Academic literature on the topic 'Système à perturbations singulières'

L'objectif de cette thèse est d'étudier et de donner des outils pour la compréhension des problèmes de perturbations singulières pour des modèles épidémiques et des problèmes de dynamiques de populations. Les modèles considérés sont des équations structurées en âge qui peuvent dans certains cas se réécrire comme des équations à retard. L'étude de ces classes d'exemples s'est faite avec succès et a permis de comprendre et de mettre en évidence toute la complexité et l'étendue de ces problèmes. Comme on peut le remarquer dans la littérature, l'une des clés fondamentales à la compréhension de ces problèmes est l'étude des variétés normalement hyperboliques en dimension infinie que nous avons largement étudiées dans cette thèse. L'approche utilisée est la méthode de Lyapunov-Perron. Ce qui nous a amené à étudier les problèmes de persistance et d'existence de trichotomie (dichotomie) exponentielle qui sont des éléments fondamentaux dans l'utilisation de cette méthode.

Cette these etudie un probleme de perturbation singuliere pour un probleme aux limites concernant un operateur de type schrodinger. Ce dernier depend d'un petit parametre strictement positif, et le potentiel, egalement positif, degenere au bord. On observe une couche limite. Dans la premiere partie on introduit des espaces a poids bien adaptes au probleme en dimension n. On peut alors montrer que le probleme admet une solution bien definie dans ces espaces, pour des donnees convenables. On peut donner des formules asymptotiques pour la vraie solution lorsque le petit parametre tend vers 0. Les termes d'erreur sont controles uniformement par rapport au petit parametre. On met en evidence le role de la fonction d'airy. Enfin on donne un encadrement de la plus basse valeur propre grace au principe du min-max. La seconde partie est consacree a l'etude d'un systeme couple. On s'interesse en particulier au cas ou l'un des operateurs est celui de la premiere partie. On cherche une estimation de la plus basse valeur propre. A cause de la couche limite, les valeurs du couplage pres du bord sont determinantes. On obtient plusieurs resultats grace au principe du min-max et a des methodes de perturbation. Enfin on peut ameliorer certains resultats en dimension un grace a l'analyse numerique : on etudie un probleme parabolique par la methode des differences finies, et on en deduit une majoration de la plus basse valeur propre.

Les lipides des microalgues et les glucides de cyanobactéries peuvent être transformés en biodiesel et en bioéthanol, respectivement. L'amélioration de la production de ces molécules doit prendre en compte les entrées périodiques (principalement la lumière) forçant le réseau métabolique de ces organismes photosynthétiques. Il est donc nécessaire de tenir compte de la dynamique du réseau métabolique en réduisant sa dimension pour assurer la maniabilité mathématique. Le but de ce travail est de concevoir une approche originale pour réduire les réseaux métaboliques dynamiques tout en conservant la dynamique de base. Cette méthode est basée sur une séparation en échelles de temps. Pour une classe de modèles de réseaux métaboliques décrits par des ODE, la dynamique des systèmes réduits est calculée à l'aide du théorème de Tikhonov pour les systèmes singulièrement perturbés. Cette approximation quasi-stationnaire coïncide avec la dynamique du réseau d'origine, avec une erreur bornée. L'approche est d'abord développée pour les systèmes de réaction pouvant être linéarisés autour d'un point de travail et forcés par des entrées continues. Ensuite, une généralisation de cette méthode est donnée pour les réseaux à réactions rapides de cinétiques de Michaelis-Menten et tout type de cinétiques lentes, prenant également en compte un nombre fini d'entrées continues externes. La méthode de réduction met en évidence une relation entre la grandeur de la concentration des métabolites et la gamme des vitesses de réaction : les métabolites consommés par les réactions rapides ont une concentration inférieure d'un ordre de grandeur à celle des métabolites consommés à faible vitesse. Cette propriété est satisfaite pour les métabolites à dynamique rapide ne se trouvant pas dans un piège de flux, concept introduit dans ce travail. Le système réduit peut être calibré avec des données expérimentales à l'aide d'une procédure d'identification dédiée basée sur la minimisation. L'approche est illustrée par un réseau métabolique de microalgues autotrophes, comprenant le métabolisme central et représentant la dynamique des glucides et des lipides. Cette approche permet de bien ajuster les données expérimentales de Lacour et al. (2012) avec la microalgue Tisochrysis lutea. Enfin, un schéma visant à optimiser la production de molécules cibles est proposé en utilisant le système réduit<br>Lipids from microalgae and carbohydrates from cyanobacteria can be transformed into biodiesel and bioethanol, respectively. Enhancing the production of these molecules must account for the periodic inputs (mainly light) forcing the metabolic network of these photosynthetic organisms. It is therefore necessary to account for the dynamics of the metabolic network, while reducing its dimension to ensure mathematical tractability. The aim of this work is to design an original approach to reduce dynamic metabolic networks while keeping the core dynamics. This method is based on time-scale separation. For a class of metabolic network models described by ODE, the dynamics of the reduced systems are computed using the theorem of Tikhonov for singularly perturbed systems. This Quasi Steady State Approximation accurately coincides with the original network dynamics, with a bounded error. The approach is first developed for reaction systems that can be linearized around a working point and that are forced by external continuous inputs. Then, a generalization of this method is given for networks with fast reactions of Michaelis-Menten kinetics and any type of slow kinetics, also considering a finite number of external continuous inputs. The reduction method highlights a relation between the concentration magnitude of the metabolites and the range of the reaction rates: the metabolites that are consumed by fast reactions have concentration one order of magnitude lower than metabolites consumed at slow rates. This property is satisfied for metabolites with fast dynamics that are not in a flux trap, a concept introduced in this work. The reduced system can be calibrated with experimental data using a dedicated identification procedure based on minimization. The approach is illustrated with an autotrophic microalgae metabolic network, including the core metabolism and representing the carbohydrates and lipids dynamics. The approach efficiently fits the experimental data from Lacour et al. (2012) with the microalgae Tisochrysis lutea. Finally, a scheme to optimize the production of target molecules is proposed using the reduced system

Dans ce travail, l'étude porte sur l'existence, et le comportement asymptotique, de la solution d'un problème d'évolution non classique qui entre dans la catégorie des problèmes dits problèmes de perturbations singulières, avec des conditions aux bords non usuelles. Ce problème régit les petites oscillations d'un système élastique constitué de deux milieux en interaction. Par exemple, une membrane élastique rectangulaire, fixée sur trois de ses cotés, le quatrième coté étant solidaire d'une tige élastique. On suppose que l'inertie de la membrane est négligeable par rapport à celle de la tige et l'on cherche alors un développement asymptotique du mouvement lorsque l'inertie de la membrane tend vers zéro. En d'autres termes, on cherche comment les vibrations de la membrane perturbent celles de la tige. On étudié également le comportement asymptotique des éléments propres d'un operateur perturbé qui intervient dans la formulation variationnelle du problème décrit ci-dessus. On montre qu'il existe deux groupes de valeurs caractéristiques tel que l'un tend vers les valeurs propres d'un problème classique (problème de Dirichlet) et l'autre vers les valeurs propres d'un problème non classique (les conditions aux bords sont données par des équations aux dérivées partielles)

Nous traitons les problèmes relatifs à la mise sous forme standard des systèmes implicites et nous proposons un algorithme de simplification des systèmes linéaires basé sur des cercles de Gershgorin. Les applications concernent la modélisation des machines alternatives et les simplifications de leur modèle. Nous traitons la mise sous forme standard de la machine asynchrone à cage d'écureuil. Nous appliquons la méthode des multiéchelles de temps pour simplifier le modèle de la machine synchrone dans le cas d'une modélisation avec plusieurs amortisseurs par axes d et q. Une séparation en plusieurs dynamiques s'accompagnent de l'établissement de réactances opérationnelles réduites et d'une écriture des constantes de temps et des réactances sous forme analytique adaptées à chaque régime est donnée. On étudie le modèle simplifié d'une machine synchrone autopilotée, modélisée avec un amortisseur par axe, alimente en courant et consistant en un problème aux limites en présence d'une structure variable et discontinue

Nous avons développé un modèle de l'activité électrique cardiaque cellulaire dont la structure est moins complexe, sans pour autant affecter les caractéristiques essentielles (potentiel d’action, principaux courants ioniques, courbe de restitution). En outre, nous avons utilisé la même structure de modèle pour représenter l'activité électrique des divers types de cellules cardiaques. Cela permettra de déterminer des régions cardiaques de façon paramétrique et simplifiera l'identification des paramètres dans les modèles numériques de cœur. Par ailleurs, l'analyse de bifurcation nous a permis de retrouver l’origine du régime oscillatoire dans le cas pacemaker, et d’introduire un courant de fuite de calcium qui joue le rôle d'une entrée de commande pour le système nerveux autonome qui lui permet de modifier la fréquence cardiaque. D’autre part, il n’est plus possible de simplifier plus le modèle à l'aide de la méthode des perturbations singulières car ce n’est plus un système de Tikhonov. Le modèle permet une mise en œuvre en boucle fermée tenant compte du contrôle du système cardiovasculaire par l'arc baroréflexe et un couplage excitation-contraction tenant compte de l’effet de la fréquence sur la contractilité. Après avoir démontré la non-existence de solutions périodiques dans le modèle réduit à deux courants ioniques de Mitchell-Schaeffer, nous avons introduit une variante de ce dernier et ainsi étendu ses propriétés d'excitabilité. Le régime oscillatoire est obtenu, soit à travers une bifurcation de Hopf sous ou super critique, soit à travers une bifurcation nœud-col sur cercle invariant. Ce modèle réduit est utilisable dans des applications de traitement du signal ECG<br>We developed a cellular cardiac electrical activity model which is less complex, without affecting the essential characteristics (action potential, principal ionic currents, restitution curve). Besides, we used the same model’s structure in order to represent the electrical activity of various types of cardiac cells. This will allow the determining of cardiac regions in a parametric manner and will make easier the parametric identification in the numerical models of heart. Otherwise, the bifurcation analysis allowed us to determine the origin of oscillator regime in the pacemaker case, and to introduce a background calcium current that plays the role of a control input of the autonomic nervous system that allows him to modify the heart rate. On the other hand, it is not possible any more to simplify the model using singular perturbations method because it is not any more a Tikhonov's system. The model allows the implementation of the closed loop taking into account the control of the cardiovascular system by the baroreflex and the excitation-contraction coupling taking into account the effect of the frequency on the contractility. After having shown the non-existence of periodic solutions in the reduced two ionic currents model of Mitchell-Schaeffer, we introduced a variant of this last and thus we have extended its excitability properties. The oscillator regime is obtained, either through a sub or super critical Hopf bifurcation, or through a saddle-node bifurcation on invariant circle. This reduced model is usable in ECG signal processing applications

Un grand nombre de phénomènes nous entourant peuvent être décrit par des modèles hybrides, c'est-à-dire, mettant en jeu simultanément une dynamique continu et une dynamique discrète. Également, il n'est pas rare que ces dynamiques puissent évoluer dans des échelles de temps différentes. Dans cette thèse, nous nous intéressons à l'analyse de stabilité des systèmes à commutations singulièrement perturbés à temps continu. En présence de commutations, l'analyse de stabilité des systèmes singulièrement perturbés dite "classique" (séparation des échelles de temps) n'est plus valable. En nous plaçant en dimension deux et en considérant deux modes, nous donnons une caractérisation complète du comportement asymptotique de tels systèmes lorsque le paramètre de perturbation tend vers zéro. Ensuite, nous étudions la discrétisation des systèmes à commutations singulièrement perturbés, en portant un intérêt particulier aux méthodes de discrétisation permettant de préserver la stabilité et les fonctions de Lyapunov quadratiques communes<br>Many phenomena we encounter can be described by hybrid models, namely, consisting of one continuous dynamic and one discret dynamic at the same time. Moreover, these dynamics often evolves in different time scales. In this thesis, we deal with the stability analysis of singularly perturbed switched systems in continuous time. When we consider switchings, the "classical" approach (decoupling fast and slow dynamics) allowing to analyse stability of singularly perturbed systems doesn't hold anymore. Considering second order singularly perturbed switched systems woth two modes, we completely characterize de stability behavior of such systems when the perturbation parameter goes to zero. Then, we study the discretization of singularly perturbed switched systems. In particular, we focus on methods allowing to preserve stability and common quadratic Lyapunov functions

Le sujet de cette thèse est l'étude de limites singulières et du comportement en temps long des solutions de systèmes de réaction-diffusion intervenant en dynamique des populations. Ces systèmes modélisent l'évolution de deux populations biologiques en interaction qui diffusent dans un milieu et qui sont telles que l'une des espèces se multiplie en consommant l'autre. Les équations pour les deux populations contiennent les mêmes termes d'interaction mais avec des signes opposés, ce qui implique en particulier l'absence, de principe de comparaison direct pour le système. Le premier chapitre est consacré à l'étude d'un système de diffusion non linéaire. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution, présentons une borne essentielle indépendante du temps et décrivons son comportement asymptotique en grand temps. Dans le deuxième chapitre, nous considérons un cas où la diffusion est linéaire et effectuons un changement d'échelle de temps pour trouver la limite singulière des solutions quand le coefficient des termes de réaction tend vers l'infini. Ce résultat permet aussi de mieux comprendre le comportement des solutions en grand temps. Le troisième chapitre porte sur un système similaire pour lequel chaque population a de plus une croissance propre. Nous montrons l'existence et l'unicité de la solution et présentons son comportement en temps long. Puis nous caractérisons deux limites singulières selon que le grand paramètre est assigné à tout ou partie des termes de réaction. Dans le quatrième chapitre, nous décrivons la limite singulière d'une équation d'Allen-Cahn anisotrope où des anisotropies interviennent dans le terme de diffusion et en facteur d'un terme dépendant du gradient de la fonction inconnue et prouvons la convergence vers un problème à frontière libre, où le mouvement de l'interface est induit par sa courbure moyenne anisotrope ainsi qu'un terme de force. Dans ce but, nous établissons des propriétés de génération et de propagation<br>This thesis deals with singular limits and large time behavior for solutions of reaction-diffusion systems arising in population dynamics. These systems model the evolution of two biological species which diffuse in a media and interact in such a way that one species grows by consuming the other. The equations for the concentrations of the species involve the same interaction terms but with opposite signs, which implies in particular that there does not hold any direct comparison principle. The first part is devoted to the study of a nonlinear diffusion system. We prove the existence and uniqueness of the solution, obtain a time independent upper bound of the solution and describe its large time behavior. The methods of proof are based upon energy estimates. In the second part, we consider a case with linear diffusion and introduce a new time scale in order to characterize the singular limit of the solutions when the coefficient of the reaction terms tends to infinity. This result yields in turn a more precise description of the large time behavior of the solutions. The third part deals with a similar system but for which each population can grow by itself. We prove the existence and uniqueness of the solution and describe its large time behavior. Moreover we derive two singular limits, where the large parameter is assigned to all or to part of the reaction terms. The proofs are based either upon a Lya-punov functional or on comparing the solution with those of some monostable parabolic problems. In the fourth part, we describe the singular limit of an anisotropic Allen-Cahn equation, where anisotropy is included in both the diffusion term and a gradient term. We show that the solution converges to that of a moving boundary problem, where the interface motion is given by its anisotropic mean curvature and a forcing term. To that purpose we prove generation and propagation of interface properties by constructing suitable upper-and lower solutions

Ce mémoire porte sur l'étude d'un système de gestion d'énergie électrique dans un système multi-sources soumis à des perturbations exogènes. L'application visée est l'alimentation d'une propulsion hybride diesel/électrique équipée d'un système d'absorption des pulsations de couple. Les perturbations exogènes considérées peuvent être transitoires ou persistantes. Une perturbation transitoire correspond à une variation rapide du couple de charge, due par exemple à une accélération ou une décélération du véhicule. Une perturbation persistante provient du système de compensation des pulsations de couple générées par le moteur thermique. Le premier objectif du contrôle est de maintenir constante la tension du bus continu. Le deuxième objectif est d'absorber dans un système de stockage rapide constitué de super condensateur ces perturbations qui peuvent à terme provoquer une usure prématurée de la batterie. Le troisième objectif est de compenser l'auto-décharge dans le super condensateur en maintenant constante sa tension nominale. Les deux sources (batterie et super condensateur) sont reliées au bus continu par l'intermédiaire de deux convertisseurs boost DC/DC. La commande consiste à piloter les rapports cycliques de chaque convertisseur. C'est un système non linéaire où la commande est multiplicative de l'état. L'approche classique consistant à résoudre les équations Francis-Byrnes-Isidori ne s'applique pas directement dans ce cas où la sortie et la matrice d'interconnection dépendent de la commande. De plus, si cette approche est bien adaptée au rejet de perturbations persistantes, elle montre ces limites pour le rejet de perturbations non persistantes combiné à des objectifs de régulation. Notre approche a consisté à écrire le système sous un formalisme Port-Controlled Hamiltonian et à s'affranchir de la contrainte de la dépendance de la matrice d'interconnection avec la commande en utilisant la théorie des perturbations singulières. La commande du système dégénéré peut ensuite être calculée par une approche passive. Les performances de cette commande ont été testées en simulation et à l'aide d'un banc d'essai expérimental. Les résultats montrent l'efficacité du système d'absorption des différents types de perturbation tout en respectant les deux objectifs de régulation<br>This thesis presents the research of energy management in a battery/ultracapacitor hybrid energy storage system with exogenous disturbance in hybrid electric vehicular application. Transient and harmonic persistent disturbances are the two kinds of disturbances considered in this thesis. The former is due to the transient load power demand during acceleration and deceleration, and the latter is introduced from the process of the internal combustion engine torque ripples compensation. Our control objective is to absorb the disturbances causing battery wear via the ultracapacitor, and meanwhile, to maintain a constant DC voltage and to compensate the self-discharge in the ultracapacitor to maintain it operating at the nominal state of charge. The object system is nonlinear due to the multiplicative relation between the input and the state. The traditional approach to solve Francis-Byrnes-Isidori equations cannot be directly applied in this case since the interconnect matrix depends on the control input. Besides, even if this approach is well suited to the rejection of persistent disturbances, it shows the limits for the case of non-persistent disturbances which is also our object. Our contributed control method is realized through a cascade control structure based on the singular perturbation theory. The ultracapacitor current with the fastest motion rate is controlled in the inner fast loop through which we impose the desired dynamic to the system. The reduced system controlled in the outer slow loop is a Hamiltonian system and the controller is designed via interconnection and damping assignment. Simulations and experiments have been carried out to evaluate the control performance. A contrast of the system responses with and without the control algorithm shows that, with the control algorithm, the ultracapacitor effectively absorbs the disturbances; and verifies the effectiveness of the control algorithm