Dissertations / Theses on the topic 'Symmetry groups – Asymptotic theory'

On compact Riemann surfaces, the Laplacian $\Delta$ has a discrete, non-negative spectrum of eigenvalues $\{\lambda_{i}\}$ of finite multiplicity. The spectrum is intrinsically linked to the geometry of the surface. In this work, we consider surfaces of constant negative curvature with a large symmetry group. It is not possible to explicitly calculate the eigenvalues for surfaces in this class, so we combine group theoretic and analytical methods to derive results about the spectrum. In particular, we focus on the Bolza surface and the Klein quartic. These have the highest order symmetry groups among compact Riemann surfaces of genera 2 and 3 respectively. The full automorphism group of the Bolza surface is isomorphic to $\mathrm{GL}_{2}(\mathbb{Z}_{3})\rtimes\mathbb{Z}_{2}. We analyze the irreducible representations of this group and prove that the multiplicity of $\lambda_{1}$ is 3, building on the work of Jenni, and identify the irreducible representation that corresponds to this eigenspace. This proof relies on a certain conjecture, for which we give substantial numerical evidence and a hopeful method for proving. We go on to show that $\lambda_{2}$ has multiplicity 4.

The Lie symmetry groups of minimal surfaces by way of planar harmonic functions are determined. It is shown that a symmetry group acting on the minimal surfaces is isomorphic with H × H^2 — the analytic functions and the harmonic functions. A subgroup of this gives a generalization of the associated family which is examined.

In this thesis, we investigate examples of random walks on free products of cyclic groups. Free products are groups that contain words constructed by concatenation with possible simplifications[20]. Mairesse in [17] proved that the harmonic measure on the boundary of these random walks has a Markovian Multiplicative structure (this is a class of Markov measures which requires fewer parameters than the usual Markov measures for its description ), and also showed how in the case of the harmonic measure these parameters can be found from Traffic Equations. Then Mairesse and Math ́eus in [20] continued investigation of these random walks and the associated Traffic Equations. They introduced the Stationary Traffic Equations for the situation when the measure is shift-invariant in addition to being μ-invariant. In this thesis, we review these developments as well as explicitly describe several concrete examples of random walks on free products, some of which are new.

The present thesis is divided into three parts. In Part I we address a problem within Higher-Spin Gauge Theory in dimension three: namely, that of computing the asymptotic symmetry algebra of supersymmetric models, describing an infinite spectrum of integer and half-integer higher-spin fields. In Part II we investigate higher-spin theories in dimension four or greater, where we classify the consistent cross interactions between free gauge fermions of arbitrary spin and a photon or a graviton. A third part supplements the bulk of the manuscript with technical appendices. <p><p>Part I is concerned with the Higher-Spin Theory extending the anti-de Sitter orthosymplectic Supergravity in three dimensions. After recalling the construction of the latter we exhibit the structure of the former, and then explain how to generalize the boundary conditions for Supergravity to the higher-spin case. Following the usual procedure, we compute the form of the residual gauge parameter and then identify the Poisson-bracket algebra governing the asymptotic dynamics. It is found to be a nonlinear, supersymmetric algebra of the W-infinity type with same central charge as pure Gravity in the Virasoro sector, which is a subalgebra thereof. The simply supersymmetric case is treated explicitly whereas the details of the extended cases are relegated to the appendices. <p><p>Part II deals with the interaction problem for gauge fermions coupled to Electromagnetism and Gravity in flat spacetime of arbitrary dimension. First we recall the so-called BRST-Antifield techniques, which reformulate the deformation problem as a cohomological one, recasting the familiar Noether procedure for finding out interactions in a mathematically systematic way. We then use these methods to classify and obtain expressions for the gauge-invariant cubic couplings between a symmetric tensor-spinor and a spin-1 and spin-2 gauge field. With no input from previous works, we find the complete list of interaction terms with minimal assumptions and in particular shed light on the quartic obstructions to full consistency.<br>Doctorat en Sciences<br>info:eu-repo/semantics/nonPublished

This thesis presents and evaluates a new parallel algorithm that computes all single cosets in the double coset M₂₄ P M₂₄, where P is a permutation on n points of a certain cycle structure, and M₂₄ is the Mathieu group related to a Steiner system S(5, 8, 24) as its automorphism group. The purpose of this work is not to replace the existing algorithms, but rather to explore a possibility to extend calculations of single cosets beyond the limits encountered when using currently available methods.

En unas palabras, el tema de esta tesis se podría resumir como: fenómenos varios en alta (pero finita) dimensión en teoría cuántica de la información. Dicho esto, sin embargo podemos dar algunos detalles de más. Empezando con la observación que la física cuántica ineludiblemente tiene que tratar con objetos de alta dimensión, se pueden seguir esencialmente dos caminos: o intentar reducir su estudio al de otros que tienen dimensión más baja, o intentar comprender qué tipo de comportamiento universal surge precisamente en este régimen. Aquí no elegimos cuál de estas dos posturas hay que adoptar, sino que oscilamos constantemente entre una y la otra. En la primera parte de este manuscrito (Capítulos 5 y 6), nuestro objetivo es reducir al mínimo posible la complejidad de ciertos procesos cuánticos, preservando sus características esenciales. Los dos tipos de procesos que nos interesan son canales cuánticos y medidas cuánticas. En ambos casos, la complejidad de una transformaci ón se cuantifica con el número de operadores necesarios para describir su acción, y la proximidad entre la transformación de origen y su aproximación se define por el hecho de que, cualquiera que sea el estado de entrada, los respectivos estados de salida deben ser suficientemente similares. Proponemos maneras universales de alcanzar nuestras metas de compresión de canales cuánticos y rarefacción de medidas cuánticas (basadas en construcciones aleatorias) y demostramos su optimalidad. En contrapartida, la segunda parte de este manuscrito (Capítulos 7, 8 y 9) se dedica específicamente al análisis de sistemos cuánticos de alta dimensión y sus rasgos típicos. El énfasis se pone sobre sistemos multipartidos y sus propiedades de entrelazamiento. En resumen, establecemos principalmente lo siguiente: cuando las dimensiones de los espacios subyacentes aumentan, es genérico para estados cuánticos multipartidos ser prácticamente indistinguible mediante observaciones locales, y es genérico para relajaciones de la noción de separabilidad ser burdas aproximaciones de ella. Desde un punto de vista técnico, estos resultados se derivan de estimaciones de promedio para supremosa de procesos gaussianos, combinadas con el fenómeno de concentración de la medida. En la tercera parte de este manuscrito (Capítulos 10 y 11), finalmente volvemos a una filosofía de reducción de dimensionalidad. Pero esta vez, nuestra estrategia es utilizar las simetrías inherentes a cada situación particular que consideramos para derivar una simplificación adecuada. Vinculamos de manera cuantitativa simetría por permutación y independencia, lo que nos permite establecer el comportamiento multiplicativo de varias cuantidades que ocurren en teoría cuántica de la información (funciones de soporte de conjuntos de estados, probabilidad de éxito en juegos multi-jugadores no locales etc.). La principal herramienta técnica que desarrollamos con este fin es un resultado de tipo de Finetti muy adaptable.<br>S'il fallait résumer le sujet de cette thèse en une expression, cela pourrait être quelque chose comme: phénomènes de grande dimension (mais néanmoins finie) en théorie quantique de l'information. Cela étant dit, essayons toutefois de développer brièvement. La physique quantique a inéluctablement afiaire à des objets de grande dimension. Partant de cette observation, il y a, en gros, deux stratégies qui peuvent être adoptées: ou bien essayer de ramener leur étude à celle de situations de plus petite dimension, ou bien essayer de comprendre quels sont les comportements universels précisément susceptibles d'émerger dans ce régime. Nous ne donnons ici notre préférence à aucune de ces deux attitudes, mais au contraire oscillons constamment entre l'une et l'autre. Notre but dans la première partie de ce manuscrit (Chapitres 5 et 6) est de réduire autant que possible la complexité de certains processus quantiques, tout en préservant, évidemment, leurs caractéristiques essentielles. Les deux types de processus auxquels nous nous intéressons sont les canaux quantiques et les mesures quantiques. Dans les deux cas, la complexité d'une transformation est mesurée par le nombre d'opérateurs nécessaires pour décrire son action, tandis que la proximité entre la transformation d'origine et son approximation est définie par le fait que, quel que soit l'état d'entrée, les deux états de sortie doivent être proches l'un de l'autre. Nous proposons des solutions universelles (basées sur des constructions aléatoires) à ces problèmes de compression de canaux quantiques et d'amenuisement de mesures quantiques, et nous prouvons leur optimalité. La deuxième partie de ce manuscrit (Chapitres 7, 8 et 9) est, au contraire, spécifiquement dédiée à l'analyse de systèmes quantiques de grande dimension et certains de leurs traits typiques. L'accent est mis sur les systèmes multi-partites et leurs propriétés ayant un lien avec l'intrication. Les principaux résultats auxquels nous aboutissons peuvent se résumer de la façon suivante: lorsque les dimensions des espaces sous-jacents augmentent, il est générique pour les états quantiques multi-partites d'être à peine distinguables par des observateurs locaux, et il est générique pour les relaxations de la notion de séparabilité d'en être des approximations très grossières. Sur le plan technique, ces assertions sont établies grâce à des estimations moyennes de suprema de processus gaussiens, combinées avec le phénomène de concentration de la mesure. Dans la troisième partie de ce manuscrit (Chapitres 10 et 11), nous revenons pour finir à notre état d'esprit de réduction de dimensionnalité. Cette fois pourtant, la stratégie est plutôt: pour chaque situation donnée, tenter d'utiliser au maximum les symétries qui lui sont inhérentes afin d'obtenir une simplification qui lui soit propre. En reliant de manière quantitative symétrie par permutation et indépendance, nous nous retrouvons en mesure de montrer le comportement multiplicatif de plusieurs quantités apparaissant en théorie quantique de l'information (fonctions de support d'ensembles d'états, probabilités de succès dans des jeux multi-joueurs non locaux etc.). L'outil principal que nous développons dans cette optique est un résultat de type de Finetti particulièrement malléable.<br>If a one-phrase summary of the subject of this thesis were required, it would be something like: miscellaneous large (but finite) dimensional phenomena in quantum information theory. That said, it could nonetheless be helpful to briefly elaborate. Starting from the observation that quantum physics unavoidably has to deal with high dimensional objects, basically two routes can be taken: either try and reduce their study to that of lower dimensional ones, or try and understand what kind of universal properties might precisely emerge in this regime. We actually do not choose which of these two attitudes to follow here, and rather oscillate between one and the other. In the first part of this manuscript, our aim is to reduce as much as possible the complexity of certain quantum processes, while of course still preserving their essential characteristics. The two types of processes we are interested in are quantum channels and quantum measurements. In both cases, complexity of a transformation is measured by the number of operators needed to describe its action, and proximity of the approximating transformation towards the original one is defined in terms of closeness between the two outputs, whatever the input. We propose universal ways of achieving our quantum channel compression and quantum measurement sparsification goals (based on random constructions) and prove their optimality. Oppositely, the second part of this manuscript is specifically dedicated to the analysis of high dimensional quantum systems and some of their typical features. Stress is put on multipartite systems and on entanglement-related properties of theirs. We essentially establish the following: as the dimensions of the underlying spaces grow, being barely distinguishable by local observers is a generic trait of multipartite quantum states, and being very rough approximations of separability itself is a generic trait of separability relaxations. On the technical side, these statements stem mainly from average estimates for suprema of Gaussian processes, combined with the concentration of measure phenomenon. In the third part of this manuscript, we eventually come back to a more dimensionality reduction state of mind. This time though, the strategy is to make use of the symmetries inherent to each particular situation we are looking at in order to derive a problem-dependent simplification. By quantitatively relating permutation-symmetry and independence, we are able to show the multiplicative behaviour of several quantities showing up in quantum information theory (such as support functions of sets of states, winning probabilities in multi-player non-local games etc.). The main tool we develop for that purpose is an adaptable de Finetti type result.

In this thesis we will study the S-matrices associated to a new class of (1+1)-dimensional integrable models with Uq(sl2) symmetry, whose asymptotic particle states organize into a k/2 isospin multiplet, with k= 0,1,2,... Such S-matrices generalize the case study previously analyzed by S. R. Aladim and M. J. Martins, where it was only investigated the non-deformed limit q→1 of pure SU(2) symmetry. We check that the proposed S-matrix satisfies the constraints due to the the Yang-Baxter equation, crossing-symmetry requirement and unitarity and therefore defines a self-consistent integrable factorized scattering theory.

Cette thèse est consacrée à l’étude de deux questions très différentes, reliées par les outils que nous utilisons pour les étudier. La première question est celle de la définition des théories de jauge sur un réseau avec un groupe de structure non commutatif. Ici, non commutatif ne signifie pas non Abelian, mais plutôt non commutatif au sens général de la géométrie non commutative. La deuxième question est celle du comportement des diffusions Browniennes sur des groupes matriciels non compacts d’un type spécifique, à savoir des groupes de matrices pseudo-orthogonales, pseudo-unitaires ou pseudo-symplectiques. Dans le premier chapitre, nous étudions des théories de jauge quantiques sur un réseau et leur limite continue sur le plan euclidien ayant une algèbre de Zhang pour groupe de stuc-ture. Les algèbres de Zhang sont des analogues non commutatifs des groupes et contiennent la classe des groupes duaux de Voiculescu. Nous nous intéressons donc aux analogues non commutatifs des champs de jauges quantiques, que nous décrivons par l’holonomie aléatoire qu’ils induisent. Nous proposons une définition générale d’un champ d’holonomies ayant une symétrie de jauge présentant la structure d’une algèbre de Zhang, et construisons un tel champ à partir d’un processus quantique de Lévy sur une algèbre de Zhang. Dans le deuxième chapitre, nous étudions les approximations matricielles des champs maîtres en dimensions supérieures construits dans le chapitre précédent. Ces approximations (en distribution non commutative) sont obtenues en extrayant des blocs d’une diffusion unitaire Brownienne (à coefficients dans les algèbres de nombres réels, complexes ou quaternioniques) et en laissant la dimension de ces blocs tendre vers l’infini. Nous divisons notre étude en deux parties : dans la première, nous extrayons des blocs carrés tandis que dans la seconde, nous autorisons des blocs rectangulaires. Dans les deux derniers chapitres, nous utilisons les outils introduits (algèbres de Zhang et diagrammes de Brauer colorés) dans les deux premiers pour étudier des diffusions sur des groupes de matrices pseudo-unitaires. Nous prouvons la convergence non commutative des mouvements Browniens pseudo-unitaires que nous considérons vers des semi-groupes libres avec amalgamation sous l’hypothèse de convergence de la signature normalisée de la métrique de l’espace sous-jacent. Dans le cas déployé, c’est-à-dire, qu’au moins asymptotiquement, la métrique a autant de directions négatives que de directions positives, la distribution limite est la distribution d’un processus de Lévy, solution d’une équation différentielle stochastique libre. Nous laissons ouverte la question d’une telle réalisation de la distribution limite dans le cas général. De plus, nous présentons des résultats numériques sur la convergence de la distribution spectrale de ces matrices aléatoires et faisons deux conjectures. Dans le dernier chapitre, nous prouvons la normalité asymptotique des fluctuations<br>This thesis is devoted to the study of two quite different questions, which are related by the tools that we use to study them. The first question is that of the definition of lattice gauge theories with a non-commutative structure group. Here, by non-commutative, we do not mean non-Abelian, but instead non-commutative in the general sense of non-commutative geometry. The second question is that of the behaviour of Brownian diffusions on non-compact matrix groups of a specific kind, namely groups of pseudo-orthogonal, pseudo-unitary or pseudo-symplectic matrices. In the first chapter, we investigate lattice and continuous quantum gauge theories on the Euclidean plane with a structure group that is replaced by a Zhang algebra. Zhang algebras are non-commutative analogues of groups and contain the class of Voiculescu’s dual groups. We are interested in non-commutative analogues of random gauge fields, which we describe through the random holonomy that they induce. We propose a general definition of a holonomy field with Zhang gauge symmetry, and construct such a field starting from a quantum Lévy process on a Zhang algebra. As an application, we define higher dimensional generalizations of the so-called master field. In the second chapter, we study matricial approximations of higher dimensional master fields constructed in the previous chapter. These approximations (in non-commutative distribution) are obtained by extracting blocks of a Brownian unitary diffusion (with entries in the algebras of real, complex or quaternionic numbers) and letting the dimension of these blocks tend to infinity. We divide our study into two parts: in the first one, we extract square blocks while in the second one we allow rectangular blocks. In both cases, free probability theory appears as the natural framework in which the limiting distributions are most accurately described. In the last two chapters, we use tools introduced (Zhang algebras and coloured Brauer diagrams) in the first two ones to study Brownian motion on pseudo-unitary matrices in high dimensions. We prove convergence in non-commutative distribution of the pseudo-unitary Brownian motions we consider to free with amalgamation semi-groups under the hypothesis of convergence of the normalized signature of the metric. In the split case, meaning that at least asymptotically the metric has as much negative directions as positive ones, the limiting distribution is that of a free Lévy process, which is a solution of a free stochastic differential equation. We leave open the question of such a realization of the limiting distribution in the general case. In addition we provide (intriguing) numerical evidences for the convergence of the spectral distribution of such random matrices and make two conjectures. At the end of the thesis, we prove asymptotic normality for the fluctuations

The statistical practice of equating is needed when scores on different versions of the same standardized test are to be compared. This thesis constitutes four contributions to the observed-score equating framework kernel equating. Paper I introduces the open source R package kequate which enables the equating of observed scores using the kernel method of test equating in all common equating designs. The package is designed for ease of use and integrates well with other packages. The equating methods non-equivalent groups with covariates and item response theory observed-score kernel equating are currently not available in any other software package. In paper II an alternative bandwidth selection method for the kernel method of test equating is proposed. The new method is designed for usage with non-smooth data such as when using the observed data directly, without pre-smoothing. In previously used bandwidth selection methods, the variability from the bandwidth selection was disregarded when calculating the asymptotic standard errors. Here, the bandwidth selection is accounted for and updated asymptotic standard error derivations are provided. Item response theory observed-score kernel equating for the non-equivalent groups with anchor test design is introduced in paper III. Multivariate observed-score kernel equating functions are defined and their asymptotic covariance matrices are derived. An empirical example in the form of a standardized achievement test is used and the item response theory methods are compared to previously used log-linear methods. In paper IV, Wald tests for equating differences in item response theory observed-score kernel equating are conducted using the results from paper III. Simulations are performed to evaluate the empirical significance level and power under different settings, showing that the Wald test is more powerful than the Hommel multiple hypothesis testing method. Data from a psychometric licensure test and a standardized achievement test are used to exemplify the hypothesis testing procedure. The results show that using the Wald test can provide different conclusions to using the Hommel procedure.

Dans cette thèse nous étudions le groupe quantique d’automorphismes des graphes finis, introduit par Banica et Bichon. Dans un premier temps nous montrerons un théorème de structure du groupe quantique d’automorphismes du produit lexicographique de deux graphes finis réguliers, qui généralise un résultat classique de Sabidussi. Ce théorème donne une condition nécessaire et suffisante pour que ce groupe quantique s’exprime comme le produit en couronne libre des groupes quantiques d’automorphismes de ces deux graphes. Dans un deuxième temps, nous expliciterons certaines améliorations de résultats de Banica, Bichon et Chenevier permettant d’obtenir des critères de non symétrie quantique sur les graphes, à l’aide des outils développés par les auteurs susmentionnés.Enfin, pour poursuivre ces recherches, nous développerons une autre méthode utilisant la dualité de Tannaka-Krein et inspirée de l’étude des groupes quantiques compacts orthogonaux par Banica et Speicher. Celle-ci nous permettra, à l’aide d’une étude orbitale approfondie des graphes sommets-transitifs, d’énoncer une condition suffisante pour qu’un graphe ait des symétries quantiques ; condition qui a vocation à être aussi nécessaire mais ceci reste une conjecture à ce stade<br>In this thesis we study the quantum automorphism group of finite graphs, introduces by Banica and Bichon. First we will prove a theorem about the structure of the quantum automorphism group of the lexicographic product of two finite regular graphs. It is a quantum generalization of a classical result of Sabidussi. This theorem gives a necessary and sufficient condition for this quantum group to be discribe as the free wreath product of the quantum automorphism groups of these two graphs. Then, we will give some improvement of Banica, Bichon and Chenevier results, to obtain a quantum non-symmetry criteria on graphs, using tools developped by the above authors. Finally, to continue this research, we will describe another method using Tannaka-Krein duality and inspired by the study of orthogonal compact groups by Banica and Speicher. This will enable us, with a thorough orbital study of vertex-transitive graphs, to state a sufficient condition for a graph to have quantum symmetries ; condition which is intended to be also necessary but this remains conjecture at this point

Les symétries géométriques en usage en physique nucléaire sont assez peu variées, essentiellement la symétrie de l’ellipsoïde triaxial. On propose donc une méthode rigoureuse permettant d’étudier l’évolution et la possibilité de l’existence de symétries nouvelles dont la symétrie tétraédrique. Le formalisme de l’équation de SCHRÖDINGER est replacé dans le cadre des espaces de RIEMANN. Ce formalisme est utilisé dans le contexte du noyau de l’atome où l’on applique la théorie du champ moyen alliée à l’approximation adiabatique. Le noyau est le siège de deux catégories de mouvements adiabatiquement séparés, le mouvement rapide des nucléons dans le champ moyen, et le mouvement collectif modifiant lentement le champ moyen. Le second est régi par une équation de SCHRÖDINGER collective qui prend place dans un espace dont la métrique est donnée par le tenseur de masse. L’étude de la géométrie du noyau est alors calculable à l’aide de deux grands programmes développés dans le cadre de la thèse<br>The geometrical symmetries used in nuclear physics are not very diversified, essentially the symmetry of the triaxial ellipsoid. One proposes therefore a rigourous method allowing to study the temporal evolution and the possibility of the existence of new symmetries among them the tetrahedral symmetry. The formalism of SCHRÖDINGER equation is reformulated in the framework of RIEMANN’s spaces. This formalism is used in the context of the atomic nucleus where one applies the mean-field theory combined with the adiabatic approximation. The nucleus is the terrain of two types of motions adiabatically separated, the quick motion of the nucleons in the mean-field and the collective motion modifying slowly the meanfield. The second one is governed by a collective SCHRÖDINGER equation written down in a space whose metric is given by the mass tensor. The study of the nucleus geometry is then computable with the help of two big programs developped within the thesis

In this thesis we explore the geometric representation theory of shifted quantum affine algebras 𝒜^𝜇, using the critical K-theory of certain moduli spaces of infinite flags of quiver representations resembling the moduli of quasimaps to Nakajima quiver varieties. These critical K-theories become 𝒜^𝜇-modules via the so-called critical R-matrix 𝑅, which generalizes the geometric R-matrix of Maulik, Okounkov, and Smirnov. In the asymptotic limit corresponding to taking infinite instead of finite flags, singularities appear in 𝑅 and are responsible for the shift in 𝒜^𝜇. The result is a geometric construction of interesting infinite-dimensional modules in the category 𝒪 of 𝒜^𝜇, including e.g. the pre-fundamental modules previously introduced and studied algebraically by Hernandez and Jimbo. Following Nekrasov, we provide a very natural geometric definition of qq-characters for our asymptotic modules compatible with the pre-existing definition of q-characters. When 𝒜^𝜇 is the shifted quantum toroidal gl₁ algebra, we construct asymptotic modules DT_𝜇 and PT_𝜇 whose combinatorics match those of (1-legged) vertices in Donaldson--Thomas and Pandharipande--Thomas theories. Such vertices control enumerative invariants of curves in toric 3-folds, and finding relations between (equivariant, K-theoretic) DT and PT vertices with descendent insertions is a typical example of a wall-crossing problem. We prove a certain duality between our DT_𝜇 and PT_𝜇 modules which, upon taking q-/qq-characters, provides one such wall-crossing relation.

Cette thèse présente une étude des applications des groupes de réflexion finis aux problems liés aux réseaux bidimensionnels et aux polytopes tridimensionnels. Plusieurs familles de fonctions orbitales, appelées fonctions orbitales de Weyl, sont associées aux groupes de réflexion cristallographique. Les propriétés exceptionnelles de ces fonctions, telles que l’orthogonalité continue et discrète, permettent une analyse de type Fourier sur le domaine fondamental d’un groupe de Weyl affine correspondant. Dans cette considération, les fonctions d’orbite de Weyl constituent des outils efficaces pour les transformées discrètes de type Fourier correspondantes connues sous le nom de transformées de Fourier–Weyl. Cette recherche limite notre attention aux fonctions d’orbite de Weyl symétriques et antisymétriques à deux variables du groupe de réflexion cristallographique A2. L’objectif principal est de décomposer deux types de transformations de Fourier–Weyl du réseau de poids correspondant en transformées plus petites en utilisant la technique de division centrale. Pour les cas non cristallographiques, nous définissons les indices de degré pair et impair pour les orbites des groupes de réflexion non cristallographique avec une symétrie quintuple en utilisant un remplacement de représentation-orbite. De plus, nous formulons l’algorithme qui permet de déterminer les structures de polytopes imbriquées. Par ailleurs, compte tenu de la pertinence de la symétrie icosaédrique pour la description de diverses molécules sphériques et virus, nous étudions la brisure de symétrie des polytopes doubles de type non cristallographique et des structures tubulaires associées. De plus, nous appliquons une procédure de stellation à la famille des polytopes considérés. Puisque cette recherche se concentre en partie sur les fullerènes icosaédriques, nous présentons la construction des nanotubes de carbone correspondants. De plus, l’approche considérée pour les cas non cristallographiques est appliquée aux structures cristallographiques. Nous considérons un mécanisme de brisure de symétrie appliqué aux polytopes obtenus en utilisant les groupes Weyl tridimensionnels pour déterminer leurs extensions structurelles possibles en nanotubes.<br>This thesis presents a study of applications of finite reflection groups to the problems related to two-dimensional lattices and three-dimensional polytopes. Several families of orbit functions, known as Weyl orbit functions, are associated with the crystallographic reflection groups. The exceptional properties of these functions, such as continuous and discrete orthogonality, permit Fourier-like analysis on the fundamental domain of a corresponding affine Weyl group. In this consideration, Weyl orbit functions constitute efficient tools for corresponding Fourier-like discrete transforms known as Fourier–Weyl transforms. This research restricts our attention to the two-variable symmetric and antisymmetric Weyl orbit functions of the crystallographic reflection group A2. The main goal is to decompose two types of the corresponding weight lattice Fourier–Weyl transforms into smaller transforms using the central splitting technique. For the non-crystallographic cases, we define the even- and odd-degree indices for orbits of the non-crystallographic reflection groups with 5-fold symmetry by using a representation-orbit replacement. Besides, we formulate the algorithm that allows determining the structures of nested polytopes. Moreover, in light of the relevance of the icosahedral symmetry to the description of various spherical molecules and viruses, we study symmetry breaking of the dual polytopes of non-crystallographic type and related tube-like structures. As well, we apply a stellation procedure to the family of considered polytopes. Since this research partly focuses on the icosahedral fullerenes, we present the construction of the corresponding carbon nanotubes. Furthermore, the approach considered for the non-crystallographic cases is applied to crystallographic structures. We consider a symmetry-breaking mechanism applied to the polytopes obtained using the three-dimensional Weyl groups to determine their possible structural extensions into nanotubes.