Academic literature on the topic 'Système de réaction-diffusion'

Cette thèse porte sur la limite singulière d'équations et de systèmes d'équations paraboliques non-inéaires de type bistable, avec des conditions initiales générales. Nous prouvons des propriétés de génération d'interface et analysons le déplacement d'interface. Nous obtenons une estimation nouvelle et<br />optimale de l'épaisseur et de la localisation de la zone de transition, améliorant ainsi des résultats connus pour différents problèmes modèles.

Le fonctionnement d'un neurone, unité fondamentale du système nerveux, intéresse de nombreuses disciplines scientifiques. Il existe ainsi des modèles mathématiques qui décrivent leur comportement par des systèmes d'EDO ou d'EDP. Plusieurs de ces modèles peuvent ensuite être couplés afin de pouvoir étudier le comportement de réseaux, systèmes complexes au sein desquels émergent des propriétés. Ce travail présente, dans un premier temps, les principaux mécanismes régissant ce fonctionnement pour en comprendre la modélisation. Plusieurs modèles sont alors présentés, jusqu'à celui de FitzHugh-Nagumo (FHN), qui présente une dynamique très intéressante.C'est sur l'étude théorique mais également numérique de la dynamique asymptotique et transitoire du modèle de FHN en EDO, que se concentre la seconde partie de cette thèse. A partir de cette étude, des réseaux d'interactions d'EDO sont construits en couplant les systèmes dynamiques précédemment étudiés. L'étude du phénomène de synchronisation identique au sein de ces réseaux montre l'existence de propriétés émergentes pouvant être caractérisées par exemple par des lois de puissance. Dans une troisième partie, on se concentre sur l'étude du système de FHN dans sa version EDP. Comme la partie précédente, des réseaux d'interactions d'EDP sont étudiés. On entreprend dans cette partie une étude théorique et numérique. Dans la partie théorique, on montre l'existence de l'attracteur global dans l'espace L2(Ω)nd et on donne des conditions suffisantes de synchronisation. Dans la partie numérique, on illustre le phénomène de synchronisation ainsi que l'émergence de lois générales telles que les lois puissances ou encore la formation de patterns, et on étudie l'effet de l'ajout de la dimension spatiale sur la synchronisation<br>The neuron, a fundamental unit in the nervous system, is a point of interest in many scientific disciplines. Thus, there are some mathematical models that describe their behavior by ODE or PDE systems. Many of these models can then be coupled in order to study the behavior of networks, complex systems in which the properties emerge. Firstly, this work presents the main mechanisms governing the neuron behaviour in order to understand the different models. Several models are then presented, including the FitzHugh-Nagumo one, which has a interesting dynamic. The theoretical and numerical study of the asymptotic and transitory dynamics of the aforementioned model is then proposed in the second part of this thesis. From this study, the interaction networks of ODE are built by coupling previously dynamic systems. The study of identical synchronization phenomenon in these networks shows the existence of emergent properties that can be characterized by power laws. In the third part, we focus on the study of the PDE system of FHN. As the previous part, the interaction networks of PDE are studied. We have in this section a theoretical and numerical study. In the theoretical part, we show the existence of the global attractor on the space L2(Ω)nd and give the sufficient conditions for identical synchronization. In the numerical part, we illustrate the synchronization phenomenon, also the general laws of emergence such as the power laws or the patterns formation. The diffusion effect on the synchronization is studied

L'objectif du projet, intitulé "Vieillissement dans les processus réaction-diffusion sans bilan détaillé", est de mieux comprendre le comportement physique des systèmes avec un très grand nombre de degrés de liberté. En particulier, de tels systèmes peuvent bien montrer un comportement collectif avec de nouvelles qualités, qui ne sont pas présentes auprès des constituants individuels. C'est dans ce contexte que nous nous sommes intéressés au vieillissement. D'emblée, nous pourrions répondre que la seconde loi de la thermodynamique justifie le vieillissement, cependant cette loi seule ne permet pas de comprendre les processus sous-jacents responsables de ce phénomène. Dans ce but, nous nous sommes restreints dans un premier temps aux modèles exactement résolubles, dans l'espoir d'avoir des résultats analytiques qui pourront permettre une intuition physique correcte. Nous avons donc considéré dans ce travail les systèmes qui suivent une dynamique de type réaction-diffusion. Plus précisément, nous avons étudié les systèmes relaxant vers des états stationnaires hors-équilibre avec une dynamique ne satisfaisant pas le bilan détaillé. En effet, alors que le rapport fluctuation-dissipation est bien connu pour les systèmes avec bilan détaillé, il n'en est rien pour ces autres systèmes. Cette thèse se focalise sur deux modèles; le premier est le processus de contact bosonique avec une diffusion de type "vols de Lévy" permettant les sauts à longue portée, et le second est le processus coagulation-diffusion. Dans ces deux modèles, nous avons calculé les observables à deux temps, comme le corrélateur et la réponse, extrait les formes d'échelle et les exposants caractérisant le vieillissement. Nos résultats ont amené à proposer une généralisation du rapport fluctuation-dissipation dont l'applicabilité a été testée sur un grand nombre de modèles. Son interprétation physique reste une question ouverte pour de futures recherches<br>The objective of the project, which title is "Ageing in reaction-diffusion processes without detailed balance", is to arrive at a better understanding of the physical behaviour of strongly interacting many-body systems. In particular, such systems can exhibit a collective behaviour with new qualities which are not present at the microscopic level. It is in this context that we focus on the ageing. As an answer, we could argue that the second law of the thermodynamics might be sufficient to justify the ageing. However, that law alone does not suffice if one wishes to understand more deeply the underlying processes responsible of these ageing phenomena. For this motive, we consider exactly solvable systems in order to obtain precise analytical results on very simple models which later on could help to form a correct physical intuition. A common type of this kind of system is particle-reaction models with reaction-diffusion dynamics. More precisely, we have studied intrinsically irreversible systems, whose dynamics does not satisfy detailed balance and which relax towards non-equilibrium stationary states. Indeed, while for systems that obey the detailed balance relations, the fluctuation-dissipation relationship is well known, that is no longer the case for more general systems. This thesis focuses on two different models; the first one is the bosonic contact process (and also the bosonic pair-contact process) with a long range transport of particules ("Lévy flights") and the second one is the coagulation-diffusion process. In both models, characteristic two-time observables such as the two-time correlations and responses are found exactly and their exact scaling forms are extracted, especially the values of the non-equilibrium exponents characterising ageing are found. Our results suggest a novel generalisation of the fluctuation-dissipation ratio whose applicability is tested in a large set of models. Its physical interpretation remains an open question for future research

Cette thèse a pour objet léetude mathématique d'un modèle traduisant un phénomène de chemotaxis. Nous étudions un modèle de Keller et Segel traduisant la migration d'amibes en direction d'une zone ou la concentration en cyclic AMP produit par elles-mêmes est importante. Deux modélisations de ce phénomène sont ici étudiées. La première est un système non linéaire du second ordre constitué de deux équations paraboliques couplées par le terme de transport non linéaire. Le second modèle est formé d'une E. D. P parabolique et d'une E. D. P elliptique également couplées par le terme de transport. Pour le système parabolique associé à des conditions de bord de Neumann homogènes sur le domaine borne régulier de dimension 1, 2, ou 3, on prouve l'existance d'une unique solution locale, bornée. On démontre de plus que, pour un temps T fixé à priori, si la variation des données initiales n'excède pas un seuil dépendant de T, ce système admet une unique solution globale jusqu'au temps T. Pour le système parabolique-elliptique on obtient des résultats liés aux propriétés de la non linéarité présente dans le terme de transport ainsi. En effet, pour une non linéarité convexe, on démontre en dimension un l'existance d'une unique solution globale. En dimension deux ce résultat est obtenu soit pour une valeur moyenne de la densité initiale suffisamment petite soit pour une non linéarité décroissante. On a également ce résultat en dimension trois soit pour une non linéarité décroissante soit pour des conditions de bord de Dirichlet homogènes et pour une valeur moyenne de la densité initiale petite. Si par contre la non linéarité est croissante, la densité initiale à symétrie radiale et sa valeur moyenne suffisamment grande alors la solution explose en temps fini au centre de l'ouvert en dimension 2 et 3.

On utilise des techniques L**(1) pour étudier l'existence globale en temps pour des systèmes de réaction-diffusion ou les deux propriétés suivantes sont satisfaites : - La positivité des solutions est préservée au cours du temps - la masse totate est préservée ou contrôlée au cours du temps. Ces systèmes proviennent de la modélisation des phénomènes chimiques, biologiques, écologiques, etc. . . Les idées de base relèvent de la théorie des opérateurs M-accrétifs dans L**(1) à résolvantes compactes

L'objectif de cette thèse est l'étude qualitative de certains modèles de la dynamique et la distribution des bactéries dans une rivière. Il s'agit de la stabilité des états stationnaires et l'existence des solutions périodiques. Nous considérons, dans la première partie de la thèse, un système d'équations différentielles ordinaires qui modélise les interactions et la dynamique de quatre espèces de bactéries dans une rivière. Nous avons étudié le comportement asymptotique des états stationnaires. L'étude de la stabilité des états stationnaires est essentiellement faite par la construction d'une fonction de Lyapunov combinée avec le principe d'invariance de LaSalle. D'autre part, l'existence des solutions périodiques est démontrée en utilisant le théorème de continuation de Mawhin. La deuxième partie de la thèse est consacrée à l'étude d'un système de convection-diffusion non-autonome. Ce modèle tient compte du transport des bactéries. Nous étudions l'analyse qualitative des solutions, nous déterminons l'ensemble limite du système et nous démontrons l'existence des états stationnaires positifs. L'étude de l'existence des états stationnaires (les seuls qu'il soit possible d'obtenir) est basée sur le théorème de Leray-Schauder<br>The objective of this thesis is the qualitative study of some models of the dynamic and the distribution of bacteria in a river. We are interested in the stability of equilibria and the existence of periodic solutions. The thesis can be divided into two parts; the first part is concerned with a mathematical analysis of a system of differential equations modelling the dynamics and the interactions of four species of bacteria in a river. The asymptotic behavior of equilibria is established. The stability study of equilibrium states is mainly done by construction of Lyapunov functions combined with LaSalle's invariance principle. On the other hand, the existence of periodic solutions is proved under certain conditions using the continuation theorem of Mawhin. In the second part of this thesis, we propose a non-autonomous convection-reaction diffusion system with nonlinear reaction source functions. This model refers to the quantification and the distribution of antibiotic resistant bacteria (ARB) in a river. Our main contributions are : (i) the determination of the limit set of the system; it is shown that it is reduced to the solutions of the associated elliptic system; (ii) sufficient conditions for the existence of a positive solution of the associated elliptic system based on the Leray Schauder's degree theory

Cette étude concerne l'existence globale en temps de solutions pour les systèmes de réaction-diffusion présentant deux propriétés essentielles : la positivité des solutions est préservée au cours du temps et la masse totale des composantes est contrôlée, propriété qui est satisfaite si la somme des termes réactifs est négative ou nulle (ou plus généralement à croissance sous linéaire). Ces propriétés apparaissent naturellement dans de nombreux systèmes issus d'applications. Plusieurs résultats partiels d'existence globale pour cette classe de systèmes ont été obtenus avec des hypothèses supplémentaires. Essentiellement celles-ci nécessitent que l'une des composantes de la solution soit uniformément bornée, ce qui est assuré en général par une structure triangulaire des termes réactifs. Ce travail est principalement consacré à l'étude de l'existence globale de solutions dans le cas ou il n'y a pas d'estimation uniforme à priori simple sur aucune des composantes de la solution. Après avoir mis en évidence quelques critères d'existence globale pour des systèmes spécifiques, nous montrons la possibilité d'explosion en temps fini pour les systèmes vérifiant les deux propriétés essentielles, en exhibant des contre-exemples explicites. Nous obtenons comme sous-produit de ces contre-exemples des réponses négatives à des questions indépendantes concernant les équations paraboliques linéaires à forme non divergentielle et à coefficients discontinus et les équations d'évolution de Hamilton-Jacobi. Nous montrons enfin, pour les systèmes triangulaires, l'existence d'effets régularisants de l'espace des fonctions intégrables dans l'espace des fonctions bornées P. P. Ce qui permet d'obtenir des solutions classiques pour des données initiales seulement intégrables (voire même mesurés dans certains cas)

Notre étude concerne des problèmes d'existence (ou de non-existence) pour des systèmes de réaction-diffusion elliptiques quasi linéaires présentant deux propriétés essentielles et fréquentes dans les applications, à savoir: 1) les solutions (éventuelles) sont positives; 2) la masse totale des composants est a priori contrôlée: ceci correspond à une propriété structurelle des termes non linéaires, par exemple que leur somme est négative ou nulle. Pour les systèmes semi-linéaires deux fois deux, c'est-à-dire lorsque les termes non linéaires sont indépendants des gradients et dans le cas ou l'un des composants est de plus a priori contrôlé, nous faisons une étude complète. Nous analysons en particulier l'influence des données au bord relativement à l'existence ou la non-existence des solutions. Nous montrons ainsi, moyennant certaines hypothèses, que pour la plupart des combinaisons de données au bord, on a existence. Des résultats négatifs sont donnés pour les autres types de données au bord. Quand les termes non linéaires dépendent des gradients et quand cette dépendance est sous-quadratique, nous obtenons l'existence de solutions classiques. Nous donnons également un résultat d'existence lorsque les données sont très peu régulières. Nous étudions enfin le cas de croissance quadratique ou sur-quadratique et nous montrons l'existence de solutions classiques si les operateurs de diffusions sont proportionnels

On considère des organismes qui mixent reproduction sexuée et asexuée, dans une situation où la reproduction sexuée fait intervenir à la fois de la dispersion spatiale et de la limitation d'appariement. Nous proposons un modèle qui implique deux équations couplées, la première étant une équation différentielle ordinaire de type logistique, la seconde étant une équation de réaction-diffusion. Grâce à des valeurs réalistes des différents coefficients, il s'avère que la deuxième équation fait intervenir une échelle de temps rapide, alors que la première fait intervenir une échelle de temps lente. Dans un premier temps, on montre l'existence et l'unicité de solutions au système original. Dans un second temps, dans la limite où l'échelle de temps rapide est considérée infiniment rapide, on montre la convergence vers une dynamique réduite d'état d'équilibre, dont les termes correctifs peuvent être calculés à tout ordre. Troisièmement, en utilisant des propriétés de monotonie de notre système coopératif, on montre l'existence d'ondes progressives dans une région particulière de l'espace des paramètres (cas monostable)<br>We consider organisms that mix sexual and asexual reproduction, in a situation where sexual reproduction involves both spatial dispersion and mate finding limitation. We propose a model that involves two coupled equations, the first one being an ordinary differential equation of logistic type, the second one being a reaction diffusion equation. According to realistic values of the various coefficients, the second equation turns out to involve a fast time scale, while the first one involves a separated slow time scale. First we show existence and uniqueness of solutions to the original system. Second, in the limit where the fast time scale is considered infinitely fast, we show the convergence towards a reduced quasi steady state dynamics, whose correctors can be computed at any order. Third, using monotonicity properties of our cooperative system, we show the existence of traveling wave solutions in a particular region of the parameter space (monostable case)

Cette thèse est consacrée à l'étude d'un système de réaction-diffusion ; le second membre de ce système présente une non-linéarité de type exponentiel et dépend d'un petit paramètre. Nous considérons le cas où les coefficients de diffusion sont voisins. Un tel système intervient en théorie de la combustion dans le cadre de la modélisation de flammes presque équidiffusives, dans la limite des grandes énergies d'activation. Le système est posé dans un ouvert borné régulier, en dimension d'espace 1, 2 ou 3, et est muni de conditions aux bords homogènes, de type Neumann. La première partie de cette thèse est consacrée à l'obtention d'estimations précises sur les solutions. Nous montrons en particulier que les solutions sont bornées en norme infinie, uniformément par rapport au paramètre. Ces estimations sont obtenues en utilisant une fonctionnelle de Lyapunov introduite par Barabanova, ainsi que des estimations de type énergie. Nous traitons également le cas de conditions aux limites non homogènes. Dans la seconde partie, nous nous intéressons à la limite du système lorsque le paramètre tend vers 0. Nous montrons que les solutions du système convergent vers une solution faible d'un problème à frontière libre que nous pouvons caractériser complètement dans certaines conditions<br>This thesis is concerned with the study of a reaction-diffusion system. The second member of our equations depends on a non-linear (of exponential type) term and on a small parameter. We consider specifically the case where the diffusion coefficient are close one to an other. Such a system appears in the combustion theory for the modelisation of near equidiffusive flames, in the framework of high activation energy limits. The system is given in a regular open set, in space dimension 1, 2 or 3. Additionally, we consider some homogeneous conditions of Neumann type on the boundary. We give in a first time very precise estimates on the solutions according to the parameter. We also consider the case of non homogeneous conditions. Next, we study the limit solutions when the parameter tends to 0. We get a solution (in a weak integral sense) of a free boundary problem which we caracterise completely in some cases