Academic literature on the topic 'Singularité de systèmes intégrables'
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Journal articles on the topic "Singularité de systèmes intégrables"
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Lesfari, Ahmed. "Analyse des singularités de quelques systèmes intégrables." Comptes Rendus Mathematique 341, no. 2 (July 2005): 85–88. http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2005.06.006.
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Balde, Moussa, Salomon Sambou, and El Hadj Cheikh Mbacke Diop. "Systèmes de contact intégrables à singularitées non dégénérées." Comptes Rendus Mathematique 343, no. 11-12 (December 2006): 751–54. http://dx.doi.org/10.1016/j.crma.2006.10.022.
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Tien Zung, Nguyen. "Actions toriques et groupes d'automorphismes de singularités des systèmes dynamiques intégrables." Comptes Rendus Mathematique 336, no. 12 (June 2003): 1015–20. http://dx.doi.org/10.1016/s1631-073x(03)00242-5.
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Lesfari, A. "Systèmes hamiltoniens complètement intégrables." Aequationes mathematicae 82, no. 1-2 (May 17, 2011): 165–200. http://dx.doi.org/10.1007/s00010-011-0078-x.
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Lesfari, A. "Systèmes dynamiques algébriquement complètement intégrables et géométrie." Annals of West University of Timisoara - Mathematics and Computer Science 53, no. 1 (July 1, 2015): 109–36. http://dx.doi.org/10.1515/awutm-2015-0006.
Full textAbstract:
Résumé In this paper I present the basic ideas and properties of the complex algebraic completely integrable dynamical systems. These are integrable systems whose trajectories are straight line motions on complex algebraic tori (abelian varieties). We make, via the Kowalewski-Painlevé analysis, a detailed study of the level manifolds of the system. These manifolds are described explicitly as being affine part of complex algebraic tori and the flow can be solved by quadrature, that is to say their solutions can be expressed in terms of abelian integrals. The Adler-van Moerbeke method’s which will be used is primarily analytical but heavily inspired by algebraic geometrical methods. We will also discuss several examples of algebraic completely integrable systems : Kowalewski’s top, geodesic flow on SO(4), Hénon-Heiles system, Garnier potential, two coupled nonlinear Schrödinger equations and Yang-Mills system.
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Khemar, Idrisse. "Surfaces isotropes de O et systèmes intégrables." Journal of Differential Geometry 79, no. 3 (July 2008): 479–516. http://dx.doi.org/10.4310/jdg/1213798185.
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Françoise, J. P. "Systèmes intégrables à $m$-corps sur la droite." Mémoires de la Société mathématique de France 1 (1991): 111–22. http://dx.doi.org/10.24033/msmf.357.
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Lablée, Olivier. "Sur le spectre semi-classique d’un système intégrable de dimension 1 autour d’une singularité hyperbolique." Séminaire de théorie spectrale et géométrie 26 (2008): 29–76. http://dx.doi.org/10.5802/tsg.260.
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Lablée, Olivier. "Sur le spectre semi-classique d’un système intégrable de dimension 1 autour d’une singularité hyperbolique." Annales de la faculté des sciences de Toulouse Mathématiques 19, no. 1 (2010): 191–229. http://dx.doi.org/10.5802/afst.1241.
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Ammar, F. "Systèmes hamiltoniens complètement intégrables et déformations d'algèbres de Lie." Publicacions Matemàtiques 38 (July 1, 1994): 427–31. http://dx.doi.org/10.5565/publmat_38294_11.
Full textDissertations / Theses on the topic "Singularité de systèmes intégrables"
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Alamiddine, Iman. "Géométrie de systèmes Hamiltoniens intégrables : le cas du système de Gelfand-Ceitlin." Toulouse 3, 2009. http://thesesups.ups-tlse.fr/538/.
Full textAbstract:
Le système de Gelfand-Ceitlin a été découvert par V. Guillemin et S. Sternberg en 1983. C'est un système bien connu en géométrie, mais ses singularités sont mal comprises. Le but de cette thèse est d'étudier la géométrie et la topologie des systèmes hamiltoniens intégrables et la relation avec la théorie de Lie et la géométrie symplectique et de Poisson. On s'intéresse au système de Gelfand-Ceitlin sur une orbite coadjointe générique du groupe SU(3). Pour une description géométrique de ce système, on a étudié la topologie de la variété ambiante. On calcule ses invariants (les groupes de cohomologie, d'homotopie). On étudie le problème de convexité en relation avec ce système. L'étude des singularités de ce système montre que toutes les singularités sont non dégénérées de type elliptique, sauf une dégénérée. On décrit soigneusement le comportement du système au voisinage de cette singularité, on donne un modèle simple pour la singularité dégénérée que l'on prouve grâce à un théorème qui établit un symplectomorphisme entre la singularité dégénérée et le modèle de flots géodésiques sur la sphère S3The Gelfand-Ceitlin system has been discovered by V. Guillemin and S. Sternberg in 1983. It is a well known geometry, its singularities are yet poorly understood. The aim of this thesis is to study the geometry and topology of integrable Hamiltonian systems and the relationship between the theory of Lie and symplectic geometry and Poisson geometry. We study the Gelfand Ceitlin system on a generic coadjoint orbit of the group SU(3). To describe this system geometrically, we studied the topology of the ambient variety. We calculate its invariants (the cohomology groups, the homotopy groups). We study the problem of convexity in relation with this system. The singularities study of this system shows that all singularities are elliptic non-degenerate, except for only one. We describe carefully the behaviour of the system in the neighbourhood of this singularity, we give a simple model for degenerated singularity that we prove by a theorem which establishes a unique symplectomorphisme between the degenerate singularity and the model of geodesic flows on the sphere S3
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Bouloc, Damien. "Géométrie et topologie de systèmes dynamiques intégrables." Thesis, Toulouse 3, 2017. http://www.theses.fr/2017TOU30099/document.
Full textAbstract:
Dans cette thèse, on s'intéresse à deux aspects différents des systèmes dynamiques intégrables. La première partie est dévouée à l'étude de trois familles de systèmes hamiltoniens intégrables : les systèmes de pliage de Kapovich et Millson sur les espaces de modules de polygones 3D de longueurs de côtés fixées, les systèmes de Gelfand-Cetlin introduits par Guillemin et Sternberg sur les orbites coadjointes du groupe de Lie U(n), et une famille de systèmes définie par Nohara et Ueda sur la variété grassmannienne Gr(2,n). Dans chaque cas on montre que les fibres singulières de l'application moment sont des sous-variétés plongées et on en donne des modèles géométriques sous la forme de variétés quotients. La deuxième partie poursuit une étude initiée par Zung et Minh sur les actions totalement hyperboliques de Rn sur des variétés compactes de dimension n, qui apparaissent naturellement lors de l'étude des systèmes non-hamiltoniens intégrables dont toutes les singularités sont non-dégénérées. On s'intéresse au flot engendré par l'action d'un vecteur générique de Rn. On donne une définition d'indice pour ses singularités qu'on relie à la théorie de Morse classique, et on utilise ce flot pour obtenir des résultats sur le nombres d'orbites de dimension donnée. Une étude plus poussée est effectuée en dimension 2, et en particulier sur la sphère S2, où les orbites de l'action dessinent un graphe plongé dont on analyse la combinatoire. On termine en construisant explicitement des exemples d'actions hyperboliques en dimension 3 sur la sphère S3 et dans l'espace projectif RP3In this thesis, we are interested in two different aspects of integrable dynamical systems. The first part is devoted to the study of three families of integrable Hamiltonian systems: the systems of bending flows of Kapovich and Millson on the moduli spaces of 3D polygons with fixed side lengths, the Gelfand-Cetlin systems introduced by Guillemin and Sternberg on the coadjoint orbits of the Lie group U(n), and a family of integrable systems defined by Nohara and Ueda on the Grassmannian Gr(2,n). In each case we prove that the fibers of the momentum map are embedded submanifolds for which we give geometric models in terms of quotients manifolds. In the second part we carry on with a study initiated by Zung and Minh of the totally hyperbolic actions of R^n on compact n-dimensional manifolds that appear naturally when investigating integrable non-hamiltonian systems with nondegenerate singularities. We study the flow generated by the action of a generic vector in Rn. We define a notion of index for its singularities and we use this flow to obtain results on the number of orbits of given dimension. We investigate further the 2-dimensional case, and more particularly the case of the sphere S2, where the orbits of the action draw an embedded graph of which we analyse the combinatorics. Finally, we provide explicit examples of totally hyperbolic actions in dimension 3, on the sphere S3 and on the projective space RP3
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Vũ, Ngoc San. "Sur le spectre des systèmes complètement intégrables semi-classiques avec singularités." Université Joseph Fourier (Grenoble ; 1971-2015), 1998. http://www.theses.fr/1998GRE10270.
Full textAbstract:
Le sujet principal de cette these est l'etude microlocale semi-classique des systemes de n operateurs pseudo-differentiels qui commutent sur une variete de dimension n, au voisinage d'un point fixe du flot hamiltonien completement integrable associe. La presence d'une telle singularite influence aussi bien la dynamique locale du systeme classique que la topologie globale des feuilles lagrangiennes. Cette these s'attache a deceler les repercussions quantiques de ces aspects. Sous des hypotheses de non-degenerescence pour la singularite, mais sans hypothese d'analyticite, l'aspect local est resolu par l'enonce d'une forme normale microlocale. L'aspect global est discute du point de vue de la monodromie du systeme, qui est une obstruction a l'existence de variables actions-angles globales. La monodromie quantique est definie comme un invariant du spectre conjoint du systeme quantique. Les systemes possedant une singularite de type focus-focus, comme le probleme du pendule spherique etudie par duistermaat, sont concernes par ces deux aspects. Nous les traitons en detail, en determinant, dans l'esprit des travaux de colin de verdiere et parisse, les conditions de bohr-sommerfeld singulieres dont les solutions donnent le spectre conjoint pres de la valeur critique. Elles nous permettent d'obtenir des informations asymptotiques et exactes sur la structure du spectre, corroborees par les resultats numeriques de child. Nous traitons aussi dans cette these le probleme de l'abandon de l'hypothese de complete integrabilite, dans le cadre des etats semi-excites de sjostrand. Une variante de la forme normale de birkhoff quantique est presentee, qui fournit une nouvelle approche du probleme de la determination du spectre en presence de frequences resonnantes. Nous appliquons la methode au cas de la resonance 1 : 1 : : 1.
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Lablée, Olivier. "Autour de la dynamique semi-classique de certains systèmes complètement intégrables." Phd thesis, Université Joseph Fourier (Grenoble), 2009. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00439641.
Full textAbstract:
La dynamique semi-classique d'un opérateur pseudo-différentiel sur une variété est l'analogue quantique du flot classique de son symbole principal sur la variété . Cette dynamique semi-classique est décrite par l'équation de Schrödinger de l'opérateur ; alors que le flot classique hamiltonien est, lui, donné par les équations d'Hamilton associées a la fonction . Le spectre de l'opérateur pseudo-différentiel permet donc de pouvoir décrire les solutions générales en fonction du temps de l'équation de Schrödinger associée. Le comportement en temps long de la dynamique semi-classique donnée par ces solutions reste cependant sur bien des points mystérieux. La dynamique semi-classique dépend donc directement du spectre de l'opérateur et aussi par conséquent de la géométrie sous jacente dans induite par la fonction symbole classique . Dans cette thèse, on décrit d'abord la dynamique semi-classique en temps long dans le cas de la dimension 1 avec une fonction symbole n'ayant pas de singularité ou bien avec une singularité non-dégénérée de type elliptique : le feuilletage dans de est alors elliptique. Les règles de Bohr-Sommerfeld régulières fournissent alors le spectre d'un tel opérateur. On traite aussi le cas de la dimension 2 qui nous amène à quelques discussions de théorie de nombres. Pour finir, on s'intéresse au cas d'un opérateur pseudo-différentiel avec une singularité non-dégénérée de type hyperbolique : le feuilletage dans de est alors un ”huit hyperbolique ” (modèle difféomorphe au Schrödinger avec un potentiel double puits).
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Fittouhi, Yasmine. "Étude des fibres singulières des systèmes de Mumford impairs et pairs." Thesis, Poitiers, 2017. http://www.theses.fr/2017POIT2252/document.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l'étude des fibres de l'application moment du système de Mumford (pair ou impair) d'ordre g>0. Ces fibres sont paramétrées par des courbes hyperelliptiques de genre g. Comme l'a démontré Mumford, la fibre au-dessus d'une telle courbe lisse est la jacobienne de la courbe, moins son diviseur thêta. Nous décrivons les fibres au-dessus d'une courbe singulière, à la fois de manière algébrique et géométrique. Pour ce faire, nous utilisons de façon essentielle les g champs de vecteurs du système de Mumford, qui définissent une stratification de chaque fibre, où chaque strate est isomorphe à une strate particulière (dite maximale) d'une fibre d'un système de Mumford d'ordre inférieur. Sur cette strate, tous les champs de vecteurs du système de Mumford sont linéairement indépendants en tout point. Nous décrivons cette strate comme un ouvert de la jacobienne généralisée d'une courbe hyperelliptique singulière. Nous montrons également que sur la jacobienne généralisée, les champs de Mumford sont des champs invariants par translationThis thesis is dedicated to the study and to the description of the fibres of the momentum map of the (even or odd) Mumford system of degree g>0. These fibres are parameterized by hyperelliptic curves. Mumford proved that each fiber over a smooth curve is isomorphic to the Jacobian of the curve, minus its theta divisor. We give a geometrical as well as an algebraic description of the fibers over any singular curve. The geometrical description uses in an essential way the g vector field of the Mumford system. They define a stratification of each fiber where each stratum is isomorphic to a particular stratum, called the maximal stratum, of a fiber of a Mumford system of degree at most g. The algebraic description uses the theory of subresultants, which is applied to the polynomials which parametrize the points of phase space. We show that every stratum is isomorphic with an affine part of the generalized Jacobian of a singular hyperelliptic curve. We also prove that the Mumford vector fields are translation invariant on these generalized Jacobians
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Orieux, Michaël. "Quelques propriétés et applications du contrôle en temps minimal." Thesis, Paris Sciences et Lettres (ComUE), 2018. http://www.theses.fr/2018PSLED079.
Full textAbstract:
Cette thèse contribue à l'étude en temps minimal des systèmes de contrôle affines. Les systèmes dépendant du contrôle de manière affine sont naturellement présents en physique, et apparaissent dès qu'on s'intéresse aux systèmes mécaniques. Ils sont, pour autant, bien plus généraux. Dans ce manuscrit on traite les singularités de tels systèmes, en minimisant le temps final, celui où l'objectif est atteint. Une étude précise du flot extrémal de ces systèmes est faite, d'abord pour les systèmes mécaniques, puis en général, et l'on donne une formulation à paramètre du système extrémal. Cela nous permet d'obtenir une régularité précise pour le flot, qui s'avère être lisse sur une stratification au voisinage du lieu singulier. Nous appliquons ensuite les résultats au problème du transfert d'orbite d'un engin spatial, et contrôlons le nombre singularités présentes au cours d'un transfert. Nous changeons ensuite de point de vue pour s'intéresser aux conditions d'optimalités des extrémales étudiées, et donnons un critère d'optimalité local, calculable par un test numérique simple. Il est enfin question d'étudier ces singularités du point de vue de l'intégrabilité des systèmes Hamiltoniens : nous prouvons ainsi que le problème du transfert d'orbite à deux corps en temps minimal n'est pas intégrable au sens de LiouvilleThis thesis contribute to the optimal time study of control-affine systems. These problems arise naturally from physics, and contains, for instance, mechanical systems. We tackle the study of their singularities, while minimizing the final time, meaning the time on which the aim is reached. We give a precise study of the extremal flow, for mechanical systems, for starter, and then, in general. This leads to the knowledge of the flow regularity: it is smooth on a stratification around the singular set. We then apply those results to mechanical systems, and orbit transfer problems, with two and three bodies, giving an upper bound to the number of singularities occurring during a transfer. We then change our viewpoint to study the optimality of such extremal in general, and give an optimality criteria than can be easily checkednumerically. In the last chapter we study the singularities of the controlled Kepler problem through another path: we prove a non-integrability theorem - in the Liouville sens - for the Hamiltonian system given by the minimum time orbit transfer (or rendez-vous) problem in the Kepler configuration
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Leurent, Sebastien. "Systèmes intégrables et dualité AdS/CFT." Phd thesis, Université Pierre et Marie Curie - Paris VI, 2012. http://tel.archives-ouvertes.fr/tel-00797842.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l'étude de systèmes quantiques intégrables tels des chaînes de spins, des théories de champs à 1+1 dimensions, et la dualité AdS/CFT. Cette dualité AdS/CFT est une conjecture, émise à la fin du siècle dernier, qui relie notamment le régime non-perturbatif d'une théorie de jauge superconforme (nommée N =4 super Yang- Mills) au régime perturbatif d'une théorie de cordes dans un espace à 10 dimensions (de géométrie AdS5×S5). Ce manuscrit explore les similarités entre des chaînes de spins intégrables et des théories de champs intégrables, tels Super Yang Mills. Il commence par une étude ap- profondie des chaînes de spins intégrables pour y construire explicitement un "flot de Bäcklund" et des "opérateurs Q" polynômiaux, qui permettent de diagonaliser le Hamil- tonien. Des théories de champs intégrables sont ensuite étudiées et des "fonctions Q" sont obtenues, qui sont l'analogue des opérateurs Q construits pour les chaînes de spins. Il apparaît que de nombreuses informations sont contenue dans les propriétés analytiques des fonctions Q. Cela permet d'aboutir, dans le cadre de l'ansatz de Bethe thermody- namique, à un nombre fini d'équations non-linéaires intégrales qui encode le spectre des niveaux d'énergie de la théorie considérée (en taille finie). Ce système d'équations est équivalent au système infini d'équations, connu sous le nom de système Y, qui dans le cas de la dualité AdS/CFT avait été conjecturé assez récemment.
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Leurent, Sébastien. "Systèmes intégrables et dualité AdS/CFT." Paris 6, 2012. http://www.theses.fr/2012PA066238.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée à l'étude de systèmes quantiques intégrables tels des chaines de spin, des théories de champs à 1+1 dimensions, et la dualité AdS/CFT. Cette dualité AdS/CFT est une conjecture, emmise à la fin du siècle dernier, qui relie notamment le régime non-perturbatif d'une théorie de jauge superconforme (nommée N=4 super Yang-Mills) au régime perturbatif d'une théorie de cordes dans un espace à 10 dimensions (de géométrie AdS₅xS⁵). Ce manuscrit explore les similarités entre des chaînes de spins intégrables et des théories de champs intégrables, tels Super Yang Mills. Il commence par une étude approfondie des chaînes de spins intégrables pour y construire explicitement un "flot de Bäcklund" et des "opérateurs Q" polynomiaux, qui permettent de diagonaliser le Hamiltonien. Des théories de champs intégrables sont ensuite étudiées et des "fonctions Q" sont obtenues, qui sont l'analogue des opérateurs Q construits pour les chaînes de spins. Il apparaît que de nombreuses informations sont contenue dans les propriétés analytiques des fonctions Q. Cela permet d'aboutir, dans le cadre de l'Ansatz de Bethe thermodynamique, à un nombre fini d'équations non-linéaires intégrales qui encode le spectre des niveaux d'energie de la théorie considérée (en taille finie). Ce système d'équation est équivalent au système infini d'équation, connu sous le nom de système Y, qui dans le cas de la dualité AdS/CFT avait été conjecturé assez récemmentThis thesis is devoted to the study of integrable quantum systems such as spin chains, bidimentional field theories and the AdS/CFT duality. This AdS/CFT duality is a conjecture, stated in the end of the last century, which relates (for instance) the non-perturbative regime of a superconformal gauge theory (called N=4 super Yang-Mills) and the perturbative regime of a string theory on a 10-dimensioonal space with the geometry AdS₅xS⁵. This thesis explores the similarities between integrable spin chains and quantum field theories, such as Super Yang Mills. We first study integrable spin chains and build explicitely a polynomial "Bäcklund flow" and polynomial "Q-operators", which allow to diagonalize the Hamiltonian. We then study integrable field theories et show how to obtain "Q-functions", analogous to the Q-operators built for spin chains. It turns out that several important informations are contained in the analytic properties of these Q-functions. That allows to obtain, in the framework of the thermodynamic Bethe Ansatz, a finite number of non-linear integral equations encoding the spectrum of the theory which we study. This system of equations is equivalent to an infinite system of equations, known as "Y-system", which had been quite recently conjectured in the case of the AdS/CFT duality
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Crampé, Nicolas. "Approches algébriques dans les systèmes intégrables." Chambéry, 2004. http://www.theses.fr/2004CHAMA001.
Full textAbstract:
Cette thèse est consacrée principalement aux systèmes intégrables quantiques et, plus particulièrement, aux développements de structures algébriques qui permettent l'étude de la symétrie de modèles en physique quantique. Elle est constitutée de deux parties. La première fournit ds notions mathématiques utilisées dans l'étude des systèmes intégrables. Les groupes quantiques et plus particulièrement les Yangiens seront définis et étudiés. Ces algèbres, déformation des algèbres de Lie, sont au coeur de développements récents aussi bien en mathém̀atiques qu'en physique. On présnetera entre autres la structure de Hopf qui joue un rôle primordial dans la compréhension des systèmes intégrables. Des généralisations de ces notions algébriques à l'ensemble des algèbres de LIe ainsi qu'à des superalgèbres de Lie seront présentées et finalement des sous-algèbres des Yangiens seront étuduées en détail. La seconde partie utilise des concepts introduits dans la première partie pour étudier des systèmes intégrables. En particulier, on étudiera deux grandes classes de modèles : les modèles dits de Sutherland et les chaînes de spins. Une partie importante de cette partie sera dédiée à l'étude de ces systèmes intégrables en présence de conditions aux bords non triviablesThe aim of this thesis is mainly the study of quantum integrable systems. In particular, algebraic methods are developped in order to study the symmetries of quantum models. The thesis is made out of two parts. In this first part, mathematical tools used in the study of integrable systems are presented. We shall define quantum groups and in particular Yangians. These algebras are the cause of recent developments in mathematics and physics. Their Hopf structure which is essential for the understanding of integrable systems will be discussed. These algebraic concepts will be generalized to any Lie algebra and superalgebra and finally, we will focus on the subalgebras of the Yangians. The second part uses these concepts to study quantum integrable systems, namely the so-called Sutherland model and spin chains. An important part of this part will be devoted to the study of these integrable systems in the presence of non-trivial boundary conditions
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Cresson, Jacky. "Propriétés d'instabilité des systèmes Hamiltoniens proches de systèmes intégrables." Observatoire de Paris, 1997. https://hal.archives-ouvertes.fr/tel-02071388.
Full textAbstract:
L’objet de ce mémoire est l'étude des propriétés d'instabilité des systèmes hamiltoniens voisins de systèmes intégrables. Plus précisément, nous étudions le mécanisme d'Arnold (encore appelé diffusion d'Arnold). Nous décrivons tout d'abord l'espace des phases au voisinage d'un tore partiellement hyperbolique et le long d'une chaine de tore. Nous démontrons que les tores hyperboliques provenant de la destruction d'un tore résonnant le long d'une surface de résonance quelconque vérifie la propriété d'obstruction. Nous montrons ensuite qu'il existe une dynamique symbolique au voisinage d'un tore homocline transverse. Ces résultats nous permettent de déduire l'existence d'orbites le long d'une chaine et l'existence d'une chaine d'orbites périodiques hyperboliques. On montre alors l'existence d'orbites périodiques de période arbitrairement longue le long de la chaine, résolvant ainsi une conjecture de Holmes-Marsden. Nous estimons ensuite le temps de dérive d'une orbite le long d'une chaine. Nous éclaircissons le lien entre les différentes données du problèmes (angle d'intersection, propriété d'Ergodisation sur le tore) et le temps calcule. On démontre ainsi que le temps de dérive dans un système Hamiltonien initialement hyperbolique est polynomial. La méthode mise au point est générale et valable pour une chaine abstraite, ce qui n'est pas le cas des méthodes variationnelle actuelles. On applique enfin l'ensemble de nos résultats à des systèmes issus de la physique. Nous décrivons dans un premier temps une classe de systèmes pour lesquels il existe toujours des chaines de transition. Notre but est ensuite de montrer qu'une grande classe de ces systèmes contient des problèmes physiques classiques (problème restreint elliptique plan des 3 corps, dynamique d'une galaxie elliptique). Ce travail nous permet de discuter, de manière informelle, une nouvelle construction d'orbites d'instabilité permettant de lever le problème des trous dû à la méthode d'ArnoldThe purpose of this thesis is to study instability properties of near-integrable Hamiltoniens systems, in particular Arnold’s diffusion. We first describe the phase-space near a partially hyperbolic torus and along a transition chain. We prove that hyperbolic tori, which come from the destruction of resonant tori, are transition tori. We then show that transvers homoclinic partially hyperbolic tori possess a symbolic dynamics. These results allow us to prove the existence of instability’s orbits along a chain as well as periodic orbits of arbitrarily hight period as conjectured by Homes-Marsden. Second, we estimate the time of drift along a chain by geometrical methods. We precise the role of the splitting size, ergodisation time… We prove that for initially hyperbolic Hamiltonian systems this time of drift is polynomial. Our method is general and applies on abstract chain of tori, which is not the case of variational methods. Last, we apply our result on specific examples. We first describe a class of systems, which always possess transition chain. We then show that this class contains a lot of classical systems as the three body problem, Rydberg’s atom…
Books on the topic "Singularité de systèmes intégrables"
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Albert, Claude. Integrable Systems and Foliations: Feuilletages et Systèmes Intégrables. Birkhäuser, 2011.
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Audin, Michele. Les Systemes Hamiltoniens Et Leur Integrabilite. Societe Mathematique De France, 2001.
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Boucetta, Mohamed. "Géometrie Globale des Systèmes Hamiltoniens Complètement Intégrables et Variables Action-Angle avec Singularités." In Mathematical Sciences Research Institute Publications, 13–22. New York, NY: Springer US, 1991. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4613-9719-9_2.
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Bennequin, Daniel. "Hommage à Jean-Louis Verdier : au jardin des systèmes intégrables." In Integrable Systems, 1–36. Boston, MA: Birkhäuser Boston, 1993. http://dx.doi.org/10.1007/978-1-4612-0315-5_1.
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