Academic literature on the topic 'Serie di Fourier problema del calore Cauchy-Dirichlet equazione del calore'

In quest'elaborato si risolve il problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore, prendendo come oggetto d'esame una sbarra omogenea. Nel primo capitolo si studiano le serie di Fourier reali a partire dalle serie trigonometriche; vengono dati, poi, i principali risultati di convergenza puntuale, uniforme ed in L^2 e si discute l'integrabilità termine a termine di una serie di Fourier. Il secondo capitolo tratta la convergenza secondo Cesàro, le serie di Fejèr ed i principali risultati di convergenza di queste ultime. Nel terzo, ed ultimo, capitolo si risolve il Problema di Cauchy-Dirichlet, distinguendo i casi in cui il dato iniziale sia di classe C^1 o solo continuo; nel secondo caso si propone una risoluzione basata sulle serie di Fejér e sul concetto di barriera ed una utilizzando il nucleo di Green per l'equazione del calore.

In questa tesi vengono forniti risultati sulle serie di Fourier e successivamente sulle serie di Fejér, utili per poter analizzare il cosiddetto problema di Cauchy-Dirichlet per l'equazione del calore di una sbarra omogenea. Lo scopo è trovare soluzioni classiche del problema che presenta come dato iniziale dapprima una funzione di classe C^1 e successivamente una funzione solamente continua.

Gli oggetti di studio di questa tesi sono le serie di Fourier reali e la loro applicazione nella risoluzione del problema del calore. Il primo capitolo tratta dei polinomi trigonometrici e delle loro proprietà, per poi poter definire la nozione di serie di Fourier reale di una funzione sommabile di periodo 2pigreco. In relazione alle proprietà della funzione (f holderiana, a variazione totale limitata, assolutamente continua) viene analizzata la sviluppabilità in serie di Fourier sulla base di formule di rappresentazione integrale, e sono dimostrati i relativi teoremi sulla convergenza puntuale, uniforme e in norma L2. Nel secondo capitolo viene presentato il problema di Cauchy-Dirichlet per l’equazione del calore su una sbarra omogenea e la sua risoluzione nei casi in cui il dato iniziale di temperatura sia di classe C1 o solo continuo. Nel primo caso si segue il metodo di separazione delle variabili per trovare la soluzione corrispondente alle condizioni al contorno; risulterà cruciale la sviluppabilità in serie di Fourier di una funzione C1 e la convergenza di tale serie. Nel secondo caso viene formulata una soluzione in termini del nucleo di Green per l’equazione del calore. L’esistenza e l’unicità di tale soluzione sono assicurate dai rispettivi teoremi enunciati e dimostrati nel caso generale in dimensione n e poi ricondotti al caso particolare uno-dimensionale.

Questa tesi si propone di presentare i principali risultati riguardanti l'equazione del calore. In primo luogo si introduce l'equazione di diffusione, enfatizzando tra le principali proprietà delle soluzioni il principio di sovrapposizione e l'invarianza rispetto alle dilatazioni paraboliche. Queste proprietà verranno utilizzate per costruire la soluzione classica del problema di Cauchy-Dirichlet e la soluzione fondamentale a partire dall'equazione del calore in forma omogenea. Segue un approfondimento sulla legge fondamentale di conduzione del calore, da cui si ricava che l'equazione di diffusione rappresenta un modello matematico per descrivere l'evoluzione nel tempo della temperatura di un corpo rigido. La trattazione prosegue focalizzandosi sullo studio e risoluzione, in senso classico, del problema di Cauchy-Dirichlet per la sbarra omogenea con dato iniziale C^1, sfruttando, in particolare, l'analisi alla base degli sviluppi in serie di Fourier. Successivamente, vengono riportati i risultati generali ottenuti in dimensione n>=1. Tra questi, viene dedotta l'unicità della soluzione del problema di Cauchy-Dirichlet, tramite il principio di massimo debole, e per problemi misti, tramite il principio di Hopf. Infine, si affronta il problema di Cauchy omogeneo globale con dato iniziale continuo e si dimostrano per la soluzione classica: l'esistenza, costruendo la soluzione fondamentale, e l'unicità, introducendo una stima di crescita esponenziale.

Oggetto della mia tesi è la trasformata di Fourier e la sua applicazione alla risoluzione dell'equazione del calore e dell'equazione delle onde. Nel primo capitolo ricordo la definizione di trasformata di Fourier, alcune sue proprietà e infine la definizione di Spazi di Schwartz. Nel secondo capitolo risolverò l'equazione del calore e nel terzo l'equazione delle onde.