited, uniformly integrable martingales, (Mt)t≥0, such that the law of (M0, M∞) is given. 2 - The class of right continuous left limited, uniformly intégrable martingales, (Mt)t≥0 such that the laws of M0 and M∞ are given. For each of these two kind of Skorokhod's problem, we construct an explicit brownian solution. These solutions are of great importance in maximal inequalies

Les semi-groupes de Markov ergodiques permettent d'approcher des mesures de probabilité au moyen d'inégalités fonctionnelles. L'objectif de la thèse est l'étude de certaines de ces inégalités, de l'isopérimétrie gaussienne aux inégalités de Sobolev. Nous cherchons essentiellement à établir des liens entre elles, à déterminer leurs constantes optimales et à obtenir des critères assurant leur existence. Le travail est divisé en trois parties. Dans la première , nous nous intéressons aux liens entre les inégalités de Sobolev logarithmiques (SL) et celles d'?isopérimétrie gaussienne de Bobkov (IGB). Nous montrons qu'?un semi-groupe de courbure minorée (éventuellement négative) qui satisfait à (SL) vérifie également une inégalité (IGB). Nous obtenons ainsi une inégalité (IGB) pour certains systèmes de spins. Dans la seconde partie, nous montrons que la constante de Poincaré d'une mesure de probabilité log-concave sur la droite réelle est universellement comparable au carré de la distance moyenne à la médiane. La preuve repose sur un calcul de variations dans l'ensemble des fonctions convexes. La dernière partie est consacrée à de nouveaux critères conduisant aux inégalités de Sobolev lorsque le critère de courbure-dimension (CD) de Bakry et Emery est mis en défaut. La technique utilisée repose sur la construction (au moyen de changements conformes de métrique et tensorisation) d?'une structure de Dirichlet en dimension supérieure qui satisfait un critère (CD) et se projette sur la structure de départ.

Cette thèse étudie les comportements asymptotiques de processus de Markov conditionnés à ne pas atteindre de frontières mobiles. Le premier chapitre s'intéresse à cette question pour des chaînes de Markov à temps discret définies sur un espace d'état finie en considérant des frontières périodiques. Si les notions de distributions quasi-stationnaires et de distributions quasi-limites sont mal définies dans ce cas, l'existence de distribution quasi-ergodiques et d'un Q-processus est démontré. Dans le deuxième chapitre, les résultats précédents sont étendues à des processus de Markov satisfaisant des conditions inhomogènes globales introduites par N.Champagnat et D.Villemonais. Dans le cas de frontières périodiques, nous obtenons l'existence et l'unicité d'une distribution quasi-ergodique. Dans le cas où la frontière absorbante se stabilise à l'infini, nous obtenons en plus l'existence et l'unicité d'une distribution quasi-limite. Le troisième chapitre s'intéresse à la quasi-stationnarité du mouvement brownien dit "renormalisé" absorbé en {-1,1}. Ce processus dépend d'un paramètre K et sa quasi-stationnarité présente une transition de phase de paramètre critique égal à 1/2. Enfin, le dernier chapitre étend les résultat du deuxième à des processus satisfaisant des critères plus faible que les conditions globales de Champagnat-Villemonais. On y démontre notamment une propriété de mélange, l'existence du Q-processus et d'une distribution quasi-ergodique pour certains comportement de frontières mobiles
This thesis studies the asymptotic behaviors for Markov processes conditioned not to hit moving boundaries. The first chapter deals with this problem for discrete-time Markov chains defined on finite state space considering periodic boundaries. Even if the notions of quasi-stationary distributions and quasi-limiting distributions are not well-defined considering moving boundaries, the existence of a quasi-ergodic distribution and the Q-process are shown. In the second chapter, the previous results are extended to Markov processes satisfying some global inhomogeneous conditions introduced by N. Champagnat and D. Villemonais. In the periodic case, the existence and uniqueness of a quasi-ergodic distribution are proved. When the boundary stabilizes at infinity, we obtain moreover the existence and uniqueness of a quasi-limiting distribution. The third chapter deals with the quasi-stationarity for the "renormalized" Brownian motion absorbed at {-1,1}. The law of this process depends on a parameter K and a phase transition is observed for its quasi-stationarity, whose the critical parameter is equal to 1/2. Finally, the last chapter extend the results obtained in the second chapter to Markov processes satisfying some criteria weaker than the global Champagnat-Villemonais conditions. In particular, we obtain under these conditions a mixing property, the existence of the Q-process and the existence of a quasi-ergodic distribution for some behaviors of the boundary