Academic literature on the topic 'Systeme dynamiques hyperboliques'

Ce doctorat se situe à l'intersection entre le domaine de la géométrie fractale et des systèmes dynamique hyperbolique. Étant donné un système dynamique hyperbolique dans un espace euclidien (de petite dimension), considérons un sous-ensemble fractal compact invariant, ainsi qu'une mesure de probabilité invariante supportée sur cet ensemble fractal, avec de bonnes propriétés statistiques, telle que la mesure d'entropie maximale. La question est la suivante : la transformée de Fourier de la mesure tends elle vers zéro a la vitesse d'une puissance de xi ? Notre objectif principal est de montrer que, pour plusieurs familles de systèmes dynamiques hyperboliques, la non-linéarité de la dynamique suffit à démontrer de tels résultats de décroissance. Ces énoncés seront obtenus en utilisant un outil puissant du domaine de la combinatoire additive : le phénomène de somme-produit<br>This PhD lies at the intersection between fractal geometry and hyperbolic dynamics. Being given a (low dimensional) hyperbolic dynamical system in some euclidean space, let us consider a fractal compact invariant subset, and an invariant probability measure supported on this fractal set with good statistical properties, such as the measure of maximal entropy. The question is the following: does the Fourier transform of the measure exhibit power decay ? Our main goal is to give evidence, for several families of hyperbolic dynamical systems, that nonlinearity of the dynamics is enough to prove such decay results. These statements will be obtained using a powerful tool from the field of additive combinatorics: the sum-product phenomenon

Cette thèse s'intéresse aux opérateurs de transfert d'extensions circulaires d'applications hyperboliques. On y obtient un résultat de convergence en loi dans un régime semi-classique (temps d'Ehrenfest) pour les traces plates des opérateurs de transfert réduits, lorsque la fonction toit est aléatoire<br>In this thesis, we are interested in transfer operators associated with circle extensions of hyperbolic maps. We show a convergence in law of the flat traces of the reduced transfer operators, up to an Ehrenfest time, when the roof function is random

Dans cette thèse nous avons étudié différents aspects pour le contrôle de systèmes hyperboliques.Tout d'abord, nous nous sommes intéressés à des systèmes hyperboliques à commutations. Cela signifie qu'il existe une interaction entre une dynamique continue et une dynamique discrète. Autrement dit, il existe différents modes dans lesquels peut évoluer la dynamique continue: ces modes sont dictés par la dynamique discrète. Ce changement de mode peut être contrôlé (dans le cas d'une boucle fermée), ou non-contrôlé (dans le cas d'une boucle ouverte). Nous nous sommes intéressés au premier cas. Par une analyse Lyapunov nous avons construit trois règles de commutations capables de stabiliser le système. Nous avons montré comment modifier deux d'entre elles pour obtenir des propriétés de robustesse et de stabilité entrée-état. Ces règles de commutations ont été testées numériquement.Ensuite, nous avons considéré la génération de trajectoire pour des systèmes hyperboliques linéaires 2x2 par backstepping. L'étape suivante a été de considérer une action Proportionnelle-Intégrale pour stabiliser la solution du système autour de la trajectoire de référence. Pour cela nous avons construit une fonction Lyapunov non-diagonale. Nous avons montré que l'action intégrale est capable de rejeter des erreurs distribuées et frontières.Enfin, nous avons considéré des aspects numériques pour l'analyse Lyapunov. Les conditions pour la stabilité et la conception de contrôleurs obtenues par des fonctions de Lyapunov quadratiques font intervenir une infinité d'inégalités matricielles. Nous avons montré que cette complexité peut être réduite en considérant une sur-approximation polytopique de ces contraintes.Les résultats obtenus ont été illustrés par des exemples académiques et des systèmes dynamiques physiques (comme les équations de Saint-Venant et les équations de Aw-Rascle-Zhang)<br>In this thesis we have considered different aspects for the control of hyperbolic systems.First, we have studied switched hyperbolic systems. They contain an interaction between a continuous and a discrete dynamics. Thus, the continuous dynamics may evolve in different modes: these modes are imposed by the discrete dynamics. The change in the mode may be controlled (in case of a closed-loop system), or may be uncontrolled (in case of an open-loop system). We have focused our interest on the former case. We procedeed with a Lyapunov analysis, and construct three switching rules. We have shown how to modify them to get robustness and ISS properties. We have shown their effectiveness with numerical tests.Then, we have considered the trajectory generation problem for 2x2 linear hyperbolic systems. We have solved it with backstepping. Then, we have considered the tracking problem with a Proportionnal-Integral controller. We have shown that it stabilizes the error system around the reference trajectory with a new non-diagonal Lyapunov function. The integral action has been shown to be able to reject in-domain, as well as boundary disturbances.Finally, we have considered numerical aspects for the Lyapunov analysis. The conditions for the stability and design of controllers by quadratic Lyapunov functions involve an infinity of matrix inequalities. We have shown how to reduce this complexity by polytopic embeddings of the constraints.Many obtained results have been illustrated by academic examples and physically relevant dynamical systems (as Shallow-Water equations and Aw-Rascle-Zhang equations)

Soit t un flot hyperbolique et t son extension a un revetement abelien. Cette these est consacree a l'etude du feuilletage stable fort de t. Apres quelques rappels sur les systemes hyperboliques, on montre que ce feuilletage est ergodique des qu'il est transitif ; un certain nombre d'exemples sont ensuite etudies : suspensions d'anosov, flots geodesiques, sous-groupes de psl 2(c).

Dans cette thèse, on s'intéresse à deux aspects différents des systèmes dynamiques intégrables. La première partie est dévouée à l'étude de trois familles de systèmes hamiltoniens intégrables : les systèmes de pliage de Kapovich et Millson sur les espaces de modules de polygones 3D de longueurs de côtés fixées, les systèmes de Gelfand-Cetlin introduits par Guillemin et Sternberg sur les orbites coadjointes du groupe de Lie U(n), et une famille de systèmes définie par Nohara et Ueda sur la variété grassmannienne Gr(2,n). Dans chaque cas on montre que les fibres singulières de l'application moment sont des sous-variétés plongées et on en donne des modèles géométriques sous la forme de variétés quotients. La deuxième partie poursuit une étude initiée par Zung et Minh sur les actions totalement hyperboliques de Rn sur des variétés compactes de dimension n, qui apparaissent naturellement lors de l'étude des systèmes non-hamiltoniens intégrables dont toutes les singularités sont non-dégénérées. On s'intéresse au flot engendré par l'action d'un vecteur générique de Rn. On donne une définition d'indice pour ses singularités qu'on relie à la théorie de Morse classique, et on utilise ce flot pour obtenir des résultats sur le nombres d'orbites de dimension donnée. Une étude plus poussée est effectuée en dimension 2, et en particulier sur la sphère S2, où les orbites de l'action dessinent un graphe plongé dont on analyse la combinatoire. On termine en construisant explicitement des exemples d'actions hyperboliques en dimension 3 sur la sphère S3 et dans l'espace projectif RP3<br>In this thesis, we are interested in two different aspects of integrable dynamical systems. The first part is devoted to the study of three families of integrable Hamiltonian systems: the systems of bending flows of Kapovich and Millson on the moduli spaces of 3D polygons with fixed side lengths, the Gelfand-Cetlin systems introduced by Guillemin and Sternberg on the coadjoint orbits of the Lie group U(n), and a family of integrable systems defined by Nohara and Ueda on the Grassmannian Gr(2,n). In each case we prove that the fibers of the momentum map are embedded submanifolds for which we give geometric models in terms of quotients manifolds. In the second part we carry on with a study initiated by Zung and Minh of the totally hyperbolic actions of R^n on compact n-dimensional manifolds that appear naturally when investigating integrable non-hamiltonian systems with nondegenerate singularities. We study the flow generated by the action of a generic vector in Rn. We define a notion of index for its singularities and we use this flow to obtain results on the number of orbits of given dimension. We investigate further the 2-dimensional case, and more particularly the case of the sphere S2, where the orbits of the action draw an embedded graph of which we analyse the combinatorics. Finally, we provide explicit examples of totally hyperbolic actions in dimension 3, on the sphere S3 and on the projective space RP3

Cette thèse comporte trois parties essentiellement indépendantes, dont chacune est consacrée à l'étude d'un système de particules, suivant une dynamique déterministe ou aléatoire, et à l'intérieur duquel les interactions se font uniquement aux collisions entre les particules.La Partie I propose une étude numérique et théorique des états stationnaires hors de l'équilibre du Modèle d'Échange Complet, introduit en physique pour comprendre le transport de la chaleur dans certains matériaux poreux.La Partie II est consacrée à un système de particules browniennes évoluant sur la droite réelle et interagissant à travers leur rang. Le comportement limite de ce système, en temps long et à grand nombre de particules, est décrit, puis les résultats sont appliqués à l'étude d'un modèle de marché financier dit modèle d'Atlas en champ moyen.La Partie III introduit une version multitype du système de particules étudié dans la partie précédente, qui permet d'approcher des systèmes paraboliques d'équations aux dérivées partielles non-linéaires. La limite petit bruit de ce système est appelée dynamique des particules collantes multitype et approche cette fois des systèmes hyperboliques. Une étude détaillée de cette dynamique donne des estimations de stabilité en distance de Wasserstein sur les solutions de ces systèmes<br>This thesis contains three independent parts, each one of which is dedicated to the study of a particle system, following either a deterministic or a stochastic dynamics, and in which interactions only occur at collisions. Part I contains a numerical and theoretical study of nonequilibrium steady states of the Complete Exchange Model, which was introduced by physicists in order to understand heat transfer in some porous materials. Part II is dedicated to a system of Brownian particles evolving on the real line and interacting through their ranks. The long time and mean-field behaviour of this system is described, then the results are applied to the study of a model of equity market called the mean-field Atlas model. Part III introduces a multitype version of the particle system studied in the previous part, which allows to approximate parabolic systems of nonlinear partial differential equations. The small noise limit of of this system is called multitype sticky particle dynamics and now approximates hyperbolic systems. A detailed study of this dynamics provides stability estimates in Wasserstein distance for the solutions of these systems

L'objectif principal de cette thèse est de proposer une formulation pour l'étude et l'analyse de stabilité des systèmes dynamiques non-réguliers avec une attention particulière aux applications issues des circuits électriques et des systèmes mécaniques avec frottement sec. Les outils mathématiques utilisés sont issus de l'analyse non-lisse et de la théorie de stabilité au sens de Lyapounov. Dans le détail, nous utilisons un formalisme pour modéliser la complémentarité des systèmes de commutation simples et des inclusions différentielles pour modéliser un convertisseur DC-DC de type Buck, les systèmes dynamiques Lagrangian ainsi que les systèmes de Lur'e. Pour chaque modèle, nous nous intéressons à l'existence d'une solution, des propriétés de stabilité des trajectoires, de la stabilité en temps fini ou de mettre une force sur la commande pour obtenir la stabilité en temps fini. Nous proposons aussi quelques méthodes numériques pour simuler ces systèmes. Il est à noter que les méthodes utilisées dans ce manuscrit peuvent être appliquées pour l'analyse de systèmes dynamiques non-réguliers issus d'autres domaines tels que l'économie, la finance ou la biologie. .<br>This manuscript deals with the stability of non-smooth dynamical systems and applications. More precisely, we aim to provide a formulation to study the stability analysis of non-smooth dynamical systems, particularly in electrical circuits and mechanics with dry friction and robustness. The efficient tools which we have used are non-smooth analysis, Lyapunov stability theorem and non-smooth mathematical frameworks : complementarity and differentials inclusions. In details, we use complementarity formalism to model some simple switch systems and differential inclusions to model a Dc-Dc Buck converter, Lagrange dynamical systems and Lur'e systems. For each model, we are interested in the well-posedness, stability properties of trajectories, even finite-time stability or putting a control force to obtain finite-time stability, and finding numerical ways to simulate the systems. The theoretical results are supported by some examples in electrical circuits and mechanics with numerical simulations. It is noted that the method used in this monograph can be applied to analyze for non-smooth dynamical systems from other fields such as economics, finance or biology. .

Dans cette thèse, nous construisons des pavages de la droite réelle et du demi-plan hyperbolique à l’aide de représentants efficaces d’automorphismes IWIP du groupe libre Fn. Dans un premier temps, nous utilisons la substitution définie par P. Arnoux, V. Berthé, A. Siegel, A. Hilion associée à un représentant efficace d’un automorphisme IWIP pour générer des espaces de pavages substitutifs apériodiques de la droite réelle. Nous montrons, en nous servant d’un théorème de connexité des représentants efficaces d’automorphismes IWIP dû à J. Los, que le type topologique de ces espaces de pavages est indépendant du choix du représentant. Nous associons ainsi, à homéomorphisme près, un espace de pavages de la droite réelle à une classe d’automorphisme externe IWIP de Fn, puis à une classe de conjugaison d’un élément IWIP dans Out(Fn). D’autre part, nous construisons à partir des éléments de l’espace de pavage de la droite réelle précédemment construits des pavages faiblement apériodiques pour le groupe des transformations affines du demi-plan hyperbolique. Nous étudions les propriétés topologiques et dynamiques de ces espaces de pavages du plan hyperbolique. Enfin, dans une dernière partie, nous montrons que les espaces de pavages précédemment construits peuvent être munis d’une structure lisse en se servant de leur structure de limite projective<br>In this thesis, we construct tilings of the real line and the hyperbolic half-plane using train-track maps of IWIP free group automorphisms. One the one hand, we use a substitution defined by P. Arnoux, V. Berthé, A. Siegel, A. Hilion coming from a train-track map of a IWIP free group automorphism to generate substitutive aperiodic tilings of the real line. We show, thanks to a theorem of J. Los about connectivity of train-track representatives of an IWIP automorphism, that the topological type of those tiling spaces is the same up to a choice of train-track representative. Thus we associate, up to an homeomorphism, a tiling space of the real line to a class of an IWIP outer automorphism of Fn, then we extend this result to a conjugacy class of an IWIP element in Out(Fn). On the other hand, we construct from elements of tiling spaces of the real line previously defined, a set of weakly aperiodic for the affine group tilings of the hyperbolic half-plane. We study topological et dynamical properties of the tiling space generated by those hyperbolic tilings. Finally, in the last section we endow tiling spaces previously constructed with a smooth structure thanks to their inverse limit structure

La simulation numerique d'ecoulements hypersoniques, en raison de la presence d'ondes de choc et de detentes tres violentes, necessite l'utilisation de schemas robustes. L'auteur presente une classe de schemas cinetiques pour les melanges de gaz hors equilibre thermochimique. Il prouve, qu'au premier ordre, ces schemas sont positifs et entropiques sous une condition de type cfl et propose une variante de la methode dite des flux corriges permettant d'augmenter l'ordre de precision de ces schemas tout en preservant leurs proprietes de positivite. L'auteur etudie ensuite la version implicite de ces schemas en se servant de leurs liens avec le modele bgk de l'equation de boltzmann. Il prouve, sans condition sur le pas de temps, l'existence d'une solution pour le probleme implicite en domaine borne et non borne. Une methode iterative de type gauss-seidel, permettant de calculer la solution du probleme implicite non lineaire, est analysee et testee numeriquement pour des calculs d'ecoulements stationnaires bidimensionnels. Des resultats numeriques, pour des cas d'ecoulements hypersoniques bidimensionnels hors equilibre chimique et thermique, sont presentes afin de valider l'approche proposee

En 1963, Belinsky, Khalatnikov et Lifshitz ont proposé une description conjecturale de la géométrie asymptotique des modèles cosmologiques au voisinage de leur singularité initiale. En particulier, il y est avancé que la géométrie asymptotique des espaces-temps spatialement homogènes « génériques » devrait avoir un comportement oscillatoire chaotique modelé sur la dynamique d’une application discrète : l’application de Kasner. Nous démontrons que cette conjecture est vraie au moins pour un ensemble d’espaces-temps de mesure de Lebesgue strictement positive. Dans le contexte des espaces-temps spatialement homogènes, l’équation d’Einstein de la relativité générale se réduit à un système d’équations différentielles sur un espace des phases de dimension finie : les équations de Wainwright-Hsu. La dynamique de ces équations encode l’évolution de la géométrie des hypersurfaces spatiales dans les espaces-temps spatialement homogènes. Notre preuve est basée sur l’hyperbolicité non-uniforme des équations de Wainwright-Hsu. Nous considérons l’application de Poincaré associée aux solutions de ces équations sur une section transverse au flot et nous démontrons qu’il s’agit d’une application non-uniformément hyperbolique avec singularités. Ceci nous permet de construire des variétés stables locales « à la Pesin » pour cette application et de montrer que la réunion des orbites passant par ces variétés stables locales recouvre une partie de l’espace des phases de mesure de Lebesgue strictement positive. Le comportement oscillatoire chaotique des espaces-temps correspondant à ces orbites est une conséquence de cette construction. Du point de vue des systèmes dynamiques, les équations de Wainwright-Hsu se révèlent être très riches et posent un certain nombre de défis. Pour comprendre le comportement asymptotique d’un nombre conséquent de solutions de ces équations, nous serons amenés à : • faire une analyse fine de la dynamique locale d’un champ de vecteurs au voisinage d’une singularité partiellement hyperbolique dégénérée et non linéarisable, • travailler avec des applications non-uniformément hyperboliques ayant des singularités, pour lesquelles la théorie usuelle (due à Pesin et Katok-Strelcyn) ne s’applique pas à cause de la faible régularité de ces applications, • considérer des conditions arithmétiques exotiques exprimées en termes de fractions continues et utiliser des propriétés ergodiques quelque peu sophistiquées de l’application de Gauss pour montrer que ces propriétés sont génériques, etc<br>In 1963, Belinsky, Khalatnikov and Lifshitz have proposed a conjectural description of the asymptotic geometry of cosmological models in the vicinity of their initial singularity. In particular, it is believed that the asymptotic geometry of generic spatially homogeneous spacetimes should display an oscillatory chaotic behaviour modeled on a discrete map’s dynamics (the so-called Kasner map). We prove that this conjecture holds true, if not for generic spacetimes, at least for a positive Lebesgue measure set of spacetimes. In the context of spatially homogeneous spacetimes, the Einstein field equations can be reduced to a system of differential equations on a finite dimensional phase space: the Wainwright-Hsu equations. The dynamics of these equations encodes the evolution of the geometry of spacelike slices in spatially homogeneous spacetimes. Our proof is based on the non-uniform hyperbolicity of the Wainwright-Hsu equations. Indeed, we consider the return map of the solutions of these equations on a transverse section and prove that it is a non-uniformly hyperbolic map with singularities. This allows us to construct some local stable manifolds à la Pesin for this map and to prove that the union of the orbits starting in these local stable manifolds cover a positive Lebesgue measure set in the phase space. The chaotic oscillatory behaviour of the corresponding spacetimes follows. The Wainwright-Hsu equations turn out to be quite interesting and challenging from a purely dynamical system viewpoint. In order to understand the asymptotic behaviour of (many of) the solutions of these equations, we will in particular be led to: • carry a detailed analysis of the local dynamics of a vector field in the neighborhood of degenerate nonlinearizable partially hyperbolic singularities, • deal with non-uniformly hyperbolic maps with singularities for which the usual theory (due to Pesin and Katok-Strelcyn) is not relevant due to the poor regularity of the maps, • consider some unusual arithmetic conditions expressed in terms of continued fractions and use some rather sophisticated ergodic properties of the Gauss map to prove that these properties are generic